Torricellisův zákon - Torricellis law - Wikipedia

Torricelliho zákon popisuje rychlost dělení paprsku vody na základě vzdálenosti pod povrchem, při kterém paprsek začíná, za předpokladu, že nebude bránit žádný odpor vzduchu, viskozita nebo jiná překážka proudění kapaliny. Tento diagram ukazuje několik takových trysek, svisle zarovnaných, takže nádrž vodorovně. V tomto případě mají trysky obálka (koncept také díky Torricelli), což je čára sestupující pod úhlem 45 ° od vodní hladiny přes trysky. Každý paprsek dosáhne dále než kterýkoli jiný paprsek v místě, kde se dotkne obálky, která je v dvojnásobné hloubce než zdroj paprsku. Hloubka, ve které se dva trysky protínají, je součtem hloubek jejich zdrojů. Každé letadlo (i když neodlétá vodorovně) trvá a parabolický cesta, jejíž přímka je povrch vody.

Torricelliho zákon, také známý jako Torricelliho věta, je věta v dynamika tekutin vztahující se rychlost tekutiny proudící z otvoru k výšce tekutiny nad otvorem. Zákon stanoví, že rychlost proti výtoku tekutiny ostrým otvorem na dně nádrže naplněné do hloubky h je stejná jako rychlost, kterou by těleso (v tomto případě kapka vody) získalo při volném pádu z výšky h, tj. ${ displaystyle v = { sqrt {2gh}}}$ , kde G je gravitační zrychlení (9,81 m / s² blízko povrchu Země). Tento výraz pochází z rovnice získané kinetické energie, ${ displaystyle { frac {1} {2}} mv ^ {2}}$ , se ztrátou potenciální energie, mgha řešení pro proti. Zákon objevil (i když ne v této podobě) italský vědec Evangelista Torricelli, v roce 1643. Později se ukázalo, že jde o konkrétní případ Bernoulliho princip.

Derivace

Za předpokladu, že nestlačitelný tekutina se zanedbatelným viskozita, Bernoulliho princip tvrdí, že

{ displaystyle { frac {v ^ {2}} {2}} + gy + { frac {p} { rho}} = { text {stálý}},}

kde ${ displaystyle v}$ je rychlost kapaliny, ${ displaystyle g}$ je gravitační zrychlení (asi 9,81 slečna² na zemském povrchu), ${ displaystyle y}$ je výška nad nějakým vztažným bodem, ${ displaystyle p}$ je tlak a ${ displaystyle rho}$ je hustota. Tedy pro jakékoli dva body v kapalině,

{ displaystyle { frac {{v_ {1}} ^ {2}} {2}} + g_ {1} y_ {1} + { frac {p_ {1}} { rho _ {1}}} = { frac {{v_ {2}} ^ {2}} {2}} + g_ {2} y_ {2} + { frac {p_ {2}} { rho _ {2}}}.}

První bod lze zachytit na povrchu kapaliny a druhý těsně mimo otvor. Protože se kapalina považuje za nestlačitelnou, ${ displaystyle rho _ {1}}$ je rovný ${ displaystyle rho _ {2}}$ ; oba mohou být reprezentovány jedním symbolem ${ displaystyle rho}$ . Kromě toho, pokud je otvor velmi malý vzhledem k vodorovnému průřezu nádoby, rychlost povrchu se považuje za zanedbatelnou ( ${ displaystyle v_ {1} = 0}$ ). ${ displaystyle g}$ se předpokládá, že je v obou bodech prakticky stejný, takže ${ displaystyle g_ {1} = g_ {2} = g}$ .

{ displaystyle gy_ {1} + { frac {p_ {1}} { rho}} = { frac {{v_ {2}} ^ {2}} {2}} + gy_ {2} + { frac {p_ {2}} { rho}}}

{ displaystyle Rightarrow v_ {2} = { sqrt {2g (y_ {1} -y_ {2}) + 2 (p_ {1} -p_ {2}) / rho}}.}

${ displaystyle y_ {1} -y_ {2}}$ se rovná výšce ${ displaystyle h}$ povrchu kapaliny přes otvor. ${ displaystyle p_ {1}}$ a ${ displaystyle p_ {2}}$ jsou typicky oba atmosférický tlak, takže ${ displaystyle p_ {1} = p_ {2} Rightarrow p_ {1} -p_ {2} = 0}$ .

{ displaystyle v_ {2} = { sqrt {2gh}}.}

Experimentální důkazy

Torricelliho zákon lze demonstrovat v experimentu s tryskáním, který je navržen tak, aby ukázal, že v a kapalný s otevřeným povrchem, tlak se zvyšuje s hloubkou. Skládá se z trubice se třemi samostatnými otvory a otevřeným povrchem. Tři otvory jsou ucpané, pak je trubka naplněna vodou. Když je plná, otvory se odblokují. Čím nižší je tryska na trubici, tím je výkonnější. Rychlost výstupu kapaliny je dále dále trubkou.^[1]

Ignorování viskozity a dalších ztrát, pokud trysky směřují svisle nahoru, pak každý paprsek dosáhne výšky povrchu kapaliny v nádobě.

Vodorovná vzdálenost pokrytá paprskem kapaliny

Li h je výška otvoru a H je výška sloupce kapaliny, lze snadno odvodit vodorovnou vzdálenost pokrytou paprskem kapaliny k dosažení stejné úrovně jako základna sloupce kapaliny.

Pomocí kinematické rovnice a zvažte bod mimo nádobu uzavřený k otvoru viz (vena contracta )

y vertikální vzdálenost uražená částicemi proudu h,

${ displaystyle y = gt ^ {2} / 2 Rightarrow t = { sqrt {2h / g}}.}$

Rychlost proudu × čas potřebný k pádu trysky H Jednotky:

{ displaystyle vt = { sqrt {2g (H-h)}} { sqrt {2h / g}},}

{ displaystyle D (h) = 2 { sqrt {h (H-h)}},}

kde D je rozsah průtoku vzdálenost ve vodorovném směru.

optimalizací

{ displaystyle v '(h) = (2 / { sqrt {h (H-h)}}) * (H-2h) Rightarrow v' = 0 Rightarrow H = 2h Rightarrow h = H / 2}

připojte H / 2 v D (h), abyste dosáhli maximálního rozsahu

maximální rozsah = H

Celkový čas na vyprázdnění kontejneru

Vezměme si, že válcová nádoba obsahující vodu do výšky h je volně vyprazdňována hadičkou. Nechť h je výška vody kdykoli. Nechť je rychlost odtoku ${ displaystyle v = {dx over dt} = { sqrt {2gh}} }$

Kvůli zachování hmotnosti (za předpokladu nestlačitelného toku), ${ displaystyle A , dh = -a , dx}$ kde A a A jsou průřezy nádoby a trubky, dh je výška kapaliny v nádobě odpovídající dx ve zkumavce, která se současně snižuje dt:

{ displaystyle {dx} = - {A , dh přes a}}

{ displaystyle {dx over dt} = - {A , dh over a , dt} = { sqrt {2gh}}}

{ displaystyle Rightarrow - {A , dh přes a { sqrt {2gh}}} = dt}

{ displaystyle Rightarrow - {A over a { sqrt {2g}}} int _ {h_ {1}} ^ {h_ {2}} { frac {dh} { sqrt {h}}} = int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} dt}

{ displaystyle Rightarrow {2A over a { sqrt {2g}}} ({ sqrt {h_ {1}}} - { sqrt {h_ {2}}}) = t_ {2} -t_ { 1} = Delta t}

{ displaystyle Rightarrow Delta t = {2A over a { sqrt {2g}}} ({ sqrt {h_ {1}}} - { sqrt {h_ {2}}})}

je čas potřebný k vypuštění vody z výšky h₁ na h₂ v kontejneru, kde h₁ > h₂. Tento vzorec lze použít ke kalibraci vodních hodin. Aby byla nádoba zcela vyčerpaná, ${ displaystyle h_ {2}}$ je nastavena na 0:

{ displaystyle Delta t = {2A nad a { sqrt {2g}}} { sqrt {h_ {1}}}}

Koeficient vypouštění

Porovnáme-li teoretické předpovědi o procesu vypouštění nádrže se skutečným měřením, lze v některých případech nalézt velmi velké rozdíly. Ve skutečnosti se nádrž vypouští mnohem pomaleji. Pro získání lepší aproximace skutečně měřeného objemového průtoku se v praxi používá výbojový koeficient:

${ displaystyle { displaystyle { dot {V}} _ { text {real}} = mu cdot { dot {V}} _ { text {ideal}}}}$

Koeficient vypouštění zohledňuje jak snížení rychlosti vypouštění v důsledku viskózního chování kapaliny („koeficient rychlosti“), tak snížení efektivního průřezu odtoku v důsledku kontrakce vena („koeficient kontrakce“) ). U kapalin s nízkou viskozitou (jako je voda) vytékajících z kulatého otvoru v nádrži je výstupní koeficient řádově 0,65^[2]. Použitím zaoblených hrdel potrubí lze zvýšit součinitel výtlaku na více než 0,9. U obdélníkových otvorů může být součinitel výboje až 0,67, v závislosti na poměru výšky a šířky.

Clepsydra problém

Přílivová clepsydra

A clepsydra jsou hodiny, které měří čas podle toku vody. Skládá se z hrnce s malým otvorem na dně, kterým může voda unikat. Množství unikající vody udává míru času. Jak je dáno Torricelliho zákonem, rychlost odtoku otvorem závisí na výšce vody; a jak se snižuje hladina vody, není výtlak rovnoměrný. Jednoduchým řešením je udržovat stálou výšku vody. Toho lze dosáhnout tím, že se do nádoby nechá proudit stálý proud vody, jejíž přetok může unikat shora, z jiného otvoru. Tím, že má konstantní výšku, může být vypouštěná voda ze dna shromažďována v jiné válcové nádobě s rovnoměrným odstupňováním pro měření času. Toto je přítoková clepsydra.

Alternativně lze pečlivým výběrem tvaru nádoby snížit hladinu vody v nádobě konstantní rychlostí. Měřením hladiny vody zbývající v nádobě lze měřit čas s rovnoměrným odstupňováním. Toto je příklad odtokové clepsydry. Vzhledem k tomu, že rychlost odtoku vody je vyšší, když je hladina vody vyšší (kvůli většímu tlaku), měl by být objem kapaliny větší než jednoduchý válec, pokud je hladina vody vysoká. To znamená, že poloměr by měl být větší, když je hladina vody vyšší. Nechte poloměr ${ displaystyle r}$ zvyšovat s výškou vodní hladiny ${ displaystyle h}$ nad výstupním otvorem oblasti ${ displaystyle a.}$ To znamená ${ displaystyle r = f (h)}$ . Chceme najít takový poloměr, aby hladina vody měla konstantní rychlost poklesu, tj. ${ displaystyle dh / dt = c}$ .

Při dané hladině vody ${ displaystyle h}$ , vodní plocha je ${ displaystyle A = pi r ^ {2}}$ . Okamžitá rychlost změny objemu vody je

{ displaystyle { frac {dV} {dt}} = A { frac {dh} {dt}} = pi r ^ {2} c.}

Z Torricelliho zákona je míra odtoku

{ displaystyle { frac {dV} {dt}} = av = a { sqrt {2gh}},}

Z těchto dvou rovnic

{ displaystyle { begin {aligned} a { sqrt {2gh}} & = pi r ^ {2} c Rightarrow quad h & = { frac { pi ^ {2} c ^ {2} } {2ga ^ {2}}} r ^ {4}. End {zarovnáno}}}

Poloměr nádoby by se tedy měl měnit úměrně s kvartickým kořenem její výšky, ${ displaystyle r propto { sqrt [{4}] {h}}.}$

Viz také

Reference

^ Proud kapaliny z tryskajícího válce.
^ tec-science (2019-11-21). „Vypouštění kapalin (Torricelliho zákon)“. tec-science. Citováno 2019-12-08.

Další čtení

T. E. Faber (1995). Dynamika tekutin pro fyziky. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-42969-6.
Stanley prostředník, Úvod do dynamiky tekutin: Principy analýzy a návrhu (John Wiley & Sons, 1997) ISBN 978-0-471-18209-2
Dennis G. Zill (14. května 2008). První kurz v diferenciálních rovnicích. Cengage Learning. ISBN 978-0-495-10824-5.

[1] Proud kapaliny z tryskajícího válce.

[2] tec-science (2019-11-21). „Vypouštění kapalin (Torricelliho zákon)“. tec-science. Citováno 2019-12-08.

[1]

[2]