Lineární pružnost - Linear elasticity

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Září 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Lineární pružnost je matematický model toho, jak se pevné objekty deformují a jsou vnitřně namáhány v důsledku předepsaných podmínek zatížení. Jedná se o zjednodušení obecnějšího nelineární teorie pružnosti a pobočka mechanika kontinua.

Základní „linearizující“ předpoklady lineární pružnosti jsou: nekonečně malé kmeny nebo „malý“ deformace (nebo kmeny) a lineární vztahy mezi složkami stres a namáhat. Kromě toho lineární pružnost platí pouze pro napěťové stavy, které neprodukují poddajný.

Tyto předpoklady jsou přiměřené pro mnoho scénářů konstrukčních materiálů a konstrukčních návrhů. Lineární pružnost se proto ve velké míře používá strukturální analýza a inženýrský design, často s pomocí analýza konečných prvků.

Matematická formulace

Rovnice řídící lineární pružnost problém mezní hodnoty jsou založeny na třech tenzor parciální diferenciální rovnice pro rovnováha lineární hybnosti a šest nekonečně malý kmen -přemístění vztahy. Systém diferenciálních rovnic je doplněn množinou lineární algebraický konstitutivní vztahy.

Přímá forma tenzoru

Přímo tenzor forma, která je nezávislá na volbě souřadného systému, tyto řídící rovnice jsou:^[1]

• Pohybová rovnice, což je výraz Newtonův druhý zákon:

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} cdot { boldsymbol { sigma}} + mathbf {F} = rho { ddot { mathbf {u}}}}$

• Posunutí kmene rovnice:

${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} = { tfrac {1} {2}} vlevo [{ boldsymbol { nabla}} mathbf {u} + ({ boldsymbol { nabla}} mathbf {u}) ^ { mathrm {T}} vpravo] , !}$

• Konstitutivní rovnice. U elastických materiálů Hookeův zákon představuje chování materiálu a souvisí s neznámými napětími a deformacemi. Obecná rovnice pro Hookeův zákon je

${ displaystyle { boldsymbol { sigma}} = { mathsf {C}}: { boldsymbol { varepsilon}},}$

kde ${ displaystyle { boldsymbol { sigma}}}$ je Cauchyho tenzor napětí, ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}}}$ je nekonečně malý kmen tenzor, ${ displaystyle mathbf {u}}$ je vektor posunutí, ${ displaystyle { mathsf {C}}}$ je čtvrtý řád tenzor tuhosti, ${ displaystyle mathbf {F}}$ je síla těla na jednotku objemu, ${ displaystyle rho}$ je hmotnostní hustota, ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}}}$ představuje operátor nabla, ${ displaystyle ( bullet) ^ { mathrm {T}}}$ představuje a přemístit, ${ displaystyle { ddot {( odrážka)}}}$ představuje druhou derivaci s ohledem na čas a ${ displaystyle { mathsf {A}}: { mathsf {B}} = A_ {ij} B_ {ij}}$ je vnitřní produkt dvou tenzorů druhého řádu (implikuje se součet přes opakované indexy).

Kartézská souřadnicová forma

Poznámka: Konvence Einsteinova součtu sčítání na opakovaných indexech se používá níže.

Vyjádřeno z hlediska komponent s ohledem na obdélníkový Kartézská souřadnice systému, řídící rovnice lineární pružnosti jsou:^[1]

• Pohybová rovnice:

${ displaystyle sigma _ {ji, j} + F_ {i} = rho částečný _ {tt} u_ {i} , !}$

Inženýrská notace

${ displaystyle { frac { částečné sigma _ {x}} { částečné x}} + { frac { částečné tau _ {yx}} { částečné y}} + { frac { částečné tau _ {zx}} { částečné z}} + F_ {x} = rho { frac { částečné ^ {2} u_ {x}} { částečné t ^ {2}}} , !}$ ${ displaystyle { frac { částečné tau _ {xy}} { částečné x}} + { frac { částečné sigma _ {y}} { částečné y}} + { frac { částečné tau _ {zy}} { částečné z}} + F_ {y} = rho { frac { částečné ^ {2} u_ {y}} { částečné t ^ {2}}} , !}$ ${ displaystyle { frac { částečné tau _ {xz}} { částečné x}} + { frac { částečné tau _ {yz}} { částečné y}} + { frac { částečné sigma _ {z}} { částečné z}} + F_ {z} = rho { frac { částečné ^ {2} u_ {z}} { částečné t ^ {2}}} , !}$

Kde ${ displaystyle {( bullet)} _ {, j}}$ dolní index je zkratka pro ${ displaystyle částečné {( odrážka)} / částečné x_ {j}}$ a ${ displaystyle částečné _ {tt}}$ označuje ${ displaystyle částečné ^ {2} / částečné t ^ {2}}$, ${ displaystyle sigma _ {ij} = sigma _ {ji} , !}$ je Cauchy stres tenzor, ${ displaystyle F_ {i} , !}$ jsou síly těla, ${ displaystyle rho , !}$ je hmotnostní hustota a ${ displaystyle u_ {i} , !}$ je posunutí.

To jsou 3 nezávislý rovnice se 6 nezávislými neznámými (napětí).

• Posunutí kmene rovnice:

${ displaystyle varepsilon _ {ij} = { frac {1} {2}} (u_ {j, i} + u_ {i, j}) , !}$

Inženýrská notace
${ displaystyle epsilon _ {x} = { frac { částečné u_ {x}} { částečné x}} , !}$	${ displaystyle gamma _ {xy} = { frac { částečné u_ {x}} { částečné y}} + { frac { částečné u_ {y}} { částečné x}} , !}$
${ displaystyle epsilon _ {y} = { frac { částečné u_ {y}} { částečné y}} , !}$	${ displaystyle gamma _ {yz} = { frac { částečné u_ {y}} { částečné z}} + { frac { částečné u_ {z}} { částečné y}} , !}$
${ displaystyle epsilon _ {z} = { frac { částečné u_ {z}} { částečné z}} , !}$	${ displaystyle gamma _ {zx} = { frac { částečné u_ {z}} { částečné x}} + { frac { částečné u_ {x}} { částečné z}} , !}$

kde ${ displaystyle varepsilon _ {ij} = varepsilon _ {ji} , !}$ je kmen. Jedná se o 6 nezávislých rovnic týkajících se kmenů a posunů s 9 nezávislými neznámými (kmeny a posuny).

• Konstitutivní rovnice. Rovnice pro Hookeův zákon je:

${ displaystyle sigma _ {ij} = C_ {ijkl} , varepsilon _ {kl} , !}$

kde ${ displaystyle C_ {ijkl}}$ je tenzor tuhosti. Jedná se o 6 nezávislých rovnic týkajících se napětí a napětí. Požadavek symetrie tenzorů napětí a přetvoření vede k rovnosti mnoha elastických konstant, což snižuje počet různých prvků na 21^[2] ${ displaystyle C_ {ijkl} = C_ {klij} = C_ {jikl} = C_ {ijlk}}$.

Problémem elastostatické okrajové hodnoty pro izotropně-homogenní prostředí je systém 15 nezávislých rovnic a stejného počtu neznámých (3 rovnovážné rovnice, 6 rovnic deformace a posunu a 6 konstitutivních rovnic). Zadáním okrajových podmínek je problém okrajové hodnoty zcela definován. K řešení systému lze použít dva přístupy podle okrajových podmínek úlohy okrajové hodnoty: a formulace posunutía formulace stresu.

Válcový souřadnicový tvar

Ve válcových souřadnicích (${ displaystyle r, theta, z}$) pohybové rovnice jsou^[1]

${ displaystyle { begin {aligned} & { frac { částečné sigma _ {rr}} { částečné r}} + { cfrac {1} {r}} { frac { částečné sigma _ { r theta}} { částečné theta}} + { frac { částečné sigma _ {rz}} { částečné z}} + { cfrac {1} {r}} ( sigma _ {rr} - sigma _ { theta theta}) + F_ {r} = rho ~ { frac { částečné ^ {2} u_ {r}} { částečné t ^ {2}}}} & { frac { částečné sigma _ {r theta}} { částečné r}} + { cfrac {1} {r}} { frac { částečné sigma _ { theta theta}} { částečné theta}} + { frac { částečné sigma _ { theta z}} { částečné z}} + { cfrac {2} {r}} sigma _ {r theta} + F _ { theta} = rho ~ { frac { částečné ^ {2} u _ { theta}} { částečné t ^ {2}}} & { frac { částečné sigma _ {rz}} { částečné r }} + { cfrac {1} {r}} { frac { částečné sigma _ { theta z}} { částečné theta}} + { frac { částečné sigma _ {zz}} { částečné z}} + { cfrac {1} {r}} sigma _ {rz} + F_ {z} = rho ~ { frac { částečné ^ {2} u_ {z}} { částečné t ^ {2}}} end {zarovnáno}}}$

Vztahy deformace a posunu jsou

${ displaystyle { begin {aligned} varepsilon _ {rr} & = { cfrac { částečné u_ {r}} { částečné r}} ~; ~~ varepsilon _ { theta theta} = { cfrac {1} {r}} vlevo ({ cfrac { částečné u _ { theta}} { částečné theta}} + u_ {r} pravé) ~; ~~ varepsilon _ {zz} = { cfrac { částečné u_ {z}} { částečné z}} varepsilon _ {r theta} & = { cfrac {1} {2}} vlevo ({ cfrac {1} {r} } { cfrac { částečné u_ {r}} { částečné theta}} + { cfrac { částečné u _ { theta}} { částečné r}} - { cfrac {u _ { theta}} { r}} right) ~; ~~ varepsilon _ { theta z} = { cfrac {1} {2}} left ({ cfrac { částečný u _ { theta}} { částečný z}} + { cfrac {1} {r}} { cfrac { částečné u_ {z}} { částečné theta}} pravé) ~; ~~ varepsilon _ {zr} = { cfrac {1} { 2}} vlevo ({ cfrac { částečné u_ {r}} { částečné z}} + { cfrac { částečné u_ {z}} { částečné r}} pravé) konec {zarovnáno}} }$

a konstitutivní vztahy jsou stejné jako v kartézských souřadnicích, kromě indexů ${ displaystyle 1}$,${ displaystyle 2}$,${ displaystyle 3}$ teď stojí za ${ displaystyle r}$,${ displaystyle theta}$,${ displaystyle z}$, resp.

Sférický souřadnicový tvar

Ve sférických souřadnicích (${ displaystyle r, theta, phi}$) pohybové rovnice jsou^[1]

${ displaystyle { begin {aligned} & { frac { částečné sigma _ {rr}} { částečné r}} + { cfrac {1} {r}} { frac { částečné sigma _ { r theta}} { částečné theta}} + { cfrac {1} {r sin theta}} { frac { částečné sigma _ {r phi}} { částečné phi}} + { cfrac {1} {r}} (2 sigma _ {rr} - sigma _ { theta theta} - sigma _ { phi phi} + sigma _ {r theta} cot theta) + F_ {r} = rho ~ { frac { částečné ^ {2} u_ {r}} { částečné t ^ {2}}} & { frac { částečné sigma _ {r theta}} { částečné r}} + { cfrac {1} {r}} { frac { částečné sigma _ { theta theta}} { částečné theta}} + { cfrac {1 } {r sin theta}} { frac { částečné sigma _ { theta phi}} { částečné phi}} + { cfrac {1} {r}} [( sigma _ { theta theta} - sigma _ { phi phi}) cot theta +3 sigma _ {r theta}] + F _ { theta} = rho ~ { frac { částečné ^ {2} u _ { theta}} { částečné t ^ {2}}} & { frac { částečné sigma _ {r phi}} { částečné r}} + { cfrac {1} {r} } { frac { částečné sigma _ { theta phi}} { částečné theta}} + { cfrac {1} {r sin theta}} { frac { částečné sigma _ { phi phi}} { částečné phi}} + { cfrac {1} {r}} (2 sig ma _ { theta phi} cot theta +3 sigma _ {r phi}) + F _ { phi} = rho ~ { frac { částečné ^ {2} u _ { phi}} { částečné t ^ {2}}} end {zarovnáno}}}$

Sférické souřadnice (r, θ, φ) jak se běžně používá v fyzika: radiální vzdálenost r, polární úhel θ (theta ) a azimutální úhel φ (phi ). Symbol ρ (rho ) se často používá místo r.

Tenzor deformace ve sférických souřadnicích je

${ displaystyle { begin {aligned} varepsilon _ {rr} & = { frac { částečné u_ {r}} { částečné r}} varepsilon _ { theta theta} & = { frac {1} {r}} left ({ frac { částečné u _ { theta}} { částečné theta}} + u_ {r} pravé) varepsilon _ { phi phi} & = { frac {1} {r sin theta}} left ({ frac { částečné u _ { phi}} { částečné phi}} + u_ {r} sin theta + u _ { theta } cos theta right) varepsilon _ {r theta} & = { frac {1} {2}} left ({ frac {1} {r}} { frac { částečné u_ {r}} { částečné theta}} + { frac { částečné u _ { theta}} { částečné r}} - { frac {u _ { theta}} {r}} vpravo) varepsilon _ { theta phi} & = { frac {1} {2r}} left [{ frac {1} { sin theta}} { frac { částečný u _ { theta}} { částečné phi}} + levé ({ frac { částečné u _ { phi}} { částečné theta}} - u _ { phi} cot theta pravé) pravé] varepsilon _ {r phi} & = { frac {1} {2}} vlevo ({ frac {1} {r sin theta}} { frac { částečné u_ {r}} { částečné phi }} + { frac { částečné u _ { phi}} { částečné r}} - { frac {u _ { phi}} {r}} vpravo). end {zarovnáno}}}$

(An) izotropní (ne) homogenní médium

v izotropní médium, tenzor tuhosti dává vztah mezi napětími (výsledná vnitřní napětí) a napětími (výsledné deformace). U izotropního média nemá tenzor tuhosti žádný preferovaný směr: aplikovaná síla způsobí stejná posunutí (vzhledem ke směru síly) bez ohledu na směr, ve kterém je síla aplikována. V izotropním případě lze zapsat tenzor tuhosti:

${ displaystyle C_ {ijkl} = K , delta _ {ij} , delta _ {kl} + mu , ( delta _ {ik} delta _ {jl} + delta _ {il} delta _ {jk} - textstyle { frac {2} {3}} , delta _ {ij} , delta _ {kl}) , !}$^{[Citace je zapotřebí ]}

kde ${ displaystyle delta _ {ij} , !}$ je Kroneckerova delta, K. je objemový modul (nebo nestlačitelnost) a ${ displaystyle mu , !}$ je tažný modul (nebo tuhost), dva elastické moduly. Pokud je médium nehomogenní, je izotropní model rozumný, pokud je médium po částech konstantní nebo slabě nehomogenní; v silně nehomogenním hladkém modelu je třeba počítat s anizotropií. Pokud médium je homogenní, pak budou moduly pružnosti nezávislé na poloze v médiu. Konstitutivní rovnice může být nyní zapsána jako:

${ displaystyle sigma _ {ij} = K delta _ {ij} varepsilon _ {kk} +2 mu ( varepsilon _ {ij} - textstyle { frac {1} {3}} delta _ {ij} varepsilon _ {kk}). , !}$

Tento výraz odděluje napětí na skalární část vlevo, která může být spojena se skalárním tlakem, a stopovou část vpravo, která může být spojena se smykovými silami. Jednodušší výraz je:^[3]

${ displaystyle sigma _ {ij} = lambda delta _ {ij} varepsilon _ {kk} +2 mu varepsilon _ {ij} , !}$^[4]

kde λ je Laméův první parametr. Protože konstitutivní rovnice je jednoduše sada lineárních rovnic, napětí může být vyjádřeno jako funkce napětí jako:^[5]

${ displaystyle varepsilon _ {ij} = { frac {1} {9K}} delta _ {ij} sigma _ {kk} + { frac {1} {2 mu}} vlevo ( sigma _ {ij} - textstyle { frac {1} {3}} delta _ {ij} sigma _ {kk} vpravo) , !}$

což je opět skalární část vlevo a nevystopovatelná smyková část vpravo. Jednodušší:

${ displaystyle varepsilon _ {ij} = { frac {1} {2 mu}} sigma _ {ij} - { frac { nu} {E}} delta _ {ij} sigma _ { kk} = { frac {1} {E}} [(1+ nu) sigma _ {ij} - nu delta _ {ij} sigma _ {kk}] , !}$

kde ${ displaystyle nu , !}$ je Poissonův poměr a ${ displaystyle E , !}$ je Youngův modul.

Elastostatika

Elastostatika je studium lineární pružnosti za podmínek rovnováhy, kdy se všechny síly na elastickém těle sčítají k nule a posuny nejsou funkcí času. The rovnovážné rovnice jsou tedy

${ displaystyle sigma _ {ji, j} + F_ {i} = 0. , !}$

Inženýrská notace (tau je smykové napětí )

${ displaystyle { frac { částečné sigma _ {x}} { částečné x}} + { frac { částečné tau _ {yx}} { částečné y}} + { frac { částečné tau _ {zx}} { částečné z}} + F_ {x} = 0 , !}$ ${ displaystyle { frac { částečné tau _ {xy}} { částečné x}} + { frac { částečné sigma _ {y}} { částečné y}} + { frac { částečné tau _ {zy}} { částečné z}} + F_ {y} = 0 , !}$ ${ displaystyle { frac { částečné tau _ {xz}} { částečné x}} + { frac { částečné tau _ {yz}} { částečné y}} + { frac { částečné sigma _ {z}} { částečné z}} + F_ {z} = 0 , !}$

Tato část pojednává pouze o izotropním homogenním případě.

Formulace posunutí

V tomto případě jsou posuny předepsány všude na hranici. V tomto přístupu jsou kmeny a napětí vyloučeny z formulace, přičemž posuny zůstávají jako neznámé, které mají být řešeny v řídících rovnicích. Nejprve jsou rovnice deformace-posunutí nahrazeny konstitutivními rovnicemi (Hookeův zákon), což eliminuje kmeny jako neznámé:

${ displaystyle { begin {aligned} sigma _ {ij} & = lambda delta _ {ij} varepsilon _ {kk} +2 mu varepsilon _ {ij} & = lambda delta _ {ij} u_ {k, k} + mu left (u_ {i, j} + u_ {j, i} right). end {aligned}} , !}$

Diferenciace (za předpokladu ${ displaystyle lambda , !}$ a ${ displaystyle mu , !}$ jsou prostorově jednotné) výnosy:

${ displaystyle sigma _ {ij, j} = lambda u_ {k, ki} + mu left (u_ {i, jj} + u_ {j, ij} right). , !}$

Dosazením do rovnovážné rovnice se získá:

${ displaystyle lambda u_ {k, ki} + mu left (u_ {i, jj} + u_ {j, ij} right) + F_ {i} = 0 , !}$

nebo (nahrazení dvojitých (fiktivních) (= součtových) indexů k, k j, j a záměna indexů, ij na, ji po, na základě Schwarzova věta )

${ displaystyle mu u_ {i, jj} + ( mu + lambda) u_ {j, ji} + F_ {i} = 0 , !}$

kde ${ displaystyle lambda , !}$ a ${ displaystyle mu , !}$ jsou Lamé parametry Tímto způsobem zůstávají jediné neznámé posunutí, odtud název této formulace. Řídící rovnice získané tímto způsobem se nazývají elastostatické rovnice, zvláštní případ Navier-Cauchyovy rovnice uvedeny níže.

Odvození Navier-Cauchyových rovnic ve strojírenské notaci

Nejprve ${ displaystyle x , !}$- bude zvážen směr. Dosazením rovnic deformace a posunu do rovnovážné rovnice v ${ displaystyle x , !}$- máme směr ${ displaystyle sigma _ {x} = 2 mu varepsilon _ {x} + lambda ( varepsilon _ {x} + varepsilon _ {y} + varepsilon _ {z}) = 2 mu { frac { částečné u_ {x}} { částečné x}} + lambda vlevo ({ frac { částečné u_ {x}} { částečné x}} + { frac { částečné u_ {y}} { částečné y}} + { frac { částečné u_ {z}} { částečné z}} vpravo) , !}$ ${ displaystyle tau _ {xy} = mu gamma _ {xy} = mu vlevo ({ frac { částečné u_ {x}} { částečné y}} + { frac { částečné u_ { y}} { částečné x}} vpravo) , !}$ ${ displaystyle tau _ {xz} = mu gamma _ {zx} = mu doleva ({ frac { částečné u_ {z}} { částečné x}} + { frac { částečné u_ { x}} { částečné z}} vpravo) , !}$ Poté dosazení těchto rovnic do rovnovážné rovnice v ${ displaystyle x , !}$- máme směr ${ displaystyle { frac { částečné sigma _ {x}} { částečné x}} + { frac { částečné tau _ {yx}} { částečné y}} + { frac { částečné tau _ {zx}} { částečné z}} + F_ {x} = 0 , !}$ ${ displaystyle { frac { částečné} { částečné x}} levé (2 mu { frac { částečné u_ {x}} { částečné x}} + lambda levé ({ frac { částečné u_ {x}} { částečné x}} + { frac { částečné u_ {y}} { částečné y}} + { frac { částečné u_ {z}} { částečné z}} vpravo ) vpravo) + mu { frac { částečné} { částečné y}} vlevo ({ frac { částečné u_ {x}} { částečné y}} + { frac { částečné u_ {y }} { částečné x}} pravé) + mu { frac { částečné} { částečné z}} levé ({ frac { částečné u_ {z}} { částečné x}} + { frac { částečné u_ {x}} { částečné z}} pravé) + F_ {x} = 0 , !}$ S využitím předpokladu, že ${ displaystyle mu}$ a ${ displaystyle lambda}$ jsou konstantní, můžeme je změnit a získat: ${ displaystyle left ( lambda + mu right) { frac { částečné} { částečné x}} vlevo ({ frac { částečné u_ {x}} { částečné x}} + { frac { částečné u_ {y}} { částečné y}} + { frac { částečné u_ {z}} { částečné z}} pravé) + mu levé ({ frac { částečné ^ { 2} u_ {x}} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} u_ {x}} { částečné y ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} u_ {x}} { částečné z ^ {2}}} vpravo) + F_ {x} = 0 , !}$ Stejný postup platí pro ${ displaystyle y , !}$-směr a ${ displaystyle z , !}$- máme směr ${ displaystyle left ( lambda + mu right) { frac { částečné} { částečné y}} left ({ frac { částečné u_ {x}} { částečné x}} + { frac { částečné u_ {y}} { částečné y}} + { frac { částečné u_ {z}} { částečné z}} pravé) + mu levé ({ frac { částečné ^ { 2} u_ {y}} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} u_ {y}} { částečné y ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} u_ {y}} { částečné z ^ {2}}} vpravo) + F_ {y} = 0 , !}$ ${ displaystyle left ( lambda + mu right) { frac { částečné} { částečné z}} vlevo ({ frac { částečné u_ {x}} { částečné x}} + { frac { částečné u_ {y}} { částečné y}} + { frac { částečné u_ {z}} { částečné z}} pravé) + mu levé ({ frac { částečné ^ { 2} u_ {z}} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} u_ {z}} { částečné y ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} u_ {z}} { částečné z ^ {2}}} vpravo) + F_ {z} = 0 , !}$ Tyto poslední 3 rovnice jsou Navier-Cauchyovy rovnice, které lze také vyjádřit vektorovým zápisem jako ${ displaystyle ( lambda + mu) nabla ( nabla cdot mathbf {u}) + mu nabla ^ {2} mathbf {u} + mathbf {F} = 0 , !}$

Jakmile bylo vypočítáno pole posunutí, mohou být posuny nahrazeny rovnicemi deformace a deformace pro řešení deformací, které se později použijí v konstitutivních rovnicích pro řešení napětí.

Biharmonická rovnice

Elastostatickou rovnici lze napsat:

${ displaystyle ( alpha ^ {2} - beta ^ {2}) u_ {j, ij} + beta ^ {2} u_ {i, mm} = - F_ {i}. , !}$

Užívání divergence obou stran elastostatické rovnice a za předpokladu, že tělesné síly mají nulovou divergenci (homogenní v doméně) (${ displaystyle F_ {i, i} = 0 , !}$) my máme

${ displaystyle ( alpha ^ {2} - beta ^ {2}) u_ {j, iij} + beta ^ {2} u_ {i, imm} = 0. , !}$

Konstatujeme, že sečtené indexy se nemusí shodovat a že částečné derivace dojíždějí, dva rozdílné termíny jsou považovány za stejné a máme:

${ displaystyle alpha ^ {2} u_ {j, iij} = 0 , !}$

z čehož usuzujeme, že:

${ displaystyle u_ {j, iij} = 0. , !}$

Užívání Laplacian obou stran elastostatické rovnice a za předpokladu, že navíc ${ displaystyle F_ {i, kk} = 0 , !}$, my máme

${ displaystyle ( alpha ^ {2} - beta ^ {2}) u_ {j, kkij} + beta ^ {2} u_ {i, kkmm} = 0. , !}$

Z rovnice divergence je první člen nalevo nula (Poznámka: opět se nemusí shodovat sečtené indexy) a máme:

${ displaystyle beta ^ {2} u_ {i, kkmm} = 0 , !}$

z čehož usuzujeme, že:

${ displaystyle u_ {i, kkmm} = 0 , !}$

nebo ve volné souřadnicové notaci ${ displaystyle nabla ^ {4} mathbf {u} = 0 , !}$ což je právě biharmonická rovnice v ${ displaystyle mathbf {u} , !}$.

Stresová formulace

V tomto případě jsou povrchové trakce předepsány všude na hranici povrchu. V tomto přístupu jsou napětí a posuny eliminovány a napětí zůstávají jako neznámá, která mají být řešena v řídících rovnicích. Jakmile je stresové pole nalezeno, kmeny jsou poté nalezeny pomocí konstitutivních rovnic.

Je třeba určit šest nezávislých složek tenzoru napětí, přesto ve formulaci posunutí existují pouze tři složky vektoru posunutí, které je třeba určit. To znamená, že na tenzor napětí musí být kladena určitá omezení, aby se snížil počet stupňů volnosti na tři. Pomocí konstitutivních rovnic jsou tato omezení odvozena přímo z odpovídajících omezení, která musí platit pro tenzor přetvoření, který má také šest nezávislých komponent. Omezení tenzoru přetvoření lze odvodit přímo z definice tenzoru přetvoření jako funkce pole vektoru posunutí, což znamená, že tato omezení nezavádějí žádné nové koncepty ani informace. Právě omezení tenzoru přetvoření jsou nejsnadněji pochopitelná. Pokud je elastické médium zobrazeno jako sada nekonečně malých kostek v nenapjatém stavu, pak po napnutí média musí libovolný tenzor přetažení poskytnout situaci, ve které zkreslené kostky do sebe stále zapadají bez překrývání. Jinými slovy, pro daný kmen musí existovat spojité vektorové pole (posunutí), ze kterého lze tento tenzor napětí odvodit. Omezení tenzoru přetvoření, která jsou nutná k zajištění toho, že tomu tak je, objevila Saint Venant a jsou nazývána „Rovnice kompatibility se Svatým Venantem ". Jedná se o 81 rovnic, z nichž 6 jsou nezávislé netriviální rovnice, které se vztahují k různým složkám kmene. Ty jsou vyjádřeny v indexové notaci jako:

${ displaystyle varepsilon _ {ij, km} + varepsilon _ {km, ij} - varepsilon _ {ik, jm} - varepsilon _ {jm, ik} = 0. , !}$

Inženýrská notace

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} epsilon _ {x}} { částečné y ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} epsilon _ {y}} { částečné x ^ {2}}} = 2 { frac { částečné ^ {2} epsilon _ {xy}} { částečné x částečné y}} , !}$ ${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} epsilon _ {y}} { částečné z ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} epsilon _ {z}} { částečné y ^ {2}}} = 2 { frac { částečné ^ {2} epsilon _ {yz}} { částečné y částečné z}} , !}$ ${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} epsilon _ {x}} { částečné z ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} epsilon _ {z}} { částečné x ^ {2}}} = 2 { frac { částečné ^ {2} epsilon _ {zx}} { částečné z částečné x}} , !}$ ${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} epsilon _ {x}} { částečné y částečné z}} = { frac { částečné} { částečné x}} vlevo (- { frac { částečné epsilon _ {yz}} { částečné x}} + { frac { částečné epsilon _ {zx}} { částečné y}} + { frac { částečné epsilon _ {xy}} { částečné z}} pravé) , !}$ ${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} epsilon _ {y}} { částečné z částečné x}} = { frac { částečné} { částečné y}} vlevo ({ frac { částečné epsilon _ {yz}} { částečné x}} - { frac { částečné epsilon _ {zx}} { částečné y}} + { frac { částečné epsilon _ {xy}} { částečné z}} pravé) , !}$ ${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} epsilon _ {z}} { částečné x částečné y}} = { frac { částečné} { částečné z}} vlevo ({ frac { částečné epsilon _ {yz}} { částečné x}} + { frac { částečné epsilon _ {zx}} { částečné y}} - { frac { částečné epsilon _ {xy}} { částečné z}} pravé) , !}$

Kmeny v této rovnici jsou poté vyjádřeny pomocí napětí pomocí konstitutivních rovnic, což vede k odpovídajícím omezením tenzoru napětí. Tato omezení tenzoru napětí jsou známá jako Beltrami-Michell rovnice kompatibility:

${ displaystyle sigma _ {ij, kk} + { frac {1} {1+ nu}} sigma _ {kk, ij} + F_ {i, j} + F_ {j, i} + { frac { nu} {1- nu}} delta _ {i, j} F_ {k, k} = 0. , !}$

Ve speciální situaci, kdy je síla těla homogenní, se výše uvedené rovnice redukují na

${ displaystyle (1+ nu) sigma _ {ij, kk} + sigma _ {kk, ij} = 0. , !}$^[6]

Nutnou, ale nedostatečnou podmínkou kompatibility v této situaci je ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} ^ {4} { boldsymbol { sigma}} = { boldsymbol {0}}}$ nebo ${ displaystyle sigma _ {ij, kk ell ell} = 0}$.^[1]

Tato omezení spolu s rovnovážnou rovnicí (nebo pohybovou rovnicí pro elastodynamiku) umožňují výpočet pole tenzoru napětí. Jakmile je napěťové pole vypočítáno z těchto rovnic, lze kmeny získat z konstitutivních rovnic a pole posunutí z rovnic deformace-posunutí.

Alternativní technikou řešení je vyjádření tenzoru napětí z hlediska stresové funkce které automaticky dávají řešení rovnovážné rovnice. Stresové funkce se poté řídí jedinou diferenciální rovnicí, která odpovídá rovnicím kompatibility.

Řešení pro elastostatické případy

Thomsonovo řešení - bodová síla v nekonečném izotropním prostředí

Nejdůležitějším řešením Navier-Cauchyho nebo elastostatické rovnice je řešení síly působící v bodě v nekonečném izotropním prostředí. Toto řešení našel William Thomson (později lord Kelvin) v roce 1848 (Thomson 1848). Toto řešení je obdobou Coulombův zákon v elektrostatika. Odvození je uvedeno v Landau & Lifshitz.[7]:§8 Definování ${ displaystyle a = 1-2 nu , !}$ ${ displaystyle b = 2 (1- nu) = a + 1 , !}$ kde ${ displaystyle nu , !}$ je Poissonův poměr, lze řešení vyjádřit jako ${ displaystyle u_ {i} = G_ {ik} F_ {k} , !}$ kde ${ displaystyle F_ {k} , !}$ je vektor síly aplikovaný v bodě a ${ displaystyle G_ {ik} , !}$ je tenzor Greenova funkce který může být napsán v Kartézské souřadnice tak jako: ${ displaystyle G_ {ik} = { frac {1} {4 pi mu r}} left [ left (1 - { frac {1} {2b}} right) delta _ {ik} + { frac {1} {2b}} { frac {x_ {i} x_ {k}} {r ^ {2}}} vpravo] , !}$ Může být také kompaktně napsán jako: ${ displaystyle G_ {ik} = { frac {1} {4 pi mu}} vlevo [{ frac { delta _ {ik}} {r}} - { frac {1} {2b} } { frac { částečné ^ {2} r} { částečné x_ {i} částečné x_ {k}}} vpravo] , !}$ a může to být výslovně napsáno jako: ${ displaystyle G_ {ik} = { frac {1} {4 pi mu r}} { begin {bmatrix} 1 - { frac {1} {2b}} + { frac {1} {2b }} { frac {x ^ {2}} {r ^ {2}}} & { frac {1} {2b}} { frac {xy} {r ^ {2}}} & { frac { 1} {2b}} { frac {xz} {r ^ {2}}} { frac {1} {2b}} { frac {yx} {r ^ {2}}} a 1 - { frac {1} {2b}} + { frac {1} {2b}} { frac {y ^ {2}} {r ^ {2}}} a { frac {1} {2b}} { frac {yz} {r ^ {2}}} { frac {1} {2b}} { frac {zx} {r ^ {2}}} & { frac {1} {2b}} { frac {zy} {r ^ {2}}} a 1 - { frac {1} {2b}} + { frac {1} {2b}} { frac {z ^ {2}} {r ^ { 2}}} end {bmatrix}} , !}$ Ve válcových souřadnicích (${ displaystyle rho, phi, z , !}$) může být napsán jako: ${ displaystyle G_ {ik} = { frac {1} {4 pi mu r}} { begin {bmatrix} 1 - { frac {1} {2b}} { frac {z ^ {2} } {r ^ {2}}} & 0 & { frac {1} {2b}} { frac { rho z} {r ^ {2}}} 0 & 1 - { frac {1} {2b}} & 0 { frac {1} {2b}} { frac {z rho} {r ^ {2}}} & 0 a 1 - { frac {1} {2b}} { frac { rho ^ {2 }} {r ^ {2}}} end {bmatrix}} , !}$ kde r je celková vzdálenost k bodu. Je obzvláště užitečné zapsat posunutí ve válcových souřadnicích pro bodovou sílu ${ displaystyle F_ {z} , !}$ směřující podél osy z. Definování ${ displaystyle { hat { mathbf { rho}}} , !}$ a ${ displaystyle { hat { mathbf {z}}} , !}$ jako jednotkové vektory v ${ displaystyle rho , !}$ a ${ displaystyle z , !}$ směry, respektive výnosy: ${ displaystyle mathbf {u} = { frac {F_ {z}} {4 pi mu r}} left [{ frac {1} {4 (1- nu)}}} , { frac { rho z} {r ^ {2}}} { hat { mathbf { rho}}} + left (1 - { frac {1} {4 (1- nu)}} , { frac { rho ^ {2}} {r ^ {2}}} vpravo) { hat { mathbf {z}}} vpravo] , !}$ Je vidět, že existuje složka posunutí ve směru síly, která se zmenšuje, jako je tomu v případě elektrostatického potenciálu, jako 1 / r pro velké r. K dispozici je také další komponenta zaměřená na ρ.

Boussinesq-Cerrutiho řešení - bodová síla na počátku nekonečného izotropního poloprostoru

Dalším užitečným řešením je řešení bodové síly působící na povrch nekonečného poloprostoru. To bylo odvozeno od Boussinesq[8] pro normální sílu a Cerruti pro tangenciální sílu a odvození je uvedeno v Landau & Lifshitz.[7]:§8 V tomto případě je řešení opět zapsáno jako Greenův tenzor, který jde na nulu v nekonečnu, a složka tenzoru napětí kolmá k povrchu zmizí. Toto řešení lze zapsat v kartézských souřadnicích jako [poznámka: a = (1-2ν) a b = 2 (1-ν), ν == Poissons poměr]: ${ displaystyle G_ {ik} = { frac {1} {4 pi mu}} { begin {bmatrix} { frac {b} {r}} + { frac {x ^ {2}} { r ^ {3}}} - { frac {ax ^ {2}} {r (r + z) ^ {2}}} - { frac {az} {r (r + z)}} & { frac {xy} {r ^ {3}}} - { frac {axy} {r (r + z) ^ {2}}} & { frac {xz} {r ^ {3}}} - { frac {ax} {r (r + z)}} { frac {yx} {r ^ {3}}} - { frac {ayx} {r (r + z) ^ {2}}} & { frac {b} {r}} + { frac {y ^ {2}} {r ^ {3}}} - { frac {ay ^ {2}} {r (r + z) ^ {2 }}} - { frac {az} {r (r + z)}} & { frac {yz} {r ^ {3}}} - { frac {ay} {r (r + z)}} { frac {zx} {r ^ {3}}} - { frac {ax} {r (r + z)}} & { frac {zy} {r ^ {3}}} - { frac {ay} {r (r + z)}} & { frac {b} {r}} + { frac {z ^ {2}} {r ^ {3}}} end {bmatrix}} , !}$

Další řešení:

• Bodová síla uvnitř nekonečného izotropního poloprostoru.^[9]
• Bodová síla na povrchu izotropního poloprostoru.^[6]
• Kontakt dvou elastických těles: Hertzovo řešení (viz Matlab kód ).^[10] Viz také stránka na Kontaktujte mechaniky.

Elastodynamika z hlediska posunutí

Tato sekce potřebuje expanzi s: více principů, stručné vysvětlení ke každému typu vlny. Můžete pomoci přidávat k tomu. (mluvit) (Září 2010)

Elastodynamika je studium elastické vlny a zahrnuje lineární pružnost s variací v čase. An elastická vlna je typ mechanická vlna který se šíří v elastickém nebo viskoelastický materiály. Pružnost materiálu zajišťuje obnovení platnost vlny. Když k nim dojde v Země jako výsledek zemětřesení nebo jiné poruchy se obvykle nazývají elastické vlny seismické vlny.

Rovnice lineární hybnosti je jednoduše rovnovážná rovnice s dalším setrvačným členem:

${ displaystyle sigma _ {ji, j} + F_ {i} = rho , { ddot {u}} _ {i} = rho , částečný _ {tt} u_ {i}. , !}$

Pokud se materiál řídí anizotropním Hookovým zákonem (s tenzorem tuhosti homogenním v celém materiálu), získá se rovnice posunutí elastodynamiky:

${ displaystyle left (C_ {ijkl} u _ {(k}, _ {l)} right), _ {j} + F_ {i} = rho { ddot {u}} _ {i}. , !}$

Pokud je materiál izotropní a homogenní, získá se Navier-Cauchyova rovnice:

${ displaystyle mu u_ {i, jj} + ( mu + lambda) u_ {j, ij} + F_ {i} = rho částečný _ {tt} u_ {i} quad mathrm {nebo} quad mu nabla ^ {2} mathbf {u} + ( mu + lambda) nabla ( nabla cdot mathbf {u}) + mathbf {F} = rho { frac { částečné ^ {2} mathbf {u}} { částečné t ^ {2}}}. , !}$

Rovnici elastodynamické vlny lze také vyjádřit jako

${ displaystyle ( delta _ {kl} částečný _ {tt} -A_ {kl} [ nabla]) , u_ {l} = { frac {1} { rho}} F_ {k} , !}$

kde

${ displaystyle A_ {kl} [ nabla] = { frac {1} { rho}} , částečné _ {i} , C_ {iklj} , částečné _ {j} , !}$

je operátor akustického diferenciálu, a ${ displaystyle delta _ {kl} , !}$ je Kroneckerova delta.

v izotropní média, má tenzor tuhosti tvar

${ displaystyle C_ {ijkl} = K , delta _ {ij} , delta _ {kl} + mu , ( delta _ {ik} delta _ {jl} + delta _ {il} delta _ {jk} - { frac {2} {3}} , delta _ {ij} , delta _ {kl}) , !}$

kde${ displaystyle K , !}$ je objemový modul (nebo nestlačitelnost) a${ displaystyle mu , !}$ je tažný modul (nebo tuhost), dva elastické moduly. Pokud je materiál homogenní (tj. Tenzor tuhosti je v celém materiálu konstantní), stane se akustický operátor:

${ displaystyle A_ {ij} [ nabla] = alpha ^ {2} částečné _ {i} částečné _ {j} + beta ^ {2} ( částečné _ {m} částečné _ {m} delta _ {ij} - částečné _ {i} částečné _ {j}) , !}$

Pro rovinné vlny, výše uvedený operátor diferenciálu se stává akustický algebraický operátor:

${ displaystyle A_ {ij} [ mathbf {k}] = alpha ^ {2} k_ {i} k_ {j} + beta ^ {2} (k_ {m} k_ {m} delta _ {ij } -k_ {i} k_ {j}) , !}$

kde

${ displaystyle alpha ^ {2} = vlevo (K + { frac {4} {3}} mu vpravo) / rho qquad beta ^ {2} = mu / rho , ! }$

jsou vlastní čísla z ${ displaystyle A [{ hat { mathbf {k}}}] , !}$ s vlastní vektory ${ displaystyle { hat { mathbf {u}}} , !}$ rovnoběžné a kolmé ke směru šíření ${ displaystyle { hat { mathbf {k}}} , !}$, resp. Přidružené vlny se nazývají podélný a stříhat elastické vlny. V seismologické literatuře se odpovídající rovinné vlny nazývají P-vlny a S-vlny (viz Seismická vlna ).

Elastodynamika z hlediska napětí

Odstranění posunů a deformací z řídících rovnic vede k Ignaczakova rovnice elastodynamiky^[11]

${ displaystyle left ( rho ^ {- 1} sigma _ {(ik}, _ {k} right), _ {j)} - S_ {ijkl} { ddot { sigma}} _ {kl } + left ( rho ^ {- 1} F _ {(i} right), _ {j)} = 0. , !}$

V případě místní izotropie se to snižuje na

${ displaystyle left ( rho ^ {- 1} sigma _ {(ik}, _ {k} right), _ {j)} - { frac {1} {2 mu}} left ( { ddot { sigma}} _ {ij} - { frac { lambda} {3 lambda +2 mu}} { ddot { sigma}} _ {kk} delta _ {ij} vpravo ) + left ( rho ^ {- 1} F _ {(i} right), _ {j)} = 0. , !}$

Mezi hlavní charakteristiky této formulace patří: (1) vyhýbá se gradientům shody, ale zavádí gradienty hustoty hmoty; (2) lze jej odvodit z variačního principu; (3) je výhodné pro řešení problémů počáteční a hraniční hodnoty trakce, (4) umožňuje tenzorovou klasifikaci elastických vln, (5) nabízí řadu aplikací v problémech šíření elastických vln; (6) can be extended to dynamics of classical or micropolar solids with interacting fields of diverse types (thermoelastic, fluid-saturated porous, piezoelectro-elastic...) as well as nonlinear media.

Anisotropic homogeneous media

For anisotropic media, the stiffness tensor ${displaystyle C_{ijkl},!}$ je složitější. The symmetry of the stress tensor ${displaystyle sigma _{ij},!}$ means that there are at most 6 different elements of stress. Similarly, there are at most 6 different elements of the strain tensor ${displaystyle varepsilon _{ij},!}$ . Hence the fourth-order stiffness tensor ${displaystyle C_{ijkl},!}$ may be written as a matrix ${displaystyle C_{alpha eta },!}$ (a tensor of second order). Voigtova notace is the standard mapping for tensor indices,

${displaystyle {egin{matrix}ij&=Downarrow &alpha &=end{matrix}}{egin{matrix}11&22&33&23,32&13,31&12,21Downarrow &Downarrow &Downarrow &Downarrow &Downarrow &Downarrow &1&2&3&4&5&6end{matrix}},!}$

With this notation, one can write the elasticity matrix for any linearly elastic medium as:

${displaystyle C_{ijkl}Rightarrow C_{alpha eta }={egin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}end{bmatrix}}.,!}$

As shown, the matrix ${displaystyle C_{alpha eta },!}$ is symmetric, this is a result of the existence of a strain energy density function which satisfies ${displaystyle sigma _{ij}={frac {partial W}{partial varepsilon _{ij}}}}$. Hence, there are at most 21 different elements of ${displaystyle C_{alpha eta },!}$.

The isotropic special case has 2 independent elements:

${displaystyle C_{alpha eta }={egin{bmatrix}K+4mu /3&K-2mu /3&K-2mu /3&0&0&0K-2mu /3&K+4mu /3&K-2mu /3&0&0&0K-2mu /3&K-2mu /3&K+4mu /3&0&0&0�&0&0&mu &0&0�&0&0&0&mu &0�&0&0&0&0&mu end{bmatrix}}.,!}$