Teorie konečných deformací - Finite strain theory

v mechanika kontinua, teorie konečných deformací-také zvaný teorie velkého přetvořenínebo teorie velkých deformací-vypořádat se deformace ve kterých jsou natažení a / nebo rotace dostatečně velké, aby zneplatnily předpoklady inherentní nekonečně malá teorie napětí. V tomto případě jsou nedeformované a deformované konfigurace kontinua významně odlišné, což vyžaduje jasný rozdíl mezi nimi. To je obvykle případ elastomery, plasticky deformující materiály a další tekutiny a biologický měkké tkáně.

Přemístění

Obrázek 1. Pohyb těla kontinua.

Posunutí těla má dvě složky: a tuhé tělo posunutí a deformace.

• Posunutí tuhého těla se skládá ze simultánního překlad (fyzika) a rotace těla bez změny jeho tvaru nebo velikosti.
• Deformace implikuje změnu tvaru a / nebo velikosti těla z počáteční nebo nedeformované konfigurace ${ displaystyle kappa _ {0} ({ mathcal {B}}) , !}$ do aktuální nebo deformované konfigurace ${ displaystyle kappa _ {t} ({ mathcal {B}}) , !}$ (Obrázek 1).

Změna konfigurace těla kontinua může být popsána a pole posunutí. A pole posunutí je vektorové pole všech vektorů posunutí pro všechny částice v těle, což souvisí s deformovanou konfigurací s nedeformovanou konfigurací. Vzdálenost mezi jakýmikoli dvěma částicemi se mění právě tehdy, pokud došlo k deformaci. Pokud dojde k posunutí bez deformace, jedná se o posun tuhého těla.

Souřadnice materiálu (Lagrangeův popis)

Posun částic indexovaných proměnnou i lze vyjádřit následovně. Vektor spojující polohy částice v nedeformované konfiguraci ${ displaystyle P_ {i} , !}$ a deformovaná konfigurace ${ displaystyle p_ {i} , !}$ se nazývá vektor posunutí. Použitím ${ displaystyle mathbf {X} , !}$ namísto ${ displaystyle P_ {i} , !}$ a ${ displaystyle mathbf {x} , !}$ namísto ${ displaystyle p_ {i} , !}$, z nichž oba jsou vektory od počátku souřadnicového systému do každého příslušného bodu, máme Lagrangeovský popis vektoru posunutí:

${ displaystyle mathbf {u} ( mathbf {X}, t) = u_ {i} mathbf {e} _ {i} , !}$

Kde ${ displaystyle mathbf {e} _ {i} , !}$ jsou ortonormální jednotkové vektory které definují základ prostorového (laboratorního rámu) souřadnicového systému.

Vyjádřeno souřadnicemi materiálu je pole posunutí:

${ displaystyle mathbf {u} ( mathbf {X}, t) = mathbf {b} (t) + mathbf {x} ( mathbf {X}, t) - mathbf {X} qquad { text {or}} qquad u_ {i} = alpha _ {iJ} b_ {J} + x_ {i} - alpha _ {iJ} X_ {J} , !}$

Kde ${ displaystyle mathbf {b} (t)}$ je vektor posunutí představující překlad tuhého těla.

The parciální derivace vektoru posunutí vzhledem k materiálovým souřadnicím získá tenzor gradientu posunutí materiálu ${ displaystyle nabla _ { mathbf {X}} mathbf {u} , !}$. Tak máme

${ displaystyle { begin {aligned} nabla _ { mathbf {X}} mathbf {u} & = nabla _ { mathbf {X}} mathbf {x} - mathbf {I} = mathbf {F} - mathbf {I} qquad & { text {or}} & qquad { frac { částečné u_ {i}} { částečné X_ {K}}} = { frac { částečné x_ {i}} { částečné X_ {K}}} - delta _ {iK} = F_ {iK} - delta _ {iK} end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle mathbf {F} , !}$ je tenzor gradientu deformace.

Prostorové souřadnice (Eulerian popis)

V Eulerian popis, vektor vycházející z částice ${ displaystyle P , !}$ v nedeformované konfiguraci se její umístění v deformované konfiguraci nazývá vektor posunutí:

${ displaystyle mathbf {U} ( mathbf {x}, t) = U_ {J} mathbf {E} _ {J} , !}$

Kde ${ displaystyle mathbf {E} _ {i} , !}$ jsou jednotkové vektory, které definují základ souřadného systému materiálu (těla-rámu).

Vyjádřeno z hlediska prostorových souřadnic je pole posunutí:

${ displaystyle mathbf {U} ( mathbf {x}, t) = mathbf {b} (t) + mathbf {x} - mathbf {X} ( mathbf {x}, t) qquad { text {or}} qquad U_ {J} = b_ {J} + alpha _ {Ji} x_ {i} -X_ {J} , !}$

Dílčí derivace vektoru posunutí vzhledem k prostorovým souřadnicím poskytuje tenzor gradientu prostorového posunutí ${ displaystyle nabla _ { mathbf {x}} mathbf {U} , !}$. Tak máme

${ displaystyle { begin {aligned} nabla _ { mathbf {x}} mathbf {U} & = mathbf {I} - nabla _ { mathbf {x}} mathbf {X} = mathbf {I} - mathbf {F} ^ {- 1} qquad & { text {or}} & qquad { frac { částečné U_ {J}} { částečné x_ {k}}} = delta _ {Jk} - { frac { částečné X_ {J}} { částečné x_ {k}}} = delta _ {Jk} -F_ {Jk} ^ {- 1} ,. End {zarovnáno} }}$

Vztah mezi hmotným a prostorovým souřadným systémem

${ displaystyle alpha _ {Ji} , !}$ jsou směrové kosiny mezi hmotným a prostorovým souřadným systémem s jednotkovými vektory ${ displaystyle mathbf {E} _ {J} , !}$ a ${ displaystyle mathbf {e} _ {i} , !}$, resp. Tím pádem

${ displaystyle mathbf {E} _ {J} cdot mathbf {e} _ {i} = alpha _ {Ji} = alpha _ {iJ} , !}$

Vztah mezi ${ displaystyle u_ {i} , !}$ a ${ displaystyle U_ {J} , !}$ je pak dáno

${ displaystyle u_ {i} = alpha _ {iJ} U_ {J} qquad { text {nebo}} qquad U_ {J} = alpha _ {Ji} u_ {i} , !}$

To vím

${ displaystyle mathbf {e} _ {i} = alpha _ {iJ} mathbf {E} _ {J} , !}$

pak

${ displaystyle mathbf {u} ( mathbf {X}, t) = u_ {i} mathbf {e} _ {i} = u_ {i} ( alpha _ {iJ} mathbf {E} _ { J}) = U_ {J} mathbf {E} _ {J} = mathbf {U} ( mathbf {x}, t) , !}$

Kombinace souřadnicových systémů deformovaných a nedeformovaných konfigurací

Je běžné superponovat souřadnicové systémy pro deformované a nedeformované konfigurace, což má za následek ${ displaystyle mathbf {b} = 0 , !}$a stanou se kosinové směru Kroneckerovy delty, tj.

${ displaystyle mathbf {E} _ {J} cdot mathbf {e} _ {i} = delta _ {Ji} = delta _ {iJ} , !}$

V hmotných (nedeformovaných) souřadnicích lze tedy posun vyjádřit jako:

${ displaystyle mathbf {u} ( mathbf {X}, t) = mathbf {x} ( mathbf {X}, t) - mathbf {X} qquad { text {nebo}} qquad u_ {i} = x_ {i} - delta _ {iJ} X_ {J} , !}$

A v prostorových (deformovaných) souřadnicích může být posun vyjádřen jako:

${ displaystyle mathbf {U} ( mathbf {x}, t) = mathbf {x} - mathbf {X} ( mathbf {x}, t) qquad { text {nebo}} qquad U_ {J} = delta _ {Ji} x_ {i} -X_ {J} , !}$

Tenzor gradientu deformace

Obrázek 2. Deformace těla kontinua.

Tenzor gradientu deformace ${ displaystyle mathbf {F} ( mathbf {X}, t) = F_ {jK} mathbf {e} _ {j} otimes mathbf {I} _ {K} , !}$ souvisí s referenční i aktuální konfigurací, jak je patrné z jednotkových vektorů ${ displaystyle mathbf {e} _ {j} , !}$ a ${ displaystyle mathbf {I} _ {K} , !}$, proto se jedná o dvoubodový tenzor.

Vzhledem k předpokladu kontinuity ${ displaystyle chi ( mathbf {X}, t) , !}$, ${ displaystyle mathbf {F} , !}$ má inverzní ${ displaystyle mathbf {H} = mathbf {F} ^ {- 1} , !}$, kde ${ displaystyle mathbf {H} , !}$ je tenzor gradientu prostorové deformace. Pak, podle věta o implicitní funkci,^[1] the Jacobian určující ${ displaystyle J ( mathbf {X}, t) , !}$ musí být nesmyslný, tj. ${ displaystyle J ( mathbf {X}, t) = det mathbf {F} ( mathbf {X}, t) neq 0 , !}$

The tenzor gradientu deformace materiálu ${ displaystyle mathbf {F} ( mathbf {X}, t) = F_ {jK} mathbf {e} _ {j} otimes mathbf {I} _ {K} , !}$ je tenzor druhého řádu který představuje gradient funkce mapování nebo funkčního vztahu ${ displaystyle chi ( mathbf {X}, t) , !}$, který popisuje pohyb kontinua. Tenzor gradientu deformace materiálu charakterizuje lokální deformaci v materiálovém bodě s polohovým vektorem ${ displaystyle mathbf {X} , !}$, tj. deformace v sousedních bodech, transformací (lineární transformace ) prvek materiálové čáry vycházející z tohoto bodu z referenční konfigurace do aktuální nebo deformované konfigurace, za předpokladu kontinuity ve funkci mapování ${ displaystyle chi ( mathbf {X}, t) , !}$, tj. diferencovatelná funkce z ${ displaystyle mathbf {X} , !}$ a čas ${ displaystyle t , !}$, což z toho vyplývá praskliny a dutiny se během deformace neotvírají ani neuzavírají. Tak máme

${ displaystyle { begin {zarovnáno} d mathbf {x} & = { frac { částečné mathbf {x}} { částečné mathbf {X}}} , d mathbf {X} qquad & { text {or}} & qquad dx_ {j} = { frac { částečné x_ {j}} { částečné X_ {K}}} , dX_ {K} & = nabla chi ( mathbf {X}, t) , d mathbf {X} = mathbf {F} ( mathbf {X}, t) , d mathbf {X} qquad & { text {or}} & qquad dx_ {j} = F_ {jK} , dX_ {K} ,. end {zarovnáno}} , !}$

Vektor relativního posunutí

Zvažte a částice nebo materiál ${ displaystyle P , !}$ s vektorem polohy ${ displaystyle mathbf {X} = X_ {I} mathbf {I} _ {I} , !}$ v nedeformované konfiguraci (obrázek 2). Po posunutí těla byla nová poloha částice označena ${ displaystyle p , !}$ v nové konfiguraci je dána polohou vektoru ${ displaystyle mathbf {x} = x_ {i} mathbf {e} _ {i} , !}$. Souřadnicové systémy pro nedeformovanou a deformovanou konfiguraci lze z důvodu pohodlí překrýt.

Zvažte nyní věcný bod ${ displaystyle Q , !}$ sousední ${ displaystyle P , !}$, s vektorem polohy ${ displaystyle mathbf {X} + Delta mathbf {X} = (X_ {I} + Delta X_ {I}) mathbf {I} _ {I} , !}$. V deformované konfiguraci má tato částice novou polohu ${ displaystyle q , !}$ dané vektorem polohy ${ displaystyle mathbf {x} + Delta mathbf {x} , !}$. Za předpokladu, že úsečky ${ displaystyle Delta X , !}$ a ${ displaystyle Delta mathbf {x} , !}$ spojující částice ${ displaystyle P , !}$ a ${ displaystyle Q , !}$ jak v nedeformované, tak v deformované konfiguraci, aby byly velmi malé, pak je můžeme vyjádřit jako ${ displaystyle d mathbf {X} , !}$ a ${ displaystyle d mathbf {x} , !}$. Z obrázku 2 tedy máme

${ displaystyle { begin {zarovnáno} mathbf {x} + d mathbf {x} & = mathbf {X} + d mathbf {X} + mathbf {u} ( mathbf {X} + d mathbf {X}) d mathbf {x} & = mathbf {X} - mathbf {x} + d mathbf {X} + mathbf {u} ( mathbf {X} + d mathbf { X}) & = d mathbf {X} + mathbf {u} ( mathbf {X} + d mathbf {X}) - mathbf {u} ( mathbf {X}) & = d mathbf {X} + d mathbf {u} end {zarovnáno}} , !}$

kde ${ displaystyle mathbf {du} , !}$ je vektor relativního posunutí, což představuje relativní posunutí ${ displaystyle Q , !}$ s ohledem na ${ displaystyle P , !}$ v deformované konfiguraci.

Taylorova aproximace

Pro nekonečně malý prvek ${ displaystyle d mathbf {X} , !}$, a za předpokladu kontinuity v poli posunutí je možné použít a Taylor série expanze kolem bodu ${ displaystyle P , !}$zanedbáním podmínek vyššího řádu aproximovat složky vektoru relativního posunutí sousední částice ${ displaystyle Q , !}$ tak jako

${ displaystyle { begin {zarovnáno} mathbf {u} ( mathbf {X} + d mathbf {X}) & = mathbf {u} ( mathbf {X}) + d mathbf {u} quad & { text {or}} & quad u_ {i} ^ {*} = u_ {i} + du_ {i} & cca mathbf {u} ( mathbf {X}) + nabla _ { mathbf {X}} mathbf {u} cdot d mathbf {X} quad & { text {or}} & quad u_ {i} ^ {*} cca u_ {i} + { frac { částečné u_ {i}} { částečné X_ {J}}} dX_ {J} ,. end {zarovnané}} , !}$

Tedy předchozí rovnice ${ displaystyle d mathbf {x} = d mathbf {X} + d mathbf {u} , !}$ lze psát jako

${ displaystyle { begin {zarovnáno} d mathbf {x} & = d mathbf {X} + d mathbf {u} & = d mathbf {X} + nabla _ { mathbf {X} } mathbf {u} cdot d mathbf {X} & = left ( mathbf {I} + nabla _ { mathbf {X}} mathbf {u} right) d mathbf {X } & = mathbf {F} d mathbf {X} end {zarovnáno}} , !}$

Časová derivace deformačního gradientu

Výpočty, které zahrnují časově závislou deformaci těla, často vyžadují výpočet časové derivace deformačního gradientu. Geometricky konzistentní definice takové derivace vyžaduje exkurzi do diferenciální geometrie^[2] ale těmto problémům v tomto článku se vyhýbáme.

Časová derivace ${ displaystyle mathbf {F}}$ je

${ displaystyle { dot { mathbf {F}}} = { frac { částečné mathbf {F}} { částečné t}} = { frac { částečné} { částečné t}} vlevo [ { frac { částečné mathbf {x} ( mathbf {X}, t)} { částečné mathbf {X}}} doprava] = { frac { částečné} { částečné mathbf {X} }} left [{ frac { částečné mathbf {x} ( mathbf {X}, t)} { částečné t}} pravé] = { frac { částečné} { částečné mathbf {X }}} left [ mathbf {V} ( mathbf {X}, t) right]}$

kde ${ displaystyle mathbf {V}}$ je rychlost. Derivát na pravé straně představuje a gradient rychlosti materiálu. Je běžné převést to na prostorový gradient, tj.

${ displaystyle { dot { mathbf {F}}} = { frac { částečné} { částečné mathbf {X}}} vlevo [ mathbf {V} ( mathbf {X}, t) vpravo] = { frac { částečné} { částečné mathbf {x}}} vlevo [ mathbf {V} ( mathbf {X}, t) vpravo] cdot { frac { částečné mathbf {x} ( mathbf {X}, t)} { částečné mathbf {X}}} = { boldsymbol {l}} cdot mathbf {F}}$

kde ${ displaystyle { boldsymbol {l}}}$ je gradient prostorové rychlosti. Pokud je gradient prostorové rychlosti konstantní, lze výše uvedenou rovnici přesně vyřešit

${ displaystyle mathbf {F} = e ^ {{ boldsymbol {l}} , t}}$

za předpokladu ${ displaystyle mathbf {F} = mathbf {1}}$ na ${ displaystyle t = 0}$. Existuje několik metod výpočtu exponenciální výše.

Související veličiny často používané v mechanice kontinua jsou rychlost tenzoru deformace a spinový tenzor definováno jako:

${ displaystyle { boldsymbol {d}} = { tfrac {1} {2}} vlevo ({ boldsymbol {l}} + { boldsymbol {l}} ^ {T} vpravo) ,, ~ ~ { boldsymbol {w}} = { tfrac {1} {2}} left ({ boldsymbol {l}} - { boldsymbol {l}} ^ {T} right) ,.}$

Rychlost tenzoru deformace udává rychlost roztažení liniových prvků, zatímco tenzor rotace udává rychlost rotace nebo vířivost pohybu.

V analýzách, které zahrnují konečná přetvoření, je často nutná derivace inverzní k inverzi deformačního gradientu (udržování fixní referenční konfigurace). Tento derivát je

${ displaystyle { frac { částečné} { částečné t}} ( mathbf {F} ^ {- 1}) = - mathbf {F} ^ {- 1} cdot { dot { mathbf {F }}} cdot mathbf {F} ^ {- 1} ,.}$

Výše uvedený vztah lze ověřit pomocí derivace věcného času ${ displaystyle mathbf {F} ^ {- 1} cdot d mathbf {x} = d mathbf {X}}$ a to si všímat ${ displaystyle { dot { mathbf {X}}} = 0}$.

Transformace plošného a objemového prvku

K transformaci veličin, které jsou definovány s ohledem na oblasti v deformované konfiguraci, na ty relativní k oblastem v referenční konfiguraci a naopak, použijeme Nansonův vztah, vyjádřený jako

${ displaystyle da ~ mathbf {n} = J ~ dA ~ mathbf {F} ^ {- T} cdot mathbf {N} , !}$

kde ${ displaystyle da , !}$ je oblast oblasti v deformované konfiguraci, ${ displaystyle dA , !}$ je stejná oblast v referenční konfiguraci a ${ displaystyle mathbf {n} , !}$ je vnější normál k prvku oblasti v aktuální konfiguraci, zatímco ${ displaystyle mathbf {N} , !}$ je vnější normál v referenční konfiguraci, ${ displaystyle mathbf {F} , !}$ je gradient deformace, a ${ displaystyle J = det mathbf {F} , !}$.

Odpovídající vzorec pro transformaci prvku objemu je

${ displaystyle dv = J ~ dV , !}$

Odvození Nansonova vztahu (viz také [3])

Abychom zjistili, jak je tento vzorec odvozen, začneme s prvky orientované oblasti v referenční a aktuální konfiguraci: ${ displaystyle d mathbf {A} = dA ~ mathbf {N} ~; ~~ d mathbf {a} = da ~ mathbf {n} , !}$ Referenční a aktuální objemy prvku jsou ${ displaystyle dV = d mathbf {A} ^ {T} cdot d mathbf {L} ~; ~~ dv = d mathbf {a} ^ {T} cdot d mathbf {l} , !}$ kde ${ displaystyle d mathbf {l} = mathbf {F} cdot d mathbf {L} , !}$. Proto, ${ displaystyle d mathbf {a} ^ {T} cdot d mathbf {l} = dv = J ~ dV = J ~ d mathbf {A} ^ {T} cdot d mathbf {L} , !}$ nebo, ${ displaystyle d mathbf {a} ^ {T} cdot mathbf {F} cdot d mathbf {L} = dv = J ~ dV = J ~ d mathbf {A} ^ {T} cdot d mathbf {L} , !}$ tak, ${ displaystyle d mathbf {a} ^ {T} cdot mathbf {F} = J ~ d mathbf {A} ^ {T} , !}$ Takže máme ${ displaystyle d mathbf {a} = J ~ mathbf {F} ^ {- T} cdot d mathbf {A} , !}$ nebo, ${ displaystyle da ~ mathbf {n} = J ~ dA ~ mathbf {F} ^ {- T} cdot mathbf {N} qquad qquad square , !}$

Polární rozklad tenzoru gradientu deformace

Obrázek 3. Znázornění polárního rozkladu deformačního gradientu

Deformační gradient ${ displaystyle mathbf {F} , !}$, jako každý invertibilní tenzor druhého řádu, lze rozložit pomocí polární rozklad teorém do součinu dvou tenzorů druhého řádu (Truesdell a Noll, 1965): ortogonální tenzor a pozitivní určitý určitý symetrický tenzor, tj.

${ displaystyle mathbf {F} = mathbf {R} mathbf {U} = mathbf {V} mathbf {R} , !}$

kde tenzor ${ displaystyle mathbf {R} , !}$ je správný ortogonální tenzor, tj. ${ displaystyle mathbf {R} ^ {- 1} = mathbf {R} ^ {T} , !}$ a ${ displaystyle det mathbf {R} = + 1 , !}$, představující rotaci; tenzor ${ displaystyle mathbf {U} , !}$ je pravý napínací tenzor; a ${ displaystyle mathbf {V} , !}$ the levý napínací tenzor. Podmínky že jo a vlevo, odjet znamená, že jsou vpravo a vlevo od tenzoru rotace ${ displaystyle mathbf {R} , !}$, resp. ${ displaystyle mathbf {U} , !}$ a ${ displaystyle mathbf {V} , !}$ jsou oba pozitivní určitý, tj. ${ displaystyle mathbf {x} cdot mathbf {U} cdot mathbf {x}> 0 , !}$ a ${ displaystyle mathbf {x} cdot mathbf {V} cdot mathbf {x}> 0 , !}$ pro všechny nenulové ${ displaystyle mathbf {x} in mathbb {R} ^ {3}}$, a symetrické tenzory, tj. ${ displaystyle mathbf {U} = mathbf {U} ^ {T} , !}$ a ${ displaystyle mathbf {V} = mathbf {V} ^ {T} , !}$, druhého řádu.

Tento rozklad znamená, že deformace přímkového prvku ${ displaystyle d mathbf {X} , !}$ v nedeformované konfiguraci do ${ displaystyle d mathbf {x} , !}$ v deformované konfiguraci, tj. ${ displaystyle d mathbf {x} = mathbf {F} , d mathbf {X} , !}$, lze získat buď prvním natažením prvku o ${ displaystyle mathbf {U} , !}$, tj. ${ displaystyle d mathbf {x} '= mathbf {U} , d mathbf {X} , !}$, následovaná rotací ${ displaystyle mathbf {R} , !}$, tj. ${ displaystyle d mathbf {x} '= mathbf {R} , d mathbf {x} , !}$; nebo ekvivalentně působením tuhé rotace ${ displaystyle mathbf {R} , !}$ první, tj. ${ displaystyle d mathbf {x} '= mathbf {R} , d mathbf {X} , !}$, následovaný později strečinkem ${ displaystyle mathbf {V} , !}$, tj. ${ displaystyle d mathbf {x} '= mathbf {V} , d mathbf {x} , !}$ (Viz obrázek 3).

Kvůli ortogonalitě ${ displaystyle mathbf {R}}$

${ displaystyle mathbf {V} = mathbf {R} cdot mathbf {U} cdot mathbf {R} ^ {T} , !}$

aby ${ displaystyle mathbf {U} , !}$ a ${ displaystyle mathbf {V} , !}$ mít stejné vlastní čísla nebo hlavní úseky, ale jiné vlastní vektory nebo hlavní směry ${ displaystyle mathbf {N} _ {i} , !}$ a ${ displaystyle mathbf {n} _ {i} , !}$, resp. Hlavní směry souvisí s

${ displaystyle mathbf {n} _ {i} = mathbf {R} mathbf {N} _ {i}. , !}$

Tento polární rozklad, který je jedinečný jako ${ displaystyle mathbf {F} , !}$ je invertibilní s pozitivním determinantem, je výsledkem rozklad singulární hodnoty.

Deformační tenzory

V mechanice se používá několik deformačně nezávislých tenzorů. V mechanice těles jsou nejoblíbenější z nich pravý a levý tenzory deformace Cauchy – Green.

Jelikož čistá rotace by neměla v deformovatelném těle vyvolávat žádné deformace, je často vhodné použít na rotaci nezávislá opatření mechanika kontinua. Protože rotace následovaná inverzní rotací nevede k žádné změně (${ displaystyle mathbf {R} mathbf {R} ^ {T} = mathbf {R} ^ {T} mathbf {R} = mathbf {I} , !}$) můžeme rotaci vyloučit vynásobením ${ displaystyle mathbf {F} , !}$ podle jeho přemístit.

Správný tenzor deformace Cauchy – Green

V roce 1839 George Green představil deformační tenzor známý jako vpravo Cauchy – Tenzor zelené deformace nebo Greenův deformační tenzor, definováno jako:^[4][5]

${ displaystyle mathbf {C} = mathbf {F} ^ {T} mathbf {F} = mathbf {U} ^ {2} qquad { text {nebo}} qquad C_ {IJ} = F_ {kI} ~ F_ {kJ} = { frac { částečné x_ {k}} { částečné X_ {I}}} { frac { částečné x_ {k}} { částečné X_ {J}}}. , !}$

Fyzicky nám Cauchy-Greenův tenzor dává druhou mocninu lokální změny vzdáleností v důsledku deformace, tj. ${ displaystyle d mathbf {x} ^ {2} = d mathbf {X} cdot mathbf {C} cdot d mathbf {X} , !}$

Invarianty z ${ displaystyle mathbf {C} , !}$ se často používají ve výrazech pro funkce hustoty deformační energie. Nejčastěji používané invarianty jsou

${ displaystyle { begin {aligned} I_ {1} ^ {C} &: = { text {tr}} ( mathbf {C}) = C_ {II} = lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2} I_ {2} ^ {C} &: = { tfrac {1} {2}} left [({ text {tr}} ~ mathbf {C}) ^ {2} - { text {tr}} ( mathbf {C} ^ {2}) right] = { tfrac {1} {2}} left [(C_ {JJ}) ^ {2} -C_ {IK} C_ {KI} right] = lambda _ {1} ^ {2} lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} lambda _ {3} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2} lambda _ {1} ^ {2} I_ {3} ^ {C} a: = det ( mathbf {C}) = lambda _ {1} ^ {2} lambda _ {2} ^ {2} lambda _ {3} ^ {2}. end {zarovnáno}} , !}$

kde ${ displaystyle lambda _ {i} , !}$ jsou poměry roztažení pro jednotková vlákna, která jsou zpočátku orientována podél vlastních směrů vlastního (referenčního) tenzoru roztažení (obvykle nejsou vyrovnána se třemi osami souřadnicových systémů).

Tenzor deformace prstu

The IUPAC doporučuje^[5] že inverze pravého tenzoru Cauchy – zelené deformace (v tomto dokumentu se nazývá Cauchyho tenzor), tj. E., ${ displaystyle mathbf {C} ^ {- 1}}$, být nazýván Tenzor prstů. Tato nomenklatura však není v aplikované mechanice všeobecně přijímána.

${ displaystyle mathbf {f} = mathbf {C} ^ {- 1} = mathbf {F} ^ {- 1} mathbf {F} ^ {- T} qquad { text {nebo}} qquad f_ {IJ} = { frac { částečné X_ {I}} { částečné x_ {k}}} { frac { částečné X_ {J}} { částečné x_ {k}}} , ! }$

Levý tenzor deformace Cauchy – Green nebo Finger

Obrácení pořadí násobení ve vzorci pro správný tenzor deformace Green – Cauchy vede k vlevo Cauchy – Tenzor zelené deformace který je definován jako:

${ displaystyle mathbf {B} = mathbf {F} mathbf {F} ^ {T} = mathbf {V} ^ {2} qquad { text {nebo}} qquad B_ {ij} = { frac { částečné x_ {i}} { částečné X_ {K}}} { frac { částečné x_ {j}} { částečné X_ {K}}} , !}$

Levý tenzor deformace Cauchy – Green se často nazývá Tenzor deformace prstů, pojmenoval podle Josef Finger (1894).^[5][6][7]

Invarianty z ${ displaystyle mathbf {B} , !}$ se také používají ve výrazech pro funkce hustoty deformační energie. Konvenční invarianty jsou definovány jako

${ displaystyle { begin {aligned} I_ {1} &: = { text {tr}} ( mathbf {B}) = B_ {ii} = lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2} I_ {2} &: = { tfrac {1} {2}} left [({ text {tr}} ~ mathbf {B}) ^ {2} - { text {tr}} ( mathbf {B} ^ {2}) right] = { tfrac {1} {2}} left (B_ {ii} ^ {2} -B_ {jk} B_ {kj} right) = lambda _ {1} ^ {2} lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} lambda _ {3} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2} lambda _ {1} ^ {2} I_ {3} &: = det mathbf {B} = J ^ {2} = lambda _ {1} ^ {2} lambda _ {2} ^ {2} lambda _ {3} ^ {2} end {zarovnáno}} , !}$

kde ${ displaystyle J: = det mathbf {F} , !}$ je determinant deformačního gradientu.

U nestlačitelných materiálů se používá mírně odlišná sada invariantů:

${ displaystyle ({ bar {I}} _ {1}: = J ^ {- 2/3} I_ {1} ~; ~~ { bar {I}} _ {2}: = J ^ {- 4/3} I_ {2} ~; ~~ J = 1) ~. , !}$

Cauchyův deformační tenzor

Dříve v roce 1828,^[8] Augustin Louis Cauchy zavedl tenzor deformace definovaný jako inverze levého Cauchy – zeleného tenzoru deformace, ${ displaystyle mathbf {B} ^ {- 1} , !}$. Tento tenzor byl také nazýván Piola tensor^[5] a Tenzor prstů^[9] v literatuře reologie a dynamiky tekutin.

${ displaystyle mathbf {c} = mathbf {B} ^ {- 1} = mathbf {F} ^ {- T} mathbf {F} ^ {- 1} qquad { text {nebo}} qquad c_ {ij} = { frac { částečné X_ {K}} { částečné x_ {i}}} { frac { částečné X_ {K}} { částečné x_ {j}}} , ! }$

Spektrální zobrazení

Pokud existují tři odlišné hlavní úseky ${ displaystyle lambda _ {i} , !}$, spektrální rozklady z ${ displaystyle mathbf {C} , !}$ a ${ displaystyle mathbf {B} , !}$ darováno

${ displaystyle mathbf {C} = součet _ {i = 1} ^ {3} lambda _ {i} ^ {2} mathbf {N} _ {i} otimes mathbf {N} _ {i } qquad { text {a}} qquad mathbf {B} = sum _ {i = 1} ^ {3} lambda _ {i} ^ {2} mathbf {n} _ {i} další mathbf {n} _ {i} , !}$

Dále

${ displaystyle mathbf {U} = součet _ {i = 1} ^ {3} lambda _ {i} mathbf {N} _ {i} otimes mathbf {N} _ {i} ~; ~ ~ mathbf {V} = sum _ {i = 1} ^ {3} lambda _ {i} mathbf {n} _ {i} otimes mathbf {n} _ {i} , !}$

${ displaystyle mathbf {R} = součet _ {i = 1} ^ {3} mathbf {n} _ {i} otimes mathbf {N} _ {i} ~; ~~ mathbf {F} = sum _ {i = 1} ^ {3} lambda _ {i} mathbf {n} _ {i} otimes mathbf {N} _ {i} , !}$

Dodržujte to

${ displaystyle mathbf {V} = mathbf {R} ~ mathbf {U} ~ mathbf {R} ^ {T} = součet _ {i = 1} ^ {3} lambda _ {i} ~ mathbf {R} ~ ( mathbf {N} _ {i} otimes mathbf {N} _ {i}) ~ mathbf {R} ^ {T} = sum _ {i = 1} ^ {3 } lambda _ {i} ~ ( mathbf {R} ~ mathbf {N} _ {i}) otimes ( mathbf {R} ~ mathbf {N} _ {i}) , !}$

Z toho tedy vyplývá i jedinečnost spektrálního rozkladu ${ displaystyle mathbf {n} _ {i} = mathbf {R} ~ mathbf {N} _ {i} , !}$. Levý úsek (${ displaystyle mathbf {V} , !}$) se také nazývá prostorový napínací tenzor zatímco pravý úsek (${ displaystyle mathbf {U} , !}$) se nazývá tenzor roztažení materiálu.

Účinek ${ displaystyle mathbf {F} , !}$ jednající na ${ displaystyle mathbf {N} _ {i} , !}$ je natáhnout vektor o ${ displaystyle lambda _ {i} , !}$ a otočit jej do nové orientace ${ displaystyle mathbf {n} _ {i} , !}$, tj.,

${ displaystyle mathbf {F} ~ mathbf {N} _ {i} = lambda _ {i} ~ ( mathbf {R} ~ mathbf {N} _ {i}) = lambda _ {i} ~ mathbf {n} _ {i} , !}$

V podobném duchu,

${ displaystyle mathbf {F} ^ {- T} ~ mathbf {N} _ {i} = { cfrac {1} { lambda _ {i}}} ~ mathbf {n} _ {i} ~ ; ~~ mathbf {F} ^ {T} ~ mathbf {n} _ {i} = lambda _ {i} ~ mathbf {N} _ {i} ~; ~~ mathbf {F} ^ { -1} ~ mathbf {n} _ {i} = { cfrac {1} { lambda _ {i}}} ~ mathbf {N} _ {i} ~. , !}$

Příklady

Jednoosé prodloužení nestlačitelného materiálu To je případ, kdy je vzorek napnut v 1 směru pomocí a poměr roztažení z ${ displaystyle mathbf { alpha = alpha _ {1}} , !}$. Pokud objem zůstane konstantní, kontrakce v ostatních dvou směrech je taková ${ displaystyle mathbf { alpha _ {1} alpha _ {2} alpha _ {3} = 1} , !}$ nebo ${ displaystyle mathbf { alpha _ {2} = alpha _ {3} = alpha ^ {- 0,5}} , !}$. Pak: ${ displaystyle mathbf {F} = { begin {bmatrix} alpha & 0 & 0 0 & alpha ^ {- 0,5} & 0 0 & 0 & alpha ^ {- 0,5} end {bmatrix}} , !}$ ${ displaystyle mathbf {B} = mathbf {C} = { begin {bmatrix} alpha ^ {2} & 0 & 0 0 & alpha ^ {- 1} & 0 0 & 0 & alpha ^ {- 1} konec {bmatrix}} , !}$ Jednoduché stříhání ${ displaystyle mathbf {F} = { begin {bmatrix} 1 & gamma & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} , !}$ ${ displaystyle mathbf {B} = { begin {bmatrix} 1+ gamma ^ {2} & gamma & 0 gamma & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} , !}$ ${ displaystyle mathbf {C} = { begin {bmatrix} 1 & gamma & 0 gamma & 1 + gamma ^ {2} & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} , !}$ Tuhá rotace těla ${ displaystyle mathbf {F} = { begin {bmatrix} cos theta & sin theta & 0 - sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} , !}$ ${ displaystyle mathbf {B} = mathbf {C} = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} = mathbf {1} , !}$

Deriváty roztažení

Deriváty tahu s ohledem na pravý Cauchy – zelený tenzor deformace se používají k odvození vztahů napětí-deformace mnoha těles, zejména hyperelastické materiály. Tyto deriváty jsou

${ displaystyle { cfrac { částečné lambda _ {i}} { částečné mathbf {C}}} = { cfrac {1} {2 lambda _ {i}}} ~ mathbf {N} _ {i} otimes mathbf {N} _ {i} = { cfrac {1} {2 lambda _ {i}}} ~ mathbf {R} ^ {T} ~ ( mathbf {n} _ { i} otimes mathbf {n} _ {i}) ~ mathbf {R} ~; ~~ i = 1,2,3 , !}$

a vyplývá z pozorování, že

${ displaystyle mathbf {C}: ( mathbf {N} _ {i} otimes mathbf {N} _ {i}) = lambda _ {i} ^ {2} ~; ~~~~ { cfrac { částečné mathbf {C}} { částečné mathbf {C}}} = { mathsf {I}} ^ {(s)} ~; ~~~~ { mathsf {I}} ^ {( s)}: ( mathbf {N} _ {i} otimes mathbf {N} _ {i}) = mathbf {N} _ {i} otimes mathbf {N} _ {i}. , !}$

Fyzikální interpretace deformačních tenzorů

Nechat ${ displaystyle mathbf {X} = X ^ {i} ~ { boldsymbol {E}} _ {i}}$ být kartézský souřadnicový systém definovaný na nedeformovaném těle a nechat ${ displaystyle mathbf {x} = x ^ {i} ~ { boldsymbol {E}} _ {i}}$ být jiným systémem definovaným na deformovaném těle. Nechte křivku ${ displaystyle mathbf {X} (s)}$ v nedeformovaném těle lze parametrizovat pomocí ${ displaystyle s v [0,1]}$. Jeho obraz v deformovaném těle je ${ displaystyle mathbf {x} ( mathbf {X} (s))}$.

Nedeformovaná délka křivky je dána vztahem

${ displaystyle l_ {X} = int _ {0} ^ {1} left | { cfrac {d mathbf {X}} {ds}} right | ~ ds = int _ {0} ^ { 1} { sqrt {{ cfrac {d mathbf {X}} {ds}} cdot { cfrac {d mathbf {X}} {ds}}}} ~ ds = int _ {0} ^ {1} { sqrt {{ cfrac {d mathbf {X}} {ds}} cdot { boldsymbol {I}} cdot { cfrac {d mathbf {X}} {ds}}}} ~ ds}$

Po deformaci se délka stává

${ displaystyle { begin {aligned} l_ {x} & = int _ {0} ^ {1} left | { cfrac {d mathbf {x}} {ds}} right | ~ ds = int _ {0} ^ {1} { sqrt {{ cfrac {d mathbf {x}} {ds}} cdot { cfrac {d mathbf {x}} {ds}}}} ~ ds = int _ {0} ^ {1} { sqrt { left ({ cfrac {d mathbf {x}} {d mathbf {X}}} cdot { cfrac {d mathbf {X}} {ds}} vpravo) cdot vlevo ({ cfrac {d mathbf {x}} {d mathbf {X}}} cdot { cfrac {d mathbf {X}} {ds}} vpravo)}} ~ ds & = int _ {0} ^ {1} { sqrt {{ cfrac {d mathbf {X}} {ds}} cdot left [ left ({ cfrac {d mathbf {x}} {d mathbf {X}}} vpravo) ^ {T} cdot { cfrac {d mathbf {x}} {d mathbf {X}}} vpravo] cdot { cfrac {d mathbf {X}} {ds}}}} ~ ds end {zarovnáno}}}$

Všimněte si, že pravý tenzor deformace Cauchy – Green je definován jako

${ displaystyle { boldsymbol {C}}: = { boldsymbol {F}} ^ {T} cdot { boldsymbol {F}} = left ({ cfrac {d mathbf {x}} {d mathbf {X}}} vpravo) ^ {T} cdot { cfrac {d mathbf {x}} {d mathbf {X}}}}$

Proto,

${ displaystyle l_ {x} = int _ {0} ^ {1} { sqrt {{ cfrac {d mathbf {X}} {ds}} cdot { boldsymbol {C}} cdot { cfrac {d mathbf {X}} {ds}}}} ~ ds}$

což znamená, že změny délky jsou charakterizovány ${ displaystyle { boldsymbol {C}}}$.

Tenzory konečného přetvoření

Koncept kmen se používá k vyhodnocení toho, jak moc se daný posun lokálně liší od posunutí tuhého těla.^[1][10] Jedním z takových kmenů pro velké deformace je Lagrangeův tenzor konečného přetvoření, také nazývaný Zeleno-lagraniánský tenzor napětí nebo Zelená - tenzor napětí St-Venant, definováno jako

${ displaystyle mathbf {E} = { frac {1} {2}} ( mathbf {C} - mathbf {I}) qquad { text {nebo}} qquad E_ {KL} = { frac {1} {2}} vlevo ({ frac { částečné x_ {j}} { částečné X_ {K}}} { frac { částečné x_ {j}} { částečné X_ {L}} } - delta _ {KL} vpravo) , !}$

nebo jako funkce tenzoru gradientu posunutí

${ displaystyle mathbf {E} = { frac {1} {2}} left [( nabla _ { mathbf {X}} mathbf {u}) ^ {T} + nabla _ { mathbf {X}} mathbf {u} + ( nabla _ { mathbf {X}} mathbf {u}) ^ {T} cdot nabla _ { mathbf {X}} mathbf {u} vpravo ] , !}$

nebo

${ displaystyle E_ {KL} = { frac {1} {2}} vlevo ({ frac { částečné u_ {K}} { částečné X_ {L}}} + { frac { částečné u_ { L}} { částečné X_ {K}}} + { frac { částečné u_ {M}} { částečné X_ {K}}} { frac { částečné u_ {M}} { částečné X_ {L }}}že jo),!}$

Tenzor zeleno-lagraniánského kmene je měřítkem toho, kolik ${ displaystyle mathbf {C} , !}$ se liší od ${ displaystyle mathbf {I} , !}$.

The Eulerian-Almansiho tenzor konečného přetvoření, odkazující na deformovanou konfiguraci, tj. Eulerianův popis, je definován jako

${ displaystyle mathbf {e} = { frac {1} {2}} ( mathbf {I} - mathbf {c}) = { frac {1} {2}} ( mathbf {I} - mathbf {B} ^ {- 1}) qquad { text {or}} qquad e_ {rs} = { frac {1} {2}} left ( delta _ {rs} - { frac { částečné X_ {M}} { částečné x_ {r}}} { frac { částečné X_ {M}} { částečné x_ {s}}} vpravo) , !}$

nebo jako funkce gradientů posunutí, které máme

${ displaystyle e_ {ij} = { frac {1} {2}} vlevo ({ frac { částečné u_ {i}} { částečné x_ {j}}} + { frac { částečné u_ { j}} { částečné x_ {i}}} - { frac { částečné u_ {k}} { částečné x_ {i}}} { frac { částečné u_ {k}} { částečné x_ {j }}}že jo),!}$

Odvození lagraniánských a euleriánských tenzorů konečných deformací

Míra deformace je rozdíl mezi čtverci prvku diferenciální přímky ${ displaystyle d mathbf {X} , !}$, v nedeformované konfiguraci a ${ displaystyle d mathbf {x} , !}$, v deformované konfiguraci (obrázek 2). Pokud je rozdíl nenulový, došlo k deformaci, jinak došlo k posunutí tuhého těla. Tak máme ${ displaystyle d mathbf {x} ^ {2} -d mathbf {X} ^ {2} = d mathbf {x} cdot d mathbf {x} -d mathbf {X} cdot d mathbf {X} qquad { text {or}} qquad (dx) ^ {2} - (dX) ^ {2} = dx_ {j} dx_ {j} -dX_ {M} , dX_ {M} , !}$ V Lagrangeově popisu je za použití referenčních rámců materiálových souřadnic lineární transformace mezi diferenciálními čarami ${ displaystyle d mathbf {x} = { frac { částečné mathbf {x}} { částečné mathbf {X}}} d mathbf {X} = mathbf {F} , d mathbf {X} qquad { ext{or}}qquad dx_{j}={frac {partial x_{j}}{partial X_{M}}},dX_{M},! }$ Then we have, ${displaystyle {egin{aligned}dmathbf {x} ^{2}&=dmathbf {x} cdot dmathbf {x} &=mathbf {F} cdot dmathbf {X} cdot mathbf {F} cdot dmathbf {X} &=dmathbf {X} cdot mathbf {F} ^{T}mathbf {F} cdot dmathbf {X} &=dmathbf {X} cdot mathbf {C} cdot dmathbf {X} end{aligned}}qquad { ext{or}}qquad {egin{aligned}(dx)^{2}&=dx_{j},dx_{j}&={frac {partial x_{j}}{partial X_{K}}}{frac {partial x_{j}}{partial X_{L}}},dX_{K},dX_{L}&=C_{KL},dX_{K},dX_{L}end{aligned}},!}$ kde ${displaystyle C_{KL},!}$ jsou komponenty right Cauchy–Green deformation tensor, ${displaystyle mathbf {C} =mathbf {F} ^{T}mathbf {F} ,!}$. Then, replacing this equation into the first equation we have, ${displaystyle {egin{aligned}dmathbf {x} ^{2}-dmathbf {X} ^{2}&=dmathbf {X} cdot mathbf {C} cdot dmathbf {X} -dmathbf {X} cdot dmathbf {X} &=dmathbf {X} cdot (mathbf {C} -mathbf {I} )cdot dmathbf {X} &=dmathbf {X} cdot 2mathbf {E} cdot dmathbf {X} end{aligned}},!}$ nebo ${displaystyle {egin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&={frac {partial x_{j}}{partial X_{K}}}{frac {partial x_{j}}{partial X_{L}}},dX_{K},dX_{L}-dX_{M},dX_{M}&=left({frac {partial x_{j}}{partial X_{K}}}{frac {partial x_{j}}{partial X_{L}}}-delta _{KL} ight),dX_{K},dX_{L}&=2E_{KL},dX_{K},dX_{L}end{aligned}},!}$ kde ${displaystyle E_{KL},!}$, are the components of a second-order tensor called the Green – St-Venant strain tensor nebo Lagrangian finite strain tensor, ${displaystyle mathbf {E} ={frac {1}{2}}(mathbf {C} -mathbf {I} )qquad { ext{or}}qquad E_{KL}={frac {1}{2}}left({frac {partial x_{j}}{partial X_{K}}}{frac {partial x_{j}}{partial X_{L}}}-delta _{KL} ight),!}$ In the Eulerian description, using the spatial coordinates as the frame of reference, the linear transformation between the differential lines is ${displaystyle dmathbf {X} ={frac {partial mathbf {X} }{partial mathbf {x} }}dmathbf {x} =mathbf {F} ^{-1},dmathbf {x} =mathbf {H} ,dmathbf {x} qquad { ext{or}}qquad dX_{M}={frac {partial X_{M}}{partial x_{n}}},dx_{n},!}$ kde ${displaystyle {frac {partial X_{M}}{partial x_{n}}},!}$ jsou komponenty spatial deformation gradient tensor, ${displaystyle mathbf {H} ,!}$. Thus we have ${displaystyle {egin{aligned}dmathbf {X} ^{2}&=dmathbf {X} cdot dmathbf {X} &=mathbf {F} ^{-1}cdot dmathbf {x} cdot mathbf {F} ^{-1}cdot dmathbf {x} &=dmathbf {x} cdot mathbf {F} ^{-T}mathbf {F} ^{-1}cdot dmathbf {x} &=dmathbf {x} cdot mathbf {c} cdot dmathbf {x} end{aligned}}qquad { ext{or}}qquad {egin{aligned}(dX)^{2}&=dX_{M},dX_{M}&={frac {partial X_{M}}{partial x_{r}}}{frac {partial X_{M}}{partial x_{s}}},dx_{r},dx_{s}&=c_{rs},dx_{r},dx_{s}end{aligned}},!}$ where the second order tensor ${displaystyle c_{rs},!}$ je nazýván Cauchy's deformation tensor, ${displaystyle mathbf {c} =mathbf {F} ^{-T}mathbf {F} ^{-1},!}$. Then we have, ${displaystyle {egin{aligned}dmathbf {x} ^{2}-dmathbf {X} ^{2}&=dmathbf {x} cdot dmathbf {x} -dmathbf {x} cdot mathbf {c} cdot dmathbf {x} &=dmathbf {x} cdot (mathbf {I} -mathbf {c} )cdot dmathbf {x} &=dmathbf {x} cdot 2mathbf {e} cdot dmathbf {x} end{aligned}},!}$ nebo ${displaystyle {egin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&=dx_{j},dx_{j}-{frac {partial X_{M}}{partial x_{r}}}{frac {partial X_{M}}{partial x_{s}}},dx_{r},dx_{s}&=left(delta _{rs}-{frac {partial X_{M}}{partial x_{r}}}{frac {partial X_{M}}{partial x_{s}}} ight),dx_{r},dx_{s}&=2e_{rs},dx_{r},dx_{s}end{aligned}},!}$ kde ${displaystyle e_{rs},!}$, are the components of a second-order tensor called the Eulerian-Almansi finite strain tensor, ${displaystyle mathbf {e} ={frac {1}{2}}(mathbf {I} -mathbf {c} )qquad { ext{or}}qquad e_{rs}={frac {1}{2}}left(delta _{rs}-{frac {partial X_{M}}{partial x_{r}}}{frac {partial X_{M}}{partial x_{s}}} ight),!}$ Both the Lagrangian and Eulerian finite strain tensors can be conveniently expressed in terms of the displacement gradient tensor. For the Lagrangian strain tensor, first we differentiate the displacement vector ${displaystyle mathbf {u} (mathbf {X} ,t),!}$ with respect to the material coordinates ${displaystyle X_{M},!}$ získat material displacement gradient tensor, ${displaystyle abla _{mathbf {X} }mathbf {u} ,!}$ ${displaystyle {egin{aligned}mathbf {u} (mathbf {X} ,t)&=mathbf {x} (mathbf {X} ,t)-mathbf {X} abla _{mathbf {X} }mathbf {u} &=mathbf {F} -mathbf {I} mathbf {F} &= abla _{mathbf {X} }mathbf {u} +mathbf {I} end{aligned}}qquad { ext{or}}qquad {egin{aligned}u_{i}&=x_{i}-delta _{iJ}X_{J}delta _{iJ}U_{J}&=x_{i}-delta _{iJ}X_{J}x_{i}&=delta _{iJ}left(U_{J}+X_{J} ight){frac {partial x_{i}}{partial X_{K}}}&=delta _{iJ}left({frac {partial U_{J}}{partial X_{K}}}+delta _{JK} ight)end{aligned}},!}$ Replacing this equation into the expression for the Lagrangian finite strain tensor we have ${displaystyle {egin{aligned}mathbf {E} &={frac {1}{2}}left(mathbf {F} ^{T}mathbf {F} -mathbf {I} ight)&={frac {1}{2}}left[left{( abla _{mathbf {X} }mathbf {u} )^{T}+mathbf {I} ight}left( abla _{mathbf {X} }mathbf {u} +mathbf {I} ight)-mathbf {I} ight]&={frac {1}{2}}left[( abla _{mathbf {X} }mathbf {u} )^{T}+ abla _{mathbf {X} }mathbf {u} +( abla _{mathbf {X} }mathbf {u} )^{T}cdot abla _{mathbf {X} }mathbf {u} ight]end{aligned}},!}$ nebo ${displaystyle {egin{aligned}E_{KL}&={frac {1}{2}}left({frac {partial x_{j}}{partial X_{K}}}{frac {partial x_{j}}{partial X_{L}}}-delta _{KL} ight)&={frac {1}{2}}left[delta _{jM}left({frac {partial U_{M}}{partial X_{K}}}+delta _{MK} ight)delta _{jN}left({frac {partial U_{N}}{partial X_{L}}}+delta _{NL} ight)-delta _{KL} ight]&={frac {1}{2}}left[delta _{MN}left({frac {partial U_{M}}{partial X_{K}}}+delta _{MK} ight)left({frac {partial U_{N}}{partial X_{L}}}+delta _{NL} ight)-delta _{KL} ight]&={frac {1}{2}}left[left({frac {partial U_{M}}{partial X_{K}}}+delta _{MK} ight)left({frac {partial U_{M}}{partial X_{L}}}+delta _{ML} ight)-delta _{KL} ight]&={frac {1}{2}}left({frac {partial U_{K}}{partial X_{L}}}+{frac {partial U_{L}}{partial X_{K}}}+{frac {partial U_{M}}{partial X_{K}}}{frac {partial U_{M}}{partial X_{L}}} ight)end{aligned}},!}$ Similarly, the Eulerian-Almansi finite strain tensor can be expressed as ${displaystyle e_{ij}={frac {1}{2}}left({frac {partial u_{i}}{partial x_{j}}}+{frac {partial u_{j}}{partial x_{i}}}-{frac {partial u_{k}}{partial x_{i}}}{frac {partial u_{k}}{partial x_{j}}} ight),!}$