Kutta – Joukowského věta - Kutta–Joukowski theorem
![]() | tento článek potřebuje další citace pro ověření.Květen 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
The Kutta – Joukowského věta je základní věta v aerodynamika slouží k výpočtu výtahu z profil křídla a jakákoli dvourozměrná tělesa včetně kruhových válců, které se pohybují v rovnoměrné tekutině při konstantní rychlosti dostatečně velké, takže tok pozorovaný v rámu upevněném k tělesu je stabilní a neoddělitelný. Věta se týká výtah generovaný profilem křídla na rychlost profilu křídla skrz tekutinu, hustotu kapaliny a oběh kolem profilu křídla. Cirkulace je definována jako čára integrální kolem uzavřené smyčky obklopující profil křídla složky rychlosti tekutiny tečna do smyčky.[1] Je pojmenován po Martin Kutta a Nikolaj Žukovskij (nebo Joukowski), který jako první rozvinul své klíčové myšlenky na počátku 20. století. Kutta – Joukowského věta je teorie inviscid, ale je to dobrá aproximace pro skutečné viskózní proudění v typických aerodynamických aplikacích.
Kutta – Joukowského věta se týká výtahu do oběhu podobně jako Magnusův efekt souvisí boční síla (nazývaná Magnusova síla) s rotací.[2] Cirkulace zde však není indukována rotací profilu křídla. Tok tekutiny v přítomnosti profilu křídla lze považovat za superpozice translačního toku a rotujícího toku. Tento rotující tok je vyvolán účinky prohnutí, úhel útoku a ostré odtoková hrana profilu křídla. To by nemělo být zaměňováno s vírem jako a tornádo obklopující profil křídla. Ve velké vzdálenosti od profilu křídla lze rotační tok považovat za indukovaný vířivým čarou (s rotující přímkou kolmou k dvourozměrné rovině). V odvození věty Kutta – Joukowski je profil křídla je obvykle mapován na kruhový válec. V mnoha učebnicích je věta prokázána pro kruhový válec a Joukowski profil křídla, ale platí to pro obecné profily křídel.
Vzorec síly zdvihu
Věta platí pro dvourozměrné proudění kolem pevného profilu křídla (nebo jakéhokoli tvaru nekonečna rozpětí ). Výtah na jednotku rozpětí profilu křídla je dán[3]
(1)
kde a jsou hustota kapaliny a rychlost kapaliny daleko před profilem křídla a je oběh definovaný jako linka integrální
kolem uzavřeného obrysu uzavřením profilu křídla a následoval v záporném směru (ve směru hodinových ručiček). Jak je vysvětleno níže, tato cesta musí být v oblasti potenciální tok a ne v mezní vrstva válce. Integrrand je složka lokální rychlosti tekutiny ve směru tečny ke křivce a je nekonečně malá délka na křivce, . Rovnice (1) je forma Kutta – Joukowského věta.
Kuethe a Schetzer uvádějí Kutta – Joukowského větu následovně:[4]
- Síla na jednotku délky působící na pravý válec jakéhokoli průřezu se rovná a je kolmá na směr
Oběh a podmínka Kutta
Produkce výtahu profil křídla buď má prohnutí, nebo pracuje kladně úhel útoku, úhel mezi strunou akordu a prouděním kapaliny daleko před profilem křídla. Profil křídla navíc musí mít ostrou zadní hranu.
Jakákoli skutečná tekutina je viskózní, což znamená, že rychlost tekutiny na profilu křídla mizí. Prandtl to ukázal pro velké Reynoldsovo číslo, definováno jako , a malý úhel náběhu, tok kolem tenkého profilu křídla se skládá z úzké viskózní oblasti zvané mezní vrstva v blízkosti těla a neviditelný tok region mimo. Při aplikaci Kutta-Joukowského věty musí být smyčka vybrána mimo tuto mezní vrstvu. (Například cirkulace vypočítaná pomocí smyčky odpovídající povrchu profilu křídla by byla pro viskózní tekutinu nulová.)
Požadavek na ostrou zadní hranu fyzicky odpovídá toku, ve kterém se tekutina pohybující se podél spodního a horního povrchu profilu křídla setkává hladce, aniž by se tekutina pohybovala kolem zadní hrany profilu křídla. Toto je známé jako Kutta podmínka.
Kutta a Joukowski ukázali, že pro výpočet tlaku a zdvihu tenkého profilu křídla pro proudění zeširoka Reynoldsovo číslo a malý úhel náběhu, lze tok považovat za neviditelný v celé oblasti mimo profil křídla za předpokladu, že je uložena podmínka Kutta. Toto je známé jako potenciální tok teorie a v praxi funguje pozoruhodně dobře.
Derivace
Níže jsou uvedeny dvě derivace. První je a heuristický argument založený na fyzickém vhledu. Druhý je formální a technický a vyžaduje základní vektorová analýza a komplexní analýza.
Heuristický argument
Pro heuristickou hádku zvažte tenký profil křídla akord a nekonečné rozpětí, pohybující se vzduchem o hustotě . Křídlo křídla nechte naklonit k protijedoucímu proudu, aby se vytvořila rychlost vzduchu na jedné straně profilu křídla a rychlost vzduchu na druhé straně. Cirkulace je tedy
Rozdíl v tlaku mezi oběma stranami profilu křídla lze nalézt aplikací Bernoulliho rovnice:
takže zdvihová síla na jednotku rozpětí je
A rozdíl verze této věty platí pro každý prvek desky a je základem teorie tenkých profilů.
Formální odvození
Formální derivace Kutta – Joukowského věty Nejprve se vypočítá síla působící na každou jednotku délky válce libovolného průřezu.[5] Nechť je tato síla na jednotku délky (od nynějška označována jednoduše jako síla) . Celková síla tedy je: kde C označuje hranici válce, je statický tlak tekutiny, je jednotkový vektor kolmo k válci a ds je obloukový prvek hranice hrany průřezu. Tak teď být úhel mezi normálovým vektorem a svislicí. Pak jsou složkami výše uvedené síly:
Nyní přichází zásadní krok: považujte použitý dvourozměrný prostor za a složité letadlo. Takže každý vektor může být reprezentován jako komplexní číslo, přičemž jeho první složka se rovná reálné části a její druhá složka se rovná imaginární části komplexního čísla. Poté lze sílu představovat jako:
Dalším krokem je přijmout komplexní konjugát síly a udělat nějakou manipulaci:
Povrchové segmenty ds souvisí se změnami dz podél nich:
Zapojením zpět do integrálu je výsledkem:
Nyní Bernoulliho rovnice se používá k odstranění tlaku z integrálu. V průběhu analýzy se předpokládá, že zde není žádné vnější silové pole. Hustota toku je Pak tlak souvisí s rychlostí podle:
S touto silou se stává:
Zbývá už jen jeden krok: představit the komplexní potenciál toku. To souvisí s rychlostními složkami jako kde apostrof označuje diferenciaci s ohledem na komplexní proměnnou z. Rychlost je tečná k hranici C, takže to znamená, že Proto, a získá se požadovaný výraz pro sílu:
který se nazývá Blasiova věta.
Abychom dospěli k Joukowského vzorci, je nutné tento integrál vyhodnotit. Z komplexní analýzy je známo, že a holomorfní funkce lze prezentovat jako Laurentova řada. Z fyziky problému se odvodí derivace komplexního potenciálu bude vypadat takto:
Funkce neobsahuje výrazy vyššího řádu, protože rychlost zůstává konečná v nekonečnu. Tak představuje derivaci komplexního potenciálu v nekonečnu: . Dalším úkolem je zjistit význam . Za použití věta o zbytku na výše uvedené sérii:
Nyní proveďte výše uvedenou integraci:
První integrál je rozpoznán jako oběh označeno Druhý integrál lze vyhodnotit po určité manipulaci:
Tady je funkce streamu. Protože C ohraničení válce je samotné usměrnění, funkce proudu se na něm nemění a . Proto je výše uvedený integrál nulový. Jako výsledek:
Vezměte čtverec série:
Zapojením zpět do vzorce Blasius – Chaplygin a provedením integrace pomocí věty o zbytku:
Takže vzorec Kutta – Joukowski je:
Zvedněte síly pro složitější situace
Výtah předpovězený Kutta-Joukowského teorémem v rámci teorie toku neviditelného potenciálu je docela přesný, dokonce i pro skutečný viskózní tok, za předpokladu, že tok je stabilní a neoddělitelný.[6]Při odvozování věty Kutta – Joukowski byl použit předpoklad irrotačního toku. Pokud jsou mimo tělo volné víry, což může být případ velkého počtu nestacionárních toků, je tok rotační. Když je tok rotační, měly by být k odvození vztlakových sil použity složitější teorie. Níže uvádíme několik důležitých příkladů.
- Impulzivně začal proudit pod malým úhlem útoku. Pro impulzivně zahájený tok, který se získá náhlým zrychlením profilu křídla nebo nastavením úhlu náběhu, se vířivý list nepřetržitě vrhá na zadní hranu a síla zdvihu je nestabilní nebo časově závislá. U malého úhlu náběhu útoku postupuje vírová deska po rovinné cestě a křivce koeficient zdvihu protože funkce času je dána Wagnerovou funkcí.[7] V tomto případě je počáteční zdvih polovinou posledního zdvihu daného vzorcem Kutta – Joukowski.[8] Výtah dosahuje 90% své ustálené hodnoty, když křídlo urazil vzdálenost asi sedm délek akordů.
- Impulzivně začal proudit pod velkým úhlem útoku. Když je úhel náběhu dostatečně vysoký, je vírová vrstva odtokové hrany zpočátku ve tvaru spirály a výtah je v počáteční době singulární (nekonečně velký).[9] Výtah klesá na velmi krátkou dobu, než je dosaženo obvykle předpokládané monotónně rostoucí křivky výtahu.
- Počáteční tok pod velkým úhlem náběhu pro křídla s ostrými náběžnými hranami. Pokud je stejně jako u ploché desky náběžná hrana také ostrá, pak se víry také vrhají na náběžnou hranu a role vírů náběžné hrany je dvojnásobná : (1), které se zvedají, když jsou stále blízko náběžné hrany okraje, takže zvedají Wagnerovu křivku zvedání, (2) jsou škodlivé pro zvedání, když jsou přivedeny k zadní hraně, což vyvolává novou vířivou spirálu zadní hrany pohybující se ve směru snižování výtahu. Pro tento typ toku je mapa vírové silové linie (VFL) [10] lze použít k pochopení účinku různých vírů v různých situacích (včetně více situací než zahájení toku) a lze je použít ke zlepšení kontroly víru, aby se zlepšil nebo snížil zdvih. Mapa vírové silové čáry je dvourozměrná mapa, na které jsou zobrazeny vírové silové čáry. Pro vír v jakémkoli bodě toku je jeho příspěvek výtahu úměrný jeho rychlosti, jeho cirkulaci a kosinu úhlu mezi přímkou a čarou síly víru. Mapa vírové silové linie tedy jasně ukazuje, zda daný vír vytváří výtah nebo je výtah škodlivý.
- Lagallyova věta. Když je (hmotný) zdroj fixován mimo tělo, lze korekci síly způsobenou tímto zdrojem vyjádřit jako součin síly vnějšího zdroje a indukované rychlosti u tohoto zdroje všemi příčinami kromě tohoto zdroje. Toto je známé jako Lagallyova věta.[11] Pro dvourozměrný inviscidní tok předpovídá klasická Kutta Joukowského věta nulový odpor. Když však existuje vír mimo tělo, dochází k víru vyvolanému odporu, ve formě podobné indukovanému vztlaku.
- Zobecněná Lagallyova věta. Pro volné víry a jiná těla mimo jedno tělo bez vázané vířivosti a bez produkce vírů platí zobecněná Lagallyova věta,[12] s nimiž jsou síly vyjádřeny jako produkty síly vnitřních singularit (obrazové víry, zdroje a dublety uvnitř každého těla) a indukovaná rychlost na těchto singularitách všemi příčinami kromě těch uvnitř tohoto těla. Příspěvek způsobený každou vnitřní singularitou se sčítá a dává celkovou sílu. Pohyb vnějších singularit také přispívá k silám a složka síly v důsledku tohoto příspěvku je úměrná rychlosti singularity.
- Individuální síla každého těla pro rotační tok více těl. Když kromě více volných vírů a více těl existují na povrchu těla vázané víry a produkce vírů, zobecněná Lagallyova věta stále platí, ale existuje síla způsobená výrobou vírů. Tato produkční síla víru je úměrná rychlosti produkce víru a vzdálenosti mezi párem vírů ve výrobě. S tímto přístupem platí explicitní a algebraický vzorec síly, který bere v úvahu všechny příčiny (vnitřní singularity, vnější víry a těla, pohyb všech singularit a těles a produkce vírů) samostatně pro každé tělo [13] s rolí jiných orgánů představovanou dalšími singularitami. Proto je možný silový rozklad podle těles.
- Obecný trojrozměrný viskózní tok. Pro obecné trojrozměrné, viskózní a nestálé proudění jsou silové vzorce vyjádřeny v integrálních formách. Objemová integrace určitých průtokových veličin, jako jsou momenty vířivosti, souvisí se silami. Pro neomezenou doménu jsou nyní k dispozici různé formy integrálního přístupu[8][14][15] a pro uměle zkrácenou doménu.[16] Věta Kutta Joukowski může být získána z těchto přístupů, když je aplikována na dvourozměrný profil křídla a když je tok stabilní a neoddělitelný.
- Teorie zvedacích šňůr pro křídla, víry na konci křídel a indukovaný odpor. Křídlo má konečné rozpětí a oběh v kterékoli části křídla se mění podle směru rozpětí. Tato variace je kompenzována uvolněním vírů po proudu, tzv koncové víry, kvůli zachování vířivosti nebo Kelvinova věta o zachování cirkulace. Tyto proudové víry se slučují do dvou protiběžných silných spirál oddělených vzdáleností blízko rozpětí křídel a jejich jádra mohou být viditelná, pokud je vysoká relativní vlhkost. Zacházení s koncovými víry jako s řadou poloneomezených přímých vírů vede ke známé teorii zvedacích čar. Podle této teorie má křídlo zdvihací sílu menší, než předpovídala čistě dvourozměrná teorie pomocí věty Kutta – Joukowski. To je způsobeno protiproudými účinky přidaného dolního víru zadních vírů na úhel náběhu křídla. To snižuje efektivní úhel náběhu křídla, snižuje množství vztlaku produkovaného při daném úhlu náběhu a vyžaduje větší úhel náběhu, aby se tento ztracený výtah obnovil. Při tomto novém vyšším úhlu náběhu se také zvýšil odpor. Indukovaný odpor účinně snižuje sklon křivky zdvihu 2-D profilu křídla a zvyšuje úhel náběhu (a zároveň snižuje hodnotu ).
Viz také
Reference
- ^ Anderson, J. D. Jr. (1989). "Výšky tlaku, teploty a hustoty". Úvod do letu (3. vyd.). New York: McGraw-Hill. 100–103. ISBN 0-07-001641-0.
- ^ "Zdvih na rotujících válcích". NASA Glenn Research Center. 09.11.2010. Archivovány od originál dne 11.01.2014. Citováno 2013-11-07.
- ^ Clancy, L. J. (1975). Aerodynamika. Londýn: Pitman. Oddíl 4.5. ISBN 0-273-01120-0.
- ^ Kuethe, A. M .; Schetzer, J. D. (1959). Základy aerodynamiky. New York: John Wiley & Sons. Oddíl 4.9. ISBN 0-471-50952-3.
- ^ Batchelor, G. K. (1967). Úvod do dynamiky tekutin. Cambridge University Press. p. 406.
- ^ Anderson, J. (2010). Základy aerodynamiky. Série McGraw-Hill v leteckém a leteckém inženýrství. New York: McGraw-Hill Education.
- ^ Wagner, H. (1925). „Über die Entstehung des dynamischen Auftriebes von Tragflügeln“. Z. Angew. Matematika. Mech. 5 (1): 17–35. doi:10,1002 / zamm.19250050103.
- ^ A b Saffman, P. G. (1992). Vírová dynamika. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-42058-X.
- ^ Graham, J. M. R. (1983). "Výtah na křídle při zahájení toku". Journal of Fluid Mechanics. 133: 413–425. doi:10.1017 / S0022112083001986.
- ^ Li, J .; Wu, Z. N. (2015). „Nestabilní zdvih pro Wagnerův problém v přítomnosti dalších špičkových vírů od zadní hrany“. Journal of Fluid Mechanics. 769: 182–217. doi:10.1017 / jfm.2015.118.
- ^ Milne-Thomson, L. M. (1968). Teoretická hydrodynamika. Hong Kong: Macmillan Education. p. 226.
- ^ Wu, C. T .; Yang, F.L .; Young, D. L. (2012). „Zobecněná dvourozměrná Lagallova věta s volnými víry a její aplikace na problémy interakce tekutina-tělo“. Journal of Fluid Mechanics. 698: 73–92. doi:10.1017 / jfm.2012.45.
- ^ Bai, C. Y .; Li, J .; Wu, Z. N. (2014). „Zobecněná Kutta-Joukowského věta pro vír víření a proudění křídel s produkcí vírů - obecný model“. Chinese Journal of Aeronautics. 27 (5): 1037–1050. doi:10.1016 / j.cja.2014.03.014.
- ^ Wu, J. C. (1981). "Teorie pro aerodynamickou sílu a moment ve viskózních tocích". AIAA Journal. 19 (4): 432–441. doi:10.2514/3.50966.
- ^ Howe, M. S. (1995). „O síle a momentu na tělese v nestlačitelné tekutině s aplikací na tuhá tělesa a bubliny při vysokých Reynoldsových číslech.“ Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 48 (3): 401–425. doi:10.1093 / qjmam / 48.3.401.
- ^ Wu, J. C .; Lu, X. Y .; Zhuang, L. X. (2007). Msgstr "Integrální síla působící na těleso v důsledku místních struktur proudění". Journal of Fluid Mechanics. 576: 265–286. doi:10.1017 / S0022112006004551.