Variogram

v prostorová statistika teoretický variogram ${ displaystyle 2 gamma ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {2})}$ je funkce popisující stupeň prostorové závislosti prostoru náhodné pole nebo stochastický proces ${ displaystyle Z ( mathbf {s})}$ .

V případě konkrétního příkladu z oboru těžba zlata, variogram poskytne měřítko toho, jak moc se dva vzorky odebrané z těžební oblasti budou lišit v procentech zlata v závislosti na vzdálenosti mezi těmito vzorky. Vzorky odebrané daleko od sebe se budou lišit více než vzorky odebrané blízko sebe.

Pět typů variogramových křivek. Vlevo variogramové křivky v závislosti na vzdálenosti mezi dvěma body; vpravo odpovídající simulovaná pole ve vesmíru omezená těmito variogramy.

Definice

Semivariogram

The semivariogram ${ displaystyle gamma (h)}$ byl poprvé definován Matheronem (1963) jako polovina průměrného čtvercového rozdílu mezi body ( ${ displaystyle mathbf {s} _ {1}}$ a ${ displaystyle mathbf {s} _ {2}}$ ) odděleny na dálku ${ displaystyle h}$ .^[1]^[2] Formálně

{ displaystyle gamma (h) = { frac {1} {2V}} iiint _ {V} vlevo [f (M + h) -f (M) vpravo] ^ {2} dV,}

kde ${ displaystyle M}$ je bod v geometrickém poli ${ displaystyle V}$ , a ${ displaystyle f (M)}$ je hodnota v tomto bodě. Předpokládejme například, že nás zajímá obsah železa ve vzorcích půdy v nějaké oblasti nebo poli ${ displaystyle V}$ . ${ displaystyle f (M)}$ by byl obsah (např. v mg železa na kg půdy) železa v určitém místě ${ displaystyle M}$ , kde ${ displaystyle M}$ má souřadnice zeměpisné šířky, délky a nadmořské výšky. Trojitý integrál má více než 3 rozměry. ${ displaystyle h}$ je požadovaná separační vzdálenost (např. vm nebo km). Získat semivariogram pro daný ${ displaystyle gamma (h)}$ , budou vzorkovány všechny páry bodů v této přesné vzdálenosti. V praxi je nemožné vzorkovat všude, takže empirický variogram místo toho se používá.

Variogram je definován jako rozptyl rozdílu mezi hodnotami pole na dvou místech ( ${ displaystyle mathbf {s} _ {1}}$ a ${ displaystyle mathbf {s} _ {2}}$ , zaznamenat změnu zápisu z ${ displaystyle M}$ na ${ displaystyle mathbf {s}}$ a ${ displaystyle f}$ na ${ displaystyle Z}$ ) napříč realizacemi pole (Cressie 1993):

{ displaystyle 2 gamma ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {2}) = { text {var}} left (Z ( mathbf {s} _ {1}) -Z ( mathbf {s} _ {2}) vpravo) = E vlevo [((Z ( mathbf {s} _ {1}) - mu ( mathbf {s} _ {1})) - (Z ( mathbf {s} _ {2}) - mu ( mathbf {s} _ {2}))) ^ {2} vpravo].}

nebo jinými slovy je to dvojnásobek semivariogramu. Pokud má prostorové náhodné pole konstantní průměr ${ displaystyle mu}$ , to je ekvivalentní očekávání pro druhou přírůstek hodnot mezi umístěními ${ displaystyle mathbf {s} _ {1}}$ a ${ displaystyle s_ {2}}$ (Wackernagel 2003) (kde ${ displaystyle mathbf {s} _ {1}}$ a ${ displaystyle mathbf {s} _ {2}}$ jsou body v prostoru a případně čas):

{ displaystyle 2 gamma ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {2}) = E left [ left (Z ( mathbf {s} _ {1}) - Z ( mathbf {s} _ {2}) right) ^ {2} right].}

V případě a stacionární proces, variogram a semivariogram lze reprezentovat jako funkci ${ displaystyle gamma _ {s} (h) = gamma (0,0 + h)}$ rozdílu ${ displaystyle h = mathbf {s} _ {2} - mathbf {s} _ {1}}$ pouze mezi lokacemi, následujícím vztahem (Cressie 1993):

{ displaystyle gamma ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {2}) = gamma _ {s} ( mathbf {s} _ {2} - mathbf {s} _ {1}).}

Pokud je proces dále izotropní, pak lze variogram a semivariogram představovat funkcí ${ displaystyle gamma _ {i} (h): = gamma _ {s} (he_ {1})}$ vzdálenosti ${ displaystyle h = | mathbf {s} _ {2} - mathbf {s} _ {1} |}$ pouze (Cressie 1993):

{ displaystyle gamma ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {2}) = gamma _ {i} (h).}

Indexy ${ displaystyle i}$ nebo ${ displaystyle s}$ obvykle nejsou psány. Termíny se používají pro všechny tři formy funkce. Kromě toho se termín „variogram“ někdy používá k označení semivariogramu a symbolu ${ displaystyle gamma}$ se někdy používá pro variogram, což přináší určité nejasnosti.

Vlastnosti

Podle (Cressie 1993, Chiles and Delfiner 1999, Wackernagel 2003) má teoretický variogram následující vlastnosti:

Semivariogram je nezáporný ${ displaystyle gamma ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {2}) geq 0}$ , protože se jedná o očekávání čtverce.
Semivariogram ${ displaystyle gamma ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {1}) = gamma _ {i} (0) = E left ((Z ( mathbf {s} _) {1}) - Z ( mathbf {s} _ {1})) ^ {2} vpravo) = 0}$ ve vzdálenosti 0 je vždy 0, protože ${ displaystyle Z ( mathbf {s} _ {1}) - Z ( mathbf {s} _ {1}) = 0}$ .
Funkce je semivariogram právě tehdy, pokud se jedná o podmíněně negativní určitou funkci, tj. Pro všechny váhy ${ displaystyle w_ {1}, ldots, w_ {N}}$ podléhá ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} = 0}$ a umístění ${ displaystyle s_ {1}, ldots, s_ {N}}$ drží to:
${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} sum _ {j = 1} ^ {N} w_ {i} gamma ( mathbf {s} _ {i}, mathbf {s} _ {j}) w_ {j} leq 0}$
což odpovídá skutečnosti, že rozptyl ${ displaystyle var (X)}$ z ${ displaystyle X = součet _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} Z (x_ {i})}$ je dáno záporem této dvojité částky a musí být nezáporné.^{[Citace je zapotřebí ]}
V důsledku toho může být semivariogram nespojitý pouze na počátku. Výška skoku na počátku se někdy označuje jako valoun nebo nugetový efekt.
Pokud kovarianční funkce stacionárního procesu existuje, souvisí s variogramem o
${ displaystyle 2 gamma ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {2}) = C ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {1}) + C ( mathbf {s} _ {2}, mathbf {s} _ {2}) - 2C ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {2})}$
Pro nestacionární proces je třeba přidat druhou mocninu rozdílu mezi očekávanými hodnotami v obou bodech:
${ displaystyle 2 gamma ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {2}) = C ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {1}) + C ( mathbf {s} _ {2}, mathbf {s} _ {2}) - 2C ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {2}) + (E left [Z ( mathbf {s} _ {1}) right] -E left [Z ( mathbf {s} _ {2}) right]) ^ {2}}$
Pokud stacionární náhodné pole nemá prostorovou závislost (tj. ${ displaystyle C (h) = 0}$ -li ${ displaystyle h not = 0}$ ), semivariogram je konstanta ${ displaystyle var (Z ( mathbf {s}))}$ všude kromě původu, kde je nula.
${ displaystyle gamma ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {2}) = E left [| Z ( mathbf {s} _ {1}) - Z ( mathbf { s} _ {2}) | ^ {2} right] = gamma ( mathbf {s} _ {2}, mathbf {s} _ {1})}$ je symetrická funkce.
Tudíž, ${ displaystyle gamma _ {s} (h) = gamma _ {s} (- h)}$ je sudá funkce.
Pokud je náhodné pole stacionární a ergodický, ${ displaystyle lim _ {h to infty} gamma _ {s} (h) = var (Z ( mathbf {s}))}$ odpovídá rozptylu pole. Limit semivariogramu se také nazývá jeho práh.

Empirický variogram a aplikace

Obecně je nutný empirický variogram, protože jde o ukázkové informace ${ displaystyle Z}$ není k dispozici pro každé místo. Informace o vzorku může být například koncentrace železa ve vzorcích půdy nebo intenzita pixelů na fotoaparátu. Každá ukázková informace má souřadnice ${ displaystyle mathbf {s} = (x, y)}$ pro 2D ukázkový prostor, kde ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ jsou zeměpisné souřadnice. V případě železa v půdě může být prostor pro vzorek trojrozměrný. Pokud existuje také časová variabilita (např. Obsah fosforu v jezeře), pak ${ displaystyle mathbf {s}}$ může být čtyřrozměrný vektor ${ displaystyle (x, y, z, t)}$ . V případě, že rozměry mají různé jednotky (např. Vzdálenost a čas), pak měřítko ${ displaystyle B}$ lze aplikovat na každý k získání upravené euklidovské vzdálenosti.^[3]

Pozorování vzorků jsou označena ${ displaystyle Z ( mathbf {s} _ {i}) = z_ {i}}$ . Vzorky lze odebírat v ${ displaystyle k}$ celkem různých místech. To by poskytlo jako sadu vzorků ${ displaystyle z_ {1}, ldots, z_ {k}}$ na místech ${ displaystyle mathbf {s} _ {1}, ldots, mathbf {s} _ {k}}$ . Obecně grafy ukazují hodnoty semivariogramu jako funkci oddělení vzorových bodů ${ displaystyle h}$ . V případě empirického semivariogramu jsou separační vzdálenosti ${ displaystyle h pm delta}$ se používají spíše než přesné vzdálenosti a obvykle se předpokládají izotropní podmínky (tj. že ${ displaystyle gamma}$ je pouze funkcí ${ displaystyle h}$ a nezávisí na jiných proměnných, jako je středová poloha). Poté empirický semivariogram ${ displaystyle { hat { gamma}} (h pm delta)}$ lze vypočítat pro každý koš:

${ displaystyle { hat { gamma}} (h pm delta): = { frac {1} {2 | N (h pm delta) |}} sum _ {(i, j) v N (h pm delta)} | z_ {i} -z_ {j} | ^ {2}}$

Jinými slovy, každá dvojice bodů oddělená ${ displaystyle h}$ (plus nebo minus nějaký rozsah tolerance šířky koše ${ displaystyle delta}$ ) Jsou nalezeny. Ty tvoří množinu bodů ${ displaystyle N (h pm delta) equiv {( mathbf {s} _ {i}, mathbf {s} _ {j}): | mathbf {s} _ {i}, mathbf {s} _ {j} | = h pm delta; i, j = 1, ldots, N }}$ . Počet těchto bodů v tomto zásobníku je ${ displaystyle | N (h pm delta) |}$ . Pak za každou dvojici bodů ${ displaystyle i, j}$ , je nalezena druhá mocnina rozdílu v pozorování (např. obsah vzorku půdy nebo intenzita pixelů) ( ${ displaystyle | z_ {i} -z_ {j} | ^ {2}}$ ). Tyto čtvercové rozdíly se sčítají a normalizují přirozeným číslem ${ displaystyle | N (h pm delta) |}$ . Podle definice je výsledek v tomto oddělení pro semivariogram vydělen 2.

Pro výpočetní rychlost jsou zapotřebí pouze jedinečné dvojice bodů. Například pro 2 pozorovací páry [ ${ displaystyle (z_ {a}, z_ {b}), (z_ {c}, z_ {d})}$ ] převzato z míst s oddělením ${ displaystyle h pm delta}$ pouze [ ${ displaystyle (z_ {a}, z_ {b}), (z_ {c}, z_ {d})}$ ] je třeba vzít v úvahu, protože páry [ ${ displaystyle (z_ {b}, z_ {a}), (z_ {d}, z_ {c})}$ ] neposkytují žádné další informace.

The empirický variogram se používá v geostatistika jako první odhad (teoretického) variogramu potřebného pro prostorovou interpolaci pomocí kriging.

Podle (Cressie 1993), pro pozorování ${ displaystyle z_ {i} = Z ( mathbf {s} _ {i})}$ od a stacionární náhodné pole ${ displaystyle Z ( mathbf {s})}$ , empirický variogram s tolerancí zpoždění 0 je nezaujatý odhad teoretického semivariogramu z důvodu:

${ displaystyle E left [{ hat { gamma}} (h) right] = { frac {1} {2 | N (h) |}} sum _ {(i, j) v N (h)} E left [| Z (s_ {i}) - Z (s_ {j}) | ^ {2} right] = { frac {1} {2 | N (h) |}} součet _ {(i, j) v N (h)} 2 gamma (s_ {j} -s_ {i}) = { frac {2 | N (h) |} {2 | N (h) | }} gamma (h)}$

Parametry variogramu

K popisu variogramů se často používají následující parametry:

valoun ${ displaystyle n}$ : Výška skoku semivariogramu při diskontinuitě v počátku.
práh ${ displaystyle s}$ : Limit variogramu směřujícího k nekonečným zpožděným vzdálenostem.
rozsah ${ displaystyle r}$ : Vzdálenost, ve které je rozdíl variogramu od parapetu zanedbatelný. U modelů s pevným parapetem je to vzdálenost, ve které je tohoto dosaženo poprvé; pro modely s asymptotickým parapetem se obvykle považuje vzdálenost, kdy semivariance poprvé dosáhne 95% parapetu.

Variogramové modely

Empirický variogram nelze vypočítat při každé zpožděné vzdálenosti ${ displaystyle h}$ a kvůli odchylkám v odhadu není zajištěno, že se jedná o platný variogram, jak je definováno výše. Nicméně některé Geostatistické metody jako kriging potřebujete platné semivariogramy. V aplikované geostatistice jsou tedy empirické variogramy často aproximovány funkcí modelu zajišťujícími platnost (Chiles & Delfiner 1999). Některé důležité modely jsou (Chiles & Delfiner 1999, Cressie 1993):

Model exponenciálního variogramu

{ displaystyle gamma (h) = (s-n) (1- exp (-h / (ra))) + n1 _ {(0, infty)} (h)}

Sférický variogramový model

{ displaystyle gamma (h) = (sn) left ( left ({ frac {3h} {2r}} - { frac {h ^ {3}} {2r ^ {3}}} right) 1 _ {(0, r)} (h) +1 _ {[r, infty)} (h) right) + n1 _ {(0, infty)} (h)}

Gaussovský model variogramu

{ displaystyle gamma (h) = (sn) left (1- exp left (- { frac {h ^ {2}} {r ^ {2} a}} right) right) + n1_ {(0, infty)} (h)}

Parametr ${ displaystyle a}$ má různé hodnoty v různých referencích, kvůli nejednoznačnosti v definici rozsahu. Např. ${ displaystyle a = 1/3}$ je hodnota použitá v (Chiles & Delfiner 1999). The ${ displaystyle 1_ {A} (h)}$ funkce je 1, pokud ${ displaystyle h v A}$ a 0 jinak.

Diskuse

Používají se tři funkce geostatistika pro popis prostorové nebo časové korelace pozorování: to jsou korelogram, kovariance a semivariogram. Poslední se také nazývá jednodušeji variogram. The vzorkovací variogram, na rozdíl od semivariogramu a variogramu, ukazuje, kde se významná míra prostorové závislosti ve vzorovém prostoru nebo vzorkovací jednotce rozptýlí do náhodnosti, když jsou rozptylové termíny časové nebo in situ uspořádaná množina je vynesena proti rozptylu množiny a dolním limitům jejích 99% a 95% rozmezí spolehlivosti.

Variogram je klíčová funkce geostatistika protože bude použit k přizpůsobení modelu časové /prostorová korelace pozorovaného jevu. Dá se tedy rozlišovat mezi experimentální variogram to je vizualizace možné prostorové / časové korelace a model variogramu který se dále používá k definování vah váhy kriging funkce. Všimněte si, že experimentální variogram je empirický odhad hodnoty kovariance a Gaussův proces. Jako takový to nemusí být pozitivní určitý a proto není přímo použitelný v kriging, bez omezení nebo dalšího zpracování. To vysvětluje, proč se používá pouze omezený počet modelů variogramu: nejčastěji lineární, sférický, Gaussův a exponenciální model.

Související pojmy

Například na druhou ve variogramu ${ displaystyle (Z ( mathbf {s} _ {1}) - Z ( mathbf {s} _ {2})) ^ {2}}$ , lze nahradit různými silami: A madogram je definován pomocí absolutní rozdíl, ${ displaystyle | Z ( mathbf {s} _ {1}) - Z ( mathbf {s} _ {2}) |}$ a rodogram je definován pomocí odmocnina absolutního rozdílu, ${ displaystyle | Z ( mathbf {s} _ {1}) - Z ( mathbf {s} _ {2}) | ^ {0,5}}$ . Odhady na základě těchto nižších sil se říká více odolný na odlehlé hodnoty. Lze je zobecnit jako „variogram řádu α",

{ displaystyle 2 gamma ( mathbf {s} _ {1}, mathbf {s} _ {2}) = E left [ left | Z ( mathbf {s} _ {1}) - Z ( mathbf {s} _ {2}) right | ^ { alpha} right]}

,

ve kterém je variogram řádu 2, madogram je variogram řádu 1 a rodogram je variogram řádu 0,5.^[4]

Když se variogram používá k popisu korelace různých proměnných, nazývá se to křížový variogram. Křížové variogramy se používají v co-kriging Pokud má být proměnná binární nebo představuje třídu hodnot, pak se o ní mluví indikátorové variogramy. Indikátorový variogram se používá v indikátor kriging.

Ukázkové studie

Empirické variogramy pro časoprostorovou variabilitu časoprostorové průměrnosti oxid uhličitý byl použit ke stanovení kritérií shody pro satelitní a pozemní měření.^[3]
Empirické variogramy byly vypočteny pro hustotu heterogenního materiálu (Gilsocarbon).^[5]
Empirické variogramy se počítají z pozorování silný zemní pohyb z zemětřesení.^[6] Tyto modely se používají pro seismické riziko a hodnocení ztrát prostorově distribuované infrastruktury.^[7]

Viz také

Reference

^ Matheron, Georges (1963). "Zásady geostatistiky". Ekonomická geologie. 58 (8): 1246–1266. doi:10.2113 / gsecongeo.58.8.1246. ISSN 1554-0774.
^ Ford, David. „Empirický variogram“ (PDF). faculty.washington.edu/edford. Citováno 31. října 2017.
^ ^A ^b Nguyen, H .; Osterman, G .; Wunch, D .; O'Dell, C .; Mandrake, L .; Wennberg, P .; Fisher, B .; Castano, R. (2014). "Metoda pro určení satelitu X_CO₂ data na pozemní data a jejich aplikace na ACOS-GOSAT a TCCON ". Techniky měření atmosféry. 7 (8): 2631–2644. Bibcode:2014AMT ..... 7.2631N. doi:10.5194 / amt-7-2631-2014. ISSN 1867-8548.
^ Olea, Ricardo A. (1991). Geostatistical Glossary and Multilingual Dictionary. Oxford University Press. 47, 67, 81. ISBN 9780195066890.
^ Arregui Mena, J.D .; et al. (2018). „Charakterizace prostorové variability materiálových vlastností Gilsocarbon a NBG-18 pomocí náhodných polí“. Journal of Nuclear Materials. 511: 91–108. Bibcode:2018JNuM..511 ... 91A. doi:10.1016 / j.jnucmat.2018.09.008.
^ Schiappapietra, Erika; Douglas, John (duben 2020). „Modelování prostorové korelace pohybu zemětřesení: poznatky z literatury, data ze sekvence zemětřesení ve střední Itálii 2016–2017 a simulace zemního pohybu“. Recenze vědy o Zemi. 203: 103139. Bibcode:2020ESRv..20303139S. doi:10.1016 / j.earscirev.2020.103139.
^ Sokolov, Vladimír; Wenzel, Friedemann (2011-07-25). "Vliv prostorové korelace silného pohybu země na nejistotu v odhadu ztráty zemětřesením". Zemětřesení a strukturální dynamika. 40 (9): 993–1009. doi:10,1002 / ekv. 1074.

Cressie, N., 1993, Statistics for spatial data, Wiley Interscience
Chiles, J. P., P. Delfiner, 1999, Geostatistics, Modelování prostorové nejistoty, Wiley-Interscience
Wackernagel, H., 2003, Multivariate Geostatistics, Springer
Burrough, PA a McDonnell, RA, 1998, Principles of Geographical Information Systems
Isobel Clark, 1979, Practical Geostatistics, Applied Science Publishers

externí odkazy

[Matheron1963-1] Matheron, Georges (1963). "Zásady geostatistiky". Ekonomická geologie. 58 (8): 1246–1266. doi:10.2113 / gsecongeo.58.8.1246. ISSN 1554-0774.

[2] Ford, David. „Empirický variogram“ (PDF). faculty.washington.edu/edford. Citováno 31. října 2017.

[Nguyen2014-3] A ^b Nguyen, H .; Osterman, G .; Wunch, D .; O'Dell, C .; Mandrake, L .; Wennberg, P .; Fisher, B .; Castano, R. (2014). "Metoda pro určení satelitu X_CO₂ data na pozemní data a jejich aplikace na ACOS-GOSAT a TCCON ". Techniky měření atmosféry. 7 (8): 2631–2644. Bibcode:2014AMT ..... 7.2631N. doi:10.5194 / amt-7-2631-2014. ISSN 1867-8548.

[4] Olea, Ricardo A. (1991). Geostatistical Glossary and Multilingual Dictionary. Oxford University Press. 47, 67, 81. ISBN 9780195066890.

[arregui18-5] Arregui Mena, J.D .; et al. (2018). „Charakterizace prostorové variability materiálových vlastností Gilsocarbon a NBG-18 pomocí náhodných polí“. Journal of Nuclear Materials. 511: 91–108. Bibcode:2018JNuM..511 ... 91A. doi:10.1016 / j.jnucmat.2018.09.008.

[6] Schiappapietra, Erika; Douglas, John (duben 2020). „Modelování prostorové korelace pohybu zemětřesení: poznatky z literatury, data ze sekvence zemětřesení ve střední Itálii 2016–2017 a simulace zemního pohybu“. Recenze vědy o Zemi. 203: 103139. Bibcode:2020ESRv..20303139S. doi:10.1016 / j.earscirev.2020.103139.

[7] Sokolov, Vladimír; Wenzel, Friedemann (2011-07-25). "Vliv prostorové korelace silného pohybu země na nejistotu v odhadu ztráty zemětřesením". Zemětřesení a strukturální dynamika. 40 (9): 993–1009. doi:10,1002 / ekv. 1074.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]