Frakční Poissonův proces - Fractional Poisson process

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte zlepšit to nebo diskutovat o těchto problémech na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Říjen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) Téma tohoto článku nemusí splňovat požadavky Wikipedie obecný pokyn k notabilitě. Pomozte prosím určit notabilitu citováním spolehlivé sekundární zdroje to jsou nezávislý tématu a poskytnout jeho významné pokrytí nad rámec pouhé triviální zmínky. Pokud nelze určit významnost, je pravděpodobné, že článek bude sloučeny, přesměrovánnebo smazáno. Najít zdroje: „Frakční Poissonův proces“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Říjen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie pravděpodobnosti, a frakční Poissonův proces je stochastický proces modelovat dynamiku dlouhé paměti proudu počtů. Časový interval mezi každou dvojicí po sobě jdoucích počtů následuje po neexponenciálním rozdělení zákonu síly s parametrem ${ displaystyle nu}$, který má fyzický rozměr ${ displaystyle [ nu] = sec ^ {- mu}}$, kde ${ displaystyle 0 < mu leq 1}$. Jinými slovy, frakční Poissonův proces nepočítá Markov stochastický proces který vykazuje neexponenciální rozdělení časů mezi příjezdy. Frakční Poissonův proces je a kontinuální proces což lze považovat za přirozené zobecnění toho známého Poissonův proces.Frakční Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti je novým členem diskrétní rozdělení pravděpodobnosti.

Frakční Poissonův proces, Frakční složený Poissonův proces a frakční Poissonova funkce rozdělení pravděpodobnosti byly pro aplikace vynalezeny, vyvinuty a podporovány Nick Laskin (2003), kteří vytvořili podmínky frakční Poissonův proces, Frakční složený Poissonův proces a frakční Poissonova funkce rozdělení pravděpodobnosti.^[1]

Základy

Frakční Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti zachycuje efekt dlouhé paměti, jehož výsledkem je neexponenciální funkce rozdělení pravděpodobnosti čekání empiricky pozorovaná ve složitých klasických a kvantových systémech. Tím pádem, frakční Poissonův proces a frakční Poissonova funkce rozdělení pravděpodobnostilze považovat za přirozené zobecnění slavného Poissonův proces a Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti.

Myšlenkou frakčního Poissonova procesu bylo navrhnout proces počítání s neexponenciálním rozdělením pravděpodobnosti čekání. Matematicky byla myšlenka realizována nahrazením časové derivace prvního řádu v Kolmogorovově-Fellerově rovnici funkcí Poissonovy distribuce pravděpodobnosti časovou derivací zlomkového řádu.^[2][3]

Hlavními výstupy jsou nový stochastický nemarkovský proces - frakční Poissonův proces a nový funkce rozdělení pravděpodobnosti - zlomková Poissonova distribuce pravděpodobnosti.

Frakční Poissonova funkce rozdělení pravděpodobnosti

Funkce rozdělení pravděpodobnosti frakční Poissonův proces byl poprvé nalezen uživatelem Nick Laskin (viz odkaz [1])

${ displaystyle P _ { mu} (n, t) = { frac {( nu t ^ { mu}) ^ {n}} {n!}} součet limity _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(k + n)!} {k!}} { frac {(- nu t ^ { mu}) ^ {k}} { Gamma ( mu (k + n) +1)}}, qquad 0 < mu leq 1,}$

kde parametr ${ displaystyle nu}$ má fyzický rozměr ${ displaystyle [ nu] = sec ^ {- mu}}$ a ${ displaystyle { Gamma ( mu (k + n) +1)}}$ je Funkce gama.

The ${ displaystyle P _ { mu} (n, t)}$ dává nám pravděpodobnost, že v časovém intervalu ${ displaystyle [0, t]}$pozorujeme n události řízené zlomkovým Poissonovým proudem.

Rozdělení pravděpodobností zlomkového Poissonova procesu ${ displaystyle P _ { mu} (n, t)}$ mohou být zastoupeny ve smyslu Funkce Mittag-Leffler ${ displaystyle E _ { mu} (z)}$ následujícím kompaktním způsobem (viz odkaz [1]),

${ displaystyle P _ { mu} (n, t) = ({ frac {(-z) ^ {n}} {n!}} { frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}} } E _ { mu} (z)) | _ {z = - nu t ^ { mu}},}$

${ displaystyle P _ { mu} (n = 0, t) = E _ { mu} (- nu t ^ { mu}).}$

Z výše uvedených rovnic vyplývá, že když ${ displaystyle mu = 1}$ the ${ displaystyle P _ { mu} (n, t)}$ se transformuje do známé distribuční funkce pravděpodobnosti Poissonův proces, ${ displaystyle P (n, t) = P_ {1} (n, t)}$, ${ displaystyle P (n, t) = { frac {({ overline { nu}} t) ^ {n}} {n!}} exp (- { overline { nu}} t), }$

${ displaystyle P (n = 0, t) = exp (- { overline { nu}} t),}$

kde ${ displaystyle { overline { nu}}}$ je míra příjezdů s fyzickým rozměrem ${ displaystyle [{ overline { nu}}] = sec ^ {- 1}}$.

Tím pádem, ${ displaystyle P _ { mu} (n, t)}$ lze považovat za zlomkové zobecnění standardního Poissonova rozdělení pravděpodobnosti. Přítomnost dalšího parametru ${ displaystyle mu}$ přináší nové funkce ve srovnání se standardní distribucí Poisson.

Znamenat

Zlý ${ displaystyle { overline {n}} _ { mu}}$ dílčího Poissonova procesu bylo nalezeno v odkazu [1].

${ displaystyle { overline {n}} _ { mu} = součet limity _ {n = 0} ^ { infty} nP _ { mu} (n, t) = { frac { nu t ^ { mu}} { Gamma ( mu +1)}}.}$

Moment druhého řádu

Moment druhého řádu zlomkového Poissonova procesu ${ displaystyle { overline {n ^ {2}}} _ { mu}}$ byl poprvé nalezen uživatelem Nick Laskin (viz odkaz [1])

${ displaystyle { overline {n _ { mu} ^ {2}}} = součet limity _ {n = 0} ^ { infty} n ^ {2} P _ { mu} (n, t) = { overline {n}} _ { mu} + { overline {n}} _ { mu} ^ {2} { frac {{ sqrt { pi}} Gamma ( mu +1)} {2 ^ {2 mu -1} Gamma ( mu + { frac {1} {2}})}}}}$

Rozptyl

The rozptyl dílčího Poissonova procesu je (viz odkaz [1])

${ displaystyle sigma _ { mu} = { overline {n _ { mu} ^ {2}}} - { overline {n}} _ { mu} ^ {2} = { overline {n} } _ { mu} + { overline {n}} _ { mu} ^ {2} left {{ frac { mu B ( mu, { frac {1} {2}})} {2 ^ {2 mu -1}}} - 1 doprava },}$

kde ${ displaystyle B ( mu, { frac {1} {2}})}$ je Beta funkce.

Charakteristická funkce

Charakteristická funkce frakčního Poissonova procesu byla poprvé nalezena v odkazu [1],

${ displaystyle C _ { mu} (s, t) = součet limity _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {isn} P _ { mu} (n, t) = E _ { mu} ( nu t ^ { mu} (e ^ {is} -1)).}$

nebo ve formě série

${ displaystyle C _ { mu} (s, t) = součet limity _ {m = 0} ^ { infty} { frac {1} { gama (m mu +1)}} vlevo ( nu t ^ { mu} (e ^ {is} -1) vpravo) ^ {m},}$

s pomocí Funkce Mittag-Leffler série reprezentace.

Pak pro tuto chvíli ${ displaystyle k ^ { rm {th}}}$ pořadí máme

${ displaystyle { overline {n _ { mu} ^ {k}}} = (1 / i ^ {k}) { frac { částečné ^ {k} C _ { mu} (s, t)} { částečné s ^ {k}}} | _ {s = 0}.}$

Generující funkce

The generující funkce ${ displaystyle G _ { mu} (s, t)}$ frakční Poissonovy funkce rozdělení pravděpodobnosti je definována jako (viz odkaz [1]).

${ displaystyle G _ { mu} (s, t) = součet limity _ {n = 0} ^ { infty} s ^ {n} P _ { mu} (n, t).}$

Generační funkce frakčního rozdělení Poissonovy pravděpodobnosti byla poprvé získána pomocí Nick Laskin v odkazu [1].

${ displaystyle G _ { mu} (s, t) = E _ { mu} ( nu t ^ { mu} (s-1)),}$

kde ${ displaystyle E _ { mu} (z)}$ je Funkce Mittag-Leffler dáno jeho reprezentací série

${ displaystyle E _ { mu} (z) = součet limity _ {m = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {m}} { Gamma ( mu m + 1)}}. }$

Funkce generování momentů

Rovnici pro okamžik libovolného celočíselného řádu zlomkového Poissona lze snadno najít pomocí funkce generování momentů ${ displaystyle H _ { mu} (s, t)}$ který je definován jako

${ displaystyle H _ { mu} (s, t) = součet limity _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- sn} P _ { mu} (n, t).}$

Například pro okamžik ${ displaystyle k ^ { rm {th}}}$ pořadí máme

${ displaystyle { overline {n _ { mu} ^ {k}}} = (- 1) ^ {k} { frac { částečné ^ {k} H _ { mu} (s, t)} { částečné s ^ {k}}} | _ {s = 0}.}$

Funkce generující moment ${ displaystyle H _ { mu} (s, t)}$ je (viz odkaz [1])

${ displaystyle H _ { mu} (s, t) = E _ { mu} ( nu t ^ { mu} (e ^ {- s} -1)),}$

nebo v sérii

${ displaystyle H _ { mu} (s, t) = součet limity _ {m = 0} ^ { infty} { frac {1} { Gamma (m mu +1)}} vlevo ( nu t ^ { mu} (e ^ {- s} -1) vpravo) ^ {m},}$

s pomocí Funkce Mittag-Leffler série reprezentace.

Funkce rozdělení doby čekání

Čas mezi dvěma po sobě jdoucími příchody se nazývá čekací doba a jedná se o náhodnou proměnnou. Funkce rozdělení pravděpodobnosti čekací doby je důležitým atributem každého příjezdu nebo počítání náhodný proces.

Funkce rozdělení pravděpodobnosti čekání ${ displaystyle psi _ { mu} ( tau)}$ dílčího Poissonova procesu je definován jako (viz odkazy [1,3])

${ displaystyle psi _ { mu} ( tau) = - { frac {d} {d tau}} P _ { mu} ( tau),}$

kde ${ displaystyle P _ { mu} ( tau)}$ je pravděpodobnost, že daný čas mezi příjezdy je větší nebo roven ${ displaystyle tau}$

${ Displaystyle P _ { mu} ( tau) = 1- součet limity _ {n = 1} ^ { infty} P _ { mu} (n, tau) = E _ { mu} (- nu tau ^ { mu}),}$

a ${ displaystyle P _ { mu} (n, tau)}$ je zlomková Poissonova distribuce pravděpodobnosti.

Funkce rozdělení pravděpodobnosti čekací doby ${ displaystyle psi _ { mu} ( tau)}$ frakčního Poissonova procesu byl poprvé nalezen uživatelem Nick Laskin v odkazu [1],

${ displaystyle psi _ { mu} ( tau) = nu tau ^ { mu -1} E _ { mu, mu} (- nu tau ^ { mu}), qquad t geq 0, qquad 0 < mu leq 1,}$

tady ${ displaystyle E _ { alpha, beta} (z)}$ je zobecněný dvouparametr Funkce Mittag-Leffler

${ displaystyle E _ { alfa, beta} (z) = součet limity _ {m = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {m}} { gama ( alpha m + beta) }}, qquad E _ { alpha, 1} (z) = E _ { alpha} (z).}$

Funkce rozdělení pravděpodobnosti čekání ${ displaystyle psi _ { mu} ( tau)}$ má následující asymptotické chování (viz odkaz [1])

${ displaystyle psi _ { mu} ( tau) simeq 1 / nu tau ^ { mu +1}, qquad tau rightarrow infty,}$

a

${ displaystyle psi _ { mu} ( tau) simeq nu tau ^ { mu -1}, qquad tau rightarrow 0.}$

Frakční složený Poissonův proces

Frakční složený Poissonův proces byl poprvé představen a vyvinut společností Nick Laskin (viz odkaz [1]). Frakční složený Poissonův proces ${ displaystyle {X (t)}$, ${ displaystyle t geq 0 }}$ je reprezentován

${ displaystyle X (t) = součet limity _ {i = 1} ^ {N (t)} Y_ {i},}$

kde ${ displaystyle {N (t)}$, ${ displaystyle t geq 0 }}$ je dílčí Poissonův proces a ${ displaystyle {Y_ {i}}$, ${ displaystyle i = 1,2, ldots }}$ je rodina nezávislých a identicky distribuovaných náhodných proměnných s funkcí rozdělení pravděpodobnosti ${ displaystyle p (Y)}$ pro každého ${ displaystyle Y_ {i}}$. Proces ${ displaystyle {N (t)}$, ${ displaystyle t geq 0 }}$ a sekvence ${ displaystyle {Y_ {i}}$, ${ displaystyle i = 1,2, ldots }}$ jsou považovány za nezávislé.

Frakční složený Poissonův proces je přirozené zobecnění složený Poissonův proces.

Aplikace frakčního rozdělení Poissonovy pravděpodobnosti

Frakční Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti má fyzikální a matematické aplikace. Fyzikální aplikace je v oblasti kvantové optiky. Matematické aplikace jsou v oblasti kombinačních čísel (viz odkaz [4]).

Fyzická aplikace: Nové koherentní stavy

Nová kvantová rodina koherentní stavy ${ displaystyle | varsigma>}$ byl zaveden jako^[4]

${ displaystyle | varsigma rangle = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {({ sqrt { mu}} varsigma ^ { mu}) ^ {n}} { sqrt {n!}}} (E _ { mu} ^ {(n)} (- mu | varsigma | ^ {2 mu})) ^ {1/2} | n rangle,}$

kde ${ displaystyle | n rangle}$ je vlastní vektor operátoru čísla fotonu, komplexní číslo ${ displaystyle varsigma}$ znamená označení nových soudržných států,

${ displaystyle E _ { mu} ^ {(n)} (- mu | varsigma | ^ {2 mu}) = left. { frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}} } E _ { mu} (z) vpravo | _ {z = - mu | varsigma | ^ {2 mu}}}$

a ${ displaystyle E _ { mu} (x)}$ je Funkce Mittag-Leffler.

Pak pravděpodobnost ${ displaystyle P _ { mu} (n)}$ detekce n fotony je:

${ displaystyle P _ { mu} (n) = | langle n mid varsigma rangle | ^ {2} = { frac {( mu | varsigma | ^ {2 mu}) ^ {n} } {n!}} left (E _ { mu} ^ {(n)} (- mu | varsigma | ^ {2 mu}) right),}$

který je rozpoznán jako zlomkové Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti.

Pokud jde o fotonové pole operátory tvorby a zničení ${ displaystyle a ^ {+}}$ a ${ displaystyle a}$ které uspokojí kanonický komutační vztah ${ displaystyle [a, a ^ {+}] = aa ^ {+} - a ^ {+} a = 1}$, průměrný počet fotonů ${ displaystyle { bar {n}}}$ v koherentním stavu ${ displaystyle | varsigma rangle}$ lze prezentovat jako (viz odkaz [4])

${ displaystyle { bar {n}} = langle varsigma | a ^ {+} a | varsigma rangle = sum _ {n = 0} ^ { infty} nP _ { mu} (n) = ( mu | varsigma | ^ {2 mu}) / Gamma ( mu +1).}$

Matematické aplikace: Nové polynomy a čísla

Částečné zobecnění Polynomy zvonu, Čísla zvonků, Dobinského vzorec a Stirlingova čísla druhého druhu byly zavedeny a vyvinuty Nickem Laskinem (viz odkaz [4]). Vzhled frakčních Bellových polynomů je přirozený, pokud se vyhodnotí prvek diagonální matice evolučního operátora na základě nově zavedených kvantových koherentních stavů. K vyhodnocení byly použity zlomková Stirlingova čísla druhého druhu šikmost a špičatost frakční Poissonovy distribuční funkce pravděpodobnosti. Nové zastoupení Bernoulliho čísla pokud jde o zlomková Stirlingova čísla druhého druhu, byla objevena (viz odkaz [4]).

V limitním případě μ = 1 když se zlomkové Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti stane Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti, všechny výše uvedené aplikace se promění na dobře známé výsledky kvantová optika a enumerativní kombinatorika.

Statistické aplikace a závěry

Bodové a intervalové odhady pro parametry modelu jsou vyvinuty Cahoy et. al, (2010) (viz odkaz [5]).^[5]

Viz také

• Poissonův proces
• Poissonovo rozdělení
• Složený Poissonův proces
• Markov proces
• Frakční počet
• Generující funkce
• Soudržné státy
• Kanonický komutační vztah
• Polynomy zvonu
• Čísla zvonků
• Dobińského vzorec
• Stirlingova čísla
• Distribuce Mittag-Leffler

Reference

Další čtení

• L. Beghin a E. Orsingher, (2009), Frakční Poissonovy procesy a související planární náhodné pohyby, Electronic Journal of Probability, sv. 14 (2009), příspěvek č. 61, strany 1790–1826.
• M.M. Meerschaert, E. Nane, P. Vellaisamy, (2011), The Fractional Poisson Process and the Inverse Stable Subordinator, Electronic Journal of Probability, Vol. 16 (2011), příspěvek č. 59, strany 1600–1620.