Zmizet v nekonečnu - Vanish at infinity

v matematika, a funkce na normovaný vektorový prostor říká se zmizet v nekonečnu -li

${ displaystyle f (x) až 0}$ tak jako ${ displaystyle | x | do infty.}$

Například funkce

${ displaystyle f (x) = { frac {1} {x ^ {2} +1}}}$

definované na skutečná linie zmizí v nekonečnu. Totéž platí pro funkci

${ displaystyle h (x, y) = { frac {1} {x + y}}}$

kde ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ jsou skutečné a odpovídají bodu ${ displaystyle (x, y)}$ na ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$.^[1]

Obecněji řečeno, funkce ${ displaystyle f}$ na místně kompaktní prostor (který může nebo nemusí mít normu) zmizí v nekonečnu, pokud je dán kladné číslo ${ displaystyle epsilon}$, existuje a kompaktní podmnožina ${ displaystyle K}$ takhle

${ displaystyle | f (x) | < epsilon}$

kdykoli jde o bod ${ displaystyle x}$ leží mimo ${ displaystyle K}$.^[2][3][4]

Jinými slovy, pro každé kladné číslo ${ displaystyle epsilon}$ sada${ displaystyle left {x v X: | f (x) | geq epsilon right }}$je kompaktní.
Za dané místně kompaktní prostor ${ displaystyle Omega}$, soubor těchto funkcí

${ displaystyle f: Omega rightarrow mathbb {K}}$

(kde ${ displaystyle mathbb {K}}$ je buď ${ displaystyle mathbb {R}}$ nebo ${ displaystyle mathbb {C}}$) tvoří ${ displaystyle mathbb {K}}$-vektorový prostor s ohledem na bodově skalární násobení a přidání, často označován ${ displaystyle C_ {0} ( Omega)}$.

Zde si všimněte, že tyto dvě definice mohou být navzájem nekonzistentní: if ${ displaystyle f (x) = | x | ^ {- 1}}$ v nekonečném dimenzionálním Banachově prostoru ${ displaystyle f}$ zmizí v nekonečnu u ${ displaystyle | f (x) | až 0}$ definice, ale ne podle definice kompaktní sady.

Kromě tohoto rozdílu oba tyto pojmy odpovídají intuitivnímu pojetí přidání bodu v nekonečnu a požadavku, aby se hodnoty funkce libovolně přiblížily k nule, jakmile se k ní přiblíží. Tuto definici lze v mnoha případech formalizovat přidáním (skutečného) bod v nekonečnu.

Rychle klesá

Upřesněním konceptu se člověk může blíže podívat na míra zmizení funkcí v nekonečnu. Jedna ze základních intuicí matematická analýza je to Fourierova transformace výměny hladkost podmínky s mírovými podmínkami na mizení v nekonečnu. The rychle klesá testovací funkce temperované rozdělení teorie jsou plynulé funkce to jsou

${ displaystyle O (| x | ^ {- N})}$

pro všechny ${ displaystyle N}$, tak jako ${ displaystyle | x | to infty}$, a takové, že všechny jejich částečné derivace uspokojit stejnou podmínku taky. Tato podmínka je nastavena tak, aby byla pod Fourierovou transformací sebe-duální, takže odpovídající teorie distribuce z temperované distribuce bude mít stejnou dobrou vlastnost.

Viz také

• Nekonečno
• Projektivně prodloužená reálná linie
• Nula funkce

Reference

Bibliografie

• Hewitt, E a Stromberg, K (1963). Reálná a abstraktní analýza. Springer-Verlag.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)