Lagrangeový systém - Lagrangian system

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Září 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V matematice, a Lagrangeový systém je pár (Y, L), skládající se z hladké svazek vláken Y → X a Lagrangeova hustota L, což poskytuje Euler – Lagrange operátor diferenciálu působící na úsecích Y → X.

v klasická mechanika, mnoho dynamické systémy jsou Lagrangeovy systémy. Konfigurační prostor takového Lagrangeova systému je svazek vláken Q → ℝ přes časovou osu ℝ. Zejména, Q = ℝ × M pokud je referenční rámec pevný. v klasická teorie pole, všechny polní systémy jsou Lagrangeovy.

Lagrangians a Euler – Lagrangeovi operátoři

A Lagrangeova hustota L (nebo jednoduše a Lagrangian ) objednávky r je definován jako n-formulář, n = dim X, na r-objednat tryskové potrubí J^rY z Y.

Lagrangian L lze zavést jako prvek variační dvojkomplex z diferenciálně odstupňovaná algebra Ó^∗_∞(Y) z vnější formy na tryskové potrubí z Y → X. The hraniční operátor tohoto dvojkomplexu obsahuje variační operátor δ na které se jedná L, definuje přidružený Euler – Lagrangeův operátor δL.

V souřadnicích

Vzhledem k souřadnicím svazku X^λ, yⁱ na svazku vláken Y a přizpůsobené souřadnice X^λ, yⁱ, yⁱ_Λ, (Λ = (λ₁, ...,λ_k), | Λ | = k ≤ r) na rozdělovačích trysek J^rYLagrangeovci L a jeho operátor Euler – Lagrange číst

${ displaystyle L = { mathcal {L}} (x ^ { lambda}, y ^ {i}, y _ { Lambda} ^ {i}) , d ^ {n} x,}$

${ displaystyle delta L = delta _ {i} { mathcal {L}} , dy ^ {i} klín d ^ {n} x, qquad delta _ {i} { mathcal {L} } = částečné _ {i} { mathcal {L}} + součet _ {| Lambda |} (- 1) ^ {| Lambda |} , d _ { Lambda} , částečné _ {i } ^ { Lambda} { mathcal {L}},}$

kde

${ displaystyle d _ { Lambda} = d _ { lambda _ {1}} cdots d _ { lambda _ {k}}, qquad d _ { lambda} = částečný _ { lambda} + y _ { lambda } ^ {i} částečné _ {i} + cdots,}$

označit celkové deriváty.

Například Lagrangian prvního řádu a jeho Euler – Lagrangeův operátor druhého řádu mají podobu

${ displaystyle L = { mathcal {L}} (x ^ { lambda}, y ^ {i}, y _ { lambda} ^ {i}) , d ^ {n} x, qquad delta _ {i} L = částečný _ {i} { mathcal {L}} - d _ { lambda} částečný _ {i} ^ { lambda} { mathcal {L}}.}$

Euler-Lagrangeovy rovnice

Jádro operátoru Euler – Lagrange poskytuje Euler-Lagrangeovy rovnice δL = 0.

Kohomologie a Noetherovy věty

Kohomologie variačního dvojkomplexu vede k tzv. variačnímu vzorci

${ displaystyle dL = delta L + d_ {H} Theta _ {L},}$

kde

${ displaystyle d_ {H} Theta _ {L} = dx ^ { lambda} klín d _ { lambda} phi, qquad phi v O _ { infty} ^ {*} (Y)}$

je celkový rozdíl a θ_L je ekvivalentem stránky Lepage L. Noetherova první věta a Noetherova druhá věta jsou důsledky tohoto variačního vzorce.

Odstupňovaná potrubí

Rozšířeno na odstupňované rozdělovače, variační dvojkomplex poskytuje popis odstupňovaných Lagrangeových systémů sudých a lichých proměnných.^[1]

Alternativní formulace

Jiným způsobem jsou Lagrangians, Euler-Lagrangeovy operátory a Euler-Lagrangeovy rovnice představeny v rámci variační počet.

Klasická mechanika

V klasické mechanice jsou pohybové rovnice diferenciální rovnice prvního a druhého řádu na potrubí M nebo různé svazky vláken Q přes ℝ. Řešení pohybových rovnic se nazývá a pohyb.^[2][3]

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Srpna 2015)

Viz také

• Lagrangian mechanika
• Variační počet
• Noetherova věta
• Noether identity
• Jet jet
• Jet (matematika)
• Variační dvojkomplex

Reference

• Arnold, V. I. (1989), Matematické metody klasické mechaniky, Postgraduální texty z matematiky, 60 (druhé vydání), Springer-Verlag, ISBN  0-387-96890-3
• Giachetta, G .; Mangiarotti, L .; Sardanashvily, G. (1997). Nové Lagrangeovy a Hamiltonovské metody v teorii pole. World Scientific. ISBN  981-02-1587-8.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Giachetta, G .; Mangiarotti, L .; Sardanashvily, G. (2011). Geometrická formulace klasické a kvantové mechaniky. World Scientific. doi:10.1142/7816. ISBN  978-981-4313-72-8.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Olver, P. (1993). Aplikace Lieových skupin na diferenciální rovnice (2. vyd.). Springer-Verlag. ISBN  0-387-94007-3.
• Sardanashvily, G. (2013). "Odstupňovaný lagrangeový formalizmus". Int. J. Geom. Metody Mod. Phys. World Scientific. 10 (5): 1350016. arXiv:1206.2508. doi:10.1142 / S0219887813500163. ISSN  0219-8878.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

externí odkazy

• Sardanashvily, G. (2009). „Balíčky vláken, proudová potrubí a Lagrangeova teorie. Přednášky pro teoretiky“. arXiv:0908.1886. Bibcode:2009arXiv0908.1886S. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)CS1 maint: ref = harv (odkaz)