Invariantní diferenciální operátor - Invariant differential operator

v matematika a teoretická fyzika, an invariantní diferenciální operátor je druh matematická mapa z některých objektů na objekt podobného typu. Tyto objekty jsou obvykle funkce na ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ , funguje na a potrubí, vektor hodnotné funkce, vektorová pole, nebo, obecněji, sekce a vektorový svazek.

V invariantním diferenciálním operátoru ${displaystyle D}$ , termín operátor diferenciálu označuje, že hodnota ${displaystyle Df}$ mapy závisí pouze na ${displaystyle f (x)}$ a deriváty z ${displaystyle f}$ v ${displaystyle x}$ . Slovo neměnný označuje, že operátor nějaké obsahuje symetrie. To znamená, že existuje skupina ${displaystyle G}$ s skupinová akce na funkcích (nebo jiných předmětných objektech) a operátor zachovává tuto akci:

{displaystyle D (gcdot f) = gcdot (Df).}

Činnost skupiny má obvykle význam a změna souřadnic (změna pozorovatele) a invariance znamená, že operátor má stejný výraz ve všech přípustných souřadnicích.

Invariance v homogenních prostorech

Nechat M = G/H být homogenní prostor pro Lež skupina G a Lieova podskupina H. Každý zastoupení ${displaystyle ho: Hightarrow mathrm {Aut} (mathbb {V})}$ dává vzniknout a vektorový svazek

{displaystyle V = G imes _ {H} mathbb {V}; {ext {where}}; (gh, v) sim (g, ho (h) v); forall; gin G,; hin H; {ext { a}}; vin mathbb {V}.}

Sekce ${displaystyle varphi in Gamma (V)}$ lze identifikovat pomocí

{displaystyle Gamma (V) = {varphi: Gightarrow mathbb {V};:; varphi (gh) = ho (h ^ {- 1}) varphi (g); forall; gin G,; hin H}.}

V této formě skupina G jedná v sekcích prostřednictvím

{displaystyle (ell _ {g} varphi) (g ') = varphi (g ^ {- 1} g').}

Teď nech PROTI a Ž být dva vektorové svazky přes M. Pak operátor diferenciálu

{displaystyle d: Gamma (V) ightarrow Gamma (W)}

který mapuje části PROTI do sekcí Ž se nazývá invariantní, pokud

{displaystyle d (ell _ {g} varphi) = ell _ {g} (dvarphi).}

pro všechny sekce ${displaystyle varphi}$ v ${displaystyle Gamma (V)}$ a prvky G v G. Všechny lineární invariantní diferenciální operátory na homogenní parabolické geometrie, tj. kdy G je polojednoduchý a H je parabolická podskupina, jsou dány duálně homomorfismy z zobecněné moduly Verma.

Invariance z hlediska abstraktních indexů

Vzhledem k tomu dva připojení ${displaystyle abla}$ a ${displaystyle {hat {abla}}}$ a jeden formulář ${displaystyle omega}$ , my máme

{displaystyle abla _ {a} omega _ {b} = {hat {abla}} _ {a} omega _ {b} -Q_ {ab} {} ^ {c} omega _ {c}}

pro nějaký tenzor ${displaystyle Q_ {ab} {} ^ {c}}$ .^[1] Vzhledem k třídě ekvivalence připojení ${displaystyle [abla]}$ , říkáme, že operátor je neměnný, pokud se forma operátoru nezmění, když změníme z jednoho připojení ve třídě ekvivalence na jiné. Například pokud vezmeme v úvahu třídu ekvivalence všech bez kroucení připojení, pak je tenzor Q symetrický ve svých nižších indexech, tj. ${displaystyle Q_ {ab} {} ^ {c} = Q _ {(ab)} {} ^ {c}}$ . Proto můžeme počítat

{displaystyle abla _ {[a} omega _ {b]} = {hat {abla}} _ {[a} omega _ {b]},}

kde závorky označují symetrizaci zkosení. To ukazuje invariance vnější derivace při působení na jednu formu. Třídy ekvivalence spojů přirozeně vznikají v diferenciální geometrii, například:

v konformní geometrie třída ekvivalence spojů je dána spojením Levi Civita všech metriky v konformní třídě;
v projektivní geometrie třída ekvivalence spojení je dána všemi připojeními, která mají stejné geodetika;
v CR geometrie třída ekvivalence spojů je dána spojením Tanaka-Webster pro každou volbu pseudohermitovské struktury

Příklady

Obvyklý spád operátor ${displaystyle abla}$ působící na funkce se skutečnou hodnotou na Euklidovský prostor je invariantní vůči všem Euklidovské transformace.
The rozdíl působící na funkce na potrubí s hodnotami v 1-formy (jeho výraz je
${displaystyle d = součet _ {j} částečný _ {j}, dx_ {j}}$
v libovolných místních souřadnicích) je invariantní vzhledem ke všem plynulým transformacím potrubí (působení transformace na diferenciální formy je jen zarazit ).
Obecněji, vnější derivace
${displaystyle d: Omega ^ {n} (M) ightarrow Omega ^ {n + 1} (M)}$
na které působí n-formy libovolného hladkého potrubí M jsou invariantní s ohledem na všechny plynulé transformace. Je možné ukázat, že vnější derivace je jediným lineárním invariantním diferenciálním operátorem mezi těmito svazky.
The Dirac operátor ve fyzice je neměnný vzhledem k Poincarého skupina (pokud zvolíme správné akce z Poincarého skupina na spinorově hodnotných funkcích. To je však subtilní otázka a pokud to chceme matematicky pečlivě upravit, měli bychom říci, že je invariantní vůči skupině, která je dvojitý kryt skupiny Poincaré)
The konformní Killingova rovnice
${displaystyle X ^ {a} mapsto abla _ {(a} X_ {b)} - {frac {1} {n}} abla _ {c} X ^ {c} g_ {ab}}$
je konformně invariantní lineární diferenciální operátor mezi vektorovými poli a symetrickými tenzory bez stop.

Konformní invariance

Koule (zde zobrazená jako červený kruh) jako konformní homogenní potrubí.

Vzhledem k tomu, metrika

{displaystyle g (x, y) = x_ {1} y_ {n + 2} + x_ {n + 2} y_ {1} + součet _ {i = 2} ^ {n + 1} x_ {i} y_ { já}}

na ${displaystyle mathbb {R} ^ {n + 2}}$ , můžeme napsat koule ${displaystyle S ^ {n}}$ jako prostor generátorů žádný kužel

{displaystyle S ^ {n} = {[x] v mathbb {RP} _ {n + 1};:; g (x, x) = 0}.}

Tímto způsobem je plochý model konformní geometrie je koule ${displaystyle S ^ {n} = G / P}$ s ${displaystyle G = SO_ {0} (n + 1,1)}$ a P stabilizátor bodu v ${displaystyle mathbb {R} ^ {n + 2}}$ . Klasifikace všech lineárních konformně invariantních diferenciálních operátorů ve sféře je známá (Eastwood a Rice, 1987).^[2]

Viz také

Poznámky

^ Penrose a Rindler (1987). Spinors a časoprostor. Cambridge monografie o matematické fyzice.
^ M.G. Eastwood a J.W. Rice (1987). "Konformně invariantní diferenciální operátory v Minkowského prostoru a jejich zakřivené analogy". Commun. Matematika. Phys. 109 (2): 207–228.

^[1]

Reference

Slovák, Jan (1993). Invariantní operátoři na konformních potrubích. Přednášky o výzkumu, Vídeňská univerzita (disertační práce). Externí odkaz v | název = (Pomoc)
Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). Přirozené operátory v diferenciální geometrii (PDF). Springer-Verlag, Berlín, Heidelberg, New York. Archivovány od originál (PDF) dne 2017-03-30. Citováno 2011-01-05.
Eastwood, M. G .; Rice, J. W. (1987). "Konformně invariantní diferenciální operátory v Minkowského prostoru a jejich zakřivené analogy". Commun. Matematika. Phys. 109 (2): 207–228. Bibcode:1987CMaPh.109..207E. doi:10.1007 / BF01215221.
Kroeske, Jens (2008). "Invariantní bilineární diferenciální párování na parabolických geometriích". Doktorská práce z University of Adelaide. arXiv:0904.3311. Bibcode:2009PhDT ....... 274 tis.

^ Dobrev, Vladimir (1988). „Kanonická konstrukce propletených diferenciálních operátorů spojená s reprezentacemi skutečných polojednoduchých Lieových skupin“. Rept. Matematika. Phys. 25 (2): 159–181. Bibcode:1988RpMP ... 25..159D. doi:10.1016 / 0034-4877 (88) 90050-X.

[1] Penrose a Rindler (1987). Spinors a časoprostor. Cambridge monografie o matematické fyzice.

[2] M.G. Eastwood a J.W. Rice (1987). "Konformně invariantní diferenciální operátory v Minkowského prostoru a jejich zakřivené analogy". Commun. Matematika. Phys. 109 (2): 207–228.

[3] Dobrev, Vladimir (1988). „Kanonická konstrukce propletených diferenciálních operátorů spojená s reprezentacemi skutečných polojednoduchých Lieových skupin“. Rept. Matematika. Phys. 25 (2): 159–181. Bibcode:1988RpMP ... 25..159D. doi:10.1016 / 0034-4877 (88) 90050-X.

[1]

[2]

[1]