Věta o posunu - Shift theorem

v matematika, (exponenciální) věta o posunu je teorém o polynomiální diferenciální operátory (D- operátoři) a exponenciální funkce. Umožňuje to vyloučit v určitých případech exponenciál zpod D- operátoři.

Prohlášení

Věta říká, že pokud P(D) je polynom D- operátor tedy pro všechny dostatečně rozlišitelný funkce y,

${ displaystyle P (D) (e ^ {ax} y) ekviv e ^ {ax} P (D + a) y.}$

Chcete-li prokázat výsledek, pokračujte do indukce. Všimněte si, že pouze speciální případ

${ displaystyle P (D) = D ^ {n}}$

je třeba prokázat, protože následuje obecný výsledek linearita z D- operátoři.

Výsledek jednoznačně platí pro n = 1 od té doby

${ displaystyle D (e ^ {ax} y) = e ^ {ax} (D + a) y.}$

Nyní předpokládejme, že výsledek platí pro n = k, to znamená,

${ displaystyle D ^ {k} (e ^ {ax} y) = e ^ {ax} (D + a) ^ {k} y.}$

Pak,

${ displaystyle { begin {seřazeno} D ^ {k + 1} (e ^ {ax} y) & equiv { frac {d} {dx}} {e ^ {ax} (D + a) ^ {k} y } & {} = e ^ {ax} { frac {d} {dx}} {(D + a) ^ {k} y } + ae ^ {ax} {( D + a) ^ {k} y } & {} = e ^ {ax} left { left ({ frac {d} {dx}} + a right) (D + a) ^ {k} y right } & {} = e ^ {ax} (D + a) ^ {k + 1} y. end {aligned}}}$

Tím je důkaz dokončen.

Větu posunu lze stejně dobře aplikovat na inverzní operátory:

${ displaystyle { frac {1} {P (D)}} (e ^ {ax} y) = e ^ {ax} { frac {1} {P (D + a)}} y.}$

Příbuzný

Existuje podobná verze věty o posunu pro Laplaceovy transformace (${ displaystyle t$):

${ displaystyle e ^ {- as} { mathcal {L}} (f (t)) = { mathcal {L}} (f (t-a)).}$

Příklady

Teorém o exponenciálním posunu lze použít k urychlení výpočtu vyšších derivací funkcí, které jsou dány součinem exponenciálu a jiné funkce. Například pokud ${ displaystyle f (x) = sin (x) e ^ {x}}$, jeden to má

${ displaystyle D ^ {3} f = D ^ {3} (e ^ {x} sin (x)) = e ^ {x} (D + 1) ^ {3} sin (x) = e ^ {x} (D ^ {3} + 3D ^ {2} + 3D + 1) sin (x) = e ^ {x} (- cos (x) -3 sin (x) +3 cos ( x) + sin (x))}$

Další aplikací věty o exponenciálním posunu je řešení lineární diferenciální rovnice jehož charakteristický polynom má opakované kořeny.^[1]

Poznámky

Reference

• Morris, Tenenbaum; Pollard, Harry (1985). Obyčejné diferenciální rovnice: základní učebnice pro studenty matematiky, techniky a přírodních věd. New York: Dover Publications. ISBN  0486649407. OCLC  12188701.