Operátor Delta - Delta operator

v matematika, a operátor delta je ekvivalenční posun lineární operátor ${ displaystyle Q colon mathbb {K} [x] longrightarrow mathbb {K} [x]}$ na vektorový prostor z polynomy v proměnné ${ displaystyle x}$ přes pole ${ displaystyle mathbb {K}}$ to snižuje stupně o jednu.

To říct ${ displaystyle Q}$ je ekvivalenční posun znamená, že pokud ${ displaystyle g (x) = f (x + a)}$ , pak

{ displaystyle {(Qg) (x) = (Qf) (x + a)}. ,}

Jinými slovy, pokud ${ displaystyle f}$ je "posun„z ${ displaystyle g}$ , pak ${ displaystyle Qf}$ je také posun o ${ displaystyle Qg}$ , a má stejný "řadicí vektor" ${ displaystyle a}$ .

To říct operátor snižuje stupeň o jeden znamená, že pokud ${ displaystyle f}$ je polynom stupně ${ displaystyle n}$ , pak ${ displaystyle Qf}$ je polynom stupně ${ displaystyle n-1}$ , nebo pro případ ${ displaystyle n = 0}$ , ${ displaystyle Qf}$ je 0.

Někdy a operátor delta je definována jako posunově ekvivariantní lineární transformace na polynomech v ${ displaystyle x}$ že mapy ${ displaystyle x}$ na nenulovou konstantu. Zdánlivě slabší než výše uvedená definice lze prokázat, že tato druhá charakteristika je ekvivalentní s uvedenou definicí, když ${ displaystyle mathbb {K}}$ má charakteristickou nulu, protože ekvivalence směn je poměrně silná podmínka.

Příklady

Vpřed operátor rozdílu

{ displaystyle ( Delta f) (x) = f (x + 1) -f (x) ,}

je operátor delta.

Diferenciace s ohledem na X, psáno jako D, je také operátorem delta.
Libovolný operátor formuláře

{ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} c_ {k} D ^ {k}}

(kde Dⁿ(ƒ) = ƒ⁽ⁿ⁾ je n^th derivát) s

{ displaystyle c_ {1} neq 0}

je operátor delta. Je možné ukázat, že všechny delta operátory lze zapsat v tomto formuláři. Například výše uvedený operátor rozdílu lze rozšířit jako

{ displaystyle Delta = e ^ {D} -1 = součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {D ^ {k}} {k!}}.}

Zobecněný derivát kalkul časové stupnice který sjednocuje operátor dopředného rozdílu s derivací standardu počet je operátor delta.
v počítačová věda a kybernetika, termín "operátor delta-diskrétního času" (5) je obecně chápán jako operátor rozdílu

{ displaystyle {( delta f) (x) = {{f (x + Delta t) -f (x)} nad { Delta t}}}}}

the Eulerova aproximace obvyklé derivace s diskrétním časem vzorkování

{ displaystyle Delta t}

. Delta-formulace získává značný počet numerických výhod ve srovnání s operátorem posunu při rychlém vzorkování.

Základní polynomy

Každý delta operátor ${ displaystyle Q}$ má jedinečnou sekvenci "základních polynomů", a polynomiální sekvence definované třemi podmínkami:

${ displaystyle p_ {0} (x) = 1;}$
${ displaystyle p_ {n} (0) = 0;}$
${ displaystyle (Qp_ {n}) (x) = np_ {n-1} (x), ; pro všechny n in mathbb {N}.}$

Taková posloupnost základních polynomů vždy existuje binomický typ, a lze ukázat, že neexistují žádné další sekvence binomického typu. Pokud jsou zrušeny první dvě podmínky výše, pak třetí podmínka říká, že tato polynomiální sekvence je a Shefferova sekvence —Obecnější pojem.

Viz také

Reference

Nikol'Skii, Nikolai Kapitonovich (1986), Pojednání o operátorovi posunu: teorie spektrálních funkcí, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-15021-5