Pravděpodobný proud - Probability current - Wikipedia

Část a série na
Kvantová mechanika
${ displaystyle i hbar { frac { částečné} { částečné t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}$ Schrödingerova rovnice
Úvod Glosář Dějiny Učebnice
Pozadí Klasická mechanika Stará kvantová teorie Braketová notace Hamiltonian Rušení
Základy Soudržnost Decoherence Doplňkovost Úroveň energie Zapletení Hamiltonian Princip nejistoty Základní stav Rušení Měření Nelokálnost Pozorovatelný Operátor Kvantové Kvantová fluktuace Kvantové číslo Kvantový šum Kvantová říše Kvantový stav Kvantový systém Kvantová teleportace Qubit Roztočit Superpozice Symetrie (Spontánní) narušení symetrie Stav vakua Šíření vln Vlnová funkce Sbalení vlnové funkce Dualita vln-částic Vlna hmoty
Účinky Zeemanův efekt Stark efekt Aharonov – Bohmův efekt Landau kvantování Kvantový Hallův efekt Kvantový zeno efekt Kvantové tunelování Fotoelektrický efekt Kazimírův efekt
Experimenty Bellova nerovnost Davisson – Germer Double-slit Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Nerovnost Leggett – Garg Mach – Zehnder Popper Kvantová guma  (zpožděná volba ) Schrödingerova kočka Stern – Gerlach Wheelerova zpožděná volba
Formulace Přehled Heisenberg Interakce Matice Fázový prostor Schrödinger Sum-over-histories (cesta-integrál)
Rovnice Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger
Výklady Přehled Bayesian Konzistentní historie Kodaň de Broglie – Bohm Soubor Skrytá proměnná Mnoho světů Objektivní kolaps Kvantová logika Relační Stochastický Transakční
Pokročilá témata Kvantové žíhání Kvantový chaos Kvantové výpočty Kvantová geometrie Matice hustoty Teorie kvantového pole Frakční kvantová mechanika Kvantová gravitace Kvantová informační věda Kvantové strojové učení Poruchová teorie (kvantová mechanika) Relativistická kvantová mechanika Teorie rozptylu Spontánní parametrická down-konverze Kvantová statistická mechanika
Vědci Aharonov Zvonek Blackett Bloch Bohm Bohr narozený Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramers Pauli jehněčí Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Vídeň Vůdce Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
Kategorie ► Kvantová mechanika

v kvantová mechanika, pravděpodobnostní proud (někdy nazývané pravděpodobnost tok) je matematická veličina popisující tok pravděpodobnost z hlediska pravděpodobnosti za jednotku času na jednotku plochy. Konkrétně, pokud někdo popisuje hustotu pravděpodobnosti jako a heterogenní tekutina, pak pravděpodobnostní proud je rychlost proudění této tekutiny. To je analogické k hmotnostní proudy v hydrodynamika a elektrické proudy v elektromagnetismus. Je to nemovitý vektor, jako elektrický proudová hustota. Koncept pravděpodobnostního proudu je užitečným formalismem v kvantové mechanice. Pravděpodobnostní proud je neměnný pod Transformace měřidla.

Definice (nerelativistické 3-aktuální)

Zdarma spin-0 částice

V nerelativistické kvantové mechanice je pravděpodobnostní proud j z vlnová funkce ${ displaystyle Psi}$ v jedné dimenzi je definována jako ^[1]

${ displaystyle j = { frac { hbar} {2mi}} vlevo ( Psi ^ {*} { frac { částečné Psi} { částečné x}} - Psi { frac { částečné Psi ^ {*}} { částečné x}} vpravo),}$

kde ${ displaystyle Psi ^ {*}}$ označuje komplexní konjugát z vlnová funkce, úměrný a Wronskian ${ displaystyle W ( Psi, Psi ^ {*})}$.

Ve třech rozměrech se to zobecňuje na

${ displaystyle mathbf {j} = { frac { hbar} {2mi}} vlevo ( Psi ^ {*} mathbf { nabla} Psi - Psi mathbf { nabla} Psi ^ { *}že jo),,}$

kde ħ je redukovaný Planckova konstanta, m je částice Hmotnost, Ψ je vlnová funkce, a otes označuje del nebo spád operátor.

To lze zjednodušit, pokud jde o operátor kinetické hybnosti,

${ displaystyle mathbf { hat {p}} = -i hbar nabla}$

získat

${ displaystyle mathbf {j} = { frac {1} {2m}} vlevo ( Psi ^ {*} mathbf { hat {p}} Psi - Psi mathbf { hat {p} } Psi ^ {*} vpravo) ,.}$

Tyto definice používají polohovou základnu (tj. Pro vlnovou funkci v poziční prostor ), ale hybný prostor je možné.

Spin-0 částice v elektromagnetickém poli

Výše uvedená definice by měla být u externího systému upravena elektromagnetické pole. v SI jednotky, a nabitá částice hmoty m a elektrický náboj q zahrnuje termín kvůli interakci s elektromagnetickým polem;^[2]

${ displaystyle mathbf {j} = { frac {1} {2m}} left [ left ( Psi ^ {*} mathbf { hat {p}} Psi - Psi mathbf { hat {p}} Psi ^ {*} right) -2q mathbf {A} | Psi | ^ {2} right] , !}$

kde A = A(r, t) je magnetický potenciál (aka)A-field "). Termín qA má rozměry hybnosti. Všimněte si, že ${ displaystyle mathbf { hat {p}} = -i hbar nabla}$ zde se používá kanonická hybnost a není měřidlo neměnné, na rozdíl od operátor kinetické hybnosti ${ displaystyle mathbf { hat {P}} = -i hbar nabla -q mathbf {A}}$.

v Gaussovy jednotky:

${ displaystyle mathbf {j} = { frac {1} {2m}} left [ left ( Psi ^ {*} mathbf { hat {p}} Psi - Psi mathbf { hat {p}} Psi ^ {*} right) -2 { frac {q} {c}} mathbf {A} | Psi | ^ {2} right] , !}$

kde C je rychlost světla.

Roztočit-s částice v elektromagnetickém poli

Pokud má částice roztočit, má odpovídající magnetický moment, takže je třeba přidat další člen zahrnující spinovou interakci s elektromagnetickým polem. V jednotkách SI:^[3]

${ displaystyle mathbf {j} = { frac {1} {2m}} left [ left ( Psi ^ {*} mathbf { hat {p}} Psi - Psi mathbf { hat {p}} Psi ^ {*} right) -2q mathbf {A} | Psi | ^ {2} right] + { frac { mu _ {S}} {s}} nabla krát ( Psi ^ {*} mathbf {S} Psi) , !}$

kde S je roztočit vektor částice s odpovídajícím spinovým magnetickým momentem μ_S a točit kvantové číslo s. V gaussovských jednotkách:

${ displaystyle mathbf {j} = { frac {1} {2m}} left [ left ( Psi ^ {*} mathbf { hat {p}} Psi - Psi mathbf { hat {p}} Psi ^ {*} right) -2 { frac {q} {c}} mathbf {A} | Psi | ^ {2} right] + { frac { mu _ { S} c} {s}} nabla times ( Psi ^ {*} mathbf {S} Psi) , !}$

Spojení s klasickou mechanikou

Vlnovou funkci lze také zapsat do komplex exponenciální (polární ) forma:^[4]

${ displaystyle Psi = Re ^ {iS / hbar}}$

kde R a S jsou skutečné funkce r a t.

Napsáno tímto způsobem je hustota pravděpodobnosti

${ displaystyle rho = Psi ^ {*} Psi = R ^ {2}}$

a pravděpodobnostní proud je:

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {j} & = { frac { hbar} {2mi}} left ( Psi ^ {*} mathbf { nabla} Psi - Psi mathbf { nabla} Psi ^ {*} vpravo) [5pt] & = { frac { hbar} {2mi}} vlevo (Re ^ {- iS / hbar} mathbf { nabla} Re ^ {iS / hbar} -Re ^ {iS / hbar} mathbf { nabla} Re ^ {- iS / hbar} right) [5pt] & = { frac { hbar} {2mi} } left [Re ^ {- iS / hbar} (e ^ {iS / hbar} mathbf { nabla} R + { frac {i} { hbar}} Re ^ {iS / hbar} mathbf { nabla} S) -Re ^ {iS / hbar} (e ^ {- iS / hbar} mathbf { nabla} R - { frac {i} { hbar}} Re ^ {- iS / hbar} mathbf { nabla} S) right]. end {zarovnáno}}}$

Exponenciály a R∇R podmínky zrušit:

${ displaystyle = { frac { hbar} {2mi}} vlevo [{ frac {i} { hbar}} R ^ {2} mathbf { nabla} S + { frac {i} { hbar }} R ^ {2} mathbf { nabla} S vpravo].}$

Nakonec kombinace a zrušení konstant a nahrazení R² s ρ,

${ displaystyle mathbf {j} = rho { frac { mathbf { nabla} S} {m}}.}$

Vezmeme-li známý vzorec pro aktuální:

${ displaystyle mathbf {j} = rho mathbf {v},}$

kde proti je rychlost částice (také skupinová rychlost vlny), můžeme rychlost spojit s ∇S / m, což je totéž jako rovnice ∇S s klasickým momentem p = mproti. Tato interpretace odpovídá Teorie Hamilton – Jacobi, ve kterém

${ displaystyle mathbf {p} = nabla S}$

v kartézských souřadnicích je dáno ∇S, kde S je Hamiltonova hlavní funkce.

Motivace

Rovnice kontinuity pro kvantovou mechaniku

Definici pravděpodobnostního proudu a Schrödingerovu rovnici lze použít k odvození rovnice spojitosti, který má přesně stejné formy jako pro hydrodynamika a elektromagnetismus:^[5]

${ displaystyle { frac { částečné rho} { částečné t}} + mathbf { nabla} cdot mathbf {j} = 0}$

kde hustota pravděpodobnosti ${ displaystyle rho ,}$ je definován jako

${ displaystyle rho ( mathbf {r}, t) = | Psi | ^ {2} = Psi ^ {*} ( mathbf {r}, t) Psi ( mathbf {r}, t) ,}$.

Pokud bychom měli integrovat obě strany rovnice kontinuity s ohledem na objem, tak to

${ displaystyle int _ {V} vlevo ({ frac { částečné | Psi | ^ {2}} { částečné t}} pravé) mathrm {d} V + int _ {V} vlevo ( mathbf { nabla} cdot mathbf {j} vpravo) mathrm {d} V = 0}$

pak věta o divergenci znamená, že rovnice kontinuity je ekvivalentní s integrální rovnice

${ displaystyle { frac { částečné} { částečné t}} int _ {V} | Psi | ^ {2} mathrm {d} V +}$ ${ displaystyle scriptstyle S}$ ${ displaystyle mathbf {j} cdot mathrm {d} mathbf {S} = 0}$

Kde PROTI je libovolný svazek a S je hranice PROTI. To je zákon o ochraně přírody pro pravděpodobnost v kvantové mechanice.

Zejména pokud Ψ je vlnová funkce popisující jedinou částici, integrál v prvním členu předchozí rovnice, sans časová derivace, je pravděpodobnost získání hodnoty v PROTI když se měří poloha částice. Druhým členem je pak míra, s jakou vychází pravděpodobnost z objemu PROTI. Celkově rovnice uvádí, že časová derivace pravděpodobnosti měření částice v PROTI se rovná míře, do které vpadá pravděpodobnost PROTI.

Přenos a reflexe prostřednictvím potenciálů

V regionech, kde krokový potenciál nebo potenciální bariéra nastane, pravděpodobnostní proud souvisí s koeficienty přenosu a odrazu T a R; měří rozsah, v jakém se částice odrážejí od potenciální bariéry nebo jsou přes ni přenášeny. Oba uspokojují:

${ displaystyle T + R = 1 ,,}$

kde T a R lze definovat:

${ displaystyle T = { frac {| mathbf {j} _ { mathrm {trans}} |} {| mathbf {j} _ { mathrm {inc}} |}} ,, quad R = { frac {| mathbf {j} _ { mathrm {ref}} |} {| mathbf {j} _ { mathrm {inc}} |}} ,,}$

kde j_vč, j_ref a j_trans jsou dopadající, odražené a přenášené pravděpodobnostní proudy a svislé pruhy označují veličiny aktuálních vektorů. Vztah mezi T a R lze získat z zachování pravděpodobnosti:

${ displaystyle mathbf {j} _ { mathrm {trans}} + mathbf {j} _ { mathrm {ref}} = mathbf {j} _ { mathrm {inc}} ,.}$

Z hlediska a jednotkový vektor n normální k bariéře, jsou rovnocenně:

${ displaystyle T = left | { frac { mathbf {j} _ { mathrm {trans}} cdot mathbf {n}} { mathbf {j} _ { mathrm {inc}} cdot mathbf {n}}} right | ,, qquad R = left | { frac { mathbf {j} _ { mathrm {ref}} cdot mathbf {n}} { mathbf {j} _ { mathrm {inc}} cdot mathbf {n}}} vpravo | ,,}$

kde je nutné zabránit absolutním hodnotám T a R být negativní.

Příklady

Rovinná vlna

Pro rovinná vlna šířící se ve vesmíru:

${ displaystyle Psi ( mathbf {r}, t) = , Ae ^ {i ( mathbf {k} cdot { mathbf {r}} - omega t)}}$

hustota pravděpodobnosti je všude konstantní;

${ displaystyle rho ( mathbf {r}, t) = | A | ^ {2} rightarrow { frac { částečné | Psi | ^ {2}} { částečné t}} = 0}$

(to znamená, že rovinné vlny jsou stacionární stavy ), ale pravděpodobnostní proud je nenulový - čtverec absolutní amplitudy vlnových časů rychlosti částice;

${ displaystyle mathbf {j} left ( mathbf {r}, t right) = left | A right | ^ {2} { hbar mathbf {k} over m} = rho { frac { mathbf {p}} {m}} = rho mathbf {v}}$

ilustrující, že částice může být v pohybu, i když její hustota prostorové pravděpodobnosti nemá žádnou výslovnou časovou závislost.

Částice v krabici

Pro částice v krabici, v jednom prostorovém rozměru a délce L, omezeno na region;

${ displaystyle 0$

energetické vlastní stavy jsou

${ displaystyle Psi _ {n} = { sqrt { frac {2} {L}}} sin vlevo ({ frac {n pi} {L}} x vpravo)}$

a nula jinde. Přidružené pravděpodobnostní proudy jsou

${ displaystyle j_ {n} = { frac {i hbar} {2m}} vlevo ( Psi _ {n} ^ {*} { frac { částečné Psi _ {n}} { částečné x }} - Psi _ {n} { frac { částečné Psi _ {n} ^ {*}} { částečné x}} vpravo) = 0}$

od té doby

${ displaystyle Psi _ {n} = Psi _ {n} ^ {*}}$

Diskrétní definice

Pro částici v jedné dimenzi ${ displaystyle ell ^ {2} left ( mathbb {Z} right)}$, máme Hamiltonian ${ displaystyle H = - Delta + V}$ kde ${ displaystyle - Delta equiv 2I-S-S ^ { ast}}$ je diskrétní Laplacian, s ${ displaystyle S}$ být správným operátorem směny ${ displaystyle ell ^ {2} left ( mathbb {Z} right)}$. Pak je pravděpodobnostní proud definován jako ${ displaystyle j equiv 2 Im {{ bar { Psi}} iv Psi }}$, s ${ displaystyle v}$ operátor rychlosti rovný ${ displaystyle v equiv -i [X, , H]}$ a ${ displaystyle X}$ je zapnutý poziční operátor ${ displaystyle ell ^ {2} left ( mathbb {Z} right)}$. Od té doby ${ displaystyle V}$ je obvykle operátor násobení ${ displaystyle ell ^ {2} left ( mathbb {Z} right)}$, můžeme bezpečně psát ${ displaystyle -i [X, , H] = - i [X, , - Delta] = - i doleva [X, , - SS ^ { ast} doprava] = iS-iS ^ { ast}}$.

Ve výsledku zjistíme: ${ displaystyle j left (x right) equiv 2 Im {{ bar { Psi}} (x) iv Psi (x) } = 2 Im {{bar { Psi} } (x) left ((- S Psi) (x) + (S ^ { ast} Psi) (x) right) } = 2 Im {{ bar { Psi}} ( x) left (- Psi (x-1) + Psi (x + 1) right) }}$

Reference

• Kvantová fyzika atomů, molekul, pevných látek, jader a částic (2. vydání), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN  978-0-471-87373-0