Dehn twist - Dehn twist

Na válec kolem červené křivky se aplikoval pozitivní Dehnův zvrat C upraví zelenou křivku, jak je znázorněno.

v geometrická topologie, pobočka matematika, a Dehn twist je určitý typ self-homeomorphism a povrch (dvourozměrný potrubí ).

Definice

Generál Dehn se otočil na kompaktní ploše představované a n-gon.

Předpokládejme to C je jednoduchá uzavřená křivka v uzavřeném, orientovatelný povrch S. Nechat A být trubkové sousedství z C. Pak A je prstenec, homeomorfní do kartézský součin kruhu a jednotkový interval Já:

${ displaystyle c podmnožina A cong S ^ {1} krát I.}$

Dát A souřadnice (s, t) kde s je komplexní číslo formuláře ${ displaystyle e ^ {i theta}}$ s ${ displaystyle theta v [0,2 pi],}$ a t ∈ [0, 1].

Nechat F být mapou z S sama sobě, což je identita mimo A a uvnitř A my máme

${ displaystyle f (s, t) = left (se ^ {i2 pi t}, t right).}$

Pak F je Dehn twist o křivce C.

Dehnovy zákruty lze definovat také na neorientovatelném povrchu S, za předpokladu, že jeden začíná a 2stranný jednoduchá uzavřená křivka C na S.

Příklad

Příklad Dehnova zkroucení na torusu podél uzavřené křivky A, modře, kde A je hrana základního polygonu představující torus.

Automorfismus na základní skupině torusu indukovaný self-homeomorfismem Dehnova kroucení se podél jednoho z generátorů torusu.

Zvažte torus zastoupená a základní polygon s hranami A a b

${ displaystyle mathbb {T} ^ {2} cong mathbb {R} ^ {2} / mathbb {Z} ^ {2}.}$

Nechť uzavřená křivka je čára podél okraje A volala ${ displaystyle gamma _ {a}}$.

Vzhledem k volbě lepení homeomorfismu na obrázku je trubkovité okolí křivky ${ displaystyle gamma _ {a}}$ bude vypadat jako kapela spojená kolem koblihy. Tato čtvrť je homeomorfní pro prstenec, řekněme

${ displaystyle a (0; 0,1) = {z v mathbb {C}: 0 <| z | <1 }}$

v komplexní rovině.

Prodloužením k torusu se zkroucená mapa ${ Displaystyle left (e ^ {i theta}, t right) mapsto left (e ^ {i left ( theta +2 pi t right)}, t right)}$ mezikruží, přes homeomorfismy mezikruží k otevřenému válci do sousedství ${ displaystyle gamma _ {a}}$, získá Dehnovo kroucení torusu o A.

${ displaystyle T_ {a}: mathbb {T} ^ {2} to mathbb {T} ^ {2}}$

Tento vlastní homeomorfismus působí na uzavřenou křivku b. V tubulárním sousedství má křivku b jednou podél křivkyA.

Homeomorfismus mezi topologickými prostory indukuje přirozený izomorfismus mezi nimi základní skupiny. Proto má člověk automorfismus

${ displaystyle {T_ {a}} _ { ast}: pi _ {1} left ( mathbb {T} ^ {2} right) to pi _ {1} left ( mathbb { T} ^ {2} right): [x] mapsto left [T_ {a} (x) right]}$

kde [X] jsou třídy homotopy uzavřené křivky X v torusu. Oznámení ${ displaystyle {T_ {a}} _ { ast} ([a]) = [a]}$ a ${ displaystyle {T_ {a}} _ { ast} ([b]) = [b * a]}$, kde ${ displaystyle b * a}$ je cesta, kterou jste cestovali b pak A.

Mapování skupiny tříd

3G - 1 křivky z věty o kroucení, zde zobrazené pro G = 3.

Je to věta o Max Dehn že mapy tohoto formuláře generují skupina tříd mapování z izotopy třídy homeomorfismů zachovávající orientaci jakéhokoli uzavřeného, ​​orientovaného rod -${ displaystyle g}$ povrch. W. B. R. Lickorish později znovu objevil tento výsledek s jednodušším důkazem a navíc ukázal, že Dehn se kroutí ${ displaystyle 3g-1}$ explicitní křivky generují skupinu tříd mapování (toto se nazývá podřadným názvem „Lickorish twist theorem“); toto číslo bylo později vylepšeno o Stephen P. Humphries na ${ displaystyle 2g + 1}$, pro ${ displaystyle g> 1}$, což ukázal minimální počet.

Lickorish také získal analogický výsledek pro neorientovatelné povrchy, které vyžadují nejen Dehnovy zákruty, ale také „Y-homeomorfismy."

Viz také

• Vztah lucerny

Reference

• Andrew J. Casson, Steven A Bleiler, Automorfismy povrchů po Nielsenovi a Thurstonovi, Cambridge University Press, 1988. ISBN  0-521-34985-0.
• Stephen P. Humphries, „Generátory pro skupinu tříd mapování,“ in: Topologie nízkodimenzionálních potrubí (Proc. Second Sussex Conf., Chelwood Gate, 1977), s. 44–47, Lecture Notes in Math., 722, Springer, Berlín, 1979. PAN0547453
• W. B. R. Lickorish, "Reprezentace orientovatelných kombinatorických 3-variet." Ann. matematiky. (2) 76 1962 531—540. PAN0151948
• W. B. R. Lickorish, „Konečná sada generátorů pro homotopickou skupinu 2-potrubí“, Proc. Cambridge Philos. Soc. 60 (1964), 769–778. PAN0171269