Hyperbolický úhel - Hyperbolic angle

Hyperbolický úhel je postava ohraničená dvěma paprsky a hyperbolickým obloukem. Ve stínu sektor je v standardní pozice -li A = 1

v matematika, a hyperbolický úhel je geometrický útvar, který definuje a hyperbolický sektor. Vztah hyperbolického úhlu k hyperbole se vyrovná vztahu „obyčejného“ úhel do a kruh.

Velikost hyperbolického úhlu je plocha odpovídajícího sektoru hyperboly xy = 1. Tato hyperbola je obdélníkový s poloviční hlavní osou ${ displaystyle { sqrt {2}}}$, analogicky k velikosti oběžníku úhel odpovídající ploše a kruhový sektor v kruhu s poloměrem ${ displaystyle { sqrt {2}}}$.

Hyperbolický úhel se používá jako nezávislé proměnné pro hyperbolické funkce sinh, cosh a tanh, protože tyto funkce lze předpokládat na hyperbolických analogiích s odpovídajícími kruhovými trigonometrickými funkcemi tím, že hyperbolický úhel považujeme za definici hyperbolický trojúhelník Parametr se tak stává jedním z nejužitečnějších v počet z nemovitý proměnné.

Definice

Zvažte obdélníkovou hyperbolu ${ displaystyle textstyle {(x, { frac {1} {x}}): x> 0 }}$, a (podle konvence) věnovat zvláštní pozornost větev ${ displaystyle x> 1}$.

Nejprve definujte:

• Hyperbolický úhel dovnitř standardní pozice je úhel na ${ displaystyle (0,0)}$ mezi paprskem do ${ displaystyle (1,1)}$ a paprsek do ${ displaystyle textstyle (x, { frac {1} {x}})}$, kde ${ displaystyle x> 1}$.
• Velikost tohoto úhlu je plocha odpovídajících hyperbolický sektor, což se ukázalo být ${ displaystyle operatorname {ln} x}$.

Všimněte si, že z důvodu role, kterou hraje přirozený logaritmus:

• Na rozdíl od kruhového úhlu je hyperbolický úhel neomezený (protože ${ displaystyle operatorname {ln} x}$ je neomezený); to souvisí se skutečností, že harmonická řada je neomezený.
• Vzorec pro velikost úhlu naznačuje, že pro ${ displaystyle 0$, hyperbolický úhel by měl být záporný. To odráží skutečnost, že podle definice je úhel režie.

Nakonec rozšířte definici hyperbolický úhel k tomu podřízené jakýmkoli intervalem v hyperbole. Předpokládat ${ displaystyle a, b, c, d}$ jsou kladná reálná čísla takhle ${ displaystyle ab = cd = 1}$ a ${ displaystyle c> a> 1}$, aby ${ displaystyle (a, b)}$ a ${ displaystyle (c, d)}$ jsou body na hyperbole ${ displaystyle xy = 1}$ a určit na něm interval. Pak zmáčknout mapování ${ displaystyle textstyle f: (x, y) to (bx, ay)}$ mapuje úhel ${ Displaystyle úhel ! vlevo ((a, b), (0,0), (c, d) vpravo)}$ do standardní pozice úhel ${ displaystyle úhel ! doleva ((1,1), (0,0), (bc, reklama) doprava)}$. Výsledkem Gregoire de Saint-Vincent, hyperbolické sektory určené těmito úhly mají stejnou plochu, která je považována za velikost úhlu. Tato velikost je ${ displaystyle operatorname {ln} {(bc)} = operatorname {ln} (c / a) = operatorname {ln} c- operatorname {ln} a}$.

Porovnání s kruhovým úhlem

Jednotka hyperbola má sektor o ploše poloviny hyperbolického úhlu

Kruhový vs. hyperbolický úhel

A jednotkový kruh ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ má kruhový sektor s plochou polovinou kruhového úhlu v radiánech. Analogicky, a jednotka hyperbola ${ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = 1}$ má hyperbolický sektor s oblastí polovinou hyperbolického úhlu.

Existuje také projektivní rozlišení mezi kruhovými a hyperbolickými případy: obě křivky jsou kuželovité úseky, a proto jsou považovány za projektivní rozsahy v projektivní geometrie. Vzhledem k tomu, že počáteční bod v jednom z těchto rozsahů odpovídá ostatním bodům, odpovídá úhlům. Myšlenka přidání úhlů, základní pro vědu, odpovídá přidání bodů na jednom z těchto rozsahů následovně:

Kruhové úhly lze charakterizovat geometricky podle vlastnosti, že pokud dva akordy P₀P₁ a P₀P₂ subtend úhly L₁ a L₂ ve středu kruhu, jejich součet L₁ + L₂ je úhel vymezený akordem PQ, kde PQ musí být paralelní s P₁P₂.

Stejnou konstrukci lze použít i na hyperbolu. Li P₀ to je považováno za smysl (1, 1), P₁ bod (X₁, 1/X₁), a P₂ bod (X₂, 1/X₂), pak to vyžaduje paralelní podmínka Q být bod (X₁X₂, 1/X₁1/X₂). Má tedy smysl definovat hyperbolický úhel od P₀ do libovolného bodu na křivce jako logaritmická funkce hodnoty bodu X.^[1][2]

Zatímco v euklidovské geometrii pohybující se rovnoměrně v ortogonálním směru k paprsku od počátku sleduje kruh, v pseudoeuklidovská rovina neustálý pohyb kolmo k paprsku od počátku sleduje hyperbolu. V euklidovském prostoru násobek daného úhlu sleduje stejné vzdálenosti kolem kruhu, zatímco exponenciální vzdálenosti sleduje na hyperbolické přímce.^[3]

Kruhový i hyperbolický úhel poskytují instance invariantní míra. Oblouky s úhlovou velikostí na kružnici generují a opatření jistě měřitelné sady na kruhu, jehož velikost se nemění, jak se kruh otáčí nebo otáčí se. U hyperboly je otáčení o zmáčknout mapování a velikosti hyperbolického úhlu zůstávají stejné, když je letadlo stlačeno mapováním

(X, y) ↦ (rx, y / r), s r > 0 .

Dějiny

The kvadratura z hyperbola je vyhodnocení oblasti a hyperbolický sektor. Může být ukázáno, že se rovná odpovídající oblasti proti asymptota. Kvadraturu nejprve provedl Gregoire de Saint-Vincent v roce 1647 v jeho významném období Opus geometrium quadrature circuli et sectionum coni. Jak vyjádřil historik,

[Udělal] kvadraturu hyperboly asymptoty, a ukázal, že jako plocha vzrostl v aritmetická řada the abscisy vzrostl v geometrické řady.^[4]

A. A. de Sarasa interpretoval kvadraturu jako a logaritmus a tedy geometricky definované přirozený logaritmus (nebo „hyperbolický logaritmus“) se chápe jako oblast pod y = 1/X napravo od X = 1. Jako příklad a transcendentální funkce, logaritmus je známější než jeho motivátor, hyperbolický úhel. Hyperbolický úhel však hraje roli, když věta o Svatém Vincenci je pokročilý s zmáčknout mapování.

Oběžník trigonometrie byl rozšířen na hyperbolu o Augustus De Morgan v jeho učebnice Trigonometrie a dvojitá algebra.^[5] V roce 1878 W.K. Clifford použil hyperbolický úhel k parametrizovat A jednotka hyperbola, popisující to jako „kvazi-harmonický pohyb ".

V roce 1894 Alexander Macfarlane obíhal svou esej „Imaginární z algebry“, která generovala pomocí hyperbolických úhlů hyperbolické versory, ve své knize Články o vesmírné analýze.^[6] Následující rok Bulletin of the American Mathematical Society zveřejněno Mellen W. Haskell je obrys hyperbolické funkce.^[7]

Když Ludwik Silberstein napsal svou populární učebnici z roku 1914 o nové teorie relativity, použil rychlost koncept založený na hyperbolickém úhlu A, kde tanh A = proti/C, poměr rychlosti proti do rychlost světla. Napsal:

Zdá se, že to stojí za zmínku jednotka rychlost odpovídá obrovské rychlosti, dosahující 3/4 rychlosti světla; přesněji máme proti = (.7616)C pro A = 1.

[...] rychlost A = 1, [...] následně bude představovat rychlost .76C což je něco nad rychlostí světla ve vodě.

Silberstein také používá Lobachevsky pojetí úhel rovnoběžnosti Π (A) získat cos Π (A) = proti/C.^[8]

Imaginární kruhový úhel

Hyperbolický úhel je často prezentován, jako by to byl imaginární číslo. Pokud tedy X je skutečné číslo a i² = −1, pak

${ displaystyle cos (ix) = cosh (x) quad { text {a}} quad sin (ix) = i sinh (x)}$

takže hyperbolické funkce cosh a sinh lze prezentovat pomocí kruhových funkcí. Ale tyto identity nevyplývají z kruhu nebo rotace, spíše je lze chápat ve smyslu nekonečná řada. Zejména ten, který vyjadřuje exponenciální funkce (${ displaystyle e ^ {x} = cosh x + sinh x !}$ ) se skládá ze sudých a lichých členů, první obsahují funkci cosh (${ displaystyle textstyle cosh x = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {2n}} {(2n)!}}}$), druhá funkce sinh (${ displaystyle textstyle sinh x = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}}}$). Nekonečná řada pro kosinus je odvozena z cosh jeho přeměnou na střídavé řady, a série pro sinus pochází z toho, že se sinh stává střídavou sérií. Výše uvedené identity používají číslo i odstranit střídavý faktor (−1)ⁿ z hlediska řady obnovit celé poloviny exponenciální řady. Nicméně v teorii holomorfní funkce, hyperbolické sinusové a kosinusové funkce jsou začleněny do komplex sinusové a kosinusové funkce.

Viz také

• Transcendentní úhel

Poznámky

Reference

• Janet Heine Barnett (2004) „Enter, stage center: the early drama of the hyperbolic functions“, dostupné v (a) Matematický časopis 77 (1): 15–30 nebo (b) kapitola 7 z Euler na 300, RE Bradley, LA D'Antonio, redaktoři CE Sandifer, Mathematical Association of America ISBN  0-88385-565-8 .
• Arthur Kennelly (1912) Aplikace hyperbolických funkcí na problémy elektrotechniky
• William Mueller, Za poznáním Precalculus, § Číslo e, Hyperbolická trigonometrie.
• John Stillwell (1998) Čísla a geometrie cvičení 9.5.3, s. 298, Springer-Verlag ISBN  0-387-98289-2.