Exotické R4 - Exotic R4

v matematika, an exotický ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ je diferencovatelné potrubí to je homeomorfní ale ne difeomorfní do Euklidovský prostor ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}.}$ První příklady našel v roce 1982 Michael Freedman a další pomocí kontrastu mezi Freedmanovými teorémy o topologických 4-varietách a Simon Donaldson Věty o hladkých čtyřech varietách.^[1][2] Tady je kontinuum nedifeomorfní diferencovatelné struktury z ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4},}$ jak nejprve ukázal Clifford Taubes.^[3]

Před touto konstrukcí, nedifeomorfní hladké struktury na sférách - exotické sféry - již bylo známo, že existují, i když otázka existence takových struktur pro konkrétní případ EU 4 koule zůstal otevřený (a stále zůstává otevřený od roku 2020). Pro jakékoli kladné celé číslo n kromě 4 nejsou na sobě žádné exotické hladké struktury ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n};}$ jinými slovy, pokud n ≠ 4 pak jakékoli hladké potrubí homeomorfní na ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ je difeomorfní ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}.}$^[4]

Malá exotika R⁴s

Exotika ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ je nazýván malý pokud jej lze plynule vložit jako otevřenou podmnožinu standardu ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}.}$

Malá exotika ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ lze zkonstruovat počínaje netriviálním hladkým 5-dimenzionálním h-cobordism (který existuje podle Donaldsonova důkazu, že hvěta o cobordismu selže v této dimenzi) a pomocí Freedmanovy věty topologické h- v této dimenzi platí věta o cobordismu.

Velká exotika R⁴s

Exotika ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ je nazýván velký pokud jej nelze hladce vložit jako otevřenou podmnožinu standardu ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}.}$

Příklady velkých exotických ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ lze sestrojit na základě skutečnosti, že kompaktní 4-variátory lze často rozdělit jako topologický součet (podle Freedmanova díla), ale nelze je rozdělit jako hladký součet (podle Donaldsonova díla).

Michael Hartley Freedman a Laurence R. Taylor (1986 ) ukázal, že existuje maximální exotika ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4},}$ do kterého všichni ostatní ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ lze plynule vložit jako otevřené podmnožiny.

Související exotické struktury

Casson zpracovává jsou homeomorfní ${ displaystyle mathbb {D} ^ {2} times mathbb {R} ^ {2}}$ podle Freedmanovy věty (kde ${ displaystyle mathbb {D} ^ {2}}$ je uzavřená jednotka disku), ale z Donaldsonovy věty vyplývá, že nejsou všechny difeomorfní ${ displaystyle mathbb {D} ^ {2} times mathbb {R} ^ {2}.}$ Jinými slovy, některé rukojeti Casson jsou exotické ${ displaystyle mathbb {D} ^ {2} times mathbb {R} ^ {2}.}$

Není známo (od roku 2017), zda existují exotické 4 sféry; taková exotická 4 koule by byla protikladem hladké zobecněný Poincarého dohad v dimenzi 4. Někteří věrohodní kandidáti jsou dáni Gluck zvraty.

Viz také

• Akbulut korek - nástroj používaný ke konstrukci exotických ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$je z tříd v ${ displaystyle H ^ {3} (S ^ {3}, mathbb {R})}$^[5]
• Atlas (topologie)

Poznámky

Reference

• Freedman, Michael H.; Quinne, Franku (1990). Topologie čtyř potrubí. Matematická řada z Princetonu. 39. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN  0-691-08577-3.
• Freedman, Michael H.; Taylor, Laurence R. (1986). „Univerzální vyhlazení čtyřprostoru“. Journal of Differential Geometry. 24 (1): 69–78. ISSN  0022-040X. PAN  0857376.
• Kirby, Robion C. (1989). Topologie 4-potrubí. Přednášky z matematiky. 1374. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  3-540-51148-2.
• Scorpan, Alexandru (2005). Divoký svět čtyř potrubí. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN  978-0-8218-3749-8.
• Stallings, Johne (1962). „Kusová lineární struktura euklidovského prostoru“. Proc. Cambridge Philos. Soc. 58 (3): 481–488. doi:10.1017 / s0305004100036756. PAN0149457
• Gompf, Robert E.; Stipsicz, András I. (1999). 4-potrubí a Kirbyův počet. Postgraduální studium matematiky. 20. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN  0-8218-0994-6.
• Taubes, Clifford Henry (1987). "Teorie měřidla na asymptoticky periodických 4-varietách". Journal of Differential Geometry. 25 (3): 363–430. PAN  0882829. PE  1214440981.