Exponenciální mapa (Riemannova geometrie) - Exponential map (Riemannian geometry)

Exponenciální mapa Země při pohledu ze severního pólu je polární azimutální ekvidistantní projekce v kartografii.

v Riemannova geometrie, an exponenciální mapa je mapa z podmnožiny a tečný prostor T_pM a Riemannovo potrubí (nebo pseudo-Riemannovo potrubí ) M na M sám. (Pseudo) Riemannova metrika určuje kanonické afinní spojení a exponenciální mapa (pseudo) Riemannova potrubí je dána exponenciální mapou tohoto spojení.

Definice

Nechat $M$ být diferencovatelné potrubí a $p$ bod $M$ . An afinní spojení na $M$ umožňuje definovat pojem a přímka skrz bod $p$ .^[1]

Nechat $proti \in T p M$ být tečný vektor do potrubí v $p$ . Pak je tu jedinečný geodetické $y proti$ uspokojující $y proti (0) = p$ s počátečním tečným vektorem $y' proti (0) = proti$ . Korespondence exponenciální mapa je definováno $exp p (proti) = y proti (1)$ . Obecně platí, že exponenciální mapa je pouze místně definované, to znamená, že to trvá jen malé sousedství původu v $T p M$ , do sousedství $p$ v potrubí. Je to proto, že se spoléhá na teorém o existence a jedinečnost pro obyčejné diferenciální rovnice který je místní povahy. Afinní spojení se nazývá dokončeno, pokud je exponenciální mapa v každém bodě objektu dobře definována tečný svazek.

Vlastnosti

Intuitivně řečeno, exponenciální mapa vezme daný tangenciální vektor do potrubí, vede podél geodetické oblasti počínaje v tomto bodě a jde tímto směrem po jednotkovou dobu. Od té doby proti odpovídá vektoru rychlosti geodézie, bude na tom záviset skutečná (Riemannova) ujetá vzdálenost. Můžeme také změnit parametry geodetiky na jednotkovou rychlost, takže ekvivalentně můžeme definovat exp_p(proti) = β (|proti|) kde β je geodetická jednotka (geodetická parametrizovaná délkou oblouku), která jde ve směru proti. Jak měníme vektor tečny proti dostaneme při aplikaci exp_p, různé body na M které jsou v určité vzdálenosti od základního bodu p—To je možná jeden z nejkonkrétnějších způsobů, jak prokázat, že tečný prostor k potrubí je jakousi „linearizací“ potrubí.

The Hopf – Rinowova věta tvrdí, že je možné definovat exponenciální mapu na celém tangenciálním prostoru právě tehdy, když je potrubí kompletní jako metrický prostor (což ospravedlňuje obvyklý termín geodeticky kompletní pro potrubí s exponenciální mapou s touto vlastností). Zejména, kompaktní potrubí jsou geodeticky kompletní. I když však exp_p je definován v celém tangenciálním prostoru, obecně to nebude globální difeomorfismus. Jeho rozdílem na počátku tečného prostoru je však mapa identity a tak, tím věta o inverzní funkci můžeme najít sousedství původu T_pM na kterém je exponenciální mapa vložením (tj. exponenciální mapa je lokální difeomorfismus). Poloměr největší koule o původu v T_pM které lze mapovat diffeomorphically přes exp_p se nazývá poloměr vstřikování z M na p. The řezané místo exponenciální mapy je zhruba řečeno množina všech bodů, kde exponenciální mapa nemá jedinečné minimum.

Důležitou vlastností exponenciální mapy je následující lema Gaussova (ještě další Gaussovo lema ): daný libovolný tečný vektor proti v oblasti definice exp_pa další vektor w na špičce proti (proto w je ve skutečnosti v dvojitý tečný prostor T_proti(T._pM)) a kolmo na proti, w zůstává kolmý na proti při posunutí vpřed pomocí exponenciální mapy. To zejména znamená, že hraniční koule malé koule o původu v T_pM je kolmý na geodetiku v M určeny těmito vektory (tj. geodetika je radiální). To motivuje k definici normální geodetické souřadnice na Riemannově potrubí.

Exponenciální mapa je také užitečná při spojování abstraktní definice zakřivení ke konkrétnější realizaci původně koncipované samotným Riemannem - řezové zakřivení je intuitivně definován jako Gaussovo zakřivení nějakého povrchu (tj. řezání potrubí 2-dimenzionálním dílčím potrubím) skrz bod p v úvahu. Prostřednictvím exponenciální mapy ji lze nyní přesně definovat jako Gaussovo zakřivení procházejícího povrchu p určeno obrázkem pod exp_p 2-dimenzionálního podprostoru T_pM.

Vztahy k exponenciálním mapám v Lieově teorii

V případě Lieových skupin s a bi-invariantní metrika—Pseudo-Riemannovský metrický invariant pod levým i pravým překladem - exponenciální mapy pseudo-Riemannovy struktury jsou stejné jako exponenciální mapy Lieovy skupiny. Obecně platí, že Lieovy skupiny nemají bi-invariantní metriku, ačkoli všechny připojené polo-jednoduché (nebo redukční) Lieovy skupiny ano. Existence bi-invariantu Riemannian metrika je silnější než metrika pseudo-Riemannovy metriky a znamená, že Lieova algebra je Lieova algebra kompaktní Lieovy skupiny; naopak, každá kompaktní (nebo abelianská) Lieova skupina má takovou Riemannovu metriku.

Vezměte si příklad, který dává „poctivou“ exponenciální mapu. Zvažte kladná reálná čísla R⁺, Lieova skupina pod obvyklým množením. Pak je každý tečný prostor spravedlivý R. Na každé kopii R na místě y, představujeme upravený vnitřní produkt

{ displaystyle langle u, v rangle _ {y} = { frac {uv} {y ^ {2}}}}

(vynásobte je obvyklými reálnými čísly, ale změňte pomocí y²). (To je to, co dělá metrickou levou invariantu, protože multiplikace vlevo faktorem se vytáhne z vnitřního produktu, dvakrát - zrušení čtverce ve jmenovateli).

Zvažte bod 1 ∈ R⁺, a X ∈ R prvek tečného prostoru v 1. Obvyklá přímka vycházející z 1, jmenovitě y(t) = 1 + xt pokrývá stejnou cestu jako geodetika, samozřejmě, až na to, že musíme změnit parametry, abychom získali křivku s konstantní rychlostí („konstantní rychlost“, pamatujte, nebude běžná konstantní rychlost, protože používáme tuto zábavnou metrický). K tomu provedeme parametrizaci délkou oblouku (integrál délky tečného vektoru v normě ${ displaystyle | cdot | _ {y}}$ vyvolané modifikovanou metrikou):