Omezení (matematika) - Restriction (mathematics)

Funkce X² s doménou R nemá inverzní funkce. Pokud omezíme X² na nezáporné reálná čísla, pak má inverzní funkci, známou jako odmocnina z X.

v matematika, omezení a funkce ${ displaystyle f}$ je nová funkce, označená ${ displaystyle f vert _ {A}}$ nebo ${ displaystyle f { upharpoonright _ {A}}}$ , získané výběrem menšího doména A pro původní funkci ${ displaystyle f}$ .

Formální definice

Nechat ${ displaystyle f: E až F}$ být funkcí z a soubor $E$ do sady $F$ . Pokud sada $A$ je podmnožina z $E$ , pak omezení ${ displaystyle f}$ na ${ displaystyle A}$ je funkce^[1]

{ displaystyle {f |} _ {A} dvojtečka A až F}

dané f |_A(x) = f (x) pro x v A. Neformálně, omezení $F$ na $A$ je stejná funkce jako $F$ , ale je definován pouze na ${ displaystyle A cap operatorname {dom} f}$ .

Pokud je funkce $F$ je myšlenka jako vztah ${ displaystyle (x, f (x))}$ na kartézský součin ${ displaystyle E times F}$ , pak omezení $F$ na $A$ může být reprezentován jeho graf ${ displaystyle G ({f |} _ {A}) = {(x, f (x)) v G (f) střední x v A } = G (f) čepice (A krát F)}$ kde jsou páry ${ displaystyle (x, f (x))}$ zastupovat objednané páry v grafu $G$ .

Příklady

K omezení neinjektivní funkce ${ displaystyle f: mathbb {R} až mathbb {R}, x mapsto x ^ {2}}$ do domény ${ displaystyle mathbb {R} _ {+} = [0, infty)}$ je injekce ${ displaystyle f: mathbb {R} _ {+} to mathbb {R}, x mapsto x ^ {2}}$ .
The faktoriál funkce je omezení funkce gama na kladná celá čísla s argumentem posunutým o jednu: ${ displaystyle { Gamma |} _ { mathbb {Z} ^ {+}} ! (n) = (n-1)!}$

Vlastnosti omezení

Omezení funkce ${ displaystyle f: X rightarrow Y}$ do celé své domény ${ displaystyle X}$ vrací původní funkci, tj. ${ displaystyle f | _ {X} = f}$ .
Omezení funkce dvakrát je stejné jako omezení jednou, tj. Pokud ${ displaystyle A subseteq B subseteq operatorname {dom} f}$ , pak ${ displaystyle (f | _ {B}) | _ {A} = f | _ {A}}$ .
K omezení funkce identity na setu X do podmnožiny A z X je jen mapa zařazení z A do X.^[2]
Omezení a spojitá funkce je spojitý.^[3]^[4]

Aplikace

Inverzní funkce

Aby funkce měla inverzní funkci, musí být jedna ku jedné. Pokud je funkce $F$ není one-to-one, je možné definovat a částečná inverze z $F$ omezením domény. Například funkce

{ displaystyle f (x) = x ^ {2}}

definováno jako celek ${ displaystyle mathbb {R}}$ není od té doby individuální X² = (−X)² pro všechny X v ${ displaystyle mathbb {R}}$ . Pokud se však omezíme na doménu, funkce se stane jednotkou ${ displaystyle mathbb {R} _ { geq 0} = [0, infty)}$ , v jakém případě

{ displaystyle f ^ {- 1} (y) = { sqrt {y}}.}

(Pokud se místo toho omezíme na doménu ${ displaystyle (- infty, 0]}$ , pak inverzní je záporná odmocnina z $y$ .) Alternativně není nutné doménu omezovat, pokud nám nevadí inverzní bytí a funkce s více hodnotami.

Operátory výběru

v relační algebra, a výběr (Někdy nazývané omezení, aby se zabránilo záměně s SQL použití SELECT) je a unární provoz psáno jako ${ displaystyle sigma _ {a theta b} (R)}$ nebo ${ displaystyle sigma _ {a theta v} (R)}$ kde:

${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ jsou názvy atributů,
${ displaystyle theta}$ je binární operace v sadě ${ displaystyle {<, leq, =, neq, geq,> }}$ ,
${ displaystyle v}$ je hodnotová konstanta,
${ displaystyle R}$ je vztah.

Výběr ${ displaystyle sigma _ {a theta b} (R)}$ vybere všechny ty n-tice v ${ displaystyle R}$ pro který ${ displaystyle theta}$ drží mezi ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ atribut.

Výběr ${ displaystyle sigma _ {a theta v} (R)}$ vybere všechny tyto n-tice v ${ displaystyle R}$ pro který ${ displaystyle theta}$ drží mezi ${ displaystyle a}$ atribut a hodnota ${ displaystyle v}$ .

Operátor výběru se tedy omezuje na podmnožinu celé databáze.

Vkládací lemma

Vkládání lemmatu je výsledkem topologie který spojuje kontinuitu funkce s kontinuitou jejích omezení na podmnožiny.

Nechat ${ displaystyle X, Y}$ být dvě uzavřené podmnožiny (nebo dvě otevřené podmnožiny) topologického prostoru ${ displaystyle A}$ takhle ${ displaystyle A = X pohár Y}$ a nechte ${ displaystyle B}$ být také topologickým prostorem. Li ${ displaystyle f: A až B}$ je spojitý, když je omezen na oba ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ , pak ${ displaystyle f}$ je spojitý.

Tento výsledek umožňuje převzít dvě spojité funkce definované na uzavřených (nebo otevřených) podmnožinách topologického prostoru a vytvořit novou.

Snopy

Snopy poskytují způsob zobecnění omezení na objekty kromě funkcí.

v teorie svazků, jeden přiřadí objekt ${ displaystyle F (U)}$ v kategorie ke každému otevřená sada $U$ a topologický prostor a vyžaduje, aby objekty splňovaly určité podmínky. Nejdůležitější podmínkou je, že existují omezení morfismy mezi každou dvojicí objektů spojených s vnořenými otevřenými množinami; tj. pokud ${ displaystyle V subseteq U}$ , pak existuje morphism res_PROTI,U : F(U) → F(PROTI) splňující následující vlastnosti, které jsou navrženy tak, aby napodobovaly omezení funkce:

Pro každou otevřenou sadu U z X, restrikční morfismus res_U,U : F(U) → F(U) je morfismus identity F(U).
Pokud máme tři otevřené sady $Ž \subseteq PROTI \subseteq U$ , pak kompozitní $res Ž, PROTI \circ res PROTI, U = res Ž, U$ .
(Lokalita) Pokud (U_i) je otevřený krytina otevřené sady U, a pokud s,t ∈ F(U) jsou takové, že $s | U i = t | U i$ pro každou sadu U_i potom krytiny s = t; a
(Lepení) Pokud (U_i) je otevřený obal otevřené sady U, a pokud pro každého i část $s i \in F (U i)$ je uveden tak, že pro každý pár U_i,U_j krytiny stanoví omezení s_i a s_j dohodnout se na překrývání: $s i | U i \cap U j = s j | U i \cap U j$ , pak je tu sekce $s \in F (U)$ takhle $s | U i = s i$ pro každého i.

Kolekce všech takových objektů se nazývá a snop. Pokud jsou splněny pouze první dvě vlastnosti, je to a před svazkem.

Omezení vlevo a vpravo

Obecněji řečeno, omezení (nebo omezení domény nebo levé omezení) $A ◁ R$ a binární relace $R$ mezi $E$ a $F$ lze definovat jako vztah mající doménu $A$ , codomain $F$ a graf $G(A ◁ R) = {(X, y) \in G (R) | X \in A}$ . Podobně lze definovat a pravé omezení nebo omezení rozsahu $R ▷ B$ . Dalo by se skutečně definovat omezení na $n$ -ary vztahy, jakož i podmnožiny chápány jako vztahy, jako například vztahy $E \times F$ pro binární vztahy. Tyto případy nezapadají do schématu snopy.^{[je zapotřebí objasnění ]}

Anti-omezení

The anti-omezení domény (nebo odčítání domény) funkce nebo binárního vztahu $R$ (s doménou $E$ a codomain $F$ ) sadou $A$ lze definovat jako $(E \ A) ◁ R$ ; odstraní všechny prvky $A$ z domény $E$ . Někdy se označuje $A$ ⩤ $R$ .^[5] Podobně rozsah anti-omezení (nebo odčítání rozsahu) funkce nebo binárního vztahu $R$ sadou $B$ je definován jako $R ▷ (F \ B)$ ; odstraní všechny prvky $B$ z codomain $F$ . Někdy se označuje $R$ ⩥ $B$ .

Viz také

Reference

^ Stoll, Robert (1974). Sady, logické a axiomatické teorie (2. vyd.). San Francisco: W. H. Freeman and Company. str.5. ISBN 0-7167-0457-9.
^ Halmos, Paul (1960). Naivní teorie množin. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. Přetištěno Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Vydání Springer-Verlag). Přetištěno Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Brožované vydání).
^ Munkres, James R. (2000). Topologie (2. vyd.). Horní sedlo: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
^ Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David (2008). Úvod do topologie: Čistý a aplikovaný. Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-184869-6.
^ Dunne, S. a Stoddart, Bill Unifying Theories of Programming: First International Symposium, UTP 2006, Walworth Castle, County Durham, UK, 5-7 February 2006, Revised Selected ... Computer Science and General Issues). Springer (2006)

[Stoll-1] Stoll, Robert (1974). Sady, logické a axiomatické teorie (2. vyd.). San Francisco: W. H. Freeman and Company. str.5. ISBN 0-7167-0457-9.

[2] Halmos, Paul (1960). Naivní teorie množin. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. Přetištěno Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Vydání Springer-Verlag). Přetištěno Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Brožované vydání).

[3] Munkres, James R. (2000). Topologie (2. vyd.). Horní sedlo: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.

[4] Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David (2008). Úvod do topologie: Čistý a aplikovaný. Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-184869-6.

[5] Dunne, S. a Stoddart, Bill Unifying Theories of Programming: First International Symposium, UTP 2006, Walworth Castle, County Durham, UK, 5-7 February 2006, Revised Selected ... Computer Science and General Issues). Springer (2006)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]