Exotická sféra - Exotic sphere
v diferenciální topologie, an exotická sféra je diferencovatelné potrubí M to je homeomorfní ale ne difeomorfní na standardní euklidovský n-koule. To znamená, M je koule z pohledu všech jejích topologických vlastností, ale nesoucí a hladká struktura to není ten známý (odtud název „exotický“).
První exotické koule byly postaveny John Milnor (1956 ) v rozměru tak jako -svazky přes . Ukázal, že na 7 sféře je nejméně 7 diferencovatelných struktur. V jakékoli dimenzi Milnor (1959) ukázaly, že třídy difeomorfismu orientovaných exotických sfér tvoří netriviální prvky abelianů monoidní pod spojenou částkou, což je a konečný abelianská skupina pokud dimenze není 4. Klasifikace exotických sfér podle Michel Kervaire a Milnor (1963 ) ukázal, že orientované exotické 7-koule jsou netriviální prvky a cyklická skupina objednávky 28 za provozu připojená suma.
Úvod
Jednotka n-koule, , je množina všech (n+1) - n-tice reálných čísel, takže součet . ( je kruh; je povrch obyčejné koule o poloměru jedna ve 3 rozměrech.) Topologové považují prostor, X, být n- koule, pokud každý bod dovnitř X lze přiřadit přesně jednomu bodu v jednotce n- koule v a kontinuální způsobem, což znamená, že dostatečně blízké body v X přiděleno k blízkým bodům v Sn a naopak. Například bod X na n- sféra poloměru r lze spojit s bodem na jednotce n-sphere úpravou jeho vzdálenosti od počátku pomocí .
v diferenciální topologie, je přidána přísnější podmínka, že funkce odpovídající bodům X s body v mělo by hladký, to je měli mít deriváty všech objednávek všude. Pro výpočet derivátů je nutné mít důsledně definovány lokální souřadnicové systémy X. Matematici byli překvapeni v roce 1956, kdy Milnor ukázal, že konzistentní souřadné systémy lze na 7 sféře nastavit dvěma různými způsoby, které jsou ekvivalentní v kontinuálním smyslu, ale ne v diferencovatelném smyslu. Milnor a další se pokusili zjistit, kolik takových exotických sfér může v každé dimenzi existovat, a porozumět tomu, jak spolu souvisejí. Na sféře 1-, 2-, 3-, 5-, 6-, 12-, 56- nebo 61 nejsou možné žádné exotické struktury. Některé sféry vyšší dimenze mají pouze dvě možné diferencovatelné struktury, jiné mají tisíce. Zda existují exotické 4 sféry, a pokud ano, kolik z nich, je nevyřešený problém.
Klasifikace
Monoid z hladké struktury na n-spheres je kolekce orientovaných hladkých n- rozdělovače, které jsou homeomorfní pro n- koule, zaujatá difeomorfismem zachovávajícím orientaci. Monoidní operace je připojená suma. Pokud , tento monoid je skupina a je isomorfní se skupinou z h-cobordism třídy orientovaných homotopy n- koule, což je konečné a abelianské. V dimenzi 4 není o monoidu hladkých koulí známo téměř nic, kromě faktů, že je konečný nebo spočetně nekonečný a abelianský, i když existuje podezření, že je nekonečný; viz část o Gluck zvraty. Všechny homotopy n- koule jsou homeomorfní vůči n- sféra zobecněná Poincarého domněnka, prokázáno Stephen Smale v rozměrech větších než 4, Michael Freedman v dimenzi 4 a Grigori Perelman v dimenzi 3. V dimenzi 3, Edwin E. Moise prokázal, že každé topologické potrubí má v podstatě jedinečnou hladkou strukturu (viz Moiseova věta ), takže monoid hladkých struktur na 3 sféře je triviální.
Paralelizovatelné rozdělovače
Skupina má cyklickou podskupinu
reprezentováno n- koule, které jsou spoutané paralelizovatelné rozdělovače. Struktury a kvocient
jsou v článku popsány samostatně (Kervaire & Milnor 1963 ), který měl vliv na vývoj teorie chirurgie. Ve skutečnosti lze tyto výpočty formulovat v moderním jazyce, pokud jde o přesná sekvence operace jak je uvedeno tady.
Skupina je cyklická skupina a je triviální nebo řád 2, s výjimkou případů , v takovém případě může být velká s objednávkou související s Bernoulliho čísla. Je to triviální, pokud n je sudý. Li n je 1 mod 4 má řád 1 nebo 2; zejména má pořadí 1, pokud n je 1, 5, 13, 29 nebo 61 a William Browder (1969 ) prokázal, že má objednávku 2, pokud mod 4 nemá formu . Vyplývá to z nyní téměř zcela vyřešeného Kervaire neměnný problém, že má objednávku 2 pro všechny n větší než 125; pouzdro je stále otevřený pro je
kde B je čitatel , a je Bernoulliho číslo. (Vzorec v topologické literatuře se mírně liší, protože topologové používají pro pojmenování Bernoulliho čísel jinou konvenci; tento článek používá konvenci teoretiků čísel.)
Mapa mezi kvocienty
Skupina podílů má popis z hlediska stabilní homotopické skupiny koulí modulo obraz obrazu J-homomorfismus; je roven kvocientu nebo indexu 2. Přesněji řečeno, existuje injektivní mapa
kde je nstabilní homotopická skupina koulí a J je obraz J-homomorfismus. Stejně jako u , obraz uživatele J je cyklická skupina a je triviální nebo řád 2, s výjimkou případů , v takovém případě může být velká s objednávkou související s Bernoulliho čísla. Skupina podílů je „tvrdá“ část stabilních homotopy skupin koulí, a tedy je tvrdá část exotických sfér, ale téměř úplně se redukuje na výpočet homotopy skupin sfér. Mapa je buď izomorfismus (obraz je celá skupina), nebo injektivní mapa s index 2. Posledně jmenovaný je případ pouze tehdy, pokud existuje n-dimenzionální orámovaný potrubí s Kervaire neměnný 1, který je známý jako Kervaireův invariantní problém. Faktor 2 v klasifikaci exotických sfér tedy závisí na Kervairově invariantním problému.
Od roku 2012[Aktualizace], invariantní problém Kervaire je téměř úplně vyřešen, pouze s případem zůstat otevřený; podrobnosti najdete v tomto článku. To je především dílem Browder (1969), který dokázal, že taková potrubí existovala pouze v rozměrech , a Hill, Hopkins a Ravenel (2016), což prokázalo, že pro dimenzi neexistovala žádná taková potrubí a výše. Rozdělovače s Kervaire invariantem 1 byly zkonstruovány v dimenzích 2, 6, 14, 30 a 62, ale dimenze 126 je otevřená, přičemž žádné potrubí není konstruováno ani vyvráceno.
Řád Θn
Pořadí skupiny Θn je uveden v této tabulce (sekvence A001676 v OEIS ) z (Kervaire a Milnor 1963 ) (kromě toho, že položka pro n = 19 se mýlí faktorem 2 v jejich příspěvku; viz korekce v objemu III str. 97 Milnorových sebraných děl).
Dim n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 objednat Θn 1 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1 3 2 16256 2 16 16 523264 24 bPn+1 1 1 1 1 1 1 28 1 2 1 992 1 1 1 8128 1 2 1 261632 1 Θn/bPn+1 1 1 1 1 1 1 1 2 2×2 6 1 1 3 2 2 2 2×2×2 8×2 2 24 πnS/J 1 2 1 1 1 2 1 2 2×2 6 1 1 3 2×2 2 2 2×2×2 8×2 2 24 index – 2 – – – 2 – – – – – – – 2 – – – – – –
Všimněte si, že pro dim n = 4k - 1, pak Θn jsou 28 = 22(23 − 1), 992 = 25(25 − 1), 16256 = 27(27 - 1) a 523264 = 210(29 - 1). Další položky v této tabulce lze vypočítat z výše uvedených informací společně s tabulkou stabilní homotopické skupiny koulí.
Výpočty stabilních homotopy skupin koulí, Wang & Xu (2017) dokazuje, že koule S61 má jedinečnou hladkou strukturu a je to poslední lichá dimenzionální - jediné jsou S1, S3, S5, a S61.
Výslovné příklady exotických sfér
John Milnor (2009, str.12)
Jeden z prvních příkladů exotické sféry, kterou našel Milnor (1956, část 3) byla následující: Vezměte dvě kopie B4 ×S3, každý s hranice S3×S3a slepte je identifikací (A,b) na hranici s (A, A2ba−1), (kde každý identifikujeme S3 se skupinou jednotek čtveřice ). Výsledné potrubí má přirozenou hladkou strukturu a je homeomorfní S7, ale není difeomorfní S7. Milnor ukázal, že to není hranice žádného plynulého 8-potrubí s mizejícím 4. číslem Betti a že nemá žádný orientační reverzní diffeomorfismus; některá z těchto vlastností znamená, že se nejedná o standardní 7-kouli. Milnor ukázal, že toto potrubí má Morseova funkce jen se dvěma kritické body, obojí nedegenerované, což znamená, že se jedná o topologicky sféru.
Jak ukazuje Egbert Brieskorn (1966, 1966b ) (viz také (Hirzebruch & Mayer 1968 )) průsečík komplexní potrubí bodů v C5 uspokojující
s malou koulí kolem původu pro k = 1, 2, ..., 28 dává všech 28 možných hladkých struktur na orientované 7 sféře. Podobná potrubí jsou volána Brieskornovy koule.
Zkroucené koule
Vzhledem k (orientačnímu) difeomorfismu F : Sn−1 → Sn−1, lepením hranic dvou kopií standardního disku Dn společně F získá potrubí zvané a zkroucená koule (s kroutit F). Je to homotopie ekvivalentní standardu n- koule, protože mapa lepení je homotopická k identitě (jde o difeomorfismus zachovávající orientaci, tedy stupeň 1), ale ne obecně diffeomorfní se standardní sférou. (Milnor 1959b ) Nastavení být skupinou pokroucených n-spheres (under connect sum), jeden získá přesnou sekvenci
Pro n > 5, každý exot n- koule je difeomorfní vůči zkroucené sféře, což dokazuje výsledek Stephen Smale což lze považovat za důsledek hvěta o cobordismu. (Naproti tomu v po částech lineární nastavení mapy nejvíce vlevo je na via radiální prodloužení: každá po částech lineárně zkroucená koule je standardní.) Skupina Γn kroucených koulí je vždy izomorfní se skupinou Θn. Zápisy se liší, protože zpočátku nebylo známo, že jsou stejné pro n = 3 nebo 4; například případ n = 3 je ekvivalentní s Poincarého domněnka.
V roce 1970 Jean Cerf prokázal věta o pseudoisotopy což z toho vyplývá je triviální skupina za předpokladu , tak pokud .
Aplikace
Li M je po částech lineární potrubí pak problém najít kompatibilní hladké struktury M záleží na znalostech skupin Γk = Θk. Přesněji řečeno, překážky v existenci jakékoli hladké struktury spočívají ve skupinách Hk + 1(M, Γk) pro různé hodnoty k, zatímco pokud taková hladká struktura existuje, lze všechny takové hladké struktury klasifikovat pomocí skupin Hk(M, Γk)Zejména skupiny Γk zmizet, pokud k < 7, takže všechny PL rozdělovače dimenze maximálně 7 mají hladkou strukturu, což je v podstatě jedinečné, pokud má rozdělovač dimenze maximálně 6.
Následující konečné abelianské skupiny jsou v podstatě stejné:
- Skupina Θn tříd h-cobordismu orientované homotopy n- koule.
- Skupina h-cobordism tříd orientovaných n- koule.
- Skupina Γn zkroucené orientované n- koule.
- Homotopická skupina πn(PL / DIFF)
- Li n ≠ 3, homotopie πn(TOP / DIFF) (pokud n = 3 tato skupina má řád 2; vidět Kirby – Siebenmann neměnný ).
- Skupina hladkých struktur orientovaného PL n-koule.
- Li n ≠ 4, skupina hladkých struktur orientované topologie n-koule.
- Li n ≠ 5, skupina složek skupiny všech orientačně zachovávajících difeomorfismů Sn−1.
4-dimenzionální exotické koule a Gluckovy zvraty
Ve 4 rozměrech není známo, zda jsou na 4-kouli nějaké exotické hladké struktury. Tvrzení, že neexistují, je známé jako „plynulý Poincarého dohad“ a je diskutováno Michael Freedman, Robert Gompf a Scott Morrison a kol. (2010 ), kteří říkají, že se předpokládá, že jsou nepravdivé.
Někteří kandidáti navržení pro exotické 4 sféry jsou sféry Cappell – Shaneson (Sylvain Cappell a Julius Shaneson (1976 )) a ty, které odvodil Gluck zvraty (Gluck 1962 ). Gluckovy kroucené koule jsou konstruovány vyříznutím tubulárního sousedství 2 koule S v S4 a přilepení zpět pomocí diffeomorfismu jeho hranice S2×S1. Výsledek je vždy homeomorfní S4. Mnoho případů v průběhu let bylo vyloučeno jako možné protiklady hladkého 4rozměrného Poincarého domněnky. Například, Cameron Gordon (1976 ), José Montesinos (1983 ), Steven P. Plotnick (1984 ), Gompf (1991), Habiro, Marumoto a Yamada (2000), Selman Akbulut (2010 ), Gompf (2010), Kim & Yamada (2017).
Viz také
Reference
- Akbulut, Selmane (2010), „homotopické koule Cappell – Shaneson jsou standardní“, Annals of Mathematics, 171 (3): 2171–2175, arXiv:0907.0136, doi:10.4007 / annals.2010.171.2171
- Brieskorn, Egbert V. (1966), „Příklady singulárních normálních komplexních prostorů, které jsou topologickými varietami“, Sborník Národní akademie věd, 55 (6): 1395–1397, Bibcode:1966PNAS ... 55.1395B, doi:10.1073 / pnas.55.6.1395, PAN 0198497, PMC 224331, PMID 16578636
- Brieskorn, Egbert (1966b), „Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitäten“, Vymyslet. Matematika., 2 (1): 1–14, Bibcode:1966InMat ... 2 .... 1B, doi:10.1007 / BF01403388, PAN 0206972
- Browder, William (1969), „Kervaireův invariant zarámovaných potrubí a jeho zobecnění“, Annals of Mathematics, 90 (1): 157–186, doi:10.2307/1970686, JSTOR 1970686, PAN 0251736
- Cappell, Sylvain E.; Shaneson, Julius L. (1976), „Some new four-manifolds“, Annals of Mathematics, 104 (1): 61–72, doi:10.2307/1971056, JSTOR 1971056
- Freedman, Michael; Gompf, Robert; Morrison, Scott; Walker, Kevin (2010), „Člověk a stroj přemýšlející o plynulém 4-dimenzionálním Poincarém domněnce“, Kvantová topologie, 1 (2): 171–208, arXiv:0906.5177, doi:10,4171 / qt / 5
- Gluck, Herman (1962), „Zapuštění dvou koulí do čtyř sféry“, Transakce Americké matematické společnosti, 104 (2): 308–333, doi:10.2307/1993581, JSTOR 1993581, PAN 0146807
- Hughes, Mark; Kim, Seungwon; Miller, Maggie (2018), Gluck Twists Of S4 Jsou difomorfní S4, arXiv:1804.09169v1
- Gompf, Robert E. (1991), „Killing the Akbulut-Kirby 4-sphere, with relevant to the Andres-Curtis and Schoenflies problems“, Topologie, 30: 123–136, doi:10.1016/0040-9383(91)90036-4
- Gompf, Robert E. (2010), „Více koulí Cappell-Shaneson je standardem“, Algebraická a geometrická topologie, 10 (3): 1665–1681, arXiv:0908.1914, doi:10.2140 / agt.2010.10.1665
- Gordon, Cameron McA. (1976), „Uzly ve 4 sféře“, Commentarii Mathematici Helvetici, 51: 585–596, doi:10.1007 / BF02568175
- Habiro, Kazuo; Marumoto, Yoshihiko; Yamada, Yuichi (2000), „Gluckova chirurgie a zarámované články ve čtyřech potrubích“, Seriál o uzlech a všem, Světově vědecký, 24: 80–93, ISBN 978-9810243401
- Hill, Michael A .; Hopkins, Michael J.; Ravenel, Douglas C. (2016) [nejprve publikováno jako arXiv 2009]. „O neexistenci prvků Kervaireova invariantního“. Annals of Mathematics. 184 (1): 1–262. arXiv:0908.3724. doi:10.4007 / annals.2016.184.1.1.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Hirzebruch, Friedrich; Mayer, Karl Heinz (1968), O (n) -Mannigfaligkeiten, Exotische Sphären und SingularitätenPřednášky z matematiky, 57, Berlín-New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0074355, ISBN 978-3-540-04227-3, PAN 0229251 Tato kniha popisuje Brieskornovu práci týkající se exotických sfér se zvláštnostmi složitých variet.
- Kervaire, Michel A.; Milnor, John W. (1963). "Skupiny homotopických sfér: já" (PDF). Annals of Mathematics. 77 (3): 504–537. doi:10.2307/1970128. JSTOR 1970128. PAN 0148075. - Tento článek popisuje strukturu skupiny hladkých struktur na n- koule pro n > 4. Bohužel slíbený referát „Skupiny sfér homotopy: II“ se nikdy neobjevil, ale Levinovy přednášky obsahují materiál, který by se mohl očekávat.
- Kim, Min Hoon; Yamada, Shohei (2017), Ideální třídy a Cappell-Shaneson homotopy 4 koule, arXiv:1707.03860v1
- Levine, Jerome P. (1985), „Přednášky o skupinách homotopy sfér“, Algebraická a geometrická topologiePřednášky z matematiky, 1126, Berlín-New York: Springer-Verlag, s. 62–95, doi:10.1007 / BFb0074439, ISBN 978-3-540-15235-4, PAN 8757031
- Milnor, John W. (1956), „On manifolds homeomorphic to the 7-sphere“, Annals of Mathematics, 64 (2): 399–405, doi:10.2307/1969983, JSTOR 1969983, PAN 0082103, S2CID 18780087
- Milnor, John W. (1959), „Sommes de variétés différentiables et structures différentiables des sphères“, Bulletin de la Société Mathématique de France, 87: 439–444, doi:10,24033 / bsmf.1538, PAN 0117744
- Milnor, John W. (1959b), „Diferencovatelné struktury na sférách“, American Journal of Mathematics, 81 (4): 962–972, doi:10.2307/2372998, JSTOR 2372998, PAN 0110107
- Milnor, Johne (2000), „Klasifikace -připojeno -rozměrná potrubí a objev exotických sfér “, v Cappell, Sylvain; Ranicki, Andrew; Rosenberg, Jonathan (eds.), Průzkumy teorie chirurgie: Svazek 1, Annals of Mathematics Studies 145, Princeton University Press, s. 25–30, ISBN 9780691049380, PAN 1747528.
- Milnor, John Willard (2009), „Před padesáti lety: topologie potrubí v 50. a 60. letech“ (PDF), v Mrowka, Tomasz S.; Ozsváth, Peter S. (eds.), Nízkodimenzionální topologie. Poznámky k přednášce z 15. postgraduální letní školy Park City Mathematics Institute (PCMI) konané v Park City, UT, léto 2006., IAS / Park City Math. Ser., 15„Providence, R.I .: American Mathematical Society, s. 9–20, ISBN 978-0-8218-4766-4, PAN 2503491
- Milnor, John W. (2011), „Diferenciální topologie o čtyřicet šest let později“ (PDF), Oznámení Americké matematické společnosti, 58 (6): 804–809
- Montesinos, José M. (1983), „Na dvojčatech ve čtyř sféře I“ (PDF), Quarterly Journal of Mathematics, 34 (6): 171–199, doi:10.1093 / qmath / 34.2.171
- Plotnick, Steven P (1984), Gordon, Cameron McA. (vyd.), Vláknité uzly dovnitř - zkroucení, točení, válcování, chirurgie a větvení, American Mathematical Society, Contemporary Mathematics Svazek 35, str. 437–459, ISBN 978-0-8218-5033-6.
- Wang, Guozhen; Xu, Zhouli (2017), „Trivialita kmene 61 ve stabilních homotopických skupinách sfér“, Annals of Mathematics, 186 (2): 501–580, arXiv:1601.02184, doi:10.4007 / annals.2017.186.2.3, PAN 3702672.
- Rudyak, Yuli B. (2001) [1994], „Milnorská sféra“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
externí odkazy
- Exotické koule na atlasu potrubí
- Domovská stránka exotické sféry na domovské stránce Andrewa Ranickiho. Rozmanitý zdrojový materiál týkající se exotických sfér.
- Animace exotických 7 koulí Video z prezentace uživatele Niles Johnson na Druhá Abel konference na počest John Milnor.
- Konstrukce Gluck na atlasu potrubí