Věta Z * - Z* theorem - Wikipedia

V matematice George Glauberman je Věta Z * je uvedeno takto:

Věta Z *: Nechat G být konečná skupina, s Ó(G) je jeho maximální normální podskupina z zvláštní objednat. Li T je Sylow 2-podskupina z G obsahující involuce ne sdružené v G na jakýkoli jiný prvek T, pak spočívá involuce Z *(G), což je inverzní obraz v G z centrum z G/Ó(G).

Tím se zobecňuje Brauer – Suzukiho věta (a důkaz používá Brauer – Suzukiho větu pro řešení některých malých případů).

Detaily

Originální papír (Glauberman 1966 ) dal několik kritérií, aby prvek ležel venku Z *(G). Jeho věta 4 uvádí:

Pro prvek t v T, je to nutné a dostatečné pro t ležet venku Z *(G) že nějaké existují G v G a abelianská podskupina U z T splňující následující vlastnosti:

  1. G normalizuje obojí U a centralizátor CT(U), to je G je obsažen v N = NG(U) ∩ NG(CT(U))
  2. t je obsažen v U a tg ≠ gt
  3. U je generován N- konjugáty z t
  4. the exponent z U se rovná objednat z t

navíc G může být vybrán mít hlavní síla objednat pokud t je ve středu města T, a G může být vybrán v T v opačném případě.

Jednoduchým důsledkem je tento prvek t v T není v Z *(G) právě tehdy, pokud nějaké existují s ≠ t takhle s a t dojíždět a s a t jsou G-sdružené.

Zobecnění na liché připraví byl zaznamenán v (Guralnick a Robinson 1993 ): pokud t je prvkem hlavního řádu str a komutátor [t, G] má pořádek coprime na str pro všechny G, pak t je centrální modulo str'-jádro. To bylo také zobecněno na liché prvočísla a na kompaktní Lieovy skupiny v (Mislin & Thévenaz 1991 ), který také obsahuje několik užitečných výsledků v konečném případě.

(Henke & Semeraro 2014 ) také studovali rozšíření věty Z * na dvojice skupin (G, H) s H normální podskupina G.

Reference

  • Dade, Everett C. (1971), „Teorie znaků vztahujících se k konečným jednoduchým skupinám“, Powell, M. B .; Higman, Graham (eds.), Konečné jednoduché skupiny. Sborník z instruktážní konference pořádané London Mathematical Society (NATO Advanced Study Institute), Oxford, září 1969., Boston, MA: Akademický tisk, str. 249–327, ISBN  978-0-12-563850-0, PAN  0360785 poskytuje podrobný důkaz věty Brauer – Suzuki.
  • Glauberman, Georgi (1966), „Ústřední prvky ve skupinách bez jádra“, Journal of Algebra, 4 (3): 403–420, doi:10.1016/0021-8693(66)90030-5, ISSN  0021-8693, PAN  0202822, Zbl  0145.02802
  • Guralnick, Robert M .; Robinson, Geoffrey R. (1993), „O rozšíření věty Baer-Suzuki“, Israel Journal of Mathematics, 82 (1): 281–297, doi:10.1007 / BF02808114, ISSN  0021-2172, PAN  1239051, Zbl  0794.20029
  • Henke, Ellen; Semeraro, Jason (2014). "Zobecnění věty Z *". arXiv:1411.1932v1 [matematika. GR ].
  • Mislin, Guido; Thévenaz, Jacques (1991), „Věta Z * pro kompaktní Lieovy skupiny“, Mathematische Annalen, 291 (1): 103–111, doi:10.1007 / BF01445193, ISSN  0025-5831, PAN  1125010