Věta ONan – Scott - ONan–Scott theorem - Wikipedia

V matematice je O'Nan – Scottova věta je jednou z nejvlivnějších vět o permutační skupina teorie; klasifikace konečné jednoduché skupiny díky tomu je tak užitečný. Původně byla věta o maximální podskupiny z symetrická skupina. Vyšlo jako příloha k článku Leonarda Scotta napsaného pro konferenci o konečných skupinách v Santa Cruz v roce 1979 s poznámkou pod čarou, která Michael O'Nan nezávisle prokázal stejný výsledek.^[1] Michael Aschbacher a Scott později dal opravenou verzi tvrzení věty.^[2]

Věta říká, že maximální podskupina symetrické skupiny Sym (Ω), kde | Ω | = n je jedním z následujících:

1. S_k × S_{n − k} stabilizátor a k-set (tj. nepřechodné)
2. S_Awr S_b s n = ab, stabilizátor a rozdělit do b části velikosti A (to znamená, že je to pozitivní)
3. primitivní (tj. nezachovává žádný netriviální oddíl) a jednoho z následujících typů:

• AGL (d,p)
• S_lwr S_k, stabilizátor struktury produktu Ω = Δ^k
• skupina diagonálního typu
• an téměř jednoduchá skupina

V anketě napsané pro Bulletin of London Mathematical Society, Peter J. Cameron Zdá se, že byl první, kdo si uvědomil, že skutečná moc v O'Nan-Scottově teorému je ve schopnosti rozdělit konečné primitivní skupiny do různých typů.^[3]Kompletní verzi věty se samostatným důkazem poskytl M.W. Liebeck, Cheryl Praeger a Jan Saxl.^[4] Věta je nyní standardní součástí učebnic o permutačních skupinách.^[5]

Typy O'Nan – Scott

Osm typů O'Nan – Scott je následující:

HA (holomorf skupiny abelianů): Jedná se o primitivní skupiny, které jsou podskupinami afinní obecné lineární skupiny AGL (d,p), pro některé prime p a kladné celé číslo d ≥ 1. Pro takovou skupinu G aby byl primitivní, musí obsahovat podskupinu všech překladů a stabilizátor G₀ v G nulového vektoru musí být neredukovatelná podskupina GL (d, str). Primitivní skupiny typu HA se vyznačují tím, že mají jedinečnou minimální normální podskupinu, která je elementární abelian a působí pravidelně.

HS (holomorf jednoduché skupiny): Nechat T být konečnou neabelskou jednoduchou skupinou. Pak M = T×T působí na Ω =T podle t^(t₁,t₂) = t₁⁻¹tt₂. Nyní M má dvě minimální normální podskupiny N₁, N₂, každý izomorfní s T a každý působí pravidelně na Ω, jeden napravo a druhý zleva. Akce M je primitivní a pokud vezmeme α = 1_T my máme M_α = {(t,t)|t ∈ T}, který zahrnuje Inn (T) na Ω. Vlastně jakékoli automorfismus z T bude působit na Ω. Primitivní skupina typu HS je pak libovolná skupina G takhle M ≅ T.Hospoda(T) ≤ G ≤ T.Aut (T). Všechny takové skupiny mají N₁ a N₂ jako minimální normální podskupiny.

HC (holomorf skupiny sloučenin): Nechat T být nonabelianskou jednoduchou skupinou a nechat N₁ ≅ N₂ ≅ T^k pro celé číslo k ≥ 2. Nechť Ω = T^k. Pak M = N₁ × N₂ působí tranzitivně na Ω přes X^(n₁,n₂) = n₁⁻¹xn₂ pro všechny X ∈ Ω, n₁ ∈ N₁, n₂ ∈ N₂. Stejně jako v případě HS máme M ≅ T^k.Hospoda(T^k) a jakýkoli automorfismus z T^k působí také na Ω. Primitivní skupina typu HC je skupina G takhle M ≤ G ≤ T^k.Aut (T^k)a G indukuje podskupinu Aut (T^k) = Aut (T) wrS_k který působí přechodně na množinu k jednoduché přímé faktory T^k. Jakýkoli takový G má dvě minimální normální podskupiny, každá je izomorfní T^k a pravidelné.

Skupina typu HC zachovává strukturu produktu Ω = Δ^k kde Δ = T a G≤ HwrS_k kde H je primitivní skupina typu HS na Δ.

TW (kroucený věnec): Tady G má jedinečnou minimální normální podskupinu N a N ≅ T^k pro nějakou konečnou neabelskou jednoduchou skupinu T a N působí pravidelně na Ω. Takové skupiny mohou být konstruovány jako výrobky z kroucených věnců, a tudíž s označením TW. Podmínky potřebné k získání primitivity to naznačují k≥ 6, takže nejmenší stupeň takové primitivní skupiny je 60⁶ .

AS (téměř jednoduché): Tady G je skupina ležící mezi T a Aut (T ), to znamená, G je téměř jednoduchá skupina a tedy i název. Nic nám není řečeno o tom, o co jde, kromě toho, že je primitivní. Analýza tohoto typu vyžaduje znalost možných primitivních akcí téměř jednoduchých skupin, což je ekvivalentní znalosti maximálních podskupin téměř jednoduchých skupin.

SD (jednoduchá úhlopříčka): Nechat N = T^k pro nějakou neabelskou jednoduchou skupinu T a celé číslo k ≥ 2 a nechat H = {(t, ..., t)| t ∈ T} ≤ N. Pak N působí na množinu Ω pravých kosetů H v N správným násobením. Můžeme vzítt₁,...,t_k−1, 1)| t_i ∈ T} být zástupcem cosetových zástupců pro H v N a tak můžeme identifikovat Ω s T^k−1. Nyní (s₁,...,s_k) ∈ N vezme coset se zástupcem (t₁,...,t_k−1, 1) do korzetu H(t₁s₁,...,t_k−1s_k−1, s_k) = H(s_k⁻¹t_ks₁,...,s_k⁻¹t_k−1s_k−1, 1) Skupina S_k indukuje automorfismy N permutací položek a opraví podskupinu H a tak působí na množinu Ω. Všimněte si také, že H působí na Ω indukcí Inn (T) a ve skutečnosti jakýkoli automorfismus σ z T působí na Ω tím, že vezme coset se zástupcem (t₁,...,t_k−1, 1) coset s reprezentativní (t₁^σ,...,t_k−1^σ, 1). Tak dostaneme skupinu Ž = N.(Ven(T) × S_k) ≤ Sym (Ω). Primitivní skupina typu SD je skupina G ≤ Ž takhle N ◅ G a G vyvolává primitivní podskupinu S_k na k jednoduché přímé faktory N.

CD (složená úhlopříčka): Zde Ω = Δ^k a G ≤ HwrS_k kde H je primitivní skupina typu SD na Δ s minimální normální podskupinou T^l. Navíc, N = T^kl je minimální normální podskupina G a G indukuje přechodnou podskupinu S_k.

PA (akce produktu): Zde Ω = Δ^k a G ≤ HwrS_k kde H je primitivní téměř jednoduchá skupina s sokl T. Tím pádem G má akci produktu na Ω. Navíc, N = T^k ◅ G a G indukuje přechodnou podskupinu S_k ve své žalobě na k jednoduché přímé faktory N.

Někteří autoři používají různá rozdělení typů. Nejběžnější je zahrnout typy HS a SD společně jako „diagonální typ“ a typy HC, CD a PA společně jako „typ akce produktu“.^[6] Praeger později zobecnil O’Nan – Scottovu větu na kvaziprimitivní skupiny (skupiny s věrnými akcemi, takže omezení na každou netriviální normální podskupinu je přechodné).^[7]

Reference

externí odkazy

• „O'Nan – Scottova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]