N-skupina (teorie konečných grup) - N-group (finite group theory)
V matematice teorie konečných grup, an N-skupina je skupina všech místní podskupiny (tj. Normalizátoři netriviálních str-podskupiny) jsou řešitelné skupiny. Neřešitelné byly klasifikovány podle Thompson během své práce na hledání všech minimálních konečných jednoduchých skupin.
Jednoduché N-skupiny
Jednoduché N-skupiny klasifikoval Thompson (1968, 1970, 1971, 1973, 1974, 1974b ) v sérii 6 příspěvků o celkovém objemu přibližně 400 stran.
Jednoduché N-skupiny se skládají z speciální lineární skupiny PSL2(q), PSL3(3), Suzuki skupiny Sz (22n+1), unitární skupina U3(3), střídavá skupina A7, Skupina Mathieu M11a Skupina prsa. (Skupina Tits byla v původním oznámení Thomsona z roku 1968 přehlížena, ale Hearn poukázal na to, že se také jednalo o jednoduchou N-skupinu.) Obecněji Thompson ukázal, že jakákoli neřešitelná N-skupina je podskupinou Aut (G) obsahující G pro nějakou jednoduchou N-skupinu G.
Gorenstein & Lyons (1976) zobecněná Thompsonova věta pro případ skupin, kde jsou všechny 2-místní podskupiny řešitelné. Jediné extra jednoduché skupiny, které se objeví, jsou unitární skupiny U3(q).
Důkaz
Gorenstein (1980, 16.5) podává souhrn Thompsonovy klasifikace N-skupin.
Prvočísla rozdělující pořadí skupiny jsou rozdělena do čtyř tříd π1, π2, π3, π4 jak následuje
- π1 je sada prvočísel str takový, že Sylow str-subgroup je netriviální a cyklický.
- π2 je sada prvočísel str takový, že Sylow str- podskupina P je necyklický, ale SCN3(P) je prázdný
- π3 je sada prvočísel str takový, že Sylow str- podskupina P má SCN3(P) neprázdný a normalizuje netriviální abelianskou podskupinu řádu prime to str.
- π4 je sada prvočísel str takový, že Sylow str- podskupina P má SCN3(P) neprázdný, ale normalizuje netriviální abelianskou podskupinu řádu prime to str.
Důkaz je rozdělen do několika případů v závislosti na tom, do které z těchto čtyř tříd prvočíslo 2 patří, a také na celé číslo E, což je největší celé číslo, pro které existuje elementární abelian podskupina hodnosti E normalizováno netriviální 2-podskupinou, která ji protíná triviálně.
- Thompson (1968) Poskytuje obecný úvod, uvádí hlavní větu a dokazuje mnoho předběžných lemmat.
- Thompson (1970) charakterizuje skupiny E2(3) a S4(3) (v Thompsonově notaci; jedná se o výjimečnou skupinu G2(3) a symplektická skupina Sp4(3)), které nejsou N-skupinami, ale jejichž charakterizace je nutná v důkazu hlavní věty.
- Thompson (1971) pokrývá případ, kdy 2∉π4. Věta 11.2 ukazuje, že pokud 2∈π2 pak skupina je PSL2(q), M.11, A7, U3(3) nebo PSL3(3). Možnost, že 2∈π3 je vyloučeno prokázáním, že jakákoli taková skupina musí být C-skupinou, a použitím Suzukiho klasifikace C-skupin k ověření, že žádná ze skupin nalezených Suzuki nesplňuje tuto podmínku.
- Thompson (1973) a Thompson (1974) pokrýt případy, kdy 2∈π4 a E≥3 nebo E= 2. Ukazuje to buď G je C-skupina tedy skupina Suzuki, nebo uspokojuje jeho charakterizaci skupin E2(3) a S4(3) ve svém druhém příspěvku, které nejsou N-skupinami.
- Thompson (1974) pokrývá případ, kdy 2∈π4 a E= 1, kde jsou jediné možnosti G je C-skupina nebo Skupina prsa.
Důsledky
A minimální jednoduchá skupina je necyklická jednoduchá skupina, jejíž všechny správné podskupiny jsou řešitelné. Úplný seznam minimálních konečných jednoduchých skupin je uveden následovně Thompson (1968, důsledek 1)
- PSL2(2str), str hlavní.
- PSL2(3str), str zvláštní prime.
- PSL2(str), str > 3 je v souladu s 2 nebo 3 mod 5
- Sz (2str), str zvláštní prime.
- PSL3(3)
Jinými slovy necyklický konečná jednoduchá skupina musí mít dílčí podíl izomorfní k jedné z těchto skupin.
Reference
- Gorenstein, D.; Lyons, Richard (1976), „Neriešitelné konečné skupiny s řešitelnými 2-místními podskupinami“, Journal of Algebra, 38 (2): 453–522, doi:10.1016/0021-8693(76)90233-7, ISSN 0021-8693, PAN 0407128
- Gorenstein, D. (1980), Konečné skupiny, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, PAN 0569209
- Thompson, John G. (1968), „Neřešitelné konečné skupiny, jejichž lokální podskupiny jsou řešitelné“, Bulletin of the American Mathematical Society, 74: 383–437, doi:10.1090 / S0002-9904-1968-11953-6, ISSN 0002-9904, PAN 0230809
- Thompson, John G. (1970), „Neřešitelné konečné skupiny, jejichž lokální podskupiny jsou řešitelné. II“, Pacific Journal of Mathematics, 33: 451–536, doi:10.2140 / pjm.1970.33.451, ISSN 0030-8730, PAN 0276325
- Thompson, John G. (1971), „Neřešitelné konečné skupiny, jejichž lokální podskupiny jsou řešitelné. III“, Pacific Journal of Mathematics, 39: 483–534, doi:10,2140 / pjm.1971,39,483, ISSN 0030-8730, PAN 0313378
- Thompson, John G. (1973), „Neřešitelné konečné skupiny, jejichž lokální podskupiny jsou řešitelné. IV“, Pacific Journal of Mathematics, 48: 511–592, doi:10,2140 / pjm.1973,48.511, ISSN 0030-8730, PAN 0369512
- Thompson, John G. (1974), „Neřešitelné konečné skupiny, jejichž lokální podskupiny jsou řešitelné. V“, Pacific Journal of Mathematics, 50: 215–297, doi:10,2140 / pjm.1974,50.215, ISSN 0030-8730, PAN 0369512
- Thompson, John G. (1974b), „Neřešitelné konečné skupiny, jejichž lokální podskupiny jsou řešitelné. VI“, Pacific Journal of Mathematics, 51: 573–630, doi:10,2140 / pjm.1974,51,573, ISSN 0030-8730, PAN 0369512
Tento fyzika související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to. |