Skupina Mathieu M22 - Mathieu group M22

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet produkt věnce jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

V oblasti moderní algebry známé jako teorie skupin, Skupina Mathieu M₂₂ je sporadická jednoduchá skupina z objednat

   2⁷ · 3² · 5 · 7 · 11 = 443520

≈ 4×10⁵.

Historie a vlastnosti

M₂₂ je jednou z 26 sporadických skupin a byla představena Mathieu  (1861, 1873 ). Je to trojnásobný tranzitiv permutační skupina na 22 objektech. The Multiplikátor Schur M.₂₂ je cyklický řádu 12 a vnější skupina automorfismu má objednávku 2.

V matematické literatuře existuje několik nesprávných tvrzení o 2-části Schurova multiplikátoru. Burgoyne & Fong (1966) nesprávně tvrdil, že Schurův multiplikátor M₂₂ má pořadí 3 a v opravě Burgoyne & Fong (1968) nesprávně tvrdil, že má objednávku 6. To způsobilo chybu v názvu příspěvku Janko (1976) oznamující objev Janko skupina J4. Mazet (1979) ukázal, že Schurův multiplikátor je ve skutečnosti cyklický řádu 12.

Adem & Milgram (1995) vypočítal 2-díl celé kohomologie M₂₂.

Zastoupení

M₂₂ má 3-tranzitivní permutační zastoupení na 22 bodech, s bodovým stabilizátorem skupina PSL₃(4), někdy nazývaný M₂₁. Tato akce opravuje a Steinerův systém S (3,6,22) se 77 hexadety, jejichž úplnou automorfickou skupinou je automorfická skupina M₂₂.2 z M.₂₂.

M₂₂ má tři pozice 3 permutační reprezentace: jeden na 77 hexadech s bodovým stabilizátorem 2⁴:A₆a dvě akce 3. úrovně na 176 heptadech, které jsou konjugovány pod vnějším automorfismem a mají bodový stabilizátor A₇.

M₂₂ je bodový stabilizátor působení M₂₃ na 23 bodech a také bodový stabilizátor hodnost 3 akce z Skupina Higman – Sims na 100 = 1 + 22 + 77 bodů.

Trojitý kryt 3.M₂₂ má 6-dimenzionální věrné zastoupení nad polem se 4 prvky.

Šestinásobný kryt M₂₂ se objeví v centralizátoru 2¹⁺¹².3. (M.₂₂: 2) involuce Janko skupina J4.

Maximální podskupiny

Ve všech 22 bodech nejsou žádné přechodné podskupiny přechodné. Existuje 8 tříd konjugace maximálních podskupin M₂₂ jak následuje:

• PSL (3,4) nebo M₂₁, objednávka 20160: jednobodový stabilizátor
• 2⁴:A₆, objednejte 5760, oběžné dráhy 6 a 16

Stabilizátor W₂₂ blok

• A₇, objednejte 2520, oběžné dráhy 7 a 15

Existují 2 sady, po 15 kusech, jednoduchých podskupin řádu 168. Ty jednoho typu mají dráhy 1, 7 a 14; ostatní mají oběžné dráhy 7, 8 a 7.

• A₇, oběžné dráhy 7 a 15

Konjugovat s předchozím typem v M.₂₂:2.

• 2⁴: S₅, objednávka 1920, oběžné dráhy 2 a 20 (5 bloků po 4)

2bodový stabilizátor ve skupině sextetů

• 2³: PSL (3,2), objednávka 1344, oběžné dráhy 8 a 14
• M₁₀, objednejte 720, oběžné dráhy 10 a 12 (2 bloky po 6)

Jednobodový stabilizátor M.₁₁ (bod na oběžné dráze 11)

Nerozdělené rozšíření skupiny formuláře A₆.2

• PSL (2,11), objednávka 660, oběžné dráhy 11 a 11

Další jednobodový stabilizátor M.₁₁ (bod na oběžné dráze 12)

Hodiny konjugace

Existuje 12 tříd konjugace, ačkoli dvě třídy prvků řádu 11 jsou spojeny pod vnějším automorfismem.

Viz také

• M₂₂ graf

Reference

• Adem, Alejandro; Milgram, R. James (1995), „The cohomology of the Mathieu group M₂₂“, Topologie. International Journal of Mathematics, 34 (2): 389–410, doi:10.1016 / 0040-9383 (94) 00029-K, ISSN  0040-9383, PAN  1318884
• Burgoyne, N .; Fong, Paul (1966), „Schurovi multiplikátoři Mathieuových skupin“, Nagojský matematický deník, 27 (2): 733–745, doi:10.1017 / S0027763000026519, ISSN  0027-7630, PAN  0197542
• Burgoyne, N .; Fong, Paul (1968), „Oprava:“ Schurovi multiplikátoři Mathieuových skupin"", Nagojský matematický deník, 31: 297–304, doi:10.1017 / S0027763000012782, ISSN  0027-7630, PAN  0219626
• Cameron, Peter J. (1999), Permutační skupiny, London Mathematical Society Student Texts, 45, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-65378-7
• Carmichael, Robert D. (1956) [1937], Úvod do teorie grup konečného řádu, New York: Dover Publications, ISBN  978-0-486-60300-1, PAN  0075938
• Conway, John Horton (1971), „Tři přednášky o výjimečných skupinách“, Powell, M. B .; Higman, Graham (eds.), Konečné jednoduché skupiny, Sborník z instruktážní konference pořádané London Mathematical Society (NATO Advanced Study Institute), Oxford, září 1969, Boston, MA: Akademický tisk, str. 215–247, ISBN  978-0-12-563850-0, PAN  0338152 Přetištěno Conway & Sloane (1999, 267–298)
• Conway, John Horton; Parker, Richard A .; Norton, Simon P .; Curtis, R. T .; Wilson, Robert A. (1985), Atlas konečných skupin, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853199-9, PAN  0827219
• Conway, John Horton; Sloane, Neil J. A. (1999), Balení koule, mřížky a skupiny Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-2016-7, ISBN  978-0-387-98585-5, PAN  0920369
• Cuypers, Hansi, Mathieuovy skupiny a jejich geometrie (PDF)
• Dixon, John D .; Mortimer, Brian (1996), Permutační skupiny, Postgraduální texty z matematiky, 163, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0731-3, ISBN  978-0-387-94599-6, PAN  1409812
• Griess, Robert L. Jr. (1998), Dvanáct sporadických skupinSpringer Monografie z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN  978-3-540-62778-4, PAN  1707296
• Harada, Koichiro; Solomon, Ronald (2008), „Konečné skupiny mající standardní složku L typu M₁₂ nebo M₂₂“, Journal of Algebra, 319 (2): 621–628, doi:10.1016 / j.jalgebra.2006.09.034, ISSN  0021-8693, PAN  2381799
• Janko, Z. (1976). „Nová konečná jednoduchá skupina řádu 86 775 570 046 077 562 880, která vlastní M₂₄ a celá krycí skupina M.₂₂ jako podskupiny ". J. Algebra. 42: 564–596. doi:10.1016/0021-8693(76)90115-0. (Název tohoto příspěvku je nesprávný, protože celá krycí skupina M.₂₂ později bylo zjištěno, že je větší: střed řádu 12, ne 6.)
• Mathieu, Émile (1861), „Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 6: 241–323
• Mathieu, Émile (1873), „Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (francouzsky), 18: 25–46, JFM  05.0088.01^{[trvalý mrtvý odkaz ]}
• Mazet, Pierre (1979), „Sur le multiplikátor de Schur du groupe de Mathieu M₂₂“, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B, 289 (14): A659 – A661, ISSN  0151-0509, PAN  0560327
• Thompson, Thomas M. (1983), Od kódů opravujících chyby přes balení koule až po jednoduché skupiny Matematické monografie Carus, 21, Mathematical Association of America, ISBN  978-0-88385-023-7, PAN  0749038
• Witt, Ernst (1938a), „über Steinersche Systeme“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 265–275, doi:10.1007 / BF02948948, ISSN  0025-5858
• Witt, Ernst (1938b), „Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 256–264, doi:10.1007 / BF02948947

externí odkazy

• MathWorld: Mathieu Groups
• Atlas zastoupení konečných skupin: M₂₂