Lyonsova skupina - Lyons group

Za společnost založenou Sheryl Leach a získané HIT zábava viz Lyrick Studios.
Algebraická struktura → Skupinová teorie
Skupinová teorie
Cyklická skupina.svg
Konečné skupiny
Klasifikace konečných jednoduchých skupin

V oblasti moderní algebry známé jako teorie skupin, Lyonsova skupina Ly nebo Skupina Lyons-Sims LyS je sporadická jednoduchá skupina z objednat

    28 · 37 · 56 · 7 · 11 · 31 · 37 · 67
= 51765179004000000
≈ 5×1016.

Dějiny

Ly je jednou z 26 sporadických skupin a byla objevena Richard Lyons a Charles Sims v letech 1972-73. Lyons charakterizoval 51765179004000000 jako jedinečné možné pořadí jakékoli konečné jednoduché skupiny, kde centralizátor některých involuce je izomorfní na netriviální centrální prodloužení střídavá skupina A11 stupně 11 cyklická skupina C2. Sims (1973) prokázal existenci takové skupiny a její jedinečnost až po izomorfismus kombinací teorie permutačních skupin a strojových výpočtů.

Když McLaughlin sporadická skupina bylo objeveno, bylo si všimnuto, že centralizátor jedné z jeho involucí byl dokonalý dvojitý kryt z střídavá skupina A8. To navrhlo zvážit dvojité kryty ostatních střídajících se skupin An jako možná centralizátoři involucí v jednoduchých skupinách. Případy n ≤ 7 jsou vyloučeny Brauer – Suzukiho věta, pouzdro n = 8 vede ke skupině McLaughlin n = 9 bylo vyloučeno Zvonimir Janko, Sám Lyons případ vyloučil n = 10 a našel skupinu Lyons pro n = 11, zatímco případy n ≥ 12 bylo vyloučeno J.G. Thompson a Ronald Solomon.

The Multiplikátor Schur a vnější skupina automorfismu jsou oba triviální.

Protože 37 a 67 nejsou nadpřirozený prvočísla, skupina Lyons nemůže být dílčí podíl z skupina příšer. Jedná se tedy o jednu ze 6 sporadických skupin zvaných vyvrhele.

Zastoupení

Meyer, Neutsch & Parker (1985) ukázal, že skupina Lyons má modulární reprezentace dimenze 111 nad polem pěti prvků, což je nejmenší rozměr jakékoli věrné lineární reprezentace a je jedním z nejjednodušších způsobů výpočtu s ním. Bylo to také dáno několika komplikovanými prezentacemi z hlediska generátorů a vztahů, například těch, které uvedl Sims (1973) nebo Gebhardt (2000).

Nejmenší věřící permutační reprezentace je permutační zastoupení hodnosti 5 na 8835 156 bodech se stabilizátorem G.2(5). K dispozici je také mírně větší zastoupení 5. úrovně na 9606 125 bodech se stabilizátorem 3. McL: 2.

Maximální podskupiny

Wilson (1985) našel 9 tříd konjugace maximálních podskupin z Ly jak následuje:

  • G2(5)
  • 3. McL: 2
  • 53.PSL3(5)
  • 2.A11
  • 51+4: 4.S6
  • 35: (2 × M11)
  • 32+4: 2.A5.D8
  • 67:22
  • 37:18

Reference

  • Richard Lyons (1972,5) „Důkazy pro novou konečnou jednoduchou skupinu“, Journal of Algebra 20: 540–569 a 34: 188–189.
  • Gebhardt, Volker (2000). "Dvě krátké prezentace pro Lyonovu sporadickou jednoduchou skupinu". Experimentální matematika. 9 (3): 333–8. doi:10.1080/10586458.2000.10504410.
  • Meyer, Werner; Neutsch, Wolfram; Parker, Richard (1985), „Minimální 5-reprezentace sporadické skupiny Lyons“, Mathematische Annalen, 272 (1): 29–39, doi:10.1007 / BF01455926, ISSN  0025-5831, PAN  0794089
  • Sims, Charles C. (1973), „Existence a jedinečnost Lyonsovy skupiny“, Konečné skupiny '72 (Proc. Gainesville Conf., Univ. Florida, Gainesville, Fla., 1972), North-Holland Math. Studie, 7, Amsterdam: Severní Holandsko, s. 138–141, PAN  0354881
  • Wilson, Robert A. (1985), „Maximální podskupiny skupiny Lyons“, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 97 (3): 433–436, doi:10.1017 / S0305004100063003, ISSN  0305-0041, PAN  0778677

externí odkazy