Feit-Thompsonova věta - Feit–Thompson theorem
v matematika, Feit-Thompsonova větanebo věta o lichém pořadí, uvádí, že každý konečný skupina liché objednat je řešitelný. Bylo prokázáno Walter Feit a John Griggs Thompson (1962, 1963 ).
Dějiny
William Burnside (1911, str. 503 not M)
William Burnside (1911, str. 503 poznámka M) se domníval, že každý nonabelian konečná jednoduchá skupina má dokonce pořádek. Richard Brauer (1957 ) navrhl použít centralizátory involucí jednoduchých skupin jako základ pro klasifikace konečných jednoduchých skupin jako Brauer – Fowlerova věta ukazuje, že existuje pouze konečný počet konečných jednoduchých skupin s daným centralizátor z involuce. Skupina lichého řádu nemá žádné involuce, takže k provedení Brauerova programu je nejprve nutné ukázat, že necyklické konečné jednoduché skupiny nikdy nemají liché pořadí. To odpovídá zobrazení skupin lichého pořadí řešitelný což dokázali Feit a Thompson.
Útok na Burnsideovu domněnku zahájil Michio Suzuki (1957 ), který studoval CA skupiny; to jsou takové skupiny, že Centralizer každého netriviálního prvku je Abelian. V průkopnické práci ukázal, že všechny CA skupiny lichého řádu jsou řešitelné. (Později klasifikoval všechny jednoduché skupiny CA a obecněji všechny jednoduché skupiny tak, že centralizátor jakékoli involuce má normální 2Podskupina Sylow, najít přehlédnutou rodinu jednoduchých skupiny typu Lie v procesu, které se nyní nazývají Suzuki skupiny.)
Feit, Marshall Hall a Thompson (1960 ) rozšířil práci Suzuki na rodinu CN skupiny; to jsou takové skupiny, že Centralizátor každého netriviálního prvku je Nilpotentní. Ukázali, že každá skupina CN lichého řádu je řešitelná. Jejich důkaz je podobný důkazu Suzuki. Mělo to asi 17 stránek, což bylo v té době považováno za velmi dlouhé pro důkaz v teorii skupin.
Feit-Thompsonovu větu lze považovat za další krok v tomto procesu: ukazují, že neexistuje žádná necyklická jednoduchá skupina lichého řádu, takže každá správná podskupina je řešitelný. To dokazuje, že každá konečná skupina lichého řádu je řešitelná, jako a minimální protiklad musí být jednoduchá skupina tak, aby každá správná podskupina byla řešitelná. Ačkoli důkaz sleduje stejný obecný obrys jako CA věta a CN věta, podrobnosti jsou mnohem komplikovanější. Výsledný dokument má 255 stránek.
Důležitost důkazu
Feit-Thompsonova věta ukázala, že klasifikace konečných jednoduchých skupin pomocí centralizátorů involucí je možná, protože každá neabelská jednoduchá skupina má involuci. Mnoho z technik, které zavedli ve svých důkazech, zejména myšlenka místní analýza, byly dále rozvinuty do nástrojů používaných při klasifikaci. Snad nejrevolučnějším aspektem důkazu byla jeho délka: před papírem Feit-Thompson bylo několik argumentů v teorii skupin dlouhých více než několik stránek a většinu bylo možné přečíst za den. Jakmile si teoretici skupin uvědomili, že takové dlouhé argumenty mohou fungovat, začala se objevovat řada papírů dlouhých několik stovek stran. Někteří z nich trpasličí, dokonce i papír Feit-Thompson; papír Michael Aschbacher a Stephen D. Smith dál kvazithinové skupiny byl dlouhý 1 221 stránek.
Revize důkazu
Mnoho matematiků zjednodušilo části původního Feit-Thompsonova důkazu. Všechna tato vylepšení jsou však v určitém smyslu lokální; globální struktura argumentu je stále stejná, ale některé podrobnosti argumentů byly zjednodušeny.
Zjednodušený důkaz byl publikován ve dvou knihách: (Bender & Glauberman 1995 ) , který pokrývá vše kromě teorie znaků, a (Peterfalvi 2000, část I), která pokrývá teorii znaků. Tento revidovaný důkaz je stále velmi tvrdý a je delší než původní důkaz, ale je napsán zábavnějším stylem.
Plně formální důkaz, ověřený u Coq důkaz asistent, bylo oznámeno v září 2012 uživatelem Georges Gonthier a kolegové výzkumní pracovníci na Microsoft Research a INRIA.[1]
Nástin důkazu
Místo přímého popisu věty Feit – Thompson je jednodušší popsat Suzukiho větu CA a poté komentovat některá rozšíření potřebná pro větu CN a teorém lichého řádu. Důkaz lze rozdělit do tří kroků. Nechali jsme G být neabelovskou (minimální) jednoduchou skupinou lichého řádu splňující podmínku CA. Podrobnější výklad papíru zvláštního řádu viz Thompson (1963) nebo (Gorenstein 1980 ) nebo Glauberman (1999).
Krok 1. Místní analýza struktury skupiny G
To je v případě CA snadné, protože vztah „A dojíždí s b„je vztah ekvivalence na prvcích neidentity. Takže prvky se dělí na třídy ekvivalence, takže každá třída ekvivalence je množinou prvků neidentity maximální podskupiny abelianů. Ukázalo se, že normalizátory těchto maximálních podskupin abelian být přesně maximálními správnými podskupinami G. Tito normalizátoři jsou Skupiny Frobenius jehož teorie znaků je přiměřeně transparentní a vhodná pro manipulace zahrnující indukce znaků. Také sada hlavních dělitelů |G| je rozdělen podle prvočísel, která rozdělují řády různých tříd konjugace maximálních abelianských podskupin |G|. Tento vzorec rozdělení hlavních dělitelů |G| podle tříd konjugace určitých Hall podskupiny (Hall podskupina je ta, jejíž pořadí a index jsou relativně hlavní), které odpovídají maximálním podskupinám G (až do konjugace) se opakuje jak v důkazu CN věty Feit – Hall – Thompson, tak v důkazu věty Feit – Thompsonova lichého řádu. Každá maximální podskupina M má určitou nilpotentní podskupinu Hall Mσ s normalizátorem obsaženým v M, jehož pořadí je dělitelné určitými prvočísly tvořícími množinu σ (M). Dvě maximální podskupiny jsou konjugovány právě tehdy, když množiny σ (M) jsou stejné, a pokud nejsou konjugované, pak množiny σ (M) jsou disjunktní. Každé prvočíslo dělící řád G vyskytuje se v nějaké množině σ (M). Takže prvočísla dělící pořadí G jsou rozděleny do tříd ekvivalence odpovídajících třídám konjugace maximálních podskupin. Důkaz případu CN je již podstatně obtížnější než případ CA: hlavním problémem navíc je dokázat, že se v identitě protínají dvě různé podskupiny Sylow. Tato část důkazu věty o lichém pořadí přebírá více než 100 stránek deníku. Klíčovým krokem je důkaz Thompsonova věta o jedinečnosti, s uvedením, že abelianské podskupiny normální pozice alespoň 3 jsou obsaženy v jedinečné maximální podskupině, což znamená, že prvočísla p pro které Sylow p- podskupiny mají normální hodnocení nejvýše 2, je třeba je posuzovat samostatně. Bender později zjednodušil důkaz použití věty o jedinečnosti Benderova metoda. Zatímco v případě CN výsledné maximální podskupiny M jsou stále Frobeniovy skupiny, maximální podskupiny, které se vyskytují v důkazu věty o lichém řádu, již tuto strukturu nemají a analýza jejich struktury a souhry vytváří 5 možných typů maximálních podskupin, nazývaných typy I, II, III, Podskupiny IV, V. typu I jsou typu „Frobenius“, což je mírné zobecnění skupiny Frobenius, a ve skutečnosti se později v důkazu ukáží jako skupiny Frobenius. Mají strukturu MF⋊U kde MF je největší normální nilpotentní podskupina Hall a U má podskupinu U0 se stejným exponentem takovým MF⋊U0 je skupina Frobenius s jádrem MF. Typy II, III, IV, V jsou všechny 3kroková skupina se strukturou MF⋊U⋊Ž1, kde MF⋊U je odvozená podskupina M. Členění na typy II, III, IV a V závisí na struktuře a vložení podskupiny U jak následuje:
- Typ II: U je netriviální abelian a jeho normalizátor není obsažen v M.
- Typ III: U je netriviální abelian a jeho normalizátor je obsažen v M.
- Typ IV: U je nonabelian.
- Typ V: U je triviální.
Všechny až na dvě třídy maximálních podskupin jsou typu I, ale mohou existovat také dvě další třídy maximálních podskupin, jedna typu II a jedna typu II, III, IV nebo V.
Krok 2. Teorie znaků G
Pokud X je neredukovatelný charakter normalizátoru H maximální abelianské podskupiny A skupiny CA. G, neobsahující A v jeho jádře můžeme vyvolat X na znak Y G, což není nutně neredukovatelné. Kvůli známé struktuře G, je snadné najít znakové hodnoty Y na všech prvcích identity kromě G. To znamená, že pokud X1 a X2 jsou dva takové neredukovatelné znaky H a Y1 a Y2 jsou odpovídající indukované znaky, pak Y1 - Y2 je zcela určen a jeho výpočet se počítá norma ukazuje, že se jedná o rozdíl dvou neredukovatelné znaky G (ty jsou někdy známé jako výjimečné postavy z G s ohledem na H). Argument počítání ukazuje, že každý netriviální neredukovatelný charakter G vzniká právě jednou jako výjimečný znak spojený s normalizátorem nějaké maximální abelianské podskupiny G. Podobný argument (ale nahrazení abelianských Hallových podskupin nilpotentními Hallovými podskupinami) funguje v důkazu věty CN. V důkazu věty o lichém pořadí jsou však argumenty pro konstrukci znaků G od znaků podskupin jsou mnohem delikátnější a použijte Dade izometrie mezi kroužky znaků spíše než indukcí znaků, protože maximální podskupiny mají složitější strukturu a jsou vloženy méně transparentním způsobem. Teorie výjimečných postav je nahrazena teorií a souvislá sada znaků rozšířit Dadeovu izometrii. Zhruba řečeno, tato teorie říká, že Dadeovu izometrii lze rozšířit, pokud zúčastněné skupiny nemají určitou přesnou strukturu. Peterfalvi (2000) popsal zjednodušenou verzi teorie postav kvůli Dadeovi, Sibleymu a Peterfalvi.
Krok 3. Konečný rozpor
V kroku 2 máme úplný a přesný popis souboru tabulka znaků skupiny CA. G. Z toho as využitím skutečnosti, že G má liché pořadí, je k dispozici dostatek informací k získání odhadů pro |G| a dospět k rozporu s předpokladem, že G je jednoduchý. Tato část argumentu funguje obdobně v případě skupiny CN.
V důkazu Feit-Thompsonovy věty je však tento krok (jako obvykle) mnohem komplikovanější. Teorie znaků vylučuje pouze některé z možných konfigurací, které zbyly po kroku 1. Nejprve ukazují, že maximální podskupiny typu I jsou všechny Frobeniovy skupiny. Pokud jsou všechny maximální podskupiny typu I, pak argument podobný případu CN ukazuje, že skupina G nemůže být lichá řádová minimální jednoduchá skupina, takže existují přesně dvě třídy maximálních podskupin typů II, III, IV nebo V. Většina zbytku důkazu se nyní zaměřuje na tyto dva typy maximální podskupiny S a T a vztah mezi nimi. Více znakově teoretických argumentů ukazuje, že nemohou být typu IV nebo V. Tyto dvě podskupiny mají přesnou strukturu: podskupina S je v pořádku pq×q×(pq–1)/(p–1) a skládá se ze všech automorfismů podkladové množiny konečného pole řádu pq formuláře X→sekeraσ+b kde A má normu 1 a σ je automorfismus konečného pole, kde p a q jsou odlišné prvočísla. Maximální podskupina T má podobnou strukturu s p a q obráceně. Podskupiny S a T jsou úzce spjaty. Brát p>q, lze ukázat, že cyklická podskupina z S objednávky (pq–1)/(p–1) je konjugovaný s podskupinou cyklické podskupiny T objednávky (qp–1)/(q–1). (Zejména první číslo rozděluje druhé, takže pokud Feit-Thompsonova domněnka je pravda, tvrdilo by, že se to nemůže stát, a to by mohlo být použito k dokončení důkazu v tomto bodě. Domněnka je však stále neprokázaná.)
Závěr z aplikace teorie znaků na skupinu G je to G má následující strukturu: existují prvočísla p>q takový, že (pq–1)/(p–1) je coprime p–1 a G má podskupinu danou polopřímým produktem PU kde P je aditivní skupina konečného pole objednávky pq a U jeho prvky normy 1. Navíc G má abelianskou podskupinu Q objednávky připravit p obsahující prvek y takhle P0 normalizuje Q a (P0)y normalizuje U, kde P0 je aditivní skupina konečného pole řádu p. (Pro p= 2 podobná konfigurace se vyskytuje ve skupině SL2(2q), s PU borelská podskupina horních trojúhelníkových matic a Q podskupina objednávky 3 vygenerovaná .) Abychom tento poslední případ vyloučili, použil Thompson několik děsivě komplikovaných manipulací generátory a vztahy, které byly později zjednodušeny Peterfalvi (1984), jehož argument je uveden v (Bender & Glauberman 1994 ). Důkaz zkoumá sadu prvků A v konečném poli řádu pq takhle A a 2 – a oba mají normu 1. Jeden nejprve ověří, že tato sada má alespoň jeden prvek jiný než 1. Potom poměrně obtížný argument pomocí generátorů a vztahů ve skupině G ukazuje, že sada je uzavřena při přijímání inverzí. Li A je v množině a nerovná se 1, pak polynom N ((1–A)X+1) –1 má titul q a má alespoň p odlišné kořeny dané prvky X v Fp, s využitím skutečnosti, že X→1/(2–X) mapuje sadu na sebe, takže p≤q, což je v rozporu s předpokladem p>q.
Použití zvláštnosti
Skutečnost, že pořadí skupiny G je liché se používá na několika místech v korektuře, následovně (Thompson 1963 ).
- The Hall – Higmanova věta je ostřejší pro skupiny lichého pořadí.
- U skupin lichého pořadí se všechny jiné než hlavní znaky vyskytují ve složitých konjugovaných párech.
- Několik výsledků o p-skupiny drží pouze pro lichá prvočísla p.
- Pokud skupina lichého řádu nemá žádné elementární abelianské podskupiny 3. úrovně, pak je její odvozená skupina nilpotentní. (To pro symetrickou skupinu selže S4 sudého řádu.)
- Několik argumentů zahrnujících teorii znaků selhává u malých prvočísel, zejména u prime 2.
Reference
- ^ „Věta o Feit-Thompsonovi byla úplně zkontrolována v Coq“. Msr-inria.inria.fr. 20. 9. 2012. Archivovány od originál dne 19. 11. 2016. Citováno 2012-09-25.
- Bender, Helmut; Glauberman, Georgi (1994), Místní analýza pro teorém lichého řádu, Série přednášek London Mathematical Society, 188, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45716-3, PAN 1311244
- Brauer, R. (1957), „O struktuře skupin konečného řádu“, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Amsterdam, 1954, Vol. 1 „Erven P. Noordhoff N.V., Groningen, s. 209–217, PAN 0095203, archivovány z originál dne 05.03.2011, vyvoláno 2010-11-14
- Burnside, William (1911), Teorie skupin konečného řádu, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-49575-0, PAN 0069818
- No tak, Waltere; Thompson, John G.; Hall, Marshall Jr. (1960), "Konečné skupiny, ve kterých je centralizátor jakéhokoli prvku neidentity nilpotentní", Matematika. Z., 74: 1–17, doi:10.1007 / BF01180468, PAN 0114856
- No tak, Waltere; Thompson, John G. (1962), „Kritérium řešitelnosti pro konečné skupiny a některé důsledky“, Proc. Natl. Acad. Sci., 48 (6): 968–970, doi:10.1073 / pnas.48.6.968, JSTOR 71265, PAN 0143802, PMC 220889, PMID 16590960
- No tak, Waltere; Thompson, John G. (1963), "Řešitelnost skupin lichého pořadí", Pacific Journal of Mathematics, 13: 775–1029, ISSN 0030-8730, PAN 0166261
- Glauberman, Georgi (1999), „Nový pohled na teorém lichého řádu Feit – Thompsona“, Matemática Contemporânea, 16: 73–92, ISSN 0103-9059, PAN 1756828
- Gorenstein, D. (1980), Konečné skupiny (2. vyd.), New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0301-6, PAN 0569209
- Peterfalvi, Thomas (1984), „Simplification du chapitre VI de l'article de Feit et Thompson sur les groupes d'ordre poškodit“, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 299 (12): 531–534, ISSN 0249-6291, PAN 0770439
- Peterfalvi, Thomas (2000), Teorie znaků pro teorém lichého řádu, Série přednášek London Mathematical Society, 272, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511565861, ISBN 978-0-521-64660-4, PAN 1747393
- Suzuki, Michio (1957), „Neexistence určitého typu jednoduchých skupin lichého řádu“, Proceedings of the American Mathematical Society, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 8, č. 4, 8 (4): 686–695, doi:10.2307/2033280, JSTOR 2033280, PAN 0086818
- Thompson, John G. (1963), "Dva výsledky o konečných skupinách", Proc. Internat. Congr. Matematici (Stockholm, 1962), Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, str. 296–300, PAN 0175972, archivovány z originál dne 17.07.2011, vyvoláno 2010-11-14