Suzuki skupiny - Suzuki groups
V oblasti moderní algebry známé jako teorie skupin, Suzuki skupiny, označený Sz (22n+1), 2B2(22n+1), Suz (22n+1), nebo G(22n+1), tvoří nekonečnou rodinu skupiny typu Lie našel Suzuki (1960 ), které jsou jednoduché pro n ≥ 1. Tyto jednoduché skupiny jsou jedinými konečnými neabelovskými skupinami s řády nedělitelnými 3.
Stavby
Suzuki
Suzuki (1960) původně konstruoval skupiny Suzuki jako podskupiny SL4(F22n+1) generované určitými explicitními maticemi.
Ree
Ree poznamenal, že skupiny Suzuki byly pevnými body výjimečných automorfismů některých symplektické skupiny dimenze 4 a použil to ke konstrukci dvou dalších rodin jednoduchých skupin, nazývaných Ree skupiny. V nejnižším případě symplektická skupina B2(2) ≈S6; své výjimečný automorfismus opravuje podskupinu Sz (2) nebo 2B2(2), pořadí 20. Ono (1962 ) poskytl podrobnou expozici Reeova pozorování.
Prsa
Prsa (1962 ) zkonstruoval Suzukiho skupiny jako symetrie určitého vejcovodu v trojrozměrném projektivním prostoru nad polem charakteristiky 2.
Wilson
Wilson (2010 ) zkonstruoval Suzukiho skupiny jako podskupinu symplektické skupiny ve 4 rozměrech a zachoval určitý produkt na párech ortogonálních vektorů.
Vlastnosti
Nechť q = 22n + 1, r = 2n, n nezáporné celé číslo.
Suzuki skupiny Sz (q) nebo 2B2(q) jsou jednoduché pro n≥1. Skupina Sz (2) je řešitelná a jedná se o Frobeniovu skupinu řádu 20.
Suzuki skupiny Sz (q) mají rozkazy q2(q2+1)(q-1). Tyto skupiny mají objednávky dělitelné 5, ne 3.
The Multiplikátor Schur je triviální pro n>1, Kleinová skupina 4 pro n= 1, tj. E. Sz (8).
The vnější skupina automorfismu je cyklický řádu 2n+1, dané automatorfismem z oblasti objednávky q.
Suzuki skupina jsou Skupiny Zassenhaus působící na soubory velikosti (22n+1)2+1 a mají 4-dimenzionální reprezentace nad polem s 22n+1 elementy.
Suzuki skupiny jsou Skupiny CN: je centralizátor každého netriviálního prvku nilpotentní.
Podskupiny
Když n je kladné celé číslo. Sz (q) má nejméně 4 typy maximálních podskupin.
Diagonální podskupina je cyklická, řádu q - 1.
- Dolní trojúhelníková (Borelova) podskupina a její konjugáty řádu q2· (Q-1). Jsou to jednobodové stabilizátory ve dvojnásobně přechodné permutační reprezentaci Sz (q).
- Dihedrální skupina Dq-1, normalizátor diagonální podskupiny a konjugáty.
- Cq + 2r + 1:4
- Cq-2r + 1:4
- Menší skupiny Suzuki, když 2n + 1 je složený.
Buď q + 2r + 1 nebo q-2r + 1 je dělitelné 5, takže Sz (q) obsahuje Frobeniovu skupinu C5:4.
Hodiny konjugace
Suzuki (1960 ) ukázal, že skupina Suzuki ano q+3 třídy konjugace. Z nich q+1 jsou silně reálné a další dva jsou třídy prvků řádu 4.
- q2+1 Sylow 2 podskupiny objednávky q2indexu q–1 v jejich normalizátorech. 1 třída prvků řádu 2, 2 třídy prvků řádu 4.
- q2(q2+1) / 2 cyklické podskupiny objednávky q–1, indexu 2 v jejich normalizátorech. Tyto účty pro (q–2) / 2 třídy konjugace netriviálních prvků.
- Cyklické podskupiny řádu q+2r+1, indexu 4 v jejich normalizátorech. Tyto účty pro (q+2r) / 4 třídy konjugace netriviálních prvků.
- Cyklické podskupiny řádu q–2r+1, indexu 4 v jejich normalizátorech. Tyto účty pro (q–2r) / 4 třídy konjugace netriviálních prvků.
Normalizátory všech těchto podskupin jsou skupiny Frobenius.
Postavy
Suzuki (1960) ukázal, že skupina Suzuki má q+3 neredukovatelné reprezentace komplexních čísel, z nichž 2 jsou komplexní a zbytek reálná. Jsou uvedeny takto:
- Triviální charakter stupně 1.
- The Steinberg zastoupení stupně q2, pocházející z dvojnásobně přechodné permutační reprezentace.
- (q–2) / 2 znaky stupně q2+1
- Dva složité znaky titulu r(q–1) kde r=2n
- (q+2r) / 4 znaky stupně (q–2r+1)(q–1)
- (q–2r) / 4 znaky stupně (q+2r+1)(q–1).
Reference
- Nouacer, Ziani (1982), „Caractères et sous-groupes des groupes de Suzuki“, Diagramy, 8: ZN1 – ZN29, ISSN 0224-3911, PAN 0780446
- Ono, Takashi (1962), „Identifikace skupin Suzuki se skupinami zobecněného Lieova typu.“, Annals of Mathematics, Druhá série, 75 (2): 251–259, doi:10.2307/1970173, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970173, PAN 0132780
- Suzuki, Michio (1960), „Nový typ jednoduchých skupin konečného řádu“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 46 (6): 868–870, doi:10.1073 / pnas.46.6.868, ISSN 0027-8424, JSTOR 70960, PAN 0120283, PMC 222949, PMID 16590684
- Suzuki, Michio (1962), „O třídě dvojnásobně přechodných skupin“, Annals of Mathematics, Druhá série, 75 (1): 105–145, doi:10.2307/1970423, hdl:2027 / mdp. 39015095249804, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970423, PAN 0136646
- Tits, Jacques (1962), „Ovoïdes et groupes de Suzuki“, Archiv der Mathematik, 13: 187–198, doi:10.1007 / BF01650065, ISSN 0003-9268, PAN 0140572
- Wilson, Robert A. (2010), „Nový přístup ke skupinám Suzuki“, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 148 (3): 425–428, doi:10.1017 / S0305004109990399, ISSN 0305-0041, PAN 2609300