3. skupina permutace - Rank 3 permutation group - Wikipedia
V matematice teorie konečných grup, a 3. skupina permutace činy přechodně na množině tak, že stabilizátor bodu má 3 oběžné dráhy. Studium těchto skupin bylo zahájeno Higmane (1964, 1971 ). Několik z sporadické jednoduché skupiny byly objeveny jako permutační skupiny 3. úrovně.
Klasifikace
Primitivní permutační skupiny 3. úrovně jsou v jedné z následujících tříd:
- Cameron (1981) klasifikoval ty takové, že Kde sokl T z T0 je jednoduchý a T0 je 2-tranzitivní skupina stupňů √n.
- Liebeck (1987) klasifikoval ty s normální základní abelianskou normální podskupinou
- Bannai (1971–72) klasifikoval ty, jejichž sokl je jednoduchá střídavá skupina
- Kantor & Liebler (1982) klasifikoval ty, jejichž sokl je jednoduchá klasická skupina
- Liebeck & Saxl (1986) klasifikoval ty, jejichž sokl je jednoduchá výjimečná nebo sporadická skupina.
Příklady
Li G je jakákoli 4-tranzitivní skupina působící na množinu S, pak jeho působení na páry prvků S je permutační skupina 3. úrovně.[1] Zejména většina střídavých skupin, symetrických skupin a Mathieu skupiny mají 4-tranzitivní akce, a tak je lze provést do permutačních skupin 3. úrovně.
Projektivní obecná lineární skupina působící na čáry v projektivním prostoru dimenze alespoň 3 je permutační skupina hodnosti 3.
Několik 3-transpoziční skupiny jsou permutační skupiny 3. stupně (v akci o transpozicích).
Je obvyklé, že bodový stabilizátor permutační skupiny 3. úrovně působící na jedné z oběžných drah je permutační skupinou 3. úrovně. To dává několik „řetězců“ permutačních skupin 3. úrovně, například Řetěz Suzuki a řetěz končící znakem Fischerovy skupiny.
Některé neobvyklé permutační skupiny hodnosti 3 (mnoho z (Liebeck & Saxl 1986 )) jsou uvedeny níže.
U každého řádku v tabulce níže je v mřížce ve sloupci označeném „size“ číslo nalevo od znaménka rovná míře permutační skupiny pro permutační skupinu uvedenou v řádku. V mřížce součet napravo od znaménka rovnosti ukazuje délky tří oběžných drah stabilizátoru bodu permutační skupiny. Například výraz 15 = 1 + 6 + 8 v prvním řádku tabulky pod nadpisem znamená, že permutační skupina pro první řádek má stupeň 15 a délky tří oběžných drah stabilizátoru bodu permutace skupina je 1, 6, respektive 8.
| Skupina | Stabilizátor bodu | velikost | Komentáře |
|---|---|---|---|
| A6 = L2(9) = Sp4(2) '= M10' | S4 | 15 = 1+6+8 | Dvojice bodů nebo sady 3 bloků po 2 v šestibodové permutační reprezentaci; dvě třídy |
| A9 | L2(8):3 | 120 = 1+56+63 | Projektivní linie P1(8); dvě třídy |
| A10 | (A5× A5):4 | 126 = 1+25+100 | Sady 2 bloků po 5 v přirozené 10bodové permutační reprezentaci |
| L2(8) | 7: 2 = Dih (7) | 36 = 1+14+21 | Dvojice bodů v P1(8) |
| L3(4) | A6 | 56 = 1+10+45 | Hyperovals v P2(4); tři třídy |
| L4(3) | PSp4(3):2 | 117 = 1+36+80 | Symplektické polarity P3(3); dvě třídy |
| G2(2) '= U3(3) | PSL3(2) | 36 = 1+14+21 | Řetěz Suzuki |
| U3(5) | A7 | 50 = 1+7+42 | Akce na vrcholech Hoffman-Singletonův graf; tři třídy |
| U4(3) | L3(4) | 162 = 1+56+105 | Dvě třídy |
| Sp6(2) | G2(2) = U3(3):2 | 120 = 1+56+63 | Skupina Chevalley typu G2 působící na oktonionovou algebru nad GF (2) |
| Ω7(3) | G2(3) | 1080 = 1+351+728 | Skupina Chevalley typu G2 působící na imaginární oktoniony octonionové algebry nad GF (3); dvě třídy |
| U6(2) | U4(3):22 | 1408 = 1+567+840 | Bodový stabilizátor je obraz lineárního vyjádření, které je výsledkem „svržení“ komplexního znázornění Mitchellovy skupiny (komplexní reflexní skupina) modulo 2; tři třídy |
| M11 | M9:2 = 32: SD16 | 55 = 1+18+36 | Dvojice bodů v 11bodové permutační reprezentaci |
| M12 | M10: 2 = A6.22 = PΓL (2,9) | 66 = 1+20+45 | Dvojice bodů nebo dvojice doplňkových bloků S (5,6,12) v 12bodové permutační reprezentaci; dvě třídy |
| M22 | 24:A6 | 77 = 1+16+60 | Bloky S (3,6,22) |
| J2 | U3(3) | 100 = 1+36+63 | Řetěz Suzuki; akce na vrcholech Hall-Jankov graf |
| Skupina Higman-Sims HS | M22 | 100 = 1+22+77 | Akce na vrcholech Higman-Simsův graf |
| M22 | A7 | 176 = 1+70+105 | Dvě třídy |
| M23 | M21: 2 = L3(4):22 = PΣL (3,4) | 253 = 1+42+210 | Dvojice bodů v 23bodové permutační reprezentaci |
| M23 | 24:A7 | 253 = 1+112+140 | Bloky S (4,7,23) |
| McLaughlinova skupina McL | U4(3) | 275 = 1+112+162 | Akce na vrcholech McLaughlinův graf |
| M24 | M22:2 | 276 = 1+44+231 | Dvojice bodů v 24bodové permutační reprezentaci |
| G2(3) | U3(3):2 | 351 = 1+126+244 | Dvě třídy |
| G2(4) | J2 | 416 = 1+100+315 | Řetěz Suzuki |
| M24 | M12:2 | 1288 = 1+495+792 | Dvojice doplňkových dodecads v 24-bodové permutační reprezentaci |
| Suzuki skupina Suz | G2(4) | 1782 = 1+416+1365 | Řetěz Suzuki |
| G2(4) | U3(4):2 | 2016 = 1+975+1040 | |
| Spol2 | PSU6(2):2 | 2300 = 1+891+1408 | |
| Rudvalis skupina Ru | ²F₄ (2) | 4060 = 1+1755+2304 | |
| Fi22 | 2. PSU6(2) | 3510 = 1+693+2816 | 3 transpozice |
| Fi22 | Ω7(3) | 14080 = 1+3159+10920 | Dvě třídy |
| Fi23 | 2.Fi22 | 31671 = 1+3510+28160 | 3 transpozice |
| G2(8).3 | SU3(8).6 | 130816 = 1+32319+98496 | |
| Fi23 | PΩ8+(3) .S3 | 137632 = 1+28431+109200 | |
| Fi24 ' | Fi23 | 306936 = 1+31671+275264 | 3 transpozice |
Poznámky
- ^ Tři oběžné dráhy jsou: samotná pevná dvojice; ty páry, které mají jeden prvek společný s pevným párem; a ty páry, které nemají žádný společný prvek s pevným párem.
Reference
- Bannai, Eiichi (1971–72), „Maximální podskupiny nízké hodnosti konečných symetrických a střídajících se skupin“, Časopis Přírodovědecké fakulty. Tokijská univerzita. Oddíl IA. Matematika, 18: 475–486, ISSN 0040-8980, PAN 0357559
- Brouwer, A.E .; Cohen, A. M .; Neumaier, Arnold (1989), Vzdálené pravidelné grafy, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Výsledky v matematice a souvisejících oblastech (3)], 18, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-50619-5, PAN 1002568
- Cameron, Peter J. (1981), „Konečné permutační skupiny a konečné jednoduché skupiny“, Bulletin London Mathematical Society, 13 (1): 1–22, CiteSeerX 10.1.1.122.1628, doi:10.1112 / blms / 13.1.1, ISSN 0024-6093, PAN 0599634
- Higman, Donald G. (1964), „Skupiny konečné permutace 3. úrovně“ (PDF), Mathematische Zeitschrift, 86 (2): 145–156, doi:10.1007 / BF01111335, ISSN 0025-5874, PAN 0186724
- Higman, Donald G. (1971), „Průzkum některých otázek a výsledků ohledně permutačních skupin 3. úrovně“, Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), 1, Gauthier-Villars, str. 361–365, PAN 0427435
- Kantor, William M.; Liebler, Robert A. (1982), „Reputační reprezentace konečných klasických skupin 3. úrovně“ (PDF), Transakce Americké matematické společnosti, 271 (1): 1–71, doi:10.2307/1998750, ISSN 0002-9947, JSTOR 1998750, PAN 0648077
- Liebeck, Martin W. (1987), „Afinní permutační skupiny třetí úrovně“, Proceedings of the London Mathematical SocietyTřetí série, 54 (3): 477–516, CiteSeerX 10.1.1.135.7735, doi:10,1112 / plms / s3-54,3,477, ISSN 0024-6115, PAN 0879395
- Liebeck, Martin W.; Saxl, Jan (1986), „The finite primitive permutation groups of rank three“, Bulletin London Mathematical Society, 18 (2): 165–172, doi:10.1112 / blms / 18.2.165, ISSN 0024-6093, PAN 0818821