Schur – Zassenhausova věta - Schur–Zassenhaus theorem

The Schur – Zassenhausova věta je teorém v teorie skupin který uvádí, že pokud ${displaystyle G}$ je konečná skupina, a ${displaystyle N}$ je normální podskupina jehož objednat je coprime na objednávku kvocientová skupina ${displaystyle G / N}$, pak ${displaystyle G}$ je polopřímý produkt (nebo rozdělené rozšíření) ${displaystyle N}$ a ${displaystyle G / N}$. Alternativní tvrzení věty je, že jakýkoli normální Hall podskupina ${displaystyle N}$ konečné skupiny ${displaystyle G}$ má doplněk v ${displaystyle G}$. Navíc pokud ano ${displaystyle N}$ nebo ${displaystyle G / N}$ je řešitelný, pak Schur-Zassenhausova věta také uvádí, že všechny doplňky z ${displaystyle N}$ v G jsou sdružené. Předpoklad, že buď ${displaystyle N}$ nebo ${displaystyle G / N}$ je řešitelný lze upustit, protože je vždy spokojen, ale všechny známé důkazy toho vyžadují použití mnohem těžšího Feit – Thompsonova věta.

Věta Schur – Zassenhaus alespoň částečně odpovídá na otázku: „V a kompoziční série, jak můžeme klasifikovat skupiny s určitou sadou faktorů složení? “Druhá část, kde faktory složení nemají coprime objednávky, je řešena v teorie rozšíření.

Dějiny

Věta Schur-Zassenhaus byla zavedena Zassenhaus  (1937, 1958, Kapitola IV, oddíl 7). Věta 25, kterou připisuje Issai Schur, dokazuje existenci doplňku a věta 27 dokazuje, že všechny doplňky jsou konjugovány za předpokladu, že ${displaystyle N}$ nebo ${displaystyle G / N}$ je řešitelný. Není snadné najít výslovné prohlášení o existenci doplňku v Schurových publikovaných dílech, ačkoli výsledky Schur (1904, 1907 ) na Multiplikátor Schur implikovat existenci doplňku ve zvláštním případě, když je normální podskupina ve středu. Zassenhaus poukázal na to, že bude následovat Schur – Zassenhausova věta pro neřešitelné skupiny, pokud budou řešitelné všechny skupiny lichého řádu, což později prokázali Feit a Thompson. Ernst Witt ukázal, že to bude také vyplývat z Schreierova domněnka (viz Witt (1998, str. 277) pro Wittovu nepublikovanou poznámku z roku 1937), ale Schreierova domněnka byla prokázána pouze pomocí klasifikace konečných jednoduchých skupin, což je mnohem těžší než Feit-Thompsonova věta.

Příklady

Pokud podmínku coprime neukládáme, věta není pravdivá: zvažte například cyklická skupina ${displaystyle C_ {4}}$ a jeho normální podskupina ${displaystyle C_ {2}}$. Pak pokud ${displaystyle C_ {4}}$ byly polopřímým produktem ${displaystyle C_ {2}}$ a ${displaystyle C_ {4} / C_ {2} cong C_ {2}}$ pak ${displaystyle C_ {4}}$ by musel obsahovat dva elementy objednávky 2, ale obsahuje pouze jednu. Další způsob, jak vysvětlit tuto nemožnost rozdělení ${displaystyle C_ {4}}$ (tj. vyjádřit to jako polopřímý produkt) je pozorovat, že automorfismy z ${displaystyle C_ {2}}$ jsou triviální skupina, takže jediný možný [polo] přímý produkt z ${displaystyle C_ {2}}$ je sám o sobě přímým produktem (který vede k Kleinova čtyřčlenná skupina, skupina, která není izomorfní s ${displaystyle C_ {4}}$).

Příkladem, kde platí věta Schur – Zassenhaus, je symetrická skupina na 3 symbolech, ${displaystyle S_ {3}}$, který má normální podskupinu řádu 3 (izomorfní s ${displaystyle C_ {3}}$) který zase má index 2 palce ${displaystyle S_ {3}}$ (po dohodě s Lagrangeova věta ), tak ${displaystyle S_ {3} / C_ {3} cong C_ {2}}$. Protože 2 a 3 jsou relativně primitivní, platí věta Schur – Zassenhaus a ${displaystyle S_ {3} cong C_ {3} krát C_ {2}}$. Všimněte si, že skupina automorfismu ${displaystyle C_ {3}}$ je ${displaystyle C_ {2}}$ a automorfismus ${displaystyle C_ {3}}$ použitý v polopřímém produktu, který dává vzniknout ${displaystyle S_ {3}}$ je netriviální automorfismus, který permutuje dva prvky neidentity ${displaystyle C_ {3}}$. Dále tři podskupiny řádu 2 palce ${displaystyle S_ {3}}$ (kterýkoli z nich může sloužit jako doplněk k ${displaystyle C_ {3}}$ v ${displaystyle S_ {3}}$) jsou navzájem konjugovány.

Netrivialitu (dodatečného) závěru konjugace lze ilustrovat na Kleinově čtyřskupině ${displaystyle V}$ jako příklad. Jakákoli ze tří správných podskupin ${displaystyle V}$ (všechny mají pořadí 2) je normální ${displaystyle V}$; kterým se opravuje jedna z těchto podskupin, kterákoli z ostatních dvou zbývajících (správných) podskupin ji doplňuje ${displaystyle V}$, ale žádná z těchto tří podskupin ${displaystyle V}$ je konjugát kteréhokoli jiného, ​​protože ${displaystyle V}$ je Abelian.

The čtveřice skupina má normální podskupiny řádu 4 a 2, ale není [polo] přímým produktem. Schurovy práce na počátku 20. století zavedly pojem centrální prodloužení řešit příklady jako ${displaystyle C_ {4}}$ a čtveřice.

Důkaz

Existence doplňku normální podskupiny Hall H konečné skupiny G lze prokázat v následujících krocích:

1. Indukcí na objednávku G, můžeme předpokládat, že to platí pro každou menší skupinu.
2. Li H je abelian, pak existence doplňku vyplývá ze skutečnosti, že kohomologická skupina H²(G/H,H) zmizí (jako H a G/H mít coprime objednávky) a skutečnost, že všechny doplňky jsou konjugované, vyplývá ze zmizení H¹(G/H,H).
3. Li H je řešitelný, má netriviální abelianskou podskupinu A to je charakteristické v H a proto normální v G. Aplikování věty Schur – Zassenhaus na G/A snižuje důkaz v případě, kdy H=A je abelian, což bylo provedeno v předchozím kroku.
4. Pokud normalizátor N=N_G(P) každého str- Malá podskupina P z H je rovný G, pak H je nilpotentní a zvláště řešitelný, takže věta následuje předchozím krokem.
5. Pokud normalizátor N=N_G(P) některých str- Malá podskupina P z H je menší než G, potom indukcí platí Schur-Zassenhausova věta Na doplněk N∩H v N je doplňkem pro H v G protože G=NH.

Reference

• Rotman, Joseph J. (1995). Úvod do teorie skupin. Postgraduální texty z matematiky. 148 (Čtvrté vydání). New York: Springer – Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4176-8. ISBN  978-0-387-94285-8. PAN  1307623.
• Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Abstraktní algebra (Třetí vydání.). Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  978-0-471-43334-7. PAN  2286236.
• Gaschütz, Wolfgang (1952), „Zur Erweiterungstheorie der endlichen Gruppen“, J. Reine Angew. Matematika., 190: 93–107, doi:10,1515 / crll.1952.190.93, PAN  0051226
• Rose, John S. (1978). Kurz teorie skupin. Cambridge-New York-Melbourne: Cambridge University Press. ISBN  0-521-21409-2. PAN  0498810.
• Isaacs, I. Martin (2008). Teorie konečné skupiny. Postgraduální studium matematiky. 92. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10,1090 / gsm / 092. ISBN  978-0-8218-4344-4. PAN  2426855.
• Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (2004). Teorie konečných grup: Úvod. Universitext. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007 / b97433. ISBN  0-387-40510-0. PAN  2014408.
• Humphreys, James E. (1996). Kurz teorie skupin. Oxford Science Publications. New York: The Clarendon Press, Oxford University Press. ISBN  0-19-853459-0. PAN  1420410.
• Schur, Issai (1904). „Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochen lineare Substitutionen“. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 127: 20–50.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Schur, Issai (1907). „Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen“. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 132: 85–137.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Witt, Ernst (1998), Kersten, Ina (vyd.), Shromážděné papíry. Gesammelte Abhandlungen, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-41970-6, ISBN  978-3-540-57061-5, PAN  1643949
• Zassenhaus, Hans (1937). Lehrbuch der Gruppentheorie. Hamburger Mathematische Einzelschriften. 21. Lipsko a Berlín: Teubner.CS1 maint: ref = harv (odkaz). Anglický překlad:Zassenhaus, Hans J. (1958) [1949], Teorie grup. (2. vyd.), New York: Chelsea Publishing Company, PAN  0091275