Skupina Higman – Sims - Higman–Sims group

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet věnec produkt jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

V oblasti moderní algebry známé jako teorie skupin, Skupina Higman – Sims HS je a sporadická jednoduchá skupina z objednat

   2⁹⋅3²⋅5³⋅7⋅11 = 44352000

≈ 4×10⁷.

The Multiplikátor Schur má objednávku 2, vnější skupina automorfismu má pořadí 2 a skupina 2.HS.2 se objeví jako centralizátor involuce v Skupina Harada – Norton.

Dějiny

HS je jednou z 26 sporadických skupin a byla nalezena Donald G. Higman a Charles C. Sims  (1968 ). Zúčastnili se prezentace od Marshall Hall na Hall – Janko skupina J₂. Stává se, že J₂ působí jako permutační skupina na internetu Hall – Jankov graf 100 bodů, stabilizátor jednoho bodu je a podskupina s dalšími dvěma oběžné dráhy o délkách 36 a 63. Inspirováni tím se rozhodli zkontrolovat další permutační skupiny 3. stupně na 100 bodech. Brzy se zaměřili na možnou obsahující Skupina Mathieu M₂₂, který má permutační reprezentace na 22 a 77 bodech. (Druhá reprezentace vzniká, protože M₂₂ Steinerův systém má 77 bloků.) Spojením těchto dvou reprezentací zjistili HS s jednobodovým stabilizátorem isomorfním k M₂₂.

HS je jednoduchá podskupina index dva ve skupině automorfismů Graf Higman – Sims. Graf Higman – Sims má 100 uzlů, takže skupina Higman – Sims HS je tranzitivní skupina permutací sady 100 prvků.

Graham Higman  (1969 ) nezávisle objevil skupinu jako a dvojnásobně přechodná permutační skupina působící na určitou „geometrii“ na 176 bodech.

Konstrukce

GAP kód k vytvoření skupiny Higman-Sims je uveden jako příklad v samotné dokumentaci GAP.^[1]

Skupinu Higman-Sims lze sestavit pomocí následujících dvou generátory:^[1]

${ Displaystyle (1,50,65) (2,89,62,52,88,25) (3,46,57,18,74,55) (4,45,10,70,56,39) ( 5,97,77) (6,84,8,48,99,67) (7,26,92,28,20,100) (9,30,79,66,49,95) (11,72) (12 , 94,98,27,83,93) (13,31,61,59,40,47) (14,51,68,44,16,34) (15,38) (17,82,87) ( 19,76,73,71,63,32) (21,37,58,69,75,35) (22,53,81) (23,33,54) (24,43,80,78,29, 86) (42,64) (60,90,96) (85,91)}$

a

${ Displaystyle (1,65,44,13,34,57) (2,10,39,54,42,84) (3,15,69,63,37,11) (5,21,79) ( 6,89,49,64,46,80) (7,70,93,29,8,38) (9,81,17,23,77,59) (12,68,66,75,96,82) ) (14,18,95,43,76,32) (16,33,99,26,92,48) (19,50) (20,97,83) (22,88,85,53,24, 56) (25,62,67) (27,98) (28,55) (30,58,71,86,94,90) (31,87,52,78,100,60) (35,61,51) (36,73,72) (40,74) (41,45,47)}$

Vztah ke skupinám Conway

Conway (1968) identifikoval skupinu Higman – Sims jako podskupinu skupiny Skupina Conway Spol₀. Ve spolupráci₀ HS vzniká jako bodový stabilizátor a 2-3-3 trojúhelník, jehož okraje (rozdíly vrcholů) jsou vektory typu 2 a 3. HS je tedy podskupinou každé ze skupin Conway Co₀Co₂ a spol₃.

Wilson (2009) (str. 208) ukazuje, že skupina HS je dobře definována. V Mřížka pijavice, předpokládejme typ 3 směřovat proti je opraven instancí Co₃. Spočítejte 2 body typu w takový, že vnitřní produkt proti·w = 2 (a tedy proti-w je typ 3). Ukazuje, že jejich počet je 11,178 = 2⋅3⁵⋅23 a že tato Co₃ je na nich tranzitivní w.

| HS | = | Co₃|/11,178 = 44,352,000.

Ve skutečnosti, |HS| = 100|M₂₂| a existují případy HS včetně permutační maticové reprezentace Mathieuovy skupiny M.₂₂.

Pokud je instance HS v Co₀ opravuje konkrétní bod typu 3, tento bod se nachází ve 276 trojúhelnících typu 2-2-3, které tato kopie HS permutuje na drahách 176 a 100. Tato skutečnost vede k konstrukci Grahama Higmana i k Higman – Sims graf. HS je dvojnásobně tranzitivní na 176 a pozice 3 na 100.

Trojúhelník 2-3-3 definuje 2-dimenzionální podprostor fixovaný bodově HS. Standardní zastoupení HS lze tedy snížit na 22rozměrné.

Graf Higman-Sims

Wilson (2009) (str. 210) uvádí příklad grafu Higman-Sims v rámci Mřížka pijavice, permutovaný reprezentací M.₂₂ na posledních 22 souřadnicích:

• 22 tvarových bodů (1, 1, -3, 1²¹)
• 77 tvarových bodů (2, 2, 2⁶, 0¹⁶)
• 100. bod (4, 4, 0²²)

Rozdíly sousedních bodů jsou typu 3; nesousedící jsou typu 2.

Zde HS opravuje trojúhelník 2-3-3 s vrcholy X = (5, 1²³), y = (1, 5, 1²²), a z původ. X a y jsou typu 3, zatímco X-y = (4, −4, 0²²) je typu 2. Jakýkoli vrchol grafu se liší od X, y, a z vektory typu 2.

Dvě třídy involucí

Involuce v podskupině M.₂₂ transponuje 8 párů souřadnic. Jako permutační matice v Co₀ má stopu 8. Může ukázat, že pohybuje 80 ze 100 vrcholů grafu Higman-Sims. Žádná transponovaná dvojice vrcholů není okraj v grafu.

Existuje další třída involucí, stopy 0, které pohybují všemi 100 vrcholy.^[2] Jako permutace ve střídavé skupině A₁₀₀Jelikož jsou produkty lichého počtu (25) dvojitých transpozic, tyto involuce se zvedají k prvkům řádu 4 v dvojitý kryt 2.A₁₀₀. HS má tedy dvojitý kryt 2. HS.

Maximální podskupiny

Magliveras (1971) našel 12 tříd konjugace maximálních podskupin HS takto:

Hodiny konjugace

Jsou zobrazeny stopy matic ve standardní 24rozměrné reprezentaci HS. ^[3] Jsou uvedeny 2 permutační reprezentace: na 100 vrcholech grafu Higman – Sims a na 176 bodech geometrie Grahama Higmana.^[4]

Zobecněný monstrózní měsíční svit

Conway a Norton to ve svém příspěvku z roku 1979 navrhli monstrózní měsíční svit není omezen na skupina příšer, ale podobné jevy lze nalézt iu jiných skupin. Larissa Queen a další následně zjistili, že lze z mnoha jednoduchých kombinací dimenzí sporadických skupin sestrojit expanze mnoha Hauptmoduln. Pro HS je řada McKay-Thompson ${ displaystyle T_ {10A} ( tau)}$ kde lze nastavit a (0) = 4 (OEIS: A058097),

${ displaystyle { begin {aligned} j_ {10A} ( tau) & = T_ {10A} ( tau) +4 & = { Big (} { big (} { tfrac { eta ( tau) , eta (5 tau)} { eta (2 tau) , eta (10 tau)}} { big)} ^ {2} + 2 ^ {2} { big (} { tfrac { eta (2 tau) , eta (10 tau)} { eta ( tau) , eta (5 tau)}} { big)} ^ {2} { Big)} ^ {2} & = { Big (} { big (} { tfrac { eta ( tau) , eta (2 tau)} { eta (5 tau) ) , eta (10 tau)}} { big)} + 5 { big (} { tfrac { eta (5 tau) , eta (10 tau)} { eta ( tau) , eta (2 tau)}} { big)} { Big)} ^ {2} -4 & = { frac {1} {q}} + 4 + 22q + 56q ^ {2} + 177q ^ {3} + 352q ^ {4} + 870q ^ {5} + 1584q ^ {6} + dots end {zarovnáno}}}$

Reference