Metoda Monte Carlo - Monte Carlo method

Nesmí být zaměňována s Algoritmus Monte Carlo.

Metody Monte Carlonebo Experimenty v Monte Carlu, jsou širokou třídou výpočetní algoritmy které se spoléhají na opakování náhodný výběr získat číselné výsledky. Základním konceptem je použití náhodnost řešit problémy, které by mohly být deterministický v zásadě. Často se používají v fyzický a matematický problémy a jsou nejužitečnější, když je obtížné nebo nemožné použít jiné přístupy. Metody Monte Carlo se používají hlavně ve třech problémových třídách:[1] optimalizace, numerická integrace a generování tahů z a rozdělení pravděpodobnosti.

V problémech souvisejících s fyzikou jsou metody Monte Carlo užitečné pro simulaci systémů s mnoha spojený stupně svobody, jako jsou tekutiny, neuspořádané materiály, silně vázané pevné látky a buněčné struktury (viz buněčný model Potts, interakční částicové systémy, McKean – Vlasov procesy, kinetické modely plynů ).

Mezi další příklady patří modelování jevů s významnými nejistota ve vstupech, jako je výpočet riziko v podnikání a v matematice hodnocení multidimenzionálního určité integrály s komplikovaným okrajové podmínky. V aplikaci na problémy systémového inženýrství (vesmír, průzkum ropy, konstrukce letadla atd.), předpovědi selhání založené na Monte Carlu, překročení nákladů a překročení plánu jsou běžně lepší než lidská intuice nebo alternativní „měkké“ metody.[2]

V zásadě lze metody Monte Carlo použít k řešení jakéhokoli problému s pravděpodobnostní interpretací. Podle zákon velkých čísel, integrály popsané v očekávaná hodnota některé náhodné proměnné lze aproximovat pomocí empirický průměr (a.k.a. průměr vzorku) nezávislých vzorků proměnné. Když rozdělení pravděpodobnosti proměnné je parametrizována, matematici často používají a Markovský řetězec Monte Carlo (MCMC) vzorkovač.[3][4][5] Hlavní myšlenkou je navrhnout rozumný Markovův řetězec model s předepsaným stacionární rozdělení pravděpodobnosti. To znamená, že v limitu budou vzorky generované metodou MCMC vzorky z požadované (cílové) distribuce.[6][7] Podle ergodická věta, je stacionární distribuce aproximována pomocí empirická opatření náhodných stavů vzorkovače MCMC.

V dalších problémech je cílem generování tahů ze sekvence pravděpodobnostních distribucí vyhovujících nelineární evoluční rovnici. Tyto toky rozdělení pravděpodobnosti lze vždy interpretovat jako rozdělení náhodných stavů a Markov proces jejichž pravděpodobnosti přechodu závisí na rozdělení aktuálních náhodných stavů (viz McKean – Vlasov procesy, nelineární filtrační rovnice ).[8][9] V jiných případech dostáváme tok distribucí pravděpodobnosti se zvyšující se úrovní složitosti vzorkování (modely prostorových cest s rostoucím časovým horizontem, Boltzmann – Gibbsovy míry spojené s klesajícími teplotními parametry a mnoho dalších). Tyto modely lze také považovat za vývoj zákona náhodných stavů nelineárního Markovova řetězce.[9][10] Přirozeným způsobem, jak simulovat tyto sofistikované nelineární Markovovy procesy, je odebrat vzorky více kopií procesu a nahradit v evoluční rovnici neznámé distribuce náhodných stavů vzorkovanými empirická opatření. Na rozdíl od tradičních metodik Monte Carlo a MCMC je to střední polní částice techniky se spoléhají na sekvenčně interagující vzorky. Terminologie střední pole odráží skutečnost, že každý z Vzorky (aka částice, jednotlivci, chodci, agenti, tvorové nebo fenotypy) interaguje s empirickými měřítky procesu. Když má velikost systému sklon k nekonečnu, tato náhodná empirická opatření konvergují k deterministickému rozdělení náhodných stavů nelineárního Markovova řetězce, takže statistická interakce mezi částicemi zmizí.

Přehled

Metody Monte Carlo se liší, ale mají tendenci následovat určitý vzor:

  1. Definujte doménu možných vstupů
  2. Generovat vstupy náhodně z a rozdělení pravděpodobnosti přes doménu
  3. Proveďte a deterministický výpočet na vstupech
  4. Agregujte výsledky
Metoda Monte Carlo použitá k aproximaci hodnoty π.

Zvažte například a kvadrant (kruhový sektor) zapsáno v a jednotkový čtverec. Vzhledem k tomu, že poměr jejich ploch je π/4, hodnota π lze aproximovat pomocí metody Monte Carlo:[11]

  1. Nakreslete čtverec vepsat kvadrant v něm
  2. Rovnoměrně rozptýlí daný počet bodů přes čtverec
  3. Spočítejte počet bodů uvnitř kvadrantu, tj. Vzdálenost od počátku menší než 1
  4. Poměr vnitřního počtu a celkového počtu vzorků je odhadem poměru obou oblastí, π/4. Výsledek vynásobte číslem 4 π.

V tomto postupu je doménou vstupů čtverec, který vymezuje kvadrant. Generujeme náhodné vstupy rozptylem zrn po čtverci a poté provedeme výpočet na každém vstupu (otestujeme, zda spadá do kvadrantu). Agregací výsledků se získá náš konečný výsledek, aproximace π.

Existují dvě důležité úvahy:

  1. Pokud body nejsou rovnoměrně rozloženy, bude aproximace špatná.
  2. Existuje mnoho bodů. Aproximace je obecně špatná, pokud je na celé pole náhodně umístěno jen několik bodů. Při umisťování více bodů se průměrně zlepšuje aproximace.

Použití metod Monte Carlo vyžaduje velké množství náhodných čísel a právě jejich použití urychlilo vývoj generátory pseudonáhodných čísel[Citace je zapotřebí ], které byly mnohem rychlejší než tabulky náhodných čísel, které byly dříve použity pro statistické vzorkování.

Dějiny

Než byla vyvinuta metoda Monte Carlo, simulace testovaly dříve pochopený deterministický problém a pro odhad nejistot v simulacích byl použit statistický výběr. Simulace Monte Carlo tento přístup invertují a řeší deterministické problémy pomocí pravděpodobnostní metaheuristika (vidět simulované žíhání ).

Časná varianta metody Monte Carlo byla navržena k vyřešení Buffonův problém s jehlou, ve kterém π lze odhadnout upuštěním jehel na podlahu vyrobenou z rovnoběžných pruhů ve stejné vzdálenosti. Ve 30. letech Enrico Fermi nejprve experimentoval s metodou Monte Carlo při studiu difuze neutronů, ale tuto práci nepublikoval.[12]

Na konci 40. let Stanislaw Ulam vynalezl moderní verzi metody Markov Chain Monte Carlo, když pracoval na projektech jaderných zbraní v Národní laboratoř Los Alamos. Ihned po Ulamově průlomu John von Neumann pochopil jeho důležitost. Von Neumann naprogramoval ENIAC počítač k provádění výpočtů Monte Carlo. V roce 1946 fyzici jaderných zbraní v Los Alamos zkoumali difúzi neutronů ve štěpném materiálu.[12] Přestože měli většinu potřebných údajů, jako je průměrná vzdálenost, kterou by neutron urazil v látce, než se srazila s atomovým jádrem, a kolik energie by neutron pravděpodobně po srážce vydal, fyzici z Los Alamos nebyli schopni vyřešit problém pomocí konvenčních, deterministických matematických metod. Ulam navrhl použít náhodné experimenty. Svou inspiraci vypráví takto:

První myšlenky a pokusy o procvičení [Metoda Monte Carlo] byly navrženy otázkou, která mě napadla v roce 1946, když jsem se zotavoval z nemoci a hrál solitéry. Otázkou bylo, jaké jsou šance, že a Canfield solitaire rozloženo s 52 kartami vyjde úspěšně? Poté, co jsem strávil spoustu času snahou je odhadnout čistými kombinatorickými výpočty, napadlo mě, zda praktičtější metodou než „abstraktní myšlení“ nemusí být to, že to řekneme stokrát a jednoduše pozorujeme a počítáme počet úspěšných her. To už bylo možné si představit s počátkem nové éry rychlých počítačů a já jsem okamžitě přemýšlel o problémech difuze neutronů a dalších otázkách matematické fyziky a obecněji o tom, jak změnit procesy popsané určitými diferenciálními rovnicemi do ekvivalentní podoby interpretovatelné jako posloupnost náhodných operací. Později [v roce 1946] jsem tuto myšlenku popsal John von Neumann a začali jsme plánovat skutečné výpočty.[13]

Aby byl tajný, práce von Neumanna a Ulama vyžadovala krycí jméno.[14] Kolega von Neumanna a Ulama, Nicholas Metropolis, navrhl použít název Monte Carlo, který odkazuje na Kasino Monte Carlo v Monako kde si Ulamův strýc půjčil peníze od příbuzných na hazard.[12] Použitím seznamy „skutečně náhodných“ náhodných čísel byl extrémně pomalý, ale von Neumann vyvinul způsob výpočtu pseudonáhodná čísla, za použití metoda středního čtverce. Ačkoli byla tato metoda kritizována jako surová, von Neumann si toho byl vědom: ospravedlnil ji jako rychlejší než jakákoli jiná metoda, kterou měl k dispozici, a také poznamenal, že když se zhoršila, udělala to zjevně, na rozdíl od metod, které mohly být nenápadně nesprávné .[15]

Metody Monte Carlo byly ústředním bodem simulace potřebné pro Projekt Manhattan, i když byl v té době přísně omezen výpočetními nástroji. V padesátých letech byly používány v Los Alamos pro ranou práci týkající se rozvoje vodíková bomba, a stal se popularizovaným v oblastech fyzika, fyzikální chemie, a operační výzkum. The Rand Corporation a Americké letectvo během této doby byly dvě z hlavních organizací odpovědných za financování a šíření informací o metodách Monte Carla a začaly si hledat široké uplatnění v mnoha různých oblastech.

Teorie sofistikovanějších metod typu Monte Carlo s částicemi středního pole jistě začala v polovině šedesátých let s prací Henry P. McKean Jr. o Markovových interpretacích třídy nelineárních parabolických parciálních diferenciálních rovnic vznikajících v mechanice tekutin.[16][17] Citujeme také dřívější průkopnický článek autora Theodore E. Harris a Herman Kahn, publikovaný v roce 1951, používající střední pole genetický - metody Monte Carlo pro odhad energie pro přenos částic.[18] Metodiky středního genetického typu Monte Carlo se také používají jako heuristické algoritmy přirozeného vyhledávání (aka metaheuristické ) v evolučních výpočtech. Počátky těchto středních polních výpočetních technik lze vysledovat do roku 1950 a 1954 s prací Alan Turing na učebních strojích pro výběr mutace genetického typu[19] a články od Nils Aall Barricelli na Institut pro pokročilé studium v Princeton, New Jersey.[20][21]

Kvantové Monte Carlo a konkrétněji difúzní metody Monte Carlo lze také interpretovat jako střední polní částicovou Monte Carlo aproximaci Feynman –Kac integrály cesty.[22][23][24][25][26][27][28] Počátky metod Quantum Monte Carlo se často připisují Enrico Fermi a Robert Richtmyer který vyvinul v roce 1948 střední interpretaci polních částic neutronových řetězových reakcí,[29] ale první heuristický a částicový algoritmus genetického typu (aka metody převzorkování nebo rekonfigurace Monte Carlo) pro odhad energií základního stavu kvantových systémů (v modelech s redukovanou maticí) je způsoben Jackem H. Hetheringtonem v roce 1984[28] V molekulární chemii lze použití genetických metod podobných heuristickým metodám (aka strategie prořezávání a obohacování) vysledovat až do roku 1955 se seminární prací Marshall N.Rosenbluth a Arianna W. Rosenbluth.[30]

Použití Sekvenční Monte Carlo v pokročilých zpracování signálu a Bayesovský závěr je novější. Bylo to v roce 1993, kdy Gordon et al., Publikovali ve své klíčové práci[31] první aplikace Monte Carla převzorkování algoritmus v Bayesovské statistické inferenci. Autoři pojmenovali svůj algoritmus „bootstrap filter“ a prokázali, že ve srovnání s jinými metodami filtrování jejich bootstrap algoritmus nevyžaduje žádný předpoklad o tomto stavovém prostoru nebo šumu systému. Citujeme také další průkopnický článek v této oblasti Genshiro Kitagawa o souvisejícím „filtru Monte Carlo“,[32] a ty od Pierra Del Morala[33] a Himilcon Carvalho, Pierre Del Moral, André Monin a Gérard Salut[34] o filtrech částic zveřejněném v polovině 90. let. Filtry proti částicím byly také vyvinuty při zpracování signálu v letech 1989–1992 P. Del Moralem, JC Noyerem, G. Rigalem a G. Salutem v LAAS-CNRS v řadě omezených a klasifikovaných výzkumných zpráv se STCAN (Service Technique des Constructions et Armes Navales), IT společnost DIGILOG a LAAS-CNRS (Laboratoř pro analýzu a architekturu systémů) o problémech se zpracováním radaru / sonaru a GPS.[35][36][37][38][39][40] Tyto postupné metodiky Monte Carlo lze interpretovat jako vzorník přijetí a odmítnutí vybavený interagujícím recyklačním mechanismem.

Od roku 1950 do roku 1996 všechny publikace o postupných metodách Monte Carla, včetně metod prořezávání a převzorkování Monte Carla zavedených ve výpočetní fyzice a molekulární chemii, představují přirozené a heuristické algoritmy aplikované na různé situace bez jediného důkazu jejich konzistence ani diskuse o zkreslení odhadů a o algoritmech založených na genealogických a rodových stromech. Matematické základy a první důslednou analýzu těchto částicových algoritmů napsal Pierre Del Moral v roce 1996.[33][41]

Na konci 90. let vyvinuli částicové metodiky větvení typu s různou velikostí populace také Dan Crisan, Jessica Gaines a Terry Lyons,[42][43][44] a Dan Crisan, Pierre Del Moral a Terry Lyons.[45] Další vývoj v této oblasti vyvinuli v roce 2000 P. Del Moral, A. Guionnet a L. Miclo.[23][46][47]

Definice

Neexistuje shoda v tom, jak Monte Carlo by mělo být definováno. Například Ripley[48] definuje nejpravděpodobnější modelování jako stochastická simulace, s Monte Carlo vyhrazeno pro Integrace Monte Carlo a Monte Carlo statistické testy. Sawilowsky[49] rozlišuje mezi a simulace, metoda Monte Carlo a simulace Monte Carlo: simulace je fiktivní znázornění reality, metoda Monte Carlo je technika, kterou lze použít k řešení matematického nebo statistického problému, a simulace Monte Carlo využívá k získání opakovaného vzorkování statistické vlastnosti nějakého jevu (nebo chování). Příklady:

  • Simulace: Kreslení jeden K simulaci hodu mincí lze použít pseudonáhodnou uniformní proměnnou z intervalu [0,1]: Pokud je hodnota menší nebo rovna 0,50, označte výsledek jako hlavy, ale pokud je hodnota větší než 0,50, označte výsledek jako ocasy. Toto je simulace, ale ne simulace Monte Carlo.
  • Metoda Monte Carlo: Vyléváním krabice mincí na stůl a poté výpočtem poměru mincí, které dopadnou na hlavu a ocasy, je metoda Monte Carlo určující chování opakovaných losování, ale nejde o simulaci.
  • Simulace Monte Carlo: Kreslení velké množství pseudonáhodných uniformních proměnných z intervalu [0,1] najednou nebo jednou v mnoha různých časech a přiřazení hodnot menších nebo rovných 0,50 jako hlav a větších než 0,50 jako ocasů, je Simulace Monte Carlo chování při opakovaném házení mincí.

Kalos a Whitlock[50] zdůraznit, že takové rozdíly není vždy snadné udržet. Například emise záření z atomů je přirozený stochastický proces. Lze jej simulovat přímo nebo jeho průměrné chování popsat stochastickými rovnicemi, které lze vyřešit pomocí metod Monte Carlo. „Stejný počítačový kód lze skutečně zobrazit současně jako„ přirozenou simulaci “nebo jako řešení rovnic přirozeným vzorkováním.“

Monte Carlo a náhodná čísla

Hlavní myšlenkou této metody je, že výsledky jsou počítány na základě opakovaného náhodného výběru a statistické analýzy. Simulace Monte Carlo jsou ve skutečnosti náhodné experimenty, v případě, že výsledky těchto experimentů nejsou dobře známy. Simulace Monte Carlo se obvykle vyznačují mnoha neznámými parametry, z nichž mnohé je experimentálně obtížné získat.[51] Metody simulace Monte Carlo ne vždy vyžadují skutečně náhodná čísla být užitečné (i když u některých aplikací, jako je testování primality, nepředvídatelnost je zásadní).[52] Mnoho z nejužitečnějších technik používá deterministické, pseudonáhodné sekvence, což usnadňuje testování a opětovné spuštění simulací. Jediná kvalita, která je obvykle nutná k tomu, aby byla dobrá simulace je, aby se pseudonáhodná sekvence v určitém smyslu jevila jako „dostatečně náhodná“.

Co to znamená, záleží na aplikaci, ale obvykle by měli projít řadou statistických testů. Testování, zda jsou čísla rovnoměrně rozloženo nebo postupujte podle jiného požadovaného rozdělení, když je považován za dostatečně velký počet prvků sekvence jeden z nejjednodušších a nejběžnějších. Slabé korelace mezi po sobě následujícími vzorky jsou také často žádoucí / nezbytné.

Sawilowsky uvádí vlastnosti vysoce kvalitní simulace Monte Carlo:[49]

  • generátor (pseudonáhodných) čísel má určité vlastnosti (např. dlouhé „období“ před opakováním sekvence)
  • generátor (pseudonáhodných) čísel vytváří hodnoty, které projdou testy náhodnosti
  • existuje dostatek vzorků k zajištění přesných výsledků
  • je použita správná technika vzorkování
  • použitý algoritmus je platný pro to, co se modeluje
  • simuluje daný jev.

Vzorkování pseudonáhodných čísel Algoritmy se používají k transformaci rovnoměrně distribuovaných pseudonáhodných čísel na čísla, která jsou distribuována podle daného rozdělení pravděpodobnosti.

Sekvence s nízkou odchylkou se často používají namísto náhodného vzorkování z prostoru, protože zajišťují rovnoměrné pokrytí a obvykle mají rychlejší pořadí konvergence než simulace Monte Carlo využívající náhodné nebo pseudonáhodné sekvence. Metody založené na jejich použití se nazývají metody kvazi-Monte Carla.

Ve snaze posoudit dopad kvality náhodných čísel na výsledky simulace Monte Carlo astrofyzikální vědci testovali kryptograficky bezpečná pseudonáhodná čísla generovaná prostřednictvím Intel RDRAND instrukční sada ve srovnání s instrukční sadou odvozenou z algoritmů, jako je Mersenne Twister, v Monte Carlu simulace rádiových erupcí z hnědí trpaslíci. RDRAND je nejbližší generátor pseudonáhodných čísel ke skutečnému generátoru náhodných čísel. Nebyl nalezen statisticky významný rozdíl mezi modely generovanými pomocí typických generátorů pseudonáhodných čísel a RDRAND pro studie sestávající z generování 107 náhodná čísla.[53]

Mersenne_twister (MT19937) v Pythonu (simulace metody Monte Carlo)

A Metoda Monte Carlo simulace je definována jako jakákoli metoda, která k provedení simulace využívá sekvence náhodných čísel. Simulace Monte Carlo jsou aplikovány na mnoho témat včetně kvantová chromodynamika, rakovinová radiační terapie, dopravní tok, hvězdná evoluce a VLSI design. Všechny tyto simulace vyžadují použití náhodných čísel, a proto generátory pseudonáhodných čísel, díky čemuž je vytváření náhodných čísel velmi důležité.

Jednoduchým příkladem toho, jak by počítač provedl simulaci Monte Carlo, je výpočet π. Pokud by byl čtverec uzavřený do kruhu a bod náhodně vybrán uvnitř čtverce, bod by buď ležel uvnitř kruhu, nebo mimo něj. Pokud by se proces opakoval mnohokrát, poměr náhodných bodů, které leží uvnitř kruhu, k celkovému počtu náhodných bodů ve čtverci by se přiblížil poměru plochy kruhu k ploše čtverce. Z toho můžeme odhadnout pí, jak je znázorněno na Krajta níže uvedený kód využívající a SciPy balíček pro generování pseudonáhodných čísel s MT19937 algoritmus. Tato metoda je výpočetně neefektivní číselně přibližně π.

import scipyN = 100000x_array = scipy.náhodný.rand(N)y_array = scipy.náhodný.rand(N)# generuje N pseudonáhodných nezávislých hodnot xay na intervalu [0,1]N_qtr_circle = součet(x_array ** 2 + y_array ** 2 < 1)# Počet bodů ve čtvrtkruhu x ^ 2 + y ^ 2 <1 se středem v počátku s poloměrem r = 1.# Pravá oblast čtvrtkruhu je pi / 4 a má v sobě N_qtr_circle body.# Pravá plocha čtverce je 1 a má v sobě N bodů, proto se přibližujeme pí spi_apt = 4 * plovák(N_qtr_circle) / N  # Typické hodnoty: 3,13756, 3,15156

Simulace Monte Carlo versus scénáře „co kdyby“

Existují způsoby použití pravděpodobností, které rozhodně nejsou simulacemi Monte Carlo - například deterministické modelování pomocí jednobodových odhadů. Každá nejistá proměnná v modelu má přiřazen odhad „nejlepšího odhadu“. Pro každou vstupní proměnnou jsou vybrány scénáře (například nejlepší, nejhorší nebo nejpravděpodobnější případ) a výsledky jsou zaznamenány.[54]

Naproti tomu Monte Carlo simuluje vzorek z a rozdělení pravděpodobnosti aby každá proměnná přinesla stovky nebo tisíce možných výsledků. Výsledky jsou analyzovány, aby se získaly pravděpodobnosti výskytu různých výsledků.[55] Například srovnání modelu konstrukce nákladů na tabulku běží pomocí tradičních scénářů „co kdyby“ a poté se opět spustí porovnání se simulací Monte Carlo a trojúhelníkové rozdělení pravděpodobnosti ukazuje, že analýza Monte Carlo má užší rozsah než analýza „co kdyby“.[potřebný příklad ] Důvodem je, že analýza „co kdyby“ dává stejnou váhu všem scénářům (viz kvantifikace nejistoty v podnikových financích ), zatímco metoda Monte Carlo stěží vzorkuje v oblastech s velmi nízkou pravděpodobností. Vzorky v těchto oblastech se nazývají „vzácné události“.

Aplikace

Metody Monte Carlo jsou zvláště užitečné pro simulaci významných jevů nejistota ve vstupech a systémech s mnoha spojený stupně svobody. Oblasti použití zahrnují:

Fyzikální vědy

Výpočetní fyzika
Rayleigh-Taylor instability.jpg
Mechanika  · Elektromagnetické pole  · Termodynamika  · Simulace
Viz také: Metoda Monte Carlo ve statistické fyzice

Metody Monte Carlo jsou velmi důležité výpočetní fyzika, fyzikální chemie a související aplikovaná pole a mají různé aplikace od komplikovaných kvantová chromodynamika výpočty k návrhu tepelné štíty a aerodynamický formy i při modelování transportu záření pro výpočty dozimetrie záření.[56][57][58] v statistická fyzika Monte Carlo molekulární modelování je alternativou k výpočetní molekulární dynamika K výpočtu se používají metody Monte Carlo teorie statistických polí jednoduchých částicových a polymerních systémů.[30][59] Kvantové Monte Carlo metody řeší problém s mnoha těly pro kvantové systémy.[8][9][22] v věda o radiačních materiálech, binární kolize aproximace pro simulaci iontová implantace je obvykle založen na přístupu Monte Carlo k výběru dalšího srážejícího se atomu.[60] V experimentální částicová fyzika Při navrhování se používají metody Monte Carlo detektory, porozumění jejich chování a srovnání experimentálních dat s teorií. v astrofyzika, jsou používány tak různorodým způsobem, že oba modelují galaxie vývoj[61] a přenos mikrovlnného záření přes drsný planetární povrch.[62] Metody Monte Carlo se také používají v EU souborové modely které tvoří základ moderního předpověď počasí.

Inženýrství

Metody Monte Carlo jsou široce používány ve strojírenství pro Analýza citlivosti a kvantitativní pravděpodobnostní analýza v Návrh procesu. Potřeba vyplývá z interaktivního, kolineárního a nelineárního chování typických simulací procesu. Například,

Změna klimatu a radiační působení

The Mezivládní panel o změně klimatu spoléhá na metody Monte Carlo v funkce hustoty pravděpodobnosti analýza radiační působení.

Funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF) ERF v důsledku celkového skleníkových plynů, aerosolového působení a celkového antropogenního působení. GHG se skládá z WMGHG, ozonu a stratosférické vodní páry. Soubory PDF jsou generovány na základě nejistot uvedených v tabulce 8.6. Kombinace jednotlivých RF agentů k odvození celkové síly přes průmyslovou éru se provádí pomocí simulací Monte Carlo a na základě metody v Boucher a Haywood (2001). PDF ERF z povrchových změn albedo a kombinovaných kondenzačních a kondenzačních cirusů jsou zahrnuty do celkového antropogenního působení, ale nejsou zobrazeny jako samostatný PDF. V současné době nemáme odhady ERF pro některé vynucené mechanismy: ozon, využívání půdy, sluneční záření atd.[71]

Výpočetní biologie

Metody Monte Carlo se používají v různých oblastech výpočetní biologie, například pro Bayesovský závěr ve fylogenezi, nebo pro studium biologických systémů, jako jsou genomy, proteiny,[72] nebo membrány.[73]Systémy lze studovat v hrubozrnných nebo ab initio rámců v závislosti na požadované přesnosti. Počítačové simulace nám umožňují sledovat místní prostředí konkrétního molekula jestli nějaké chemická reakce se děje například. V případech, kdy není možné provést fyzický experiment, myšlenkové experimenty lze provádět (například: rozbití vazeb, zavedení nečistot na konkrétních místech, změna místní / globální struktury nebo zavedení externích polí).

Počítačová grafika

Trasování trasy, příležitostně označované jako sledování paprsků Monte Carlo, vykresluje 3D scénu náhodným sledováním vzorků možných světelných cest. Opakované vzorkování jakéhokoli daného pixelu nakonec způsobí, že průměr vzorků konverguje ke správnému řešení vykreslovací rovnice, což z něj činí jednu z fyzikálně nejpřesnějších metod vykreslování 3D grafiky.

Aplikovaná statistika

Standardy pro experimenty v Monte Carlu ve statistice stanovil Sawilowsky.[74] V aplikované statistice lze metody Monte Carlo použít alespoň pro čtyři účely:

  1. Porovnat konkurenční statistiky pro malé vzorky za realistických datových podmínek. Ačkoli chyba typu I. a výkonové vlastnosti statistiky lze vypočítat pro data získaná z klasických teoretických distribucí (např., normální křivka, Cauchyovo rozdělení ) pro asymptotické podmínky (i. E, nekonečná velikost vzorku a nekonečně malý efekt léčby), skutečná data často nemají takovou distribuci.[75]
  2. Poskytovat implementace testy hypotéz které jsou efektivnější než přesné testy jako např permutační testy (které často nelze vypočítat), přičemž jsou přesnější než kritické hodnoty pro asymptotické distribuce.
  3. Poskytnout náhodný vzorek ze zadní distribuce v Bayesovský závěr. Tento vzorek pak aproximuje a shrnuje všechny základní rysy zadní části.
  4. Poskytnout efektivní náhodné odhady hesenské matice funkce záporné logaritmické pravděpodobnosti, které lze zprůměrovat za účelem vytvoření odhadu Fisher informace matice.[76][77]

Metody Monte Carlo jsou také kompromisem mezi přibližnými randomizačními a permutačními testy. Přibližný randomizační test je založen na zadané podmnožině všech permutací (což s sebou nese potenciálně enormní úklid, o kterém byly uvažovány permutace). Přístup Monte Carlo je založen na zadaném počtu náhodně nakreslených permutací (výměna menší ztráty v přesnosti, pokud je permutace vykreslena dvakrát - nebo častěji - kvůli efektivitě toho, že nemusíte sledovat, které permutace již byly vybrány).

Umělá inteligence pro hry

Hlavní článek: Hledání stromu v Monte Carlu

Metody Monte Carlo byly vyvinuty do techniky zvané Hledání stromu v Monte Carlu což je užitečné pro hledání nejlepšího pohybu ve hře. Možné pohyby jsou uspořádány do a vyhledávací strom a mnoho náhodných simulací se používá k odhadu dlouhodobého potenciálu každého tahu. Simulátor černé skříňky představuje tahy soupeře.[78]

Metoda vyhledávání stromů Monte Carlo (MCTS) má čtyři kroky:[79]

  1. Počínaje kořenovým uzlem stromu vyberte optimální podřízené uzly, dokud nedosáhnete uzlu listu.
  2. Rozbalte uzel listu a vyberte jedno z jeho podřízených prvků.
  3. Zahrajte si simulovanou hru počínaje tímto uzlem.
  4. Výsledky této simulované hry použijte k aktualizaci uzlu a jeho předchůdců.

Čistým efektem v průběhu mnoha simulovaných her je to, že hodnota uzlu představujícího tah půjde nahoru nebo dolů, doufejme, že odpovídá tomu, zda tento uzel představuje dobrý tah.

Hledání stromu Monte Carlo bylo úspěšně používáno k hraní her, jako je Jít,[80] Tantrix,[81] Bitevní loď,[82] Havannah,[83] a Arimaa.[84]

Viz také: Počítač Go

Design a vizuály

Metody Monte Carlo jsou také účinné při řešení spojených integrálních diferenciálních rovnic radiačních polí a přenosu energie, a proto byly tyto metody použity v globální osvětlení výpočty, které vytvářejí fotorealistické obrázky virtuálních 3D modelů s aplikacemi v videohry, architektura, design, generováno počítačem filmy a speciální filmové efekty.[85]

Hledat a zachránit

The Pobřežní stráž USA využívá metody Monte Carlo v rámci svého počítačového modelovacího softwaru SAROPS za účelem výpočtu pravděpodobné polohy plavidel během roku hledat a zachránit operace. Každá simulace může generovat až deset tisíc datových bodů, které jsou náhodně distribuovány na základě poskytnutých proměnných.[86] Poté se generují vyhledávací vzory na základě extrapolací těchto dat za účelem optimalizace pravděpodobnosti zadržení (POC) a pravděpodobnosti detekce (POD), které se společně budou rovnat celkové pravděpodobnosti úspěchu (POS). Nakonec to slouží jako praktická aplikace rozdělení pravděpodobnosti s cílem poskytnout nejrychlejší a nejúčelnější metodu záchrany, která zachrání životy i zdroje.[87]

Finance a podnikání

Viz také: Metody Monte Carlo ve financích, Kvazi-Monte Carlo metody ve financích, Metody Monte Carlo pro stanovení ceny opcí, Stochastické modelování (pojištění), a Stochastický model aktiv

Simulace Monte Carlo se běžně používá k vyhodnocení rizika a nejistoty, které by ovlivnily výsledek různých možností rozhodování. Simulace Monte Carlo umožňuje analytikovi obchodního rizika začlenit celkové účinky nejistoty do proměnných, jako je objem prodeje, ceny komodit a pracovních sil, úrokové a směnné kurzy, a také účinek různých rizikových událostí, jako je zrušení smlouvy nebo změna daňový zákon.

Metody Monte Carlo ve financích jsou často zvyklí vyhodnotit investice do projektů na úrovni obchodní jednotky nebo společnosti nebo na jiných finančních oceněních. Mohou být použity k modelování harmonogramy projektů, kde simulace agregují odhady nejhoršího, nejlepšího případu a nejpravděpodobnějšího trvání každého úkolu, aby určily výsledky pro celkový projekt.[1] Metody Monte Carlo se také používají při stanovení ceny opcí, analýze rizik selhání.[88][89][90] Dále je lze použít k odhadu finančního dopadu lékařských zákroků.[91]

Zákon

Přístup Monte Carlo byl použit k vyhodnocení potenciální hodnoty navrhovaného programu, který má pomoci ženám, které navrhují ve Wisconsinu, uspět ve svých žádostech o obtěžování a omezování domácího násilí. Bylo navrženo pomoci ženám uspět ve svých peticích tím, že jim bude poskytnuta větší obhajoba, čímž se potenciálně sníží riziko znásilnění a fyzické napadení. Ve hře však bylo mnoho proměnných, které nebylo možné dokonale odhadnout, včetně efektivity soudních příkazů, úspěšnosti navrhovatelů s advokací i bez ní a mnoha dalších. Studie provedla studie, které tyto proměnné měnily, aby přišla s celkovým odhadem úrovně úspěšnosti navrhovaného programu jako celku.[92]

Použití v matematice

Obecně se metody Monte Carlo používají v matematice k řešení různých problémů generováním vhodných náhodných čísel (viz také Generování náhodných čísel ) a pozorovat ten zlomek čísel, který se řídí nějakou vlastností nebo vlastnostmi. Metoda je užitečná pro získání numerických řešení problémů příliš komplikovaných na analytické řešení. Nejběžnější aplikací metody Monte Carlo je integrace Monte Carlo.

Integrace

Hlavní článek: Integrace Monte Carlo
Integrace Monte-Carlo funguje porovnáním náhodných bodů s hodnotou funkce
Chyby se snižují o faktor

Deterministický numerická integrace algoritmy fungují dobře v malém počtu dimenzí, ale narazí na dva problémy, když mají funkce mnoho proměnných. Za prvé, počet potřebných vyhodnocení funkcí se rychle zvyšuje s počtem dimenzí. Například pokud 10 hodnocení poskytuje dostatečnou přesnost v jedné dimenzi, pak 10100 body jsou potřebné pro 100 dimenzí - příliš mnoho na to, aby bylo možné je vypočítat. Tomu se říká prokletí dimenzionality. Zadruhé, hranice vícerozměrné oblasti může být velmi komplikovaná, takže nemusí být možné snížit problém na iterovaný integrál.[93] 100 rozměry není v žádném případě neobvyklý, protože u mnoha fyzických problémů je „dimenze“ ekvivalentní a stupeň svobody.

Metody Monte Carlo poskytují východisko z tohoto exponenciálního zvýšení doby výpočtu. Pokud je daná funkce přiměřená dobře vychovaný, lze ji odhadnout náhodným výběrem bodů ve 100rozměrném prostoru a provedením nějakého průměru hodnot funkčních hodnot v těchto bodech. Podle teorém centrálního limitu, zobrazí se tato metoda convergence—i.e., quadrupling the number of sampled points halves the error, regardless of the number of dimensions.[93]

A refinement of this method, known as vzorkování důležitosti in statistics, involves sampling the points randomly, but more frequently where the integrand is large. To do this precisely one would have to already know the integral, but one can approximate the integral by an integral of a similar function or use adaptive routines such as stratifikovaný odběr vzorků, recursive stratified sampling, adaptive umbrella sampling[94][95] nebo VEGAS algorithm.

A similar approach, the metoda kvazi-Monte Carlo, používá sekvence s nízkou odchylkou. These sequences "fill" the area better and sample the most important points more frequently, so quasi-Monte Carlo methods can often converge on the integral more quickly.

Another class of methods for sampling points in a volume is to simulate random walks over it (Markovský řetězec Monte Carlo ). Such methods include the Algoritmus Metropolis – Hastings, Gibbsův odběr vzorků, Wang and Landau algorithm, and interacting type MCMC methodologies such as the sequential Monte Carlo vzorkovače.[96]

Simulation and optimization

Hlavní článek: Stochastická optimalizace

Another powerful and very popular application for random numbers in numerical simulation is in numerical optimization. The problem is to minimize (or maximize) functions of some vector that often has many dimensions. Many problems can be phrased in this way: for example, a počítačové šachy program could be seen as trying to find the set of, say, 10 moves that produces the best evaluation function at the end. V problém obchodního cestujícího the goal is to minimize distance traveled. There are also applications to engineering design, such as multidisciplinary design optimization. It has been applied with quasi-one-dimensional models to solve particle dynamics problems by efficiently exploring large configuration space. Odkaz[97] is a comprehensive review of many issues related to simulation and optimization.

The problém obchodního cestujícího is what is called a conventional optimization problem. That is, all the facts (distances between each destination point) needed to determine the optimal path to follow are known with certainty and the goal is to run through the possible travel choices to come up with the one with the lowest total distance. However, let's assume that instead of wanting to minimize the total distance traveled to visit each desired destination, we wanted to minimize the total time needed to reach each destination. This goes beyond conventional optimization since travel time is inherently uncertain (traffic jams, time of day, etc.). As a result, to determine our optimal path we would want to use simulation - optimization to first understand the range of potential times it could take to go from one point to another (represented by a probability distribution in this case rather than a specific distance) and then optimize our travel decisions to identify the best path to follow taking that uncertainty into account.

Inverzní problémy

Probabilistic formulation of inverzní problémy leads to the definition of a rozdělení pravděpodobnosti in the model space. This probability distribution combines předchozí information with new information obtained by measuring some observable parameters (data).As, in the general case, the theory linking data with model parameters is nonlinear, the posterior probability in the model space may not be easy to describe (it may be multimodal, some moments may not be defined, etc.).

When analyzing an inverse problem, obtaining a maximum likelihood model is usually not sufficient, as we normally also wish to have information on the resolution power of the data. In the general case we may have many model parameters, and an inspection of the mezní pravděpodobnost densities of interest may be impractical, or even useless. But it is possible to pseudorandomly generate a large collection of models according to the zadní rozdělení pravděpodobnosti and to analyze and display the models in such a way that information on the relative likelihoods of model properties is conveyed to the spectator. This can be accomplished by means of an efficient Monte Carlo method, even in cases where no explicit formula for the a priori distribution is available.

The best-known importance sampling method, the Metropolis algorithm, can be generalized, and this gives a method that allows analysis of (possibly highly nonlinear) inverse problems with complex a priori information and data with an arbitrary noise distribution.[98][99]

Filozofie

Popular exposition of the Monte Carlo Method was conducted by McCracken[100]. Method's general philosophy was discussed by Elishakoff[101] and Grüne-Yanoff and Weirich[102].

Viz také

Reference

Citace

  1. ^ Kroese, D. P.; Brereton, T.; Taimre, T .; Botev, Z. I. (2014). "Why the Monte Carlo method is so important today". WIREs Comput Stat. 6 (6): 386–392. doi:10.1002/wics.1314. S2CID  18521840.
  2. ^ Hubbard, Douglas; Samuelson, Douglas A. (October 2009). "Modeling Without Measurements". NEBO MS dnes: 28–33.
  3. ^ Metropolis, Nicholas; Rosenbluth, Arianna W.; Rosenbluth, Marshall N.; Teller, Augusta H.; Teller, Edward (1953-06-01). "Equation of State Calculations by Fast Computing Machines". The Journal of Chemical Physics. 21 (6): 1087–1092. Bibcode:1953JChPh..21.1087M. doi:10.1063/1.1699114. ISSN  0021-9606. S2CID  1046577.
  4. ^ Hastings, W. K. (1970-04-01). "Monte Carlo sampling methods using Markov chains and their applications". Biometrika. 57 (1): 97–109. Bibcode:1970Bimka..57...97H. doi:10.1093/biomet/57.1.97. ISSN  0006-3444. S2CID  21204149.
  5. ^ Liu, Jun S.; Liang, Faming; Wong, Wing Hung (2000-03-01). "The Multiple-Try Method and Local Optimization in Metropolis Sampling". Journal of the American Statistical Association. 95 (449): 121–134. doi:10.1080/01621459.2000.10473908. ISSN  0162-1459. S2CID  123468109.
  6. ^ Spall, J. C. (2003). "Estimation via Markov Chain Monte Carlo". Časopis IEEE Control Systems. 23 (2): 34–45. doi:10.1109/MCS.2003.1188770.
  7. ^ Hill, Stacy D.; Spall, James C. (2019). "Stationarity and Convergence of the Metropolis-Hastings Algorithm: Insights into Theoretical Aspects". Časopis IEEE Control Systems. 39: 56–67. doi:10.1109/MCS.2018.2876959. S2CID  58672766.
  8. ^ A b Kolokoltsov, Vassili (2010). Nonlinear Markov processes. Cambridge Univ. Lis. p. 375.
  9. ^ A b C Del Moral, Pierre (2013). Mean field simulation for Monte Carlo integration. Chapman & Hall/CRC Press. p. 626. Monographs on Statistics & Applied Probability
  10. ^ Del Moral, P; Doucet, A; Jasra, A (2006). "Sequential Monte Carlo samplers". Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 68 (3): 411–436. arXiv:cond-mat/0212648. doi:10.1111/j.1467-9868.2006.00553.x. S2CID  12074789.
  11. ^ Kalos & Whitlock 2008.
  12. ^ A b C Metropolis 1987.
  13. ^ Eckhardt 1987.
  14. ^ Mazhdrakov, Benov & Valkanov 2018, str. 250.
  15. ^ Peragine, Michael (2013). The Universal Mind: The Evolution of Machine Intelligence and Human Psychology. Xiphias Press. Citováno 2018-12-17.
  16. ^ McKean, Henry, P. (1967). "Propagation of chaos for a class of non-linear parabolic equations". Lecture Series in Differential Equations, Catholic Univ. 7: 41–57.
  17. ^ McKean, Henry, P. (1966). "A class of Markov processes associated with nonlinear parabolic equations". Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 56 (6): 1907–1911. Bibcode:1966PNAS...56.1907M. doi:10.1073/pnas.56.6.1907. PMC  220210. PMID  16591437.
  18. ^ Herman, Kahn; Theodore, Harris E. (1951). "Estimation of particle transmission by random sampling" (PDF). Natl. Bur. Vydržet. Appl. Matematika. Ser. 12: 27–30.
  19. ^ Turing, Alan M. (1950). "Computing machinery and intelligence". Mysl. LIX (238): 433–460. doi:10.1093/mind/LIX.236.433.
  20. ^ Barricelli, Nils Aall (1954). "Esempi numerici di processi di evoluzione". Methodos: 45–68.
  21. ^ Barricelli, Nils Aall (1957). "Symbiogenetic evolution processes realized by artificial methods". Methodos: 143–182.
  22. ^ A b Del Moral, Pierre (2004). Feynman–Kac formulae. Genealogical and interacting particle approximations. Probability and Its Applications. Springer. p. 575. ISBN  9780387202686. Series: Probability and Applications
  23. ^ A b Del Moral, P.; Miclo, L. (2000). "Branching and interacting particle systems approximations of Feynman–Kac formulae with applications to non-linear filtering". Séminaire de Probabilités, XXXIV. Přednášky z matematiky. 1729. Berlín: Springer. s. 1–145. doi:10.1007/BFb0103798. ISBN  978-3-540-67314-9. PAN  1768060.
  24. ^ Del Moral, Pierre; Miclo, Laurent (2000). "A Moran particle system approximation of Feynman–Kac formulae". Stochastické procesy a jejich aplikace. 86 (2): 193–216. doi:10.1016/S0304-4149(99)00094-0.
  25. ^ Del Moral, Pierre (2003). "Particle approximations of Lyapunov exponents connected to Schrödinger operators and Feynman–Kac semigroups". ESAIM Probability & Statistics. 7: 171–208. doi:10.1051/ps:2003001.
  26. ^ Assaraf, Roland; Caffarel, Michel; Khelif, Anatole (2000). "Diffusion Monte Carlo Methods with a fixed number of walkers" (PDF). Phys. Rev.. 61 (4): 4566–4575. Bibcode:2000PhRvE..61.4566A. doi:10.1103/physreve.61.4566. PMID  11088257. Archivovány od originál (PDF) dne 7. 11. 2014.
  27. ^ Caffarel, Michel; Ceperley, David; Kalos, Malvin (1993). "Comment on Feynman–Kac Path-Integral Calculation of the Ground-State Energies of Atoms". Phys. Rev. Lett. 71 (13): 2159. Bibcode:1993PhRvL..71.2159C. doi:10.1103/physrevlett.71.2159. PMID  10054598.
  28. ^ A b Hetherington, Jack, H. (1984). "Observations on the statistical iteration of matrices". Phys. Rev.A. 30 (2713): 2713–2719. Bibcode:1984PhRvA..30.2713H. doi:10.1103/PhysRevA.30.2713.
  29. ^ Fermi, Enrique; Richtmyer, Robert, D. (1948). "Note on census-taking in Monte Carlo calculations" (PDF). LAM. 805 (A). Declassified report Los Alamos Archive
  30. ^ A b Rosenbluth, Marshall, N.; Rosenbluth, Arianna, W. (1955). "Monte-Carlo calculations of the average extension of macromolecular chains". J. Chem. Phys. 23 (2): 356–359. Bibcode:1955JChPh..23..356R. doi:10.1063/1.1741967. S2CID  89611599.
  31. ^ Gordon, N.J.; Salmond, D.J.; Smith, A.F.M. (Duben 1993). "Novel approach to nonlinear/non-Gaussian Bayesian state estimation". IEE Proceedings F - Radar and Signal Processing. 140 (2): 107–113. doi:10.1049/ip-f-2.1993.0015. ISSN  0956-375X. S2CID  12644877.
  32. ^ Kitagawa, G. (1996). "Monte carlo filter and smoother for non-Gaussian nonlinear state space models". Journal of Computational and Graphical Statistics. 5 (1): 1–25. doi:10.2307/1390750. JSTOR  1390750.
  33. ^ A b Del Moral, Pierre (1996). "Non Linear Filtering: Interacting Particle Solution" (PDF). Markov Processes and Related Fields. 2 (4): 555–580.
  34. ^ Carvalho, Himilcon; Del Moral, Pierre; Monin, André; Salut, Gérard (July 1997). "Optimal Non-linear Filtering in GPS/INS Integration" (PDF). Transakce IEEE na letectví a elektronických systémech. 33 (3): 835. Bibcode:1997ITAES..33..835C. doi:10.1109/7.599254. S2CID  27966240.
  35. ^ P. Del Moral, G. Rigal, and G. Salut. "Estimation and nonlinear optimal control: An unified framework for particle solutions". LAAS-CNRS, Toulouse, Research Report no. 91137, DRET-DIGILOG- LAAS/CNRS contract, April (1991).
  36. ^ P. Del Moral, G. Rigal, and G. Salut. "Nonlinear and non Gaussian particle filters applied to inertial platform repositioning." LAAS-CNRS, Toulouse, Research Report no. 92207, STCAN/DIGILOG-LAAS/CNRS Convention STCAN no. A.91.77.013, (94p.) September (1991).
  37. ^ P. Del Moral, G. Rigal, and G. Salut. "Estimation and nonlinear optimal control: Particle resolution in filtering and estimation: Experimental results". Convention DRET no. 89.34.553.00.470.75.01, Research report no.2 (54p.), January (1992).
  38. ^ P. Del Moral, G. Rigal, and G. Salut. "Estimation and nonlinear optimal control: Particle resolution in filtering and estimation: Theoretical results".Convention DRET no. 89.34.553.00.470.75.01, Research report no.3 (123p.), October (1992).
  39. ^ P. Del Moral, J.-Ch. Noyer, G. Rigal, and G. Salut. "Particle filters in radar signal processing: detection, estimation and air targets recognition". LAAS-CNRS, Toulouse, Research report no. 92495, December (1992).
  40. ^ P. Del Moral, G. Rigal, and G. Salut. "Estimation and nonlinear optimal control: Particle resolution in filtering and estimation". Studies on: Filtering, optimal control, and maximum likelihood estimation. Convention DRET no. 89.34.553.00.470.75.01. Research report no.4 (210p.), January (1993).
  41. ^ Del Moral, Pierre (1998). "Measure Valued Processes and Interacting Particle Systems. Application to Non Linear Filtering Problems". Annals of Applied Probability (Publications du Laboratoire de Statistique et Probabilités, 96-15 (1996) ed.). 8 (2): 438–495. CiteSeerX  10.1.1.55.5257. doi:10.1214/aoap/1028903535.
  42. ^ Crisan, Dan; Gaines, Jessica; Lyons, Terry (1998). "Convergence of a branching particle method to the solution of the Zakai". SIAM Journal on Applied Mathematics. 58 (5): 1568–1590. doi:10.1137/s0036139996307371. S2CID  39982562.
  43. ^ Crisan, Dan; Lyons, Terry (1997). "Nonlinear filtering and measure-valued processes". Teorie pravděpodobnosti a související pole. 109 (2): 217–244. doi:10.1007/s004400050131. S2CID  119809371.
  44. ^ Crisan, Dan; Lyons, Terry (1999). "A particle approximation of the solution of the Kushner–Stratonovitch equation". Teorie pravděpodobnosti a související pole. 115 (4): 549–578. doi:10.1007/s004400050249. S2CID  117725141.
  45. ^ Crisan, Dan; Del Moral, Pierre; Lyons, Terry (1999). "Discrete filtering using branching and interacting particle systems" (PDF). Markov Processes and Related Fields. 5 (3): 293–318.
  46. ^ Del Moral, Pierre; Guionnet, Alice (1999). "On the stability of Measure Valued Processes with Applications to filtering". C. R. Acad. Sci. Paříž. 39 (1): 429–434.
  47. ^ Del Moral, Pierre; Guionnet, Alice (2001). "On the stability of interacting processes with applications to filtering and genetic algorithms". Annales de l'Institut Henri Poincaré. 37 (2): 155–194. Bibcode:2001AnIHP..37..155D. doi:10.1016/s0246-0203(00)01064-5.
  48. ^ Ripley 1987
  49. ^ A b Sawilowsky 2003
  50. ^ Kalos & Whitlock 2008
  51. ^ Shojaeefard, MH; Khalkhali, A; Yarmohammadisatri, Sadegh (2017). "An efficient sensitivity analysis method for modified geometry of Macpherson suspension based on Pearson Correlation Coefficient". Vehicle System Dynamics. 55 (6): 827–852. Bibcode:2017VSD....55..827S. doi:10.1080/00423114.2017.1283046. S2CID  114260173.
  52. ^ Davenport 1992
  53. ^ Route, Matthew (August 10, 2017). "Radio-flaring Ultracool Dwarf Population Synthesis". Astrofyzikální deník. 845 (1): 66. arXiv:1707.02212. Bibcode:2017ApJ...845...66R. doi:10.3847/1538-4357/aa7ede. S2CID  118895524.
  54. ^ Vose 2000, str. 13
  55. ^ Vose 2000, str. 16
  56. ^ Jia, Xun; Ziegenhein, Peter; Jiang, Steve B (2014). "GPU-based high-performance computing for radiation therapy". Fyzika v medicíně a biologii. 59 (4): R151–R182. Bibcode:2014PMB....59R.151J. doi:10.1088/0031-9155/59/4/R151. PMC  4003902. PMID  24486639.
  57. ^ Hill, R; Healy, B; Holloway, L; Kuncic, Z; Thwaites, D; Baldock, C (Mar 2014). "Advances in kilovoltage x-ray beam dosimetry". Fyzika v medicíně a biologii. 59 (6): R183–R231. Bibcode:2014PMB....59R.183H. doi:10.1088/0031-9155/59/6/R183. PMID  24584183. S2CID  18082594.
  58. ^ Rogers, D W O (2006). "Fifty years of Monte Carlo simulations for medical physics". Fyzika v medicíně a biologii. 51 (13): R287–R301. Bibcode:2006PMB....51R.287R. doi:10.1088/0031-9155/51/13/R17. PMID  16790908. S2CID  12066026.
  59. ^ Baeurle 2009
  60. ^ Möller, W.; Eckstein, W. (1984-03-01). "Tridyn — A TRIM simulation code including dynamic composition changes". Jaderné přístroje a metody ve fyzikálním výzkumu Část B: Interakce paprsků s materiály a atomy. 2 (1): 814–818. Bibcode:1984NIMPB...2..814M. doi:10.1016/0168-583X(84)90321-5.
  61. ^ MacGillivray & Dodd 1982
  62. ^ Golden 1979
  63. ^ Mazhdrakov, Metodi; Benov, Dobriyan; Valkanov, Nikolai (2018). The Monte Carlo Method. Engineering Applications. ACMO Academic Press. p. 250. ISBN  978-619-90684-3-4.
  64. ^ Int Panis et al. 2001
  65. ^ Int Panis et al. 2002
  66. ^ G. A. Bird, Molecular Gas Dynamics, Clarendon, Oxford (1976)
  67. ^ Dietrich, S.; Boyd, I. (1996). "A Scalar optimized parallel implementation of the DSMC technique". Journal of Computational Physics. 126 (2): 328–42. Bibcode:1996JCoPh.126..328D. doi:10.1006/jcph.1996.0141.
  68. ^ Nabian, Mohammad Amin; Meidani, Hadi (2017-08-28). "Deep Learning for Accelerated Reliability Analysis of Infrastructure Networks". Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering. 33 (6): 443–458. arXiv:1708.08551. Bibcode:2017arXiv170808551N. doi:10.1111/mice.12359. S2CID  36661983.
  69. ^ Nabian, Mohammad Amin; Meidani, Hadi (2018). "Accelerating Stochastic Assessment of Post-Earthquake Transportation Network Connectivity via Machine-Learning-Based Surrogates". Transportation Research Board 97th Annual Meeting.
  70. ^ Nabian, Mohammad Amin; Meidani, Hadi (2017). "Uncertainty Quantification and PCA-Based Model Reduction for Parallel Monte Carlo Analysis of Infrastructure System Reliability". Transportation Research Board 96th Annual Meeting.
  71. ^ Climate Change 2013 The Physical Science Basis (PDF). Cambridge University Press. 2013. s. 697. ISBN  978-1-107-66182-0. Citováno 2. března 2016.
  72. ^ Ojeda & et al. 2009,
  73. ^ Milik & Skolnick 1993
  74. ^ Cassey; Smith (2014). "Simulating confidence for the Ellison-Glaeser Index". Journal of Urban Economics. 81: 93. doi:10.1016/j.jue.2014.02.005.
  75. ^ Sawilowsky & Fahoome 2003
  76. ^ Spall, James C. (2005). "Monte Carlo Computation of the Fisher Information Matrix in Nonstandard Settings". Journal of Computational and Graphical Statistics. 14 (4): 889–909. CiteSeerX  10.1.1.142.738. doi:10.1198/106186005X78800. S2CID  16090098.
  77. ^ Das, Sonjoy; Spall, James C.; Ghanem, Roger (2010). "Efficient Monte Carlo computation of Fisher information matrix using prior information". Výpočetní statistika a analýza dat. 54 (2): 272–289. doi:10.1016/j.csda.2009.09.018.
  78. ^ Guillaume Chaslot; Sander Bakkes; Istvan Szita; Pieter Spronck. "Monte-Carlo Tree Search: A New Framework for Game AI" (PDF). Sander.landofsand.com. Citováno 28. října 2017.
  79. ^ "Monte Carlo Tree Search - About". Archivovány od originál on 2015-11-29. Citováno 2013-05-15.
  80. ^ Chaslot, Guillaume M. J. -B; Winands, Mark H. M; Van Den Herik, H. Jaap (2008). Parallel Monte-Carlo Tree Search. Přednášky z informatiky. 5131. pp. 60–71. CiteSeerX  10.1.1.159.4373. doi:10.1007/978-3-540-87608-3_6. ISBN  978-3-540-87607-6.
  81. ^ Bruns, Pete. Monte-Carlo Tree Search in the game of Tantrix: Cosc490 Final Report (PDF) (Zpráva).
  82. ^ David Silver; Joel Veness. "Monte-Carlo Planning in Large POMDPs" (PDF). 0.cs.ucl.ac.uk. Citováno 28. října 2017.
  83. ^ Lorentz, Richard J (2011). "Improving Monte–Carlo Tree Search in Havannah". Computers and Games. Přednášky z informatiky. 6515. str. 105–115. Bibcode:2011LNCS.6515..105L. doi:10.1007/978-3-642-17928-0_10. ISBN  978-3-642-17927-3.
  84. ^ Tomas Jakl. "Arimaa challenge – comparison study of MCTS versus alpha-beta methods" (PDF). Arimaa.com. Citováno 28. října 2017.
  85. ^ Szirmay–Kalos 2008
  86. ^ "How the Coast Guard Uses Analytics to Search for Those Lost at Sea". Statistiky kostek. 2014-01-03.
  87. ^ Lawrence D. Stone; Thomas M. Kratzke; John R. Frost. "Search Modeling and Optimization in USCG's Search and Rescue Optimal Planning System (SAROPS)" (PDF). Ifremer.fr. Citováno 28. října 2017.
  88. ^ Carmona, René; Del Moral, Pierre; Hu, Peng; Oudjane, Nadia (2012). Carmona, René A.; Moral, Pierre Del; Hu, Peng; et al. (eds.). An Introduction to Particle Methods with Financial Applications. Numerical Methods in Finance. Springer Proceedings in Mathematics. 12. Springer Berlin Heidelberg. pp. 3–49. CiteSeerX  10.1.1.359.7957. doi:10.1007/978-3-642-25746-9_1. ISBN  978-3-642-25745-2.
  89. ^ Carmona, René; Del Moral, Pierre; Hu, Peng; Oudjane, Nadia (2012). Numerical Methods in Finance. Springer Proceedings in Mathematics. 12. doi:10.1007/978-3-642-25746-9. ISBN  978-3-642-25745-2.
  90. ^ Kroese, D. P.; Taimre, T .; Botev, Z. I. (2011). Příručka metod Monte Carlo. John Wiley & Sons.
  91. ^ Arenas, Daniel J.; Lett, Lanair A.; Klusaritz, Heather; Teitelman, Anne M. (2017). "A Monte Carlo simulation approach for estimating the health and economic impact of interventions provided at a student-run clinic". PLOS ONE. 12 (12): e0189718. Bibcode:2017PLoSO..1289718A. doi:10.1371/journal.pone.0189718. PMC  5746244. PMID  29284026.
  92. ^ Elwart, Liz; Emerson, Nina; Enders, Christina; Fumia, Dani; Murphy, Kevin (December 2006). "Increasing Access to Restraining Orders for Low Income Victims of Domestic Violence: A Cost-Benefit Analysis of the Proposed Domestic Abuse Grant Program" (PDF). Státní bar ve Wisconsinu. Archivovány od originál (PDF) dne 6. listopadu 2018. Citováno 2016-12-12.
  93. ^ A b Press et al. 1996
  94. ^ MEZEI, M (31 December 1986). "Adaptive umbrella sampling: Self-consistent determination of the non-Boltzmann bias". Journal of Computational Physics. 68 (1): 237–248. Bibcode:1987JCoPh..68..237M. doi:10.1016/0021-9991(87)90054-4.
  95. ^ Bartels, Christian; Karplus, Martin (31 December 1997). "Probability Distributions for Complex Systems: Adaptive Umbrella Sampling of the Potential Energy". The Journal of Physical Chemistry B. 102 (5): 865–880. doi:10.1021/jp972280j.
  96. ^ Del Moral, Pierre; Doucet, Arnaud; Jasra, Ajay (2006). "Sequential Monte Carlo samplers". Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 68 (3): 411–436. arXiv:cond-mat/0212648. doi:10.1111/j.1467-9868.2006.00553.x. S2CID  12074789.
  97. ^ Spall, J. C. (2003), Introduction to Stochastic Search and Optimization: Estimation, Simulation, and Control, Wiley, Hoboken, NJ. http://www.jhuapl.edu/ISSO
  98. ^ Mosegaard & Tarantola 1995
  99. ^ Tarantola 2005
  100. ^ McCracken, D. D., (1955) The Monte Carlo Method, Scientific American, 192(5), pp. 90-97
  101. ^ Elishakoff, I., (2003) Notes on Philosophy of the Monte Carlo Method, International Applied Mechanics, 39(7), pp.753-762
  102. ^ Grüne-Yanoff, T., & Weirich, P. (2010). The philosophy and epistemology of simulation: A review, Simulation & Gaming, 41(1), pp. 20-50

Zdroje

externí odkazy