Buffonův problém s jehlou - Buffons needle problem - Wikipedia

The A jehla leží přes čáru, zatímco b jehla ne.

v matematika, Buffonův problém s jehlou je otázka, kterou poprvé položil v 18. století Georges-Louis Leclerc, hrabě de Buffon:^[1]

Předpokládejme, že máme podlaha vyroben z paralelní proužky dřevo, každá má stejnou šířku, a upustíme a jehla na podlahu. Co je to pravděpodobnost že jehla bude ležet přes čáru mezi dvěma proužky?

Buffonova jehla byla nejranějším problémem geometrická pravděpodobnost být vyřešen^{[podle koho? ]}; to lze vyřešit pomocí integrální geometrie. Řešení pro hledanou pravděpodobnost p, v případě, že délka jehly l není větší než šířka t proužků, je

{ displaystyle p = { frac {2} { pi}} { frac {l} {t}}.}

To lze použít k návrhu a Metoda Monte Carlo pro přiblížení čísla π, ačkoli to nebyla původní motivace pro de Buffonovu otázku.^[2]

Řešení

Matematičtěji řečeno problém je: Dostal jehlu délky ${ displaystyle l}$ spadl na letadlo ovládané rovnoběžnými čarami t jednotek od sebe, jaká je pravděpodobnost, že jehla bude po přistání ležet přes čáru?

Nechat X být vzdálenost od středu jehly k nejbližší paralelní linii a nechat θ být ostrý úhel mezi jehlou a jednou z rovnoběžných čar.

Uniformu funkce hustoty pravděpodobnosti z X mezi 0 a t / 2 je

{ displaystyle { begin {cases} { frac {2} {t}} &: 0 leq x leq { frac {t} {2}} 0 &: { text {jinde.}} end {případy}}}

Zde x = 0 představuje jehlu, která je vystředěna přímo na přímce, a x = t / 2 představuje jehlu, která je dokonale vystředěna mezi dvěma čarami. Jednotné PDF předpokládá, že jehla stejně pravděpodobně spadne kdekoli v tomto rozsahu, ale nemohla spadnout mimo ni.

Jednotná funkce hustoty pravděpodobnosti θ mezi 0 a π / 2 je

{ displaystyle { begin {cases} { frac {2} { pi}} &: 0 leq theta leq { frac { pi} {2}} 0 &: { text {jinde .}} end {případy}}}

Tady, θ = 0 radiány představuje jehlu, která je rovnoběžná s vyznačenými čarami, a θ = π / 2 radiány představuje jehlu, která je kolmá na vyznačené čáry. Jakýkoli úhel v tomto rozsahu se považuje za stejně pravděpodobný výsledek.

Dva náhodné proměnné, X a θ, jsou nezávislé, takže funkce hustoty pravděpodobnosti kloubu je produkt

{ displaystyle { begin {cases} { frac {4} {t pi}} &: 0 leq x leq { frac {t} {2}}, 0 leq theta leq { frac { pi} {2}} 0 a: { text {jinde.}} end {případy}}}

Jehla překročí čáru, pokud

{ displaystyle x leq { frac {l} {2}} sin theta.}

Nyní existují dva případy.

Případ 1: Krátká jehla

Integrace funkce hustoty pravděpodobnosti kloubu dává pravděpodobnost, že jehla překročí čáru:

{ displaystyle P = int _ { theta = 0} ^ { frac { pi} {2}} int _ {x = 0} ^ {(l / 2) sin theta} { frac { 4} {t pi}} , dx , d theta = { frac {2l} {t pi}}.}

Případ 2: Dlouhá jehla

Předpokládat ${ displaystyle l> t}$ . V tomto případě získáme integraci funkce hustoty pravděpodobnosti kloubu:

{ displaystyle int _ { theta = 0} ^ { frac { pi} {2}} int _ {x = 0} ^ {m ( theta)} { frac {4} {t pi }} , dx , d theta,}

kde ${ displaystyle m ( theta)}$ je minimum mezi ${ displaystyle (l / 2) sin theta}$ a ${ Displaystyle t / 2}$ .

Při provedení výše uvedené integrace tedy vidíme, že kdy ${ displaystyle t$ , je pravděpodobnost, že jehla překročí čáru

{ displaystyle { frac {2l} {t pi}} - { frac {2} {t pi}} vlevo {{ sqrt {l ^ {2} -t ^ {2}}} + t sin ^ {- 1} vlevo ({ frac {t} {l}} vpravo) vpravo } + 1}

nebo

{ displaystyle { frac {2} { pi}} cos ^ {- 1} { frac {t} {l}} + { frac {2} { pi}} { frac {l} { t}} left {1 - { sqrt {1- left ({ frac {t} {l}} right) ^ {2}}} right }.}

Ve druhém výrazu představuje první člen pravděpodobnost, že úhel jehly bude takový, že vždy překročí alespoň jednu čáru. Pravý člen představuje pravděpodobnost, že jehla spadne pod úhlem, kde záleží na její poloze, a překročí čáru.

Případně si toho všimněte kdykoli ${ displaystyle theta}$ má takovou hodnotu ${ displaystyle l sin theta leq t}$ , tj. v rozsahu ${ displaystyle 0 leq theta leq sin ^ {- 1} (t / l)}$ pravděpodobnost křížení je stejná jako v případě krátké jehly. Nicméně pokud ${ displaystyle l sin theta> t}$ , to znamená, ${ displaystyle sin ^ {- 1} (t / l) < theta leq { frac { pi} {2}}}$ pravděpodobnost je konstantní a rovná se 1.

{ displaystyle left ( int _ { theta = 0} ^ { sin ^ {- 1} (t / l)} int _ {x = 0} ^ {(l / 2) sin theta} { frac {4} {t pi}} doprava) + vlevo ( int _ { sin ^ {- 1} (t / l)} ^ { frac { pi} {2}} { frac {2} { pi}} right) = { frac {2l} {t pi}} - { frac {2} {t pi}} left {{ sqrt {l ^ {2 } -t ^ {2}}} + t sin ^ {- 1} vlevo ({ frac {t} {l}} vpravo) vpravo } + 1}

Použití elementárního počtu

Následující řešení pro případ „krátké jehly“, i když je ekvivalentní k výše uvedenému, má vizuální vzhled a vyhýbá se iterovaným integrálům.

Můžeme vypočítat pravděpodobnost ${ displaystyle P}$ jako produkt 2 pravděpodobností: ${ displaystyle P = P_ {1} cdot P_ {2}}$ , kde ${ displaystyle P_ {1}}$ je pravděpodobnost, že střed jehly spadne dostatečně blízko k přímce, aby ji jehla mohla překročit, a ${ displaystyle P_ {2}}$ je pravděpodobnost, že jehla skutečně překročí čáru, vzhledem k tomu, že střed je na dosah.

Při pohledu na obrázek ve výše uvedené části je zřejmé, že jehla může překročit čáru, pokud je střed jehly uvnitř ${ displaystyle l / 2}$ jednotky na obou stranách proužku. Přidávání ${ displaystyle { frac {l} {2}} + { frac {l} {2}}}$ z obou stran a vydělením celou šířkou ${ displaystyle t}$ , získáváme ${ displaystyle P_ {1} = { frac {l} {t}}.}$

Červené a modré jehly jsou vystředěny na x. Červená spadá do šedé oblasti, která je na každé straně pod úhlem 2θ, takže překračuje svislou čáru; modrá ne. Podíl kruhu, který je šedý, je to, co integrujeme jako střed X jde z 0 na 1

Nyní předpokládáme, že střed je na dosah od okraje pásu, a vypočítáme ${ displaystyle P_ {2}}$ . Pro zjednodušení výpočtu to můžeme předpokládat ${ displaystyle l = 2}$ .

Nechat X a θ být jako na ilustraci v této části. Umístěte střed jehly na X, bude jehla protínat svislou osu, pokud spadá do rozsahu 2θ radiánů z π radiánů možných orientací. To představuje šedou oblast nalevo od X na obrázku. Pro pevné X, můžeme vyjádřit θ jako funkce X: ${ displaystyle theta left (x right) = cos ^ {- 1} left (x right)}$ . Nyní můžeme nechat x přesunout se z 0 na 1 a integrovat:

{ displaystyle P_ {2} = int _ {0} ^ {1} { frac {2 theta (x)} { pi}} , dx = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ {1} cos ^ {- 1} (x) , dx = { frac {2} { pi}} cdot 1 = { frac {2} { pi}}. }

Vynásobením obou výsledků získáme ${ displaystyle P = P_ {1} cdot P_ {2} = { frac {l} {t}} { frac {2} { pi}} = { frac {2l} {t pi}} }$ , jak je uvedeno výše.

Existuje ještě elegantnější a jednodušší metoda výpočtu „pouzdra s krátkou jehlou“. Konec jehly nejdále od kterékoli ze dvou čar ohraničujících její oblast musí být umístěn v horizontální (kolmé k hraničním čarám) vzdálenosti od ${ displaystyle l cos theta}$ (kde ${ displaystyle theta}$ je úhel mezi jehlou a vodorovnou čarou) od této čáry, aby ji jehla mohla protínat. Nejvzdálenější je, že se tento konec jehly může ve své oblasti od této linie vodorovně vzdálit ${ displaystyle t}$ . Pravděpodobnost, že nejvzdálenější konec jehly je umístěn ne více než na vzdálenost ${ displaystyle l cos theta}$ pryč od čáry (a tedy, že jehla protíná čáru) z celkové vzdálenosti ${ displaystyle t}$ může se pohybovat ve svém regionu za ${ displaystyle 0 leq theta leq pi / 2}$ darováno

${ displaystyle P = { frac { int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} l cos theta d theta} { int _ {0} ^ { frac { pi } {2}} td theta}} = { frac {l} {t}} { frac { int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} cos theta d theta } { int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} d theta}} = { frac {l} {t}} { frac {1} { frac { pi} { 2}}} = { frac {2l} {t pi}}}$ , jak je uvedeno výše.

Bez integrálů

Problém s krátkou jehlou lze také vyřešit bez jakékoli integrace, a to způsobem, který vysvětluje vzorec pro p z geometrické skutečnosti, že kruh průměru t překročí vzdálenost t proužky vždy (tj. s pravděpodobností 1) přesně na dvou místech. Toto řešení poskytl Joseph-Émile Barbier v roce 1860^[3] a označuje se také jako „Buffonovy nudle ".

Odhad π

Pokus najít π. Zápasy o délce 9 čtverců byly hodeny 17krát mezi řádky o šířce 9 čtverců. 11 zápasů náhodně přistálo přes nakreslené čáry označené zelenými body.
(2 l · n) / (th) = (2 9 9 17) / (9 11) ≈3,1 π.

A Python 3 založená simulace pomocí Matplotlib načrtnout Buffonův jehlový experiment s parametry t = 5,0, l = 2,6. Sledujte vypočítanou hodnotu Pi (osa y) blížící se 3,14, jak se počet losování (osa x) blíží nekonečnu.

V prvním, jednodušším případě výše, vzorec získaný pro pravděpodobnost ${ displaystyle P}$ lze přeskupit na:

{ displaystyle pi = { frac {2l} {tP}}}

Pokud tedy provedeme experiment pro odhad

{ displaystyle P}

, budeme mít také odhad pro π.

Předpokládejme, že upadneme n jehly a najděte to h ty jehly překračují čáry, takže ${ displaystyle P}$ je aproximován zlomkem ${ displaystyle h / n}$ . To vede k vzorci:

{ displaystyle pi cca { frac {2l cdot n} {th}}.}

V roce 1901 provedl italský matematik Mario Lazzarini Buffonův experiment s jehlou. Hodil jehlu 3408krát a získal známou přiblížení 355/113 pro π, přesné na šest platných číslic.^[4]Příkladem je Lazzariniho „experiment“ zkreslení potvrzení, protože byla zřízena k replikaci již známé aproximace 355/113 (ve skutečnosti neexistuje lepší racionální aproximace s méně než pěti číslicemi v čitateli a jmenovateli), čímž se získá přesnější „předpověď“ π než by se dalo očekávat od počtu pokusů takto:^[5]

Lazzarini vybral jehly, jejichž délka byla 5/6 šířky dřevěných pásů. V tomto případě je pravděpodobnost, že jehly překročí čáry, je ${ textstyle { frac {5} {3 pi}}}$ . Pokud by tedy někdo spadl n jehly a dostat X křížení, dalo by se odhadnout π jako:

{ displaystyle pi cca { frac {5} {3}} cdot { frac {n} {x}}}

Pokud tedy Lazzarini mířil na výsledek 355/113, potřeboval to n a X takové, že:

{ displaystyle { frac {355} {113}} = { frac {5} {3}} cdot { frac {n} {x}}}

nebo ekvivalentně

{ displaystyle x = { frac {113n} {213}}.}

K tomu je třeba vybrat n jako násobek 213, protože tehdy

{ textstyle { frac {113n} {213}}}

je celé číslo; jeden pak klesne n jehly a doufá přesně

{ textstyle x = { frac {113n} {213}}}

Pokud někdo upustí 213 jehel a získá 113 úspěchů, může vítězně hlásit odhad π s přesností na šest desetinných míst. Pokud ne, můžete udělat ještě 213 dalších zkoušek a doufat v celkem 226 úspěchů; pokud ne, opakujte podle potřeby. Lazzarini provedl 3408 = 213,16 pokusů, takže se zdálo pravděpodobné, že toto je strategie, kterou použil k získání svého „odhadu“.

Výše uvedený popis strategie může být dokonce považován za Lazzariniho charitativní. Statistická analýza průběžných výsledků, které uváděl u menšího počtu losování, vede k velmi nízké pravděpodobnosti dosažení takové těsné shody s očekávanou hodnotou během celého experimentu. Díky tomu je velmi možné, že samotný „experiment“ nebyl nikdy fyzicky proveden, ale na základě čísel vytvořených z představivosti tak, aby odpovídaly statistickým očekáváním, ale ukázalo se to až příliš dobře.^[5]

Nizozemský vědecký novinář Hans van Maanen však tvrdí, že Lazzariniho článek nebyl nikdy zamýšlen jako příliš vážný, protože by pro čtenáře časopisu (zaměřené na učitele školy) bylo docela zřejmé, že aparát, který Lazzarini údajně vytvořil, nemůže případně pracovat podle popisu.^[6]

Viz také

Reference

^ de l'Acad. Roy. des. Vědy (1733), 43–45; naturelle, générale et particulière Dodatek 4 (1777), s. 46.
^ Behrends, Ehrhard. „Buffon: Hat er Stöckchen geworfen oder hat er nicht?“ (PDF). Citováno 14. března 2015.
^ Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2013). Důkazy z KNIHY (2. vyd.). Springer Science & Business Media. 189–192.
^ Lazzarini, M. (1901). „Un'applicazione del calcolo della probabilità alla ricerca sperimentale di un valore accssimato di π“ [Aplikace teorie pravděpodobnosti na experimentální výzkum aproximace π]. Periodico di Matematica per l'Insegnamento Secondario (v italštině). 4: 140–143.
^ ^A ^b Lee Badger, „Lazzariniho šťastná aproximace π“, Matematický časopis 67, 1994, 83–91.
^ Hans van Maanen, 'Het stokje van Lazzarini' (Lazzarini's stick), „Skepter“ 31.3, 2018.

Bibliografie

Badger, Lee (duben 1994). „Lazzariniho šťastná aproximace π“. Matematický časopis. Mathematical Association of America. 67 (2): 83–91. doi:10.2307/2690682. JSTOR 2690682.
Ramaley, J. F. (říjen 1969). „Buffonův problém s nudlemi“. Americký matematický měsíčník. Mathematical Association of America. 76 (8): 916–918. doi:10.2307/2317945. JSTOR 2317945.
Mathai, A. M. (1999). Úvod do geometrické pravděpodobnosti. Newark: Gordon & Breach. str. 5. ISBN 978-90-5699-681-9.
Dell, Zachary; Franklin, Scott V. (září 2009). „Problém s jehlou Buffon-Laplace ve třech rozměrech“. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2009 (9): 010. Bibcode:2009JSMTE..09..010D. doi:10.1088 / 1742-5468 / 2009/09 / P09010.
Schroeder, L. (1974). „Buffonův problém s jehlou: vzrušující aplikace mnoha matematických konceptů“. Učitel matematiky, 67 (2), 183–6.

externí odkazy

Buffonův problém s jehlou na cut-the-uzel
Matematická překvapení: Buffonovy nudle na cut-the-uzel
MSTE: Buffonova jehla
Buffon's Needle Java Applet
Odhad vizualizace PI (Flash)
Buffonova jehla: zábava a základy (prezentace) na sdílení snímků
Animace pro simulaci Buffonovy jehly od Yihui Xie pomocí R balík animace
3D fyzická animace Jeffrey Ventrella
Padilla, Tony. „∏ Pi a Buffonova jehla“. Numberphile. Brady Haran. Archivovány od originál dne 17. 5. 2013. Citováno 2013-04-09.

[1] de l'Acad. Roy. des. Vědy (1733), 43–45; naturelle, générale et particulière Dodatek 4 (1777), s. 46.

[2] Behrends, Ehrhard. „Buffon: Hat er Stöckchen geworfen oder hat er nicht?“ (PDF). Citováno 14. března 2015.

[3] Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2013). Důkazy z KNIHY (2. vyd.). Springer Science & Business Media. 189–192.

[4] Lazzarini, M. (1901). „Un'applicazione del calcolo della probabilità alla ricerca sperimentale di un valore accssimato di π“ [Aplikace teorie pravděpodobnosti na experimentální výzkum aproximace π]. Periodico di Matematica per l'Insegnamento Secondario (v italštině). 4: 140–143.

[Badger1994-5] A ^b Lee Badger, „Lazzariniho šťastná aproximace π“, Matematický časopis 67, 1994, 83–91.

[vMaanen2018-6] Hans van Maanen, 'Het stokje van Lazzarini' (Lazzarini's stick), „Skepter“ 31.3, 2018.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]