Lattice Boltzmann metody - Lattice Boltzmann methods - Wikipedia

Lattice Boltzmann metody (LBM), pochází z příhradové plynové automaty (LGA) metoda (Hardy-Pomeau -Pazzis a Frisch -Hasslacher -Pomeau modely), je třída výpočetní dynamika tekutin (CFD) metody pro simulace tekutin. Místo řešení Navier-Stokesovy rovnice přímo se simuluje hustota kapaliny na mřížce s prouděním a kolizními (relaxačními) procesy.^[1] Metoda je univerzální^[1] protože lze modelovou tekutinu přímo napodobit běžné chování tekutin, jako je soužití páry / kapaliny, a lze tak simulovat tekutinové systémy, jako jsou kapičky kapaliny. Tekutiny ve složitých prostředích, jako jsou porézní média, lze také přímo simulovat, zatímco se složitými hranicemi může být obtížné pracovat s jinými metodami CFD.

Přehrát média

Počítačová simulace ve dvou dimenzích, pomocí metody Lattice Boltzmanna, kapičky, která se začne protahovat a uvolní se do rovnovážného kruhového tvaru

Algoritmus

LBM je relativně nový^{[když? ]} simulační technika pro složité tekutinové systémy a přitahovala zájem vědců o výpočetní fyziku. Na rozdíl od tradičních metod CFD, které numericky řeší rovnice zachování makroskopických vlastností (tj. Hmoty, hybnosti a energie), modeluje LBM tekutinu skládající se z fiktivních částic a tyto částice provádějí po sobě jdoucí procesy šíření a srážek přes diskrétní mřížkovou síť. Díky své částicové povaze a lokální dynamice má LBM oproti jiným konvenčním metodám CFD několik výhod, zejména při řešení složitých hranic, začlenění mikroskopických interakcí a paralelizaci algoritmu.^{[Citace je zapotřebí ]} Jiná interpretace mřížkové Boltzmannovy rovnice je interpretace diskrétní rychlosti Boltzmannova rovnice. Numerické metody řešení systému parciálních diferenciálních rovnic pak vedou k diskrétní mapě, kterou lze interpretovat jako šíření a kolizi fiktivních částic.

Schéma mřížkových vektorů D2Q9 pro 2D Lattice Boltzmann

V algoritmu existují kolize a kroky streamování. Ty vyvíjejí hustotu tekutiny ${ displaystyle rho ({ vec {x}}, t)}$, pro ${ displaystyle { vec {x}}}$ pozice a ${ displaystyle t}$ čas. Jelikož je tekutina na mřížce, má hustota řadu složek ${ displaystyle f_ {i}, i = 0, ldots, a}$ se rovná počtu mřížových vektorů připojených ke každému mřížovému bodu. Jako příklad jsou zde zobrazeny mřížkové vektory pro jednoduchou mříž použitou v simulacích ve dvou rozměrech. Tato mřížka se obvykle označuje D2Q9, pro dva rozměry a devět vektorů: čtyři vektory podél severu, východu, jihu a západu, plus čtyři vektory do rohů jednotkového čtverce, plus vektor s oběma komponentami nula. Pak například vektor ${ displaystyle { vec {e}} _ {4} = (0, -1)}$, tj. míří přímo na jih a nemá tedy žádné ${ displaystyle x}$ složka ale a ${ displaystyle y}$ součást ${ displaystyle -1}$. Takže jedna z devíti složek celkové hustoty ve středním mřížkovém bodě, ${ displaystyle f_ {4} ({ vec {x}}, t)}$, je ta část tekutiny v bodě ${ displaystyle { vec {x}}}$ pohybující se přímo na jih, rychlostí v mřížkových jednotkách jedné.

Kroky, které vyvíjejí tekutinu v čase, jsou:^[1]

Kolizní krok

${ displaystyle f_ {i} ({ vec {x}}, t + delta _ {t}) = f_ {i} ({ vec {x}}, t) + { frac {f_ {i} ^ {eq} ({ vec {x}}, t) -f_ {i} ({ vec {x}}, t)} { tau _ {f}}} , !}$

což je Bhatnagar Gross a Krook (BGK)^[2] model relaxace do rovnováhy prostřednictvím srážek mezi molekulami tekutiny. ${ displaystyle f_ {i} ^ {eq} ({ vec {x}}, t)}$ je rovnovážná hustota ve směru i při aktuální hustotě. Model předpokládá, že se tekutina lokálně uvolňuje do rovnováhy v charakteristickém časovém měřítku ${ displaystyle tau _ {f}}$. Tato časová osa určuje kinematická viskozita čím větší je, tím větší je kinematická viskozita.

Krok streamování

${ displaystyle f_ {i} ({ vec {x}} + { vec {e}} _ {i}, t + 1) = f_ {i} ({ vec {x}}, t) , !}$

Tak jako ${ displaystyle f_ {i} ({ vec {x}}, t)}$ je, podle definice, hustota kapaliny v bodě ${ displaystyle { vec {x}}}$ v čase ${ displaystyle t}$, který se pohybuje rychlostí ${ displaystyle { vec {e}} _ {i}}$ za časový krok, poté v dalším časovém kroku ${ displaystyle t + 1}$ bude plynout do bodu ${ displaystyle { vec {x}} + { vec {e}} _ {i}}$.

Výhody

• LBM byl navržen od nuly, aby fungoval efektivně masivně paralelní architektury, od levného vloženého FPGA a DSP až do GPU a heterogenní klastry a superpočítače (dokonce is pomalou propojovací sítí). Umožňuje složitou fyziku a sofistikované algoritmy. Efektivita vede ke kvalitativně nové úrovni porozumění, protože umožňuje řešit problémy, ke kterým dříve nebylo možné přistupovat (nebo jen s nedostatečnou přesností).
• Metoda pochází z molekulárního popisu tekutiny a může přímo zahrnovat fyzikální termíny vyplývající ze znalosti interakce mezi molekulami. Proto je nepostradatelným nástrojem základního výzkumu, protože udržuje cyklus mezi zpracováním teorie a formulací odpovídajícího numerického modelu krátký.
• Automatizované předzpracování dat a generování sítě v čase, který představuje malý zlomek celkové simulace.
• Paralelní analýza dat, následné zpracování a vyhodnocení.
• Plně vyřešený vícefázový tok s malými kapičkami a bublinami.
• Plně vyřešený tok přes složité geometrie a porézní média.
• Složitý, spojený tok s přenosem tepla a chemickými reakcemi.

Omezení

Navzdory rostoucí popularitě LBM při simulaci složitých fluidních systémů má tento nový přístup určitá omezení. V současné době proudí vysoké Machovo číslo aerodynamika jsou pro LBM stále obtížné a chybí konzistentní termo-hydrodynamické schéma. Stejně jako u CFD založeného na Navier-Stokesovi však byly metody LBM úspěšně spojeny s tepelně specifickými řešeními umožňujícími simulační schopnost přenosu tepla (vedení na bázi pevných látek, konvekce a záření). U vícefázových / vícesložkových modelů je tloušťka rozhraní obvykle velká a poměr hustoty přes rozhraní je ve srovnání se skutečnými tekutinami malý. Nedávno tento problém vyřešili Yuan a Schaefer, kteří vylepšili modely od Shan a Chen, Swift a He, Chen a Zhang. Byli schopni dosáhnout poměru hustoty 1 000: 1 pouhou změnou stavová rovnice. Bylo navrženo použít Galileanovu transformaci k překonání omezení modelování vysokorychlostních toků tekutin.^[3]Široké aplikace a rychlý pokrok této metody za posledních dvacet let však prokázaly její potenciál ve výpočetní fyzice, včetně mikrofluidika:^{[Citace je zapotřebí ]} LBM vykazuje slibné výsledky v oblasti vysokých Knudsenovo číslo proudí.^{[Citace je zapotřebí ]}

Vývoj z metody LGA

LBM pochází z příhradové plynové automaty (LGA) metoda, kterou lze považovat za zjednodušený fiktivní model molekulární dynamiky, ve kterém jsou diskrétní prostor, čas a rychlosti částic. Například v 2-dimenzionálním Model FHP každý mřížový uzel je spojen se svými sousedy 6 mřížkovými rychlostmi na trojúhelníkové mřížce; v mřížovém uzlu mohou být buď 0 nebo 1 částice pohybující se danou mřížkovou rychlostí. Po časovém intervalu se každá částice přesune do sousedního uzlu ve svém směru; tento proces se nazývá krok šíření nebo streamování. Když více než jedna částice dorazí do stejného uzlu z různých směrů, srazí se a změní své rychlosti podle sady kolizních pravidel. Kroky streamování a kolize se střídají. Vhodná kolizní pravidla by měla zachovat počet částic (hmotnost), hybnost a energie před a po srážce. LGA trpí několika vrozenými vadami pro použití v hydrodynamických simulacích: nedostatek Galileova invariance pro rychlé toky, statistický šum a chudý Reynoldsovo číslo škálování s velikostí mřížky. LGA jsou však vhodné pro zjednodušení a rozšíření dosahu reakce difúze a molekulární dynamika modely.

Hlavní motivací pro přechod z LGA na LBM byla touha odstranit statistický šum nahrazením booleovského počtu částic v mřížkovém směru jeho průměrem souboru, tzv. Distribuční funkcí hustoty. Spolu s touto náhradou je pravidlo diskrétní kolize také nahrazeno spojitou funkcí známou jako operátor kolize. Ve vývoji LBM je důležitým zjednodušením aproximace operátoru srážky s Bhatnagar-Gross-Krook (BGK) relaxační termín. Tento model mřížky BGK (LBGK) zefektivňuje simulace a umožňuje flexibilitu transportních koeficientů. Na druhou stranu se ukázalo, že schéma LBM lze také považovat za speciální diskretizovanou formu spojité Boltzmannovy rovnice. Z Chapman-Enskogova teorie, lze obnovit řídící spojitost a Navier-Stokesovy rovnice z algoritmu LBM. Kromě toho je také přímo k dispozici z distribucí hustoty, a proto zde není nic navíc Poissonova rovnice řešit jako u tradičních metod CFD.

Mříže a D.nQm klasifikace

Lattice Boltzmann modely mohou být provozovány na řadě různých mřížek, jak kubických, tak trojúhelníkových, a s nebo bez zbytkových částic v diskrétní distribuční funkci.

Populární způsob klasifikace různých metod pomocí mřížky je D.nQm systém. Tady "Dn„znamená“n rozměry ", zatímco" Qm„znamená“m rychlosti ". Například D3Q15 je trojrozměrný mřížkový Boltzmannův model na kubické mřížce s přítomnými zbytkovými částicemi. Každý uzel má tvar krystalu a může dodat částice do 15 uzlů: každý ze 6 sousedních uzlů, které sdílejí povrch 8 sousedních uzlů sdílejících roh a sebe.^[4] (Model D3Q15 neobsahuje částice pohybující se do 12 sousedních uzlů, které sdílejí hranu; jejich přidáním by se vytvořil model „D3Q27“.)

Skutečná množství jako prostor a čas je třeba před simulací převést na mřížkové jednotky. Nedimenzionální veličiny, jako Reynoldsovo číslo, zůstat stejný.

Konverze mřížových jednotek

Ve většině simulací Lattice Boltzmann ${ displaystyle delta _ {x} , !}$ je základní jednotka pro rozteč mřížek, takže pokud je doménou délky ${ displaystyle L , !}$ má ${ displaystyle N , !}$ mřížových jednotek po celé své délce je prostorová jednotka jednoduše definována jako ${ displaystyle delta _ {x} = L / N , !}$. Rychlosti v příhradových Boltzmannových simulacích se obvykle uvádějí z hlediska rychlosti zvuku. Diskrétní časovou jednotku lze tedy uvést jako ${ displaystyle delta _ {t} = { frac { delta _ {x}} {C_ {s}}} , !}$, kde je jmenovatel ${ displaystyle C_ {s}}$ je fyzická rychlost zvuku.^[5]

Pro toky malého rozsahu (například ty, které jsou vidět v porézní média skutečná rychlost zvuku může vést k nepřijatelně krátkým časovým krokům. Je proto běžné zvedat mřížku Machovo číslo na něco mnohem většího než skutečné Machovo číslo, a kompenzovat to zvýšením viskozita také v zájmu zachování Reynoldsovo číslo.^[6]

Simulace směsí

Simulace vícefázových / vícesložkových toků byla pro konvenční CFD vždy výzvou, protože se pohybovala a byla deformovatelná rozhraní. Více zásadně, rozhraní mezi různými fáze (kapalina a pára) nebo složky (např. olej a voda) pocházejí ze specifických interakcí mezi molekulami tekutin. Proto je obtížné implementovat takové mikroskopické interakce do makroskopické Navier-Stokesovy rovnice. V LBM však kinetika částic poskytuje relativně snadný a konzistentní způsob začlenění základních mikroskopických interakcí úpravou operátoru kolize. Bylo vyvinuto několik vícefázových / vícesložkových modelů LBM. Zde jsou fázové separace generovány automaticky z dynamiky částic a pro manipulaci s rozhraními není nutné žádné speciální zacházení jako v tradičních metodách CFD. Úspěšné aplikace vícefázových / vícesložkových modelů LBM lze nalézt v různých komplexních fluidních systémech, včetně nestability rozhraní, bublina /kapička dynamika, smáčení na pevných površích, mezifázovém skluzu a elektrohydrodynamických deformacích kapiček.

Nedávno byl navržen Boltzmannův model pro simulaci spalování plynných směsí, který je schopen přizpůsobit se významným změnám hustoty při nízkém Machově počtu.^[7]

V tomto ohledu stojí za povšimnutí, že jelikož se LBM zabývá větší sadou polí (ve srovnání s konvenčními CFD), představuje simulace směsí reaktivních plynů některé další výzvy, pokud jde o poptávku po paměti, pokud jde o velké podrobné spalovací mechanismy jsou znepokojeni. Tyto problémy však lze řešit využitím technik systematického snižování modelů.^[8][9][10]

Tepelná mříž-Boltzmannova metoda

V současné době (2009) spadá metoda tepelné mřížky a Boltzmanna (TLBM) do jedné ze tří kategorií: vícerychlostní přístup,^[11] pasivní skalární přístup,^[12] a distribuce tepelné energie.^[13]

Odvození Navier-Stokesovy rovnice z diskrétního LBE

Počínaje Boltzmannovou rovnicí s diskrétní mřížkou (kvůli použitému operátoru srážky se také označuje jako LBGK rovnice). Nejprve provedeme expanzi Taylorovy řady druhého řádu kolem levé strany LBE. Toto je vybráno kvůli jednodušší Taylorově expanzi 1. řádu, protože diskrétní LBE nelze obnovit. Když provádíte expanzi Taylorovy řady 2. řádu, nulový derivační člen a první člen vpravo se zruší, přičemž zůstane pouze první a druhý derivační člen Taylorovy expanze a operátoru kolize:

${ displaystyle f_ {i} ({ vec {x}} + { vec {e}} _ {i} delta _ {t}, t + delta _ {t}) = f_ {i} ({ vec {x}}, t) + { frac { delta _ {t}} { tau _ {f}}} (f_ {i} ^ {eq} -f_ {i}).}$

Pro zjednodušení pište ${ displaystyle f_ {i} ({ vec {x}}, t)}$ tak jako ${ displaystyle f_ {i}}$. Mírně zjednodušené Taylorovo rozšíření je potom následující, kde „:“ je produkt dvojtečky mezi dyady:

${ displaystyle { frac { částečné f_ {i}} { částečné t}} + { vec {e}} _ {i} cdot nabla f_ {i} + doleva ({ frac {1} {2}} { vec {e}} _ {i} { vec {e}} _ {i}: nabla nabla f_ {i} + { vec {e}} _ {i} cdot nabla { frac { částečné f_ {i}} { částečné t}} + { frac {1} {2}} { frac { částečné ^ {2} f_ {i}} { částečné t ^ { 2}}} right) = { frac {1} { tau}} (f_ {i} ^ {eq} -f_ {i}).}$

Expanzí funkce distribuce částic do rovnovážných a nerovnovážných složek a použitím expanze Chapman-Enskog, kde ${ displaystyle K}$ je Knudsenovo číslo, může být Taylorem rozšířený LBE rozložen na různé velikosti řádu pro Knudsenovo číslo, aby se získaly správné rovnice kontinua:

${ displaystyle f_ {i} = f_ {i} ^ { text {eq}} + Kf_ {i} ^ { text {neq}},}$

${ displaystyle f_ {i} ^ { text {neq}} = f_ {i} ^ {(1)} + Kf_ {i} ^ {(2)} + O (K ^ {2}).}$

Rovnovážné a nerovnovážné rozdělení uspokojuje následující vztahy k jejich makroskopickým proměnným (ty budou použity později, jakmile budou rozdělení částic ve „správné formě“, aby bylo možné měřítko z částice na makroskopickou úroveň):

${ displaystyle rho = součet _ {i} f_ {i} ^ { text {eq}},}$

${ displaystyle rho { vec {u}} = součet _ {i} f_ {i} ^ { text {eq}} { vec {e}} _ {i},}$

${ displaystyle 0 = součet _ {i} f_ {i} ^ {(k)} qquad { text {pro}} k = 1,2,}$

${ displaystyle 0 = součet _ {i} f_ {i} ^ {(k)} { vec {e}} _ {i}.}$

Rozšíření Chapman-Enskog je pak:

${ displaystyle { frac { částečné} { částečné t}} = K { frac { částečné} { částečné t_ {1}}} + K ^ {2} { frac { částečné} { částečné t_ {2}}} qquad { text {for}} t_ {2} ({ text {difuzní časové měřítko}}) ll t_ {1} ({ text {konvektivní časové měřítko}}), }$

${ displaystyle { frac { částečné} { částečné x}} = K { frac { částečné} { částečné x_ {1}}}.}$

Nahrazením rozšířené rovnováhy a nerovnováhy do Taylorovy expanze a rozdělení do různých řádů ${ displaystyle K}$, rovnice kontinua jsou téměř odvozeny.

Pro objednávku ${ displaystyle K ^ {0}}$:

${ displaystyle { frac { částečné f_ {i} ^ { text {eq}}} { částečné t_ {1}}} + { vec {e}} _ {i} nabla _ {1} f_ {i} ^ { text {eq}} = - { frac {f_ {i} ^ {(1)}} { tau}}.}$

Pro objednávku ${ displaystyle K ^ {1}}$:

${ displaystyle { frac { částečné f_ {i} ^ {(1)}} { částečné t_ {1}}} + { frac { částečné f_ {i} ^ { text {eq}}} { částečné t_ {2}}} + { vec {e}} _ {i} nabla f_ {i} ^ {(1)} + { frac {1} {2}} { vec {e}} _ {i} { vec {e}} _ {i}: nabla nabla f_ {i} ^ { text {eq}} + { vec {e}} _ {i} cdot nabla { frac { částečné f_ {i} ^ { text {eq}}} { částečné t_ {1}}} + { frac {1} {2}} { frac { částečné ^ {2} f_ {i } ^ { text {eq}}} { částečné t_ {1} ^ {2}}} = - { frac {f_ {i} ^ {(2)}} { tau}}.}$

Potom lze druhou rovnici zjednodušit pomocí nějaké algebry a první rovnici na následující:

${ displaystyle { frac { částečné f_ {i} ^ { text {eq}}} { částečné t_ {2}}} + vlevo (1 - { frac {1} {2 tau}} vpravo) vlevo [{ frac { částečné f_ {i} ^ {(1)}} { částečné t_ {1}}} + { vec {e}} _ {i} nabla _ {1} f_ {i} ^ {(1)} right] = - { frac {f_ {i} ^ {(2)}} { tau}}.}$

Použitím vztahů mezi funkcemi distribuce částic a makroskopickými vlastnostmi shora se dosáhne rovnic hmotnosti a hybnosti:

${ displaystyle { frac { částečné rho} { částečné t}} + nabla cdot rho { vec {u}} = 0,}$

${ displaystyle { frac { částečné rho { vec {u}}} { částečné t}} + nabla cdot Pi = 0.}$

Tenzor toku hybnosti ${ displaystyle Pi}$ má následující formulář:

${ displaystyle Pi _ {xy} = součet _ {i} { vec {e}} _ {ix} { vec {e}} _ {iy} doleva [f_ {i} ^ {eq} + left (1 - { frac {1} {2 tau}} right) f_ {i} ^ {(1)} right],}$

kde ${ displaystyle { vec {e}} _ {ix} { vec {e}} _ {iy}}$ je zkratka pro druhou mocninu součtu všech složek ${ displaystyle { vec {e}} _ {i}}$ (tj. ${ displaystyle textstyle left ( sum _ {x} { vec {e}} _ {ix} right) ^ {2} = sum _ {x} sum _ {y} { vec {e }} _ {ix} { vec {e}} _ {iy}}$) a rovnovážné rozdělení částic s druhým řádem srovnatelné s Navier-Stokesovou rovnicí je:

${ displaystyle f_ {i} ^ { text {eq}} = omega _ {i} rho left (1 + { frac {{ vec {e}} _ {i} { vec {u} }} {c_ {s} ^ {2}}} + { frac {({ vec {e}} _ {i} { vec {u}}) ^ {2}} {2c_ {s} ^ { 4}}} - { frac {{ vec {u}} ^ {2}} {2c_ {s} ^ {2}}} right).}$

Rovnovážné rozdělení je platné pouze pro malé nebo malé rychlosti Machova čísla. Vložení rovnovážné distribuce zpět do tenzoru toku vede k:

${ displaystyle Pi _ {xy} ^ {(0)} = součet _ {i} { vec {e}} _ {ix} { vec {e}} _ {iy} f_ {i} ^ { eq} = p delta _ {xy} + rho u_ {x} u_ {y},}$

${ displaystyle Pi _ {xy} ^ {(1)} = left (1 - { frac {1} {2 tau}} right) sum _ {i} { vec {e}} _ {ix} { vec {e}} _ {iy} f_ {i} ^ {(1)} = nu left ( nabla _ {x} left ( rho { vec {u}} _ { y} right) + nabla _ {y} left ( rho { vec {u}} _ {x} right) right).}$

Nakonec Navier-Stokesova rovnice se získá za předpokladu, že odchylky hustoty jsou malé:

${ displaystyle rho left ({ frac { částečné { vec {u}} _ {x}} { částečné t}} + nabla _ {y} cdot { vec {u}} _ { x} { vec {u}} _ {y} vpravo) = - nabla _ {x} p + nu nabla _ {y} cdot left ( nabla _ {x} left ( rho { vec {u}} _ {y} right) + nabla _ {y} left ( rho { vec {u}} _ {x} right) right).}$

Tento původ vychází z práce Chena a Doolena.^[14]

Matematické rovnice pro simulace

Spojitá Boltzmannova rovnice je evoluční rovnice pro funkci rozdělení pravděpodobnosti jedné částice ${ displaystyle f ({ vec {x}}, { vec {e}} _ {i}, t)}$ a funkce distribuce vnitřní hustoty energie ${ displaystyle g ({ vec {x}}, { vec {e}} _ {i}, t)}$ (He et al.) Jsou každý jednotlivě:

${ displaystyle částečné _ {t} f + ({ vec {e}} cdot nabla) f + F částečné _ {v} f = omega (f),}$

${ displaystyle částečné _ {t} g + ({ vec {e}} cdot nabla) g + G částečné _ {v} f = omega (g),}$

kde ${ displaystyle g ({ vec {x}}, { vec {e}} _ {i}, t)}$ je spojen s ${ displaystyle f ({ vec {x}}, { vec {e}} _ {i}, t)}$ podle

${ displaystyle g ({ vec {x}}, { vec {e}} _ {i}, t) = { frac {({ vec {e}} - { vec {u}}) ^ {2}} {2}} f ({ vec {x}}, { vec {e}} _ {i}, t),}$

${ displaystyle F}$ je vnější síla, ${ displaystyle Omega}$ je kolizní integrál a ${ displaystyle { vec {e}}}$ (označeno také ${ displaystyle { vec { xi}}}$ v literatuře) je mikroskopická rychlost. Vnější síla ${ displaystyle F}$ souvisí s teplotou vnější síly ${ displaystyle G}$ vztahem níže. Typickým testem pro vlastní model je Rayleigh – Bénardova konvekce pro ${ displaystyle G}$.

${ displaystyle F = { frac {{ vec {G}} cdot ({ vec {e}} - { vec {u}})} {RT}} f ^ { text {eq}}, }$

${ displaystyle { vec {G}} = beta g_ {0} (T-T_ {avg}) { vec {k}}.}$

Makroskopické proměnné, jako je hustota ${ displaystyle rho}$rychlost ${ displaystyle { vec {u}}}$a teplota ${ displaystyle T}$ lze vypočítat jako momenty funkce rozdělení hustoty:

${ displaystyle rho = int f , d { vec {e}},}$

${ displaystyle rho { vec {u}} = int { vec {e}} f , d { vec {e}},}$

${ displaystyle { frac { rho DRT} {2}} = rho epsilon = int g , d { vec {e}}.}$

Mřížková Boltzmannova metoda diskretizuje tuto rovnici omezením prostoru na mřížku a rychlostního prostoru na diskrétní sadu mikroskopických rychlostí (tj. ${ displaystyle { vec {e}} _ {i} = ({ vec {e}} _ {ix}, { vec {e}} _ {iy})}$). Například mikroskopické rychlosti v D2Q9, D3Q15 a D3Q19 jsou uvedeny jako:

${ displaystyle { vec {e}} _ {i} = c krát { začátek {případů} (0,0) & i = 0 (1,0), (0,1), (- 1, 0), (0, -1) & i = 1,2,3,4 (1,1), (- 1,1), (- 1, -1), (1, -1) & i = 5 , 6,7,8 konec {případů}}}$

${ displaystyle { vec {e}} _ {i} = c krát { začátek {případů} (0,0,0) & i = 0 ( pm 1,0,0), (0, pm 1,0), (0,0, pm 1) & i = 1,2, ..., 5,6 ( pm 1, pm 1, pm 1) & i = 7,8 ,. .., 13,14 end {cases}}}$

${ displaystyle { vec {e}} _ {i} = c krát { začátek {případů} (0,0,0) & i = 0 ( pm 1,0,0), (0, pm 1,0), (0,0, pm 1) & i = 1,2, ..., 5,6 ( pm 1, pm 1,0), ( pm 1,0, pm 1), (0, pm 1, pm 1) & i = 7,8, ..., 17,18 end {případů}}}$

Jednofázová diskretizovaná Boltzmannova rovnice pro hustotu hmoty a hustotu vnitřní energie jsou:

${ displaystyle f_ {i} ({ vec {x}} + { vec {e}} _ {i} delta _ {t}, t + delta _ {t}) - f_ {i} ({ vec {x}}, t) + F_ {i} = Omega (f),}$

${ displaystyle g_ {i} ({ vec {x}} + { vec {e}} _ {i} delta _ {t}, t + delta _ {t}) - g_ {i} ({ vec {x}}, t) + G_ {i} = Omega (g).}$

Provozovatel srážky je často aproximován provozovatelem srážky BGK za podmínky, že splňuje také zákony zachování:

${ displaystyle Omega (f) = { frac {1} { tau _ {f}}} (f_ {i} ^ { text {eq}} - f_ {i}),}$

${ displaystyle Omega (g) = { frac {1} { tau _ {g}}} (g_ {i} ^ { text {eq}} - g_ {i}).}$

V operátoru kolize ${ displaystyle f_ {i} ^ { text {eq}}}$ je diskrétní, rovnovážná distribuční funkce pravděpodobnosti částic^{[vyjasnit ]}. V D2Q9 a D3Q19 je níže ukázán nestlačitelný tok v kontinuální a diskrétní formě D, R, a T jsou rozměr, univerzální plynová konstanta a absolutní teplota. Částečná derivace pro spojitou až diskrétní formu je poskytována jednoduchou derivací s přesností druhého řádu.

${ displaystyle f ^ { text {eq}} = { frac { rho} {(2 pi RT) ^ {D / 2}}} e ^ {- { frac {({ vec {e} } - { vec {u}}) ^ {2}} {2RT}}}}$

${ displaystyle = { frac { rho} {(2 pi RT) ^ {D / 2}}} e ^ {- { frac {({ vec {e}}) ^ {2}} {2RT }}} e ^ {{ frac {{ vec {e}} { vec {u}}} {RT}} - { frac {{ vec {u}} ^ {2}} {2RT}} }}$

${ displaystyle = { frac { rho} {(2 pi RT) ^ {D / 2}}} e ^ {- { frac {({ vec {e}}) ^ {2}} {2RT }}} left (1 + { frac {{ vec {e}} { vec {u}}} {RT}} + { frac {({ vec {e}} { vec {u} }) ^ {2}} {2 (RT) ^ {2}}} - { frac {{ vec {u}} ^ {2}} {2RT}} + ... right)}$

Pronájem ${ displaystyle c = { sqrt {3RT}}}$ přináší konečný výsledek:

${ displaystyle f_ {i} ^ {eq} = omega _ {i} rho left (1 + { frac {3 { vec {e}} _ {i} { vec {u}}} { c ^ {2}}} + { frac {9 ({ vec {e}} _ {i} { vec {u}}) ^ {2}} {2c ^ {4}}} - { frac {3 ({ vec {u}}) ^ {2}} {2c ^ {2}}} doprava)}$

${ displaystyle g ^ {eq} = { frac { rho ({ vec {e}} - { vec {u}}) ^ {2}} {2 (2 pi RT) ^ {D / 2 }}} e ^ {- { frac {({ vec {e}} - { vec {u}}) ^ {2}} {2RT}}}}$

${ displaystyle omega _ {i} = { začátek {případů} 4/9 & i = 0 1/9 & i = 1,2,3,4 1/36 & i = 5,6,7,8 konec {případů}}}$

${ displaystyle omega _ {i} = { začátek {případů} 1/3 & i = 0 1/18 & i = 1,2, ..., 5,6 1/36 & i = 7,8, .. ., 17,18 konec {případů}}}$

Vzhledem k tomu, že již bylo na jednosložkovém toku provedeno mnoho práce, bude diskutováno následující TLBM. Vícesložkový / vícefázový TLBM je také zajímavější a užitečnější než jen jedna součást. Aby byl v souladu s aktuálním výzkumem, definujte sadu všech komponent systému (tj. Stěny porézních médií, více tekutin / plynů atd.) ${ displaystyle Psi}$ s prvky ${ displaystyle sigma _ {j}}$.

${ displaystyle f_ {i} ^ { sigma} ({ vec {x}} + { vec {e}} _ {i} delta _ {t}, t + delta _ {t}) - f_ { i} ^ { sigma} ({ vec {x}}, t) + F_ {i} = { frac {1} { tau _ {f} ^ { sigma}}} (f_ {i} ^ { sigma, eq} ( rho ^ { sigma}, v ^ { sigma}) - f_ {i} ^ { sigma})}$

Relaxační parametr,${ displaystyle tau _ {f} ^ { sigma _ {j}} , !}$, souvisí s kinematická viskozita,${ displaystyle nu _ {f} ^ { sigma _ {j}} , !}$, následujícím vztahem:

${ displaystyle nu _ {f} ^ { sigma _ {j}} = ( tau _ {f} ^ { sigma _ {j}} - 0,5) c_ {s} ^ {2} delta _ { t}.}$

The momenty z ${ displaystyle f_ {i} , !}$ uveďte místní konzervovaná množství. Hustota je dána vztahem

${ displaystyle rho = součet _ { sigma} součet _ {i} f_ {i} , !}$

${ displaystyle rho epsilon = součet _ {i} g_ {i} , !}$

${ displaystyle rho ^ { sigma} = součet _ {i} f_ {i} ^ { sigma} , !}$

a vážená průměrná rychlost, ${ displaystyle { vec {u '}} , !}$a místní hybnost jsou dány vztahem

${ displaystyle { vec {u '}} = left ( sum _ { sigma} { frac { rho ^ { sigma} { vec {u ^ { sigma}}}}} { tau _ {f} ^ { sigma}}} vpravo) / vlevo ( sum _ { sigma} { frac { rho ^ { sigma}} { tau _ {f} ^ { sigma}}} že jo)}$

${ displaystyle rho ^ { sigma} { vec {u ^ { sigma}}} = součet _ {i} f_ {i} ^ { sigma} { vec {e}} _ {i}. }$

${ displaystyle v ^ { sigma} = { vec {u '}} + { frac { tau _ {f} ^ { sigma}} { rho ^ { sigma}}}} { vec {F }} ^ { sigma}}$

Ve výše uvedené rovnici pro rovnovážnou rychlost ${ displaystyle v ^ { sigma} , !}$, ${ displaystyle { vec {F}} ^ { sigma} , !}$ termín je interakční síla mezi komponentou a ostatními komponentami. Stále je předmětem mnoha diskusí, protože je to obvykle ladicí parametr, který určuje, jak interagují kapalina-kapalina, kapalina-plyn atd. Frank a kol. seznam aktuálních modelů pro tento silový člen. Běžně používané derivace jsou Gunstensenův chromodynamický model, Swiftův přístup založený na volné energii pro systémy kapalina / pára a binární tekutiny, Heho model založený na intermolekulární interakci, přístup Inamuro a přístup Lee a Lin.^[15]

Následuje obecný popis pro ${ displaystyle { vec {F}} ^ { sigma} , !}$ jak uvádí několik autorů.^[16][17]

${ displaystyle { vec {F}} ^ { sigma} = - psi ^ { sigma} ({ vec {x}}) sum _ { sigma _ {j}} H ^ { sigma sigma _ {j}} ({ vec {x}}, { vec {x}} ') sum _ {i} psi ^ { sigma _ {j}} ({ vec {x}} + { vec {e}} _ {i}) { vec {e}} _ {i} , !}$

${ displaystyle psi ({ vec {x}}) , !}$ je efektivní hmotnost a ${ displaystyle H ({ vec {x}}, { vec {x}} ') , !}$ je Greenova funkce představující mezičásticovou interakci s ${ displaystyle { vec {x}} ', !}$ jako sousední stránka. Uspokojující ${ displaystyle H ({ vec {x}}, { vec {x}} ') = H ({ vec {x}}', { vec {x}}) , !}$ a kde ${ displaystyle H ({ vec {x}}, { vec {x}} ')> 0 , !}$ představuje odpudivé síly. U D2Q9 a D3Q19 to vede k

${ displaystyle H ^ { sigma sigma _ {j}} ({ vec {x}}, { vec {x}} ') = { begin {cases} h ^ { sigma sigma _ {j }} & left | { vec {x}} - { vec {x}} ' right | leq c 0 & left | { vec {x}} - { vec {x}}' right |> c end {cases}}}$

${ displaystyle H ^ { sigma sigma _ {j}} ({ vec {x}}, { vec {x}} ') = { begin {cases} h ^ { sigma sigma _ {j }} & left | { vec {x}} - { vec {x}} ' right | = c h ^ { sigma sigma _ {j}} / 2 & left | { vec { x}} - { vec {x}} ' right | = { sqrt {2c}} 0 & { text {jinak}} konec {případů}}}$

Efektivní hmotnost navržená Shanem a Chenem používá následující efektivní hmotnost pro a jednosložkový vícefázový systém. The stavová rovnice je také uveden za podmínky jedné složky a vícefázového.

${ displaystyle psi ({ vec {x}}) = psi ( rho ^ { sigma}) = rho _ {0} ^ { sigma} vlevo [1-e ^ {(- rho ^ { sigma} / rho _ {0} ^ { sigma})} vpravo] , !}$

${ displaystyle p = c_ {s} ^ {2} rho + c_ {0} h [ psi ({ vec {x}})] ^ {2} , !}$

Zatím se zdá, že ${ displaystyle rho _ {0} ^ { sigma} , !}$ a ${ displaystyle h ^ { sigma sigma _ {j}} , !}$ jsou volné konstanty pro vyladění, ale jakmile jsou zapojeny do systému stavová rovnice (EOS), musí uspokojit termodynamické vztahy v kritickém bodě tak, že ${ displaystyle ( částečné P / částečné { rho}) _ {T} = ( částečné ^ {2} P / částečné { rho ^ {2}}) _ {T} = 0 , ! }$ a ${ displaystyle p = p_ {c} , !}$. Pro EOS ${ displaystyle c_ {0} , !}$ je 3,0 pro D2Q9 a D3Q19, zatímco se rovná 10,0 pro D3Q15.^[18]

Později to ukázali Yuan a Schaefer^[19] že je třeba změnit efektivní hmotnostní hustotu, aby se simuloval přesnější vícefázový tok. Porovnali Shan a Chen (SC), Carnahan-Starling (C – S), van der Waals (vdW), Redlich – Kwong (R – K), Redlich – Kwong Soave (RKS) a Peng – Robinson (P– R) EOS. Jejich výsledky odhalily, že SC EOS byl nedostatečný a že C – S, P – R, R – K a RKS EOS jsou přesnější při modelování vícefázového toku jedné komponenty.

Pro populární izotermické mřížkové Boltzmannovy metody jsou to jediné konzervované veličiny. Tepelné modely také šetří energii, a proto mají další konzervované množství:

${ displaystyle rho theta + rho uu = součet _ {i} f_ {i} { vec {e}} _ {i} { vec {e}} _ {i}.}$

Aplikace

Během posledních let se LBM ukázal jako výkonný nástroj pro řešení problémů v různých délkových a časových měřítcích. Mezi aplikace LBM patří:

• Porézní toky médií
• Biomedicínské toky
• Vědy o Zemi (filtrace půdy).
• Energetické vědy (palivové články^[20]).

externí odkazy

• Metoda LBM
• Entropická mřížková Boltzmannova metoda (ELBM)
• dsfd.org: Web výroční série konferencí DSFD (1986 - nyní), kde jsou diskutovány pokroky v teorii a aplikaci mřížkové Boltzmannovy metody
• Webové stránky výroční konference ICMMES o mřížových Boltzmannových metodách a jejich aplikacích

Další čtení

• Deutsch, Andreas; Sabine Dormann (2004). Buněčné automatické modelování formování biologického vzoru. Birkhäuser Verlag. ISBN  978-0-8176-4281-5.
• Succi, Sauro (2001). Lattice Boltzmann rovnice pro dynamiku tekutin a dále. Oxford University Press. ISBN  978-0-19-850398-9.
• Wolf-Gladrow, Dieter (2000). Mřížkové plynové celulární automaty a mřížkové Boltzmannovy modely. Springer Verlag. ISBN  978-3-540-66973-9.
• Sukop, Michael C .; Daniel T. Thorne, Jr. (2007). Lattice Boltzmann Modeling: An Introduction for Geoscientists and Engineers. Springer. ISBN  978-3-540-27981-5.
• Jian Guo Zhou (2004). Lattice Boltzmann metody pro mělké vodní toky. Springer. ISBN  978-3-540-40746-1.
• He, X., Chen, S., Doolen, G. (1998). Nový tepelný model pro Lattice Boltzmannovu metodu v nestlačitelném limitu. Akademický tisk.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
• Guo, Z. L .; Shu, C (2013). Lattice Boltzmann metoda a její aplikace ve strojírenství. World Scientific Publishing.
• Huang, H .; M.C. Sukop; X-Y. Lu (2015). Vícefázové Lattice Boltzmannovy metody: teorie a aplikace. Wiley-Blackwell. ISBN  978-1-118-97133-8.
• Krüger, T .; Kusumaatmaja, H .; Kuzmin, A .; Shardt, O .; Silva, G .; Viggen, E. M. (2017). Lattice Boltzmann metoda: Zásady a praxe. Springer Verlag. ISBN  978-3-319-44647-9.

Poznámky