Metody Monte Carlo pro stanovení ceny opcí - Monte Carlo methods for option pricing

v matematické finance, a Opční model Monte Carlo používá Metody Monte Carlo ^{[Poznámky 1]} vypočítat hodnotu volba s více zdroji nejistoty nebo se složitými rysy.^[1] První aplikace na stanovení ceny opcí byla od Phelim Boyle v roce 1977 (pro Evropské možnosti ). V roce 1996 M. Broadie a P. Glasserman ukázali, jak stanovit cenu Asijské možnosti od Monte Carla. Důležitým vývojem bylo zavedení metod Monte Carlo v roce 1996 Carriere pro možnosti funkcí časného cvičení.

Metodologie

Ve smyslu teorie, Ocenění Monte Carlo se opírá o rizikově neutrální ocenění.^[1] Zde je cena opce zlevněné očekávaná hodnota; vidět neutralita rizika a racionální ceny. Použitá technika je pak (1) ke generování velkého počtu možných, ale náhodný, cenové cesty pro základní (nebo podřízené osoby) prostřednictvím simulace a (2) poté vypočítat přidružené cvičení hodnota (tj. „výplata“) možnosti pro každou cestu. (3) Tyto výplaty jsou poté zprůměrovány a (4) zlevněny dodnes. Tento výsledek je hodnotou možnosti.^[2]

Tento přístup, i když je relativně přímočarý, umožňuje zvýšit složitost:

• An opce na kapitál lze modelovat s jedním zdrojem nejistoty: cenou podkladového aktiva skladem v otázce.^[2] Zde je cena podkladový nástroj ${ displaystyle S_ {t} ,}$ je obvykle modelován tak, že následuje a geometrický Brownův pohyb s konstantním driftem ${ displaystyle mu ,}$ a volatilita ${ displaystyle sigma ,}$. Tak: ${ displaystyle dS_ {t} = mu S_ {t} , dt + sigma S_ {t} , dW_ {t} ,}$, kde ${ displaystyle dW_ {t} ,}$ je nalezen přes a náhodný výběr od a normální distribuce; vidět dále pod Black – Scholes. Protože podkladový náhodný proces je stejný, pro dostatek cenových cest je hodnota a evropská varianta tady by mělo být stejně jako u Black Scholes. Obecněji se však používá simulace cesta závislá exotické deriváty, jako Asijské možnosti.

• V ostatních případech může být zdroj nejistoty odstraněn. Například pro opce na dluhopisy^[3] podklad je a pouto, ale zdrojem nejistoty je anualizovaný úroková sazba (tj krátká sazba ). Zde pro každý náhodně vygenerovaný výnosová křivka pozorujeme jiný výsledná cena dluhopisu v den uplatnění opce; tato cena dluhopisu je poté vstupem pro stanovení výplaty opce. Stejný přístup se používá při oceňování výměny,^[4] kde hodnota podkladu vyměnit je také funkcí vyvíjející se úrokové sazby. (Vzhledem k tomu, že tyto možnosti jsou běžněji oceňovány pomocí příhradové modely, jak je uvedeno výše, pro cestu závislou úrokové deriváty - jako SOT - simulace je hlavní použitá technika.^[5]) Modely použité k simulaci úrokové sazby viz dále pod Krátký model; „vytvořit realistické simulace úrokových sazeb“ Vícefaktorové modely s krátkou sazbou jsou někdy zaměstnáni.^[6] Chcete-li použít simulaci na IRD, musí analytik nejprve „kalibrovat“ parametry modelu, aby ceny dluhopisů vytvořené modelem nejlépe se hodí sledované tržní ceny.

• Metody Monte Carlo umožňují a skládání nejistoty.^[7] Například pokud je podkladový aktivum denominováno v cizí měně, dalším zdrojem nejistoty bude směnný kurz: podkladová cena a směnný kurz musí být samostatně simulovány a poté kombinovány, aby se určila hodnota podkladového aktiva v místní měně. U všech těchto modelů korelace je rovněž začleněn mezi podkladové zdroje rizika; vidět Choleský rozklad # Simulace Monte Carlo. Další komplikace, jako například dopad ceny zboží nebo inflace na podkladové, lze také zavést. Protože simulace dokáže zvládnout složité problémy tohoto druhu, je často používána při analýze skutečné možnosti^[1] kde rozhodnutí managementu v jakémkoli bodě je funkcí více základních proměnných.

• Simulaci lze obdobně použít k ocenění opcí, kde výplata závisí na hodnotě více podkladových aktiv^[8] jako a Možnost koše nebo Možnost duhy. Zde je rovněž začleněna korelace mezi výnosy aktiv.^{[podle koho? ]}

• Simulaci Monte Carlo lze podle potřeby použít s jakýmkoli typem rozdělení pravděpodobnosti, včetně změny distribuce: modelář není omezen na normální nebo lognormální vrací;^[9] viz například Metoda Datar – Mathews pro ocenění reálných opcí. Navíc stochastický proces podkladu (podkladů) lze specifikovat tak, aby vykazoval skoky nebo průměrná reverze nebo oboje; díky této vlastnosti je simulace primární metodou ocenění použitelnou pro energetické deriváty.^[10] Některé modely dále umožňují (náhodně) měnit se statistický (a další) parametry zdrojů nejistoty. Například v modelech zahrnujících stochastická volatilita, volatilita základních změn v čase; vidět Hestonův model.^{[Citace je zapotřebí ]}

Nejméně náměstí Monte Carlo

Least Square Monte Carlo je technika pro oceňování možností předčasného cvičení (tj. Bermudan nebo americké možnosti). Poprvé ji představil Jacques Carriere v roce 1996.^[11]

Je založen na iteraci dvoustupňového postupu:

• Nejprve, a zpětná indukce provádí se proces, při kterém je rekurzivně přiřazena hodnota každému stavu v každém časovém kroku. Hodnota je definována jako regrese nejmenších čtverců proti tržní ceně opční hodnoty Stát a čas (-krok). Hodnota opce pro tuto regresi je definována jako hodnota možností cvičení (v závislosti na tržní ceně) plus hodnota hodnoty timestep, k níž by toto cvičení vedlo (definováno v předchozím kroku procesu).^[12]
• Zadruhé, když jsou pro každý časový údaj ohodnoceny všechny státy, je hodnota opce vypočítána pohybem časových kroků a stavů provedením optimálního rozhodnutí o uplatnění opce v každém kroku na základě cenové cesty a hodnoty státu, který by mělo za následek. Tento druhý krok lze provést s několika cenovými cestami a přidat tak stochastický efekt postupu.^[11]

aplikace

Jak je vidět, metody Monte Carlo jsou obzvláště užitečné při oceňování opcí s více zdroji nejistoty nebo se složitými rysy, díky nimž by bylo obtížné ocenit je pomocí přímé Black – Scholes -styl nebo na mřížce výpočet. Tato technika se tak široce používá při oceňování cest závislých struktur, jako je podívej se zpátky- a Asijské možnosti^[9] a v analýza skutečných možností.^[1][7] Navíc, jak je uvedeno výše, modelář není omezen, pokud jde o předpokládané rozdělení pravděpodobnosti.^[9]

Naopak, pokud analytická technika pro ocenění možnosti existuje - nebo dokonce a numerická technika, například (upravený) cenový strom^[9]—Metody Monte Carlo budou obvykle příliš pomalé na to, aby byly konkurenceschopné. Jsou v jistém smyslu metodou poslední instance;^[9] vidět dále pod Metody Monte Carlo ve financích. S rychlejší výpočetní schopností je toto výpočetní omezení méně důležité.^{[podle koho? ]}

Viz také

• Porovnání rizikových doplňků Microsoft Excel

Reference

Poznámky

Zdroje

Primární reference

• Boyle, Phelim P. (1977). „Možnosti: přístup Monte Carlo“. Journal of Financial Economics. 4 (3): 323–338. doi:10.1016 / 0304-405x (77) 90005-8. Citováno 28. června 2012.
• Broadie, M .; Glasserman, P. (1996). „Odhad derivátů cen za zabezpečení pomocí simulace“ (PDF). Věda o řízení. 42 (2): 269–285. CiteSeerX  10.1.1.196.1128. doi:10,1287 / měs. 42.2.269. Citováno 28. června 2012.
• Longstaff, F.A .; Schwartz, E.S. (2001). „Oceňování amerických možností pomocí simulace: jednoduchý přístup nejmenších čtverců“. Přehled finančních studií. 14: 113–148. CiteSeerX  10.1.1.155.3462. doi:10.1093 / rfs / 14.1.113. Citováno 28. června 2012.

Bibliografie

• Bruno Dupire (1998). Monte Carlo: metodiky a aplikace pro tvorbu cen a řízení rizik. Riziko.
• Paul Glasserman (2003). Metody Monte Carlo ve finančním inženýrství. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-00451-8.
• Peter Jaeckel (2002). Metody Monte Carlo ve financích. John Wiley and Sons. ISBN  978-0-471-49741-7.
• Don L. McLeish (2005). Simulace a finance Monte Carlo. ISBN  978-0-471-67778-9.
• Christian P. Robert, George Casella (2004). Statistické metody Monte Carlo. ISBN  978-0-387-21239-5.

externí odkazy

Online nástroje

• Monte Carlo simulovalo časové řady cen akcií a generátor náhodných čísel (umožňuje výběr distribuce), Steven Whitney

Diskusní příspěvky a dokumenty

• Simulace Monte Carlo Prof. Don M. Šance, Louisianská státní univerzita
• Stanovení cen komplexních možností pomocí jednoduché simulace Monte Carlo, Peter Fink (dotisk na quantnotes.com)
• Simulace MonteCarlo v oblasti financí, global-derivatives.com
• Oceňování derivátů Monte Carlo, pokračování, Timothy L. Krehbiel, Oklahoma State University – Stillwater
• Aplikace metod Monte Carlo ve financích: stanovení cen opcí, Y. Lai a J. Spanier, Claremont Graduate University
• Ceny opcí pomocí simulace, Bernt Arne Ødegaard, Norská škola managementu
• Ceny a zajištění exotických možností se simulacemi Monte Carlo, Augusto Perilla, Diana Oancea, prof. Michael Rockinger, HEC Lausanne
• Metoda Monte Carlo, riskglossary.com