Metoda Monte Carlo ve statistické fyzice - Monte Carlo method in statistical physics

Monte Carlo ve statistické fyzice odkazuje na použití Metoda Monte Carlo na problémy v statistická fyzika nebo statistická mechanika.

Přehled

Obecnou motivací k použití metody Monte Carlo ve statistické fyzice je vyhodnocení integrálu s více proměnnými. Typický problém začíná u systému, pro který je hamiltonián známý, je při dané teplotě a následuje za Boltzmannova statistika. Chcete-li získat střední hodnotu nějaké makroskopické proměnné, řekněme A, je obecným přístupem výpočet, přes všechny fázový prostor, PS pro jednoduchost, střední hodnota A pomocí Boltzmannova rozdělení:

${ displaystyle langle A rangle = int _ {PS} A _ { vec {r}} { frac {e ^ {- beta E _ { vec {r}}}} {Z}} d { vec {r}}}$ .

kde ${ displaystyle E ({ vec {r}}) = E _ { vec {r}}}$ je energie systému pro daný stav definovaná vztahem ${ displaystyle { vec {r}}}$ - vektor se všemi stupni volnosti (například pro mechanický systém, ${ displaystyle { vec {r}} = left ({ vec {q}}, { vec {p}} right)}$ ), ${ displaystyle beta equiv 1 / k_ {b} T}$ a

${ displaystyle Z = int _ {PS} e ^ {- beta E _ { vec {r}}} d { vec {r}}}$

je funkce oddílu.

Jedním z možných přístupů k řešení tohoto integrálu s více proměnnými je přesný výčet všech možných konfigurací systému a výpočet průměrů podle libosti. To se děje v přesně řešitelných systémech a v simulacích jednoduchých systémů s několika částicemi. V realistických systémech může být naopak přesný výčet obtížné nebo nemožné implementovat.

U těchto systémů Integrace Monte Carlo (a nezaměňovat s Metoda Monte Carlo, který se používá k simulaci molekulárních řetězců). Hlavní motivací pro jeho použití je skutečnost, že s integrací Monte Carlo jde chyba jako ${ displaystyle 1 / { sqrt {N}}}$ , nezávisle na dimenzi integrálu. Dalším důležitým konceptem souvisejícím s integrací Monte Carla je vzorkování důležitosti, technika, která zlepšuje výpočetní čas simulace.

V následujících částech je popsána obecná implementace integrace Monte Carlo pro řešení tohoto druhu problémů.

Vzorkování důležitosti

Odhad, v rámci integrace Monte Carlo, integrálu definovaného jako

${ displaystyle langle A rangle = int _ {PS} A _ { vec {r}} e ^ {- beta E _ { vec {r}}} d { vec {r}} / Z}$

je

${ displaystyle langle A rangle simeq { frac {1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {N} A _ {{ vec {r}} _ {i}} e ^ {- beta E _ {{ vec {r}} _ {i}}} / Z}$

kde ${ displaystyle { vec {r}} _ {i}}$ jsou rovnoměrně získány ze všech fázových prostorů (PS) a N je počet vzorkovacích bodů (nebo vyhodnocení funkcí).

Z celého fázového prostoru jsou některé jeho zóny obecně důležitější pro průměr proměnné ${ displaystyle A}$ Než ostatní. Zejména ty, které mají hodnotu ${ displaystyle e ^ {- beta E _ {{ vec {r}} _ {i}}}}$ dostatečně vysoké ve srovnání se zbytkem energetického spektra jsou pro integrál nejrelevantnější. Při použití této skutečnosti je přirozenou otázkou, kterou si musíme položit: je možné zvolit s větší frekvencí stavy, o nichž je známo, že jsou pro integrál relevantnější? Odpověď je ano, pomocí vzorkování důležitosti technika.

Předpokládejme ${ displaystyle p ({ vec {r}})}$ je distribuce, která vybírá stavy, o nichž je známo, že jsou pro integrál relevantnější.

Střední hodnota ${ displaystyle A}$ lze přepsat jako

${ displaystyle langle A rangle = int _ {PS} p ^ {- 1} ({ vec {r}}) { frac {A _ { vec {r}}} {p ^ {- 1} ({ vec {r}})}} e ^ {- beta E _ { vec {r}}} / Zd { vec {r}} = int _ {PS} p ^ {- 1} ({ vec {r}}) A _ { vec {r}} ^ {*} e ^ {- beta E _ { vec {r}}} / Zd { vec {r}}}$ ,

kde ${ displaystyle A _ { vec {r}} ^ {*}}$ jsou vzorkované hodnoty s přihlédnutím k pravděpodobnosti důležitosti ${ displaystyle p ({ vec {r}})}$ . Tento integrál lze odhadnout pomocí

${ displaystyle langle A rangle simeq { frac {1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {N} p ^ {- 1} ({ vec {r}} _ {i} ) A _ {{ vec {r}} _ {i}} ^ {*} e ^ {- beta E _ {{ vec {r}} _ {i}}} / Z}$

kde ${ displaystyle { vec {r}} _ {i}}$ jsou nyní náhodně generovány pomocí ${ displaystyle p ({ vec {r}})}$ rozdělení. Protože většinou není snadné najít způsob generování stavů s danou distribucí, Algoritmus metropole musí být použito.

Kanonický

Protože je známo, že nejpravděpodobnějšími stavy jsou ty, které maximalizují Boltzmannovo rozdělení, dobré rozdělení, ${ displaystyle p ({ vec {r}})}$ , zvolit pro výběr důležitosti je Boltzmannova distribuce nebo kanonická distribuce. Nechat

${ displaystyle p ({ vec {r}}) = { frac {e ^ {- beta E _ { vec {r}}}} {Z}}}$

být distribucí k použití. Nahrazení předchozí částky,

${ displaystyle langle A rangle simeq { frac {1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {N} A _ {{ vec {r}} _ {i}} ^ {*} }$ .

Takže postup pro získání střední hodnoty dané proměnné pomocí algoritmu metropole s kanonickým rozdělením je použití algoritmu Metropolis ke generování stavů daných distribucí ${ displaystyle p ({ vec {r}})}$ a provádět prostředky znovu ${ displaystyle A _ { vec {r}} ^ {*}}$ .

Při použití algoritmu metropole s kanonickým rozdělením je třeba vzít v úvahu jeden důležitý problém: při provádění daného opatření, tj. Realizace ${ displaystyle { vec {r}} _ {i}}$ , je třeba zajistit, aby realizace nekorelovala s předchozím stavem systému (jinak se stavy nevygenerují „náhodně“). U systémů s příslušnými energetickými mezerami je to hlavní nevýhoda použití kanonického rozdělení, protože čas potřebný k tomu, aby systém koreloval z předchozího stavu, může mít sklon k nekonečnu.

Vícekanonické

Jak již bylo řečeno, mikro-kanonický přístup má hlavní nevýhodu, která se stává relevantní ve většině systémů, které používají integraci Monte Carlo. U systémů s „drsnou energetickou krajinou“ lze použít multikanonický přístup.

Multikanonický přístup používá pro výběr důležitosti jinou volbu:

${ displaystyle p ({ vec {r}}) = { frac {1} { Omega (E _ { vec {r}})}}}$

kde ${ displaystyle Omega (E)}$ je hustota stavů systému. Hlavní výhodou této volby je, že energetický histogram je plochý, tj. Generované stavy jsou rovnoměrně rozloženy na energii. To znamená, že při použití algoritmu Metropolis simulace nevidí „drsnou energetickou krajinu“, protože s každou energií se zachází stejně.

Hlavní nevýhodou této volby je skutečnost, že na většině systémů ${ displaystyle Omega (E)}$ není známo. K překonání tohoto problému Wangův a Landauův algoritmus se běžně používá k získání systému DOS během simulace. Všimněte si, že poté, co je znám systém DOS, lze pro každou teplotu vypočítat střední hodnoty každé proměnné, protože generování stavů nezávisí na ${ displaystyle beta}$ .

Implementace

V této části se implementace zaměří na Isingův model. Pojďme uvažovat o dvourozměrné spinové síti s L spiny (mřížkami) na každé straně. Existují přirozeně ${ displaystyle N = L ^ {2}}$ rotace, a tak je fázový prostor diskrétní a je charakterizován N rotacemi, ${ displaystyle { vec {r}} = ( sigma _ {1}, sigma _ {2}, ..., sigma _ {N})}$ kde ${ displaystyle sigma _ {i} v {- 1,1 }}$ je rotace každého místa mřížky. Energie systému je dána vztahem ${ displaystyle E ({ vec {r}}) = součet _ {i = 1} ^ {N} součet _ {j ve viz_ {i}} (1-J_ {ij} sigma _ {i } sigma _ {j})}$ , kde ${ displaystyle viz_ {i}}$ jsou množinou prvních točení sousedství i a J je interakční matice (pro model feromagnetického isingu je J matice identity). Problém je uveden.

Na tomto příkladu je cílem získat ${ displaystyle langle M rangle}$ a ${ displaystyle langle M ^ {2} rangle}$ (například získat magnetická susceptibilita systému), protože je jednoduché generalizovat na jiné pozorovatelné. Podle definice ${ displaystyle M ({ vec {r}}) = součet _ {i = 1} ^ {N} sigma _ {i}}$ .

Kanonický

Nejprve je třeba systém inicializovat: let ${ displaystyle beta = 1 / k_ {b} T}$ být Boltzmannova teplota systému a inicializovat systém s počátečním stavem (což může být cokoli, protože konečný výsledek by na něm neměl záviset).

U mikrokanonické volby je nutné použít metodu metropole. Protože neexistuje správný způsob výběru, který stav má být vybrán, lze konkrétně určit a pokusit se převrátit jedno otočení najednou. Tato volba se obvykle nazývá jedno otočení flipu. K provedení jednoho měření je třeba provést následující kroky.

krok 1: vygenerování stavu, který následuje za ${ displaystyle p ({ vec {r}})}$ rozdělení:

krok 1.1: Proveďte časy TT následující iterace:

krok 1.1.1: náhodně vyberte místo mřížky (s pravděpodobností 1 / N), které se bude nazývat i, s rotací ${ displaystyle sigma _ {i}}$ .

krok 1.1.2: vyberte náhodné číslo ${ displaystyle alpha v [0,1]}$ .

krok 1.1.3: výpočet energetické změny při pokusu o otočení rotace i:

${ displaystyle Delta E = 2 sigma _ {i} součet _ {j ve viz_ {i}} sigma _ {j}}$

a jeho změna magnetizace: ${ displaystyle Delta M = -2 sigma _ {i}}$

krok 1.1.4: pokud ${ displaystyle alpha < min (1, e ^ {- beta Delta E})}$ , otočit rotaci ( ${ displaystyle sigma _ {i} = - sigma _ {i}}$ ), jinak ne.

krok 1.1.5: aktualizace několika makroskopických proměnných v případě, že se otočení otočilo: ${ displaystyle E = E + Delta E}$ , ${ displaystyle M = M + Delta M}$

po časech TT je systém považován za nekorelující s jeho předchozím stavem, což znamená, že v tomto okamžiku následuje pravděpodobnost, že systém bude v daném stavu, podle Boltzmannova rozdělení, což je cíl navrhovaný touto metodou.

krok 2 -> proveďte měření:

krok 2.1: uložte na histogram hodnoty M a M ^ 2.

Na závěr je třeba poznamenat, že TT není snadné odhadnout, protože není snadné říci, když je systém korelován z předchozího stavu. K překonání tohoto bodu se obecně nepoužívá pevné TT, ale TT jako doba tunelování. Jedna doba tunelování je definována jako počet kroků 1. systém musí udělat, aby šel z minima své energie na maximum své energie a vrátil se.

Hlavní nevýhodou této metody je jedno otočení flipu volba v systémech, jako je Isingův model, spočívá v tom, že tunelovací čas se mění jako zákon síly jako ${ displaystyle N ^ {2 + z}}$ kde z je větší než 0,5, jev známý jako kritické zpomalení.

Použitelnost

Metoda tak zanedbává dynamiku, což může být hlavní nevýhodou nebo velkou výhodou. Tuto metodu lze skutečně použít pouze na statické veličiny, ale díky volnosti výběru tahů je metoda velmi flexibilní. Další výhodou je, že některé systémy, například Isingův model, postrádají dynamický popis a jsou definovány pouze předpisem o energii; u nich je přístup v Monte Carlu jediný proveditelný.

Zobecnění

Velký úspěch této metody ve statistické mechanice vedl k různým zevšeobecněním, jako je metoda simulované žíhání pro optimalizaci, při které se zavádí fiktivní teplota a poté se postupně snižuje.

Viz také

Reference

Allen, M.P. & Tildesley, D.J. (1987). Počítačová simulace kapalin. Oxford University Press. ISBN 0-19-855645-4.
Frenkel, D. & Smit, B. (2001). Porozumění molekulární simulaci. Akademický tisk. ISBN 0-12-267351-4.
Binder, K. & Heermann, D.W. (2002). Simulace Monte Carlo ve statistické fyzice. An Introduction (4. vydání). Springer. ISBN 3-540-43221-3.