Lorentzova transformace - Lorentz transformation

Část série na
Vesmírný čas
Speciální relativita Obecná relativita
Časoprostorové koncepty Časoprostorové potrubí Princip ekvivalence Lorentzovy transformace Minkowského prostor
Obecná relativita Úvod do obecné relativity Matematika obecné relativity Einsteinovy ​​polní rovnice
Klasická gravitace Úvod do gravitace Newtonův zákon univerzální gravitace
Relevantní matematika Čtyři-vektor Derivace relativity Časoprostorové diagramy Diferenciální geometrie Zakřivený časoprostor Matematika obecné relativity Topologie časoprostoru

v fyzika, Lorentzovy transformace jsou rodina s jedním parametrem lineární transformace od a souřadnicový rám v vesmírný čas na jiný snímek, který se pohybuje konstantní rychlostí (parametr) vzhledem k prvnímu. Příslušná inverzní transformace je poté parametrizována záporem této rychlosti. Transformace jsou pojmenovány po holandštině fyzik Hendrik Lorentz.

Nejběžnější forma transformace, parametrizovaná skutečnou konstantou ${displaystyle v,}$ představující rychlost omezenou na X-směr, je vyjádřen jako^[1][2]

${displaystyle {egin {aligned} t '& = gamma left (t- {frac {vx} {c ^ {2}}} ight) x' & = gamma left (x-vtight) y '& = y z '& = zend {zarovnáno}}}$

kde (t, X, y, z) a (t′, X′, y′, z′) jsou souřadnice události ve dvou rámcích, kde je nafouknutý snímek viděn z nenaplněného snímku jako pohybující se rychlostí proti podél X-osa, C je rychlost světla, a ${displaystyle gamma = extstyle left ({sqrt {1- {frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} vpravo) ^ {- 1}}$ je Lorentzův faktor. Když rychlost proti je mnohem menší než C, Lorentzův faktor se zanedbatelně liší od 1, ale jako proti přístupy C, ${displaystyle gamma}$ roste bez vazby. Hodnota proti musí být menší než C aby transformace měla smysl.

Vyjádření rychlosti jako ${displaystyle eta = {frac {v} {c}},}$ ekvivalentní forma transformace je^[3]

${displaystyle {egin {aligned} ct '& = gamma left (ct- eta xight) x' & = gamma left (x- eta ctight) y '& = y z' & = z.end {aligned}} }$

Referenční rámečky lze rozdělit do dvou skupin: setrvačný (relativní pohyb s konstantní rychlostí) a neinerciální (zrychlení, pohyb po zakřivených drahách, rotační pohyb s konstantou úhlová rychlost, atd.). Termín „Lorentzovy transformace“ označuje pouze transformace mezi setrvačný rámce, obvykle v kontextu speciální relativity.

V každém referenční rámec, může pozorovatel použít místní souřadný systém (obvykle Kartézské souřadnice v této souvislosti) měřit délky a hodiny měřit časové intervaly. An událost je něco, co se děje v bodě v prostoru v okamžiku, nebo formálněji v bodě vesmírný čas. Transformace spojují souřadnice prostoru a času událost měřeno pozorovatelem v každém snímku.^{[poznámka 1]}

Nahrazují Galileova transformace z Newtonovská fyzika, který předpokládá absolutní prostor a čas (viz Galileova relativita ). Galileova transformace je dobrá aproximace pouze při relativních rychlostech mnohem menších, než je rychlost světla. Lorentzovy transformace mají řadu neintuitivních funkcí, které se v galileovských transformacích neobjevují. Odráží například skutečnost, že se pozorovatelé pohybují různě rychlosti může měřit jinak vzdálenosti, uplynulé časy, a dokonce i jiné objednávání akcí, ale vždy takové, že rychlost světla je stejný ve všech inerciálních referenčních rámcích. Invariance rychlosti světla je jednou z postuláty speciální relativity.

Historicky byly transformace výsledkem pokusů Lorentze a dalších vysvětlit rychlost světlo bylo pozorováno, že je nezávislé na referenční rámec, a porozumět symetrii zákonů elektromagnetismus. Lorentzova transformace je v souladu s Albert Einstein je speciální relativita, ale byl odvozen jako první.

Lorentzova transformace je a lineární transformace. Může zahrnovat rotaci prostoru; Lorentzova transformace bez rotace se nazývá a Lorentzova podpora. v Minkowského prostor, matematický model časoprostoru ve speciální relativitě, Lorentzovy transformace zachovávají časoprostorový interval mezi libovolnými dvěma událostmi. Tato vlastnost je definující vlastností Lorentzovy transformace. Popisují pouze transformace, ve kterých je prostoročasová událost v počátku ponechána pevná. Mohou být považovány za hyperbolická rotace Minkowského prostoru. Obecnější sada transformací, která zahrnuje také překlady, je známá jako Poincaré skupina.

Dějiny

Mnoho fyziků - včetně Woldemar Voigt, George FitzGerald, Joseph Larmor, a Hendrik Lorentz^[4] sám - diskutoval o fyzice implikované těmito rovnicemi od roku 1887.^[5] Počátkem roku 1889, Oliver Heaviside ukázal z Maxwellovy rovnice že elektrické pole sférické rozdělení náboje by mělo přestat mít sférická symetrie jakmile je náboj v pohybu vzhledem k éteru. FitzGerald poté předpokládal, že výsledek zkreslení Heaviside lze použít na teorii mezimolekulárních sil. O několik měsíců později zveřejnil FitzGerald domněnku, že se těla v pohybu stahují, aby vysvětlil zmatený výsledek experimentu éterového větru z roku 1887 Michelson a Morley. V roce 1892 Lorentz nezávisle představil stejnou myšlenku podrobnějším způsobem, který byl následně nazván FitzGerald – Lorentzova hypotéza kontrakce.^[6] Jejich vysvětlení bylo všeobecně známé před rokem 1905.^[7]

Lorentz (1892–1904) a Larmor (1897–1900), kteří věřili světelný éter hypotéza také hledala transformaci, pod kterou Maxwellovy rovnice jsou neměnné při transformaci z éteru na pohyblivý snímek. Prodloužili FitzGerald – Lorentzova kontrakce hypotéza a zjistil, že je třeba upravit také časovou souřadnici ("místní čas "). Henri Poincaré poskytl fyzický výklad místního času (na první objednávku v roce) proti/C, relativní rychlost dvou referenčních rámců normalizovaných na rychlost světla) jako důsledek synchronizace hodin, za předpokladu, že rychlost světla je v pohyblivých rámcích konstantní.^[8] Larmor je připočítán k byli první, kdo pochopil zásadní dilatace času vlastnost obsažená v jeho rovnicích.^[9]

V roce 1905 Poincaré jako první poznal, že transformace má vlastnosti a matematická skupina a pojmenoval ji po Lorentzovi.^[10]Později téhož roku Albert Einstein zveřejnil to, co se nyní nazývá speciální relativita odvozením Lorentzovy transformace za předpokladů princip relativity a stálost rychlosti světla v jakémkoli setrvačný referenční rámec a opuštěním mechanického éteru jako zbytečného.^[11]

Odvození skupiny Lorentzových transformací

An událost je něco, co se děje v určitém bodě v časoprostoru, nebo obecněji v samotném bodě v časoprostoru. V libovolném setrvačném rámci je událost určena časovou souřadnicí ct a sada Kartézské souřadnice X, y, z určit pozici v prostoru v tomto rámci. Dolní indexy označují jednotlivé události.

Od Einsteina druhý postulát relativity (invariance z C ) z toho vyplývá, že:

${displaystyle c ^ {2} (t_ {2} -t_ {1}) ^ {2} - (x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} - (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2} - (z_ {2} -z_ {1}) ^ {2} = 0quad {ext {(události oddělené od světla 1, 2)}}}$

(D1)

ve všech inerciálních rámcích pro události spojené s světelné signály. Množství vlevo se nazývá časoprostorový interval mezi událostmi A₁ = (t₁, X₁, y₁, z₁) a A₂ = (t₂, X₂, y₂, z₂). Interval mezi jakékoli dvě události, které nemusí být nutně odděleny světelnými signály, je ve skutečnosti neměnný, tj. nezávislý na stavu relativního pohybu pozorovatelů v různých setrvačných rámcích, jak je znázorněno pomocí homogenity a izotropie prostoru. Vyhledávaná transformace tedy musí vlastnit vlastnost, která:

${displaystyle {egin {aligned} & c ^ {2} (t_ {2} -t_ {1}) ^ {2} - (x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} - (y_ {2} - y_ {1}) ^ {2} - (z_ {2} -z_ {1}) ^ {2} [6pt] = {} & c ^ {2} (t_ {2} '- t_ {1}') ^ {2} - (x_ {2} '- x_ {1}') ^ {2} - (y_ {2} '- y_ {1}') ^ {2} - (z_ {2} '- z_ { 1} ') ^ {2} quad {ext {(všechny události 1, 2)}}. Konec {zarovnáno}}}$

(D2)

kde (ct, X, y, z) jsou souřadnice časoprostoru používané k definování událostí v jednom rámci a (ct′, X′, y′, z′) jsou souřadnice v jiném rámci. První to pozoruje (D2) je spokojen, pokud je libovolný 4-tuple b čísel je přidáno k událostem A₁ a A₂. Takovým transformacím se říká překlady časoprostoru a dále se zde nebudeme zabývat. Pak si člověk všimne, že a lineární řešení zachování původu jednoduššího problému řeší také obecný problém:

${displaystyle {egin {aligned} & c ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2} = c ^ {2} t '^ {2} -x' ^ {2} -y '^ {2} -z' ^ {2} [6pt] {ext {or}} quad & c ^ {2} t_ {1} t_ {2} -x_ {1} x_ {2 } -y_ {1} y_ {2} -z_ {1} z_ {2} = c ^ {2} t '_ {1} t' _ {2} -x '_ {1} x' _ {2} -y '_ {1} y' _ {2} -z '_ {1} z' _ {2} konec {zarovnáno}}}$

(D3)

(řešení splňující levý vzorec automaticky uspokojí i ten pravý; viz polarizační identita ). Nalezení řešení jednoduššího problému je jen otázkou hledání v teorii klasické skupiny které zachovávají bilineární formy různých podpisů.^{[pozn. 2]} První rovnice v (D3) lze psát kompaktněji jako:

${displaystyle (a, a) = (a ', a') quad {ext {nebo}} quad acdot a = a'cdot a ',}$

(D4)

kde (·, ·) se týká bilineární formy podpis (1, 3) na ℝ⁴ vystaveno vzorcem na pravé straně v (D3). Alternativní notace definovaná vpravo se označuje jako relativistický tečkový součin. Časoprostor matematicky vnímán jako ℝ⁴ obdařen touto bilineární formou je znám jako Minkowského prostor M. Lorentzova transformace je tedy prvkem skupiny Lorentzovy skupiny O (1, 3), Skupina Lorentz nebo pro ty, kteří dávají přednost tomu druhému metrický podpis, O (3, 1) (také nazývaná skupina Lorentz).^{[pozn. 3]} Jeden má:

${displaystyle (a, a) = (Lambda a, Lambda a) = (a ', a'), quad Lambda v mathrm {O} (1,3), quad a, a'in M,}$

(D5)

což je přesně zachování bilineární formy (D3) což znamená (podle linearity Λ a bilinearita formy) to (D2) je spokojen. Prvky skupiny Lorentz jsou rotace a zvyšuje a jejich směsi. Pokud jsou zahrnuty časoprostorové překlady, získá jeden nehomogenní Lorentzova skupina nebo Poincaré skupina.

Obecné informace

Vztahy mezi souřadnicemi primovaného a neupraveného časoprostoru jsou Lorentzovy transformace, každá souřadnice v jednom rámci je a lineární funkce všech souřadnic v druhém rámci a inverzní funkce jsou inverzní transformace. V závislosti na tom, jak se snímky vzájemně pohybují a jak jsou vzájemně orientovány v prostoru, vstupují do transformačních rovnic další parametry, které popisují směr, rychlost a orientaci.

Jsou vyvolány transformace popisující relativní pohyb s konstantní (jednotnou) rychlostí a bez rotace os vesmírných souřadnic zvyšujea relativní rychlost mezi snímky je parametrem transformace. Dalším základním typem Lorentzovy transformace je rotace pouze v prostorových souřadnicích, jako boosty jsou inerciální transformace, protože nedochází k relativnímu pohybu, rámy se jednoduše nakloní (a nebudou se nepřetržitě otáčet), a v tomto případě jsou veličiny určující rotaci parametry transformace (např. reprezentace osového úhlu nebo Eulerovy úhly, atd.). Kombinace rotace a podpory je a homogenní transformace, který transformuje počátek zpět na počátek.

Celá skupina Lorentz O (3, 1) také obsahuje speciální transformace, které nejsou ani rotacemi, ani zesílením, ale spíše odrazy v rovině počátkem. Dva z nich lze vybrat; prostorová inverze ve kterém jsou prostorové souřadnice všech událostí obráceny znaménkem a časová inverze ve kterém časová souřadnice pro každou událost získá obrácené znaménko.

Posílení by neměla být spojována s pouhými posuny v časoprostoru; v tomto případě jsou souřadnicové systémy jednoduše posunuty a nedochází k žádnému relativnímu pohybu. Ty se však také počítají jako symetrie vynucené speciální relativitou, protože opouštějí časoprostorový interval neměnný. Kombinace rotace s podporou, následovaná posunem v časoprostoru, je nehomogenní Lorentzova transformace, prvek skupiny Poincaré, kterému se také říká nehomogenní skupina Lorentz.

Fyzikální složení Lorentz zvyšuje

Transformace souřadnic

Souřadnice časoprostoru události, měřené každým pozorovatelem v jejich setrvačném referenčním rámci (ve standardní konfiguraci), jsou zobrazeny v bublinách řeči.
Horní: rám F′ se pohybuje rychlostí proti podél X- osa rámu F.
Dno: rám F pohybuje se rychlostí -proti podél X′- osa rámu F′.^[12]

„Stacionární“ pozorovatel v rámu F definuje události se souřadnicemi t, X, y, z. Další snímek F′ pohybuje se rychlostí proti ve vztahu k Fa pozorovatel v tomto „pohyblivém“ rámci F′ definuje události pomocí souřadnic t′, X′, y′, z′.

Osy souřadnic v každém snímku jsou rovnoběžné ( X a X′ osy jsou rovnoběžné, y a y′ osy jsou rovnoběžné a z a z′ osy jsou rovnoběžné), zůstávají vzájemně kolmé a relativní pohyb je podél náhody xx ′ sekery. Na t = t′ = 0, počátky obou souřadnicových systémů jsou stejné, (x, y, z) = (X′, y′, z′) = (0, 0, 0). Jinými slovy, časy a pozice jsou v této události shodné. Pokud to všechno platí, pak se říká, že souřadnicové systémy jsou uvnitř standardní konfiguracenebo synchronizované.

Pokud je pozorovatel uvnitř F zaznamenává událost t, x, y, z, pak dovnitř pozorovatele F′ zaznamenává stejný událost se souřadnicemi^[13]

kde proti je relativní rychlost mezi snímky v X-směr, C je rychlost světla, a

${displaystyle gamma = {frac {1} {sqrt {1- {frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}$

(malá písmena gama ) je Lorentzův faktor.

Tady, proti je parametr transformace, pro danou podporu je to konstantní číslo, ale může nabývat spojitého rozsahu hodnot. V zde použitém nastavení je kladná relativní rychlost proti > 0 je pohyb podél pozitivních směrů xx′ osy, nulová relativní rychlost proti = 0 není žádný relativní pohyb, zatímco negativní relativní rychlost proti < 0 je relativní pohyb podél záporných směrů xx′ sekery. Velikost relativní rychlosti proti se nemůže rovnat nebo překročit C, takže pouze subluminální rychlosti −C < proti < C jsou povoleny. Odpovídající rozsah y je 1 ≤ y < ∞.

Transformace nejsou definovány, pokud proti je mimo tyto limity. Rychlostí světla (proti = C) y je nekonečný a rychlejší než světlo (proti > C) y je komplexní číslo z nichž každá činí transformace nefyzickými. Prostorové a časové souřadnice jsou měřitelné veličiny a číselně musí jít o reálná čísla.

Jako aktivní transformace, pozorovatel na F ′ si všimne souřadnic události, která má být „posílena“ v záporných směrech xx′ osy, kvůli −proti v transformacích. To má ekvivalentní účinek souřadnicový systém F ′ posílen v pozitivních směrech xx′ osy, zatímco událost se nemění a je jednoduše zastoupena v jiném souřadnicovém systému, a pasivní transformace.

Inverzní vztahy (t, X, y, z ve smyslu t′, X′, y′, z′) lze nalézt algebraickým řešením původní sady rovnic. Efektivnějším způsobem je použití fyzikálních principů. Tady F′ je "stacionární" rám, zatímco F je „pohyblivý“ rám. Podle principu relativity neexistuje privilegovaný referenční rámec, takže transformace z F′ na F musí mít přesně stejnou formu jako transformace z F na F′. Jediný rozdíl je F pohybuje se rychlostí −proti ve vztahu k F′ (tj. relativní rychlost má stejnou velikost, ale je opačně směrovaná). Pokud je tedy pozorovatel v F′ bere na vědomí událost t′, X′, y′, z′, pak dovnitř pozorovatele F konstatuje stejný událost se souřadnicemi

a hodnota y zůstává nezměněno. Tento „trik“ jednoduchého obrácení směru relativní rychlosti při zachování jeho velikosti a výměny aktivovaných a nepřiměřených proměnných vždy platí pro nalezení inverzní transformace každé podpory v jakémkoli směru.

Někdy je pohodlnější použít β = proti/C (malá písmena beta ) namísto proti, aby

${displaystyle {egin {aligned} ct '& = gamma left (ct- eta xight) ,, x' & = gamma left (x- eta ctight) ,, end {aligned}}}$

což mnohem jasněji ukazuje symetrii v transformaci. Z povoleného rozsahu proti a definice β, následuje −1 < β < 1. Použití β a y je v celé literatuře standardní.

Lorentzovy transformace lze také odvodit způsobem, který se podobá kruhovým rotacím ve 3D prostoru pomocí hyperbolické funkce. Pro podporu v X směru, výsledky jsou

kde ζ (malá písmena zeta ) je parametr s názvem rychlost (používá se mnoho dalších symbolů, včetně θ, ϕ, φ, η, ψ, ξ). Vzhledem k silné podobnosti s rotacemi prostorových souřadnic ve 3D prostoru v kartézských rovinách xy, yz a zx lze Lorentzovu podporu považovat za hyperbolická rotace souřadnic časoprostoru v rovinách xt, yt a zt kartézského času 4d Minkowského prostor. Parametr ζ je hyperbolický úhel rotace, analogický s běžným úhlem pro kruhové rotace. Tuto transformaci lze ilustrovat pomocí a Minkowského diagram.

Hyperbolické funkce vznikají z rozdíl mezi čtverci času a prostorovými souřadnicemi v časoprostorovém intervalu, spíše než součet. Geometrický význam hyperbolických funkcí lze vizualizovat pomocí X = 0 nebo ct = 0 v transformacích. Srovnáním a odečtením výsledků lze odvodit hyperbolické křivky hodnot konstantních souřadnic, které se však liší ζ, který parametrizuje křivky podle identity

${displaystyle cosh ^ {2} zeta -sinh ^ {2} zeta = 1 ,.}$

Naopak ct a X osy mohou být konstruovány pro různé souřadnice, ale konstantní ζ. Definice

${displaystyle anh zeta = {frac {sinh zeta} {cosh zeta}} ,,}$

poskytuje spojení mezi konstantní hodnotou rychlosti a sklon z ct osa v časoprostoru. Důsledkem těchto dvou hyperbolických vzorců je identita, která odpovídá Lorentzovu faktoru

${displaystyle cosh zeta = {frac {1} {sqrt {1- anh ^ {2} zeta}}} ,.}$

Porovnáním Lorentzových transformací z hlediska relativní rychlosti a rychlosti, nebo pomocí výše uvedených vzorců, spojení mezi β, y, a ζ jsou

${displaystyle {egin {aligned} eta & = anh zeta ,, gamma & = cosh zeta ,, eta gamma & = sinh zeta, .end {aligned}}}$

Převzetí inverzní hyperbolické tangenty dává rychlost

${displaystyle zeta = anh ^ {- 1} eta,.}$

Od té doby −1 < β < 1, následuje −∞ < ζ < ∞. Ze vztahu mezi ζ a βpozitivní rychlost ζ > 0 je pohyb podél pozitivních směrů xx′ osy, nulová rychlost ζ = 0 není žádný relativní pohyb, zatímco negativní rychlost ζ < 0 je relativní pohyb podél záporných směrů xx′ sekery.

Inverzní transformace se získají výměnou aktivovaných a nepřiměřených veličin pro přepnutí souřadnicových rámců a negací rychlosti ζ → −ζ protože to je ekvivalent negace relativní rychlosti. Proto,

Inverzní transformace lze podobně vizualizovat zvážením případů, kdy X′ = 0 a ct′ = 0.

Dosud byly použity Lorentzovy transformace jedna událost. Pokud existují dvě události, je mezi nimi prostorová separace a časový interval. Vyplývá to z linearita z Lorentzových transformací, pro které lze zvolit dvě hodnoty souřadnic prostoru a času, lze použít Lorentzovy transformace na každou z nich, poté je odečíst, abychom získali Lorentzovy transformace rozdílů;

${displaystyle {egin {aligned} Delta t '& = gamma left (Delta t- {frac {v, Delta x} {c ^ {2}}} ight) ,, Delta x' & = gamma left (Delta xv, Delta tight) ,, end {aligned}}}$

s inverzními vztahy

${displaystyle {egin {aligned} Delta t & = gamma left (Delta t '+ {frac {v, Delta x'} {c ^ {2}}} ight), Delta x & = gamma left (Delta x '+ v , Delta t'ight) ,. end {zarovnáno}}}$

kde Δ (velká písmena delta ) označuje rozdíl množství; např., ΔX = X₂ − X₁ pro dvě hodnoty X souřadnice atd.

Tyto transformace pokračují rozdíly spíše než prostorové body nebo okamžiky času jsou užitečné z mnoha důvodů:

• ve výpočtech a experimentech se měří nebo jsou zajímavé délky mezi dvěma body nebo časovými intervaly (např. délka jedoucího vozidla nebo doba trvání cesty z jednoho místa na druhé),
• transformace rychlosti lze snadno odvodit tak, že je rozdíl nekonečně malý a rozdělí rovnice, a postup se opakuje pro transformaci zrychlení,
• pokud souřadnicové systémy nejsou nikdy shodné (tj. nejsou ve standardní konfiguraci) a pokud se oba pozorovatelé mohou na události dohodnout t₀, X₀, y₀, z₀ v F a t₀′, X₀′, y₀′, z₀′ v F′, pak mohou použít tuto událost jako počátek a rozdíly v souřadnicích časoprostoru jsou rozdíly mezi jejich souřadnicemi a tímto počátkem, např. ΔX = X − X₀, ΔX′ = X′ − X₀′, atd.

Fyzické důsledky

Kritickým požadavkem Lorentzových transformací je invariantnost rychlosti světla, skutečnost použitá při jejich odvozování a obsažená v transformacích samotných. Pokud v F rovnice pro světelný puls podél X směr je X = ct, pak dovnitř F′ Lorentzovy transformace X′ = ct′a naopak pro všechny −C < proti < C.

Pro relativní rychlosti mnohem menší než rychlost světla se Lorentzovy transformace snižují na Galileova transformace

${displaystyle {egin {zarovnáno} t '& přibližně t x' a přibližně x-vtend {zarovnáno}}}$

v souladu s zásada korespondence. Někdy se říká, že nerelativistická fyzika je fyzikou „okamžitého působení na dálku“.^[14]

Tři protiintuitivní, ale správné předpovědi transformací jsou:

Relativita simultánnosti

Předpokládejme, že nastanou dvě události současně (Δt = 0) podél osy x, ale odděleny nenulovým posunem ΔX. Pak dovnitř F′, zjistíme, že ${displaystyle Delta t '= gamma {frac {-v, Delta x} {c ^ {2}}}}$, takže události již nejsou simultánní podle pohybujícího se pozorovatele.

Dilatace času

Předpokládejme, že jsou v klidu hodiny F. Pokud se časový interval měří ve stejném bodě v daném rámci, tak to ΔX = 0, pak transformace dávají tento interval dovnitř F′ podle Δt′ = yΔt. Naopak, předpokládejme, že jsou v klidu hodiny F′. Pokud je interval měřen ve stejném bodě v tomto rámci, tak to ΔX′ = 0, pak transformace dávají tento interval v F o Δt = yΔt′. Ať tak či onak, každý pozorovatel měří časový interval mezi klíšťaty pohyblivých hodin tak, aby byl o faktor delší y než časový interval mezi klíšťaty jeho vlastních hodin.

Délka kontrakce

Předpokládejme, že je v klidu prut F zarovnáno podél osy x, s délkou ΔX. v F′se tyč pohybuje rychlostí -proti, takže jeho délka musí být měřena pomocí dvou současně (Δt′ = 0) měření na opačných koncích. Za těchto podmínek to ukazuje inverzní Lorentzova transformace ΔX = yΔX′. v F tato dvě měření již nejsou simultánní, ale to nevadí, protože prut je v klidu F. Takže každý pozorovatel měří vzdálenost mezi koncovými body pohybující se tyče tak, aby byla o faktor kratší 1/y než koncové body stejné tyče v klidu ve svém vlastním rámu. Kontrakce délky ovlivňuje jakoukoli geometrickou veličinu související s délkami, takže z pohledu pohybujícího se pozorovatele se budou oblasti a objemy také zmenšovat ve směru pohybu.

Vektorové transformace

Pozorovatel v rámu F podotýká F′ pohybovat se rychlostí proti, zatímco F′ podotýká F pohybovat se rychlostí −proti. Osy souřadnic každého rámu jsou stále rovnoběžné a kolmé. Vektor polohy měřený v každém snímku je rozdělen na komponenty rovnoběžné a kolmé k vektoru relativní rychlosti proti.
Vlevo, odjet: Standardní konfigurace. Že jo: Inverzní konfigurace.

Použití vektorů umožňuje kompaktní vyjádření pozic a rychlostí v libovolných směrech. Jedna podpora v libovolném směru závisí na úplném relativním vektor rychlosti proti s velikostí |proti| = proti které se nemohou rovnat ani překročit C, aby 0 ≤ proti < C.

Změní se pouze čas a souřadnice rovnoběžné se směrem relativního pohybu, zatímco tyto souřadnice kolmé ne. S ohledem na to rozdělte prostorové vektor polohy r měřeno v F, a r′ měřeno v F', každá do složek kolmých (⊥) a rovnoběžných (‖) k proti,

${displaystyle mathbf {r} = mathbf {r} _ {perp} + mathbf {r} _ {|} ,, quad mathbf {r} '= mathbf {r} _ {perp}' + mathbf {r} _ {| } ',,}$

pak jsou transformace

${displaystyle {egin {aligned} t '& = gamma left (t- {frac {mathbf {r} _ {parallel} cdot mathbf {v}} {c ^ {2}}} ight) mathbf {r} _ { |} '& = gamma (mathbf {r} _ {|} -mathbf {v} t) mathbf {r} _ {perp}' & = mathbf {r} _ {perp} konec {zarovnáno}}}$

kde je Tečkovaný produkt. Lorentzův faktor y zachovává svoji definici pro podporu v libovolném směru, protože záleží pouze na velikosti relativní rychlosti. Definice β = proti/C s velikostí 0 ≤ β < 1 je také používán některými autory.

Představujeme a jednotkový vektor n = proti/proti = β/β ve směru relativního pohybu je relativní rychlost proti = protin s velikostí proti a směr n, a vektorová projekce respektive odmítnutí

${displaystyle mathbf {r} _ {parallel} = (mathbf {r} cdot mathbf {n}) mathbf {n} ,, quad mathbf {r} _ {perp} = mathbf {r} - (mathbf {r} cdot mathbf {n}) mathbf {n}}$

Shromažďování výsledků poskytuje úplné transformace,

Projekce a odmítnutí platí také pro r′. Pro inverzní transformace vyměňte r a r′ přepínat pozorované souřadnice a negovat relativní rychlost proti → −proti (nebo jednoduše jednotkový vektor n → −n od velikosti proti je vždy pozitivní) získat

Jednotkový vektor má tu výhodu, že zjednodušuje rovnice pro jediné zvýšení, umožňuje buď proti nebo β pokud je to vhodné, obnovit a parametrizace rychlosti se okamžitě získá nahrazením β a βγ. To není vhodné pro více boostů.

Vektorový vztah mezi relativní rychlostí a rychlostí je^[15]

${displaystyle {oldsymbol {eta}} = eta mathbf {n} = mathbf {n} anh zeta ,,}$

a "vektor rychlosti" lze definovat jako

${displaystyle {oldsymbol {zeta}} = zeta mathbf {n} = mathbf {n} anh ^ {- 1} eta ,,}$

z nichž každý v některých kontextech slouží jako užitečná zkratka. Velikost ζ je absolutní hodnota skalárního omezení rychlosti 0 ≤ ζ < ∞, který souhlasí s rozsahem 0 ≤ β < 1.

Transformace rychlostí

Definici poskytuje transformace rychlostí sčítání relativistické rychlosti ⊕, pořadí vektorů je zvoleno tak, aby odráželo pořadí přidání rychlostí; za prvé proti (rychlost F 'vzhledem k F) u′ (rychlost X vzhledem k F ') získat u = proti ⊕ u′ (rychlost X vzhledem k F).

Definování rychlostí souřadnic a Lorentzova faktoru pomocí

${displaystyle mathbf {u} = {frac {dmathbf {r}} {dt}} ,, quad mathbf {u} '= {frac {dmathbf {r}'} {dt '}} ,, quad gamma _ {mathbf { v}} = {frac {1} {sqrt {1- {dfrac {mathbf {v} cdot mathbf {v}} {c ^ {2}}}}}}}$

přičemž diferenciály v souřadnicích a čase vektorových transformací, pak dělení rovnic, vede k

${displaystyle mathbf {u} '= {frac {1} {1- {frac {mathbf {v} cdot mathbf {u}} {c ^ {2}}}}} vlevo [{frac {mathbf {u}} { gamma _ {mathbf {v}}}} - mathbf {v} + {frac {1} {c ^ {2}}} {frac {gamma _ {mathbf {v}}} {gamma _ {mathbf {v}} +1}} vlevo (mathbf {u} cdot mathbf {v} ight) mathbf {v} ight]}$

Rychlosti u a u′ jsou rychlost nějakého masivního objektu. Mohou být také pro třetí setrvačný rám (řekněme F′ ′), V takovém případě musí být konstantní. Označte kteroukoli entitu pomocí X. Potom se X pohybuje rychlostí u vzhledem k F nebo ekvivalentně s rychlostí u′ vzhledem k F ′ se zase F ′ pohybuje rychlostí proti vzhledem k F. Inverzní transformace lze získat podobným způsobem nebo jako při výměně souřadnic polohy u a u′a změnit proti na −proti.

Transformace rychlosti je užitečná v hvězdná aberace, Fizeau experiment a relativistický Dopplerův jev.

The Lorentzovy transformace zrychlení lze obdobně získat tak, že vezmeme diferenciály ve vektorech rychlostí a vydělíme je časovým rozdílem.

Transformace jiných veličin

Obecně platí, že vzhledem k tomu, čtyři veličiny A a Z = (Z_X, Z_y, Z_z) a jejich protějšky podporované Lorentzem A′ a Z′ = (Z′_X, Z′_y, Z′_z), vztah formuláře

${displaystyle A ^ {2} -mathbf {Z} cdot mathbf {Z} = {A '} ^ {2} -mathbf {Z}' cdot mathbf {Z} '}$

implikuje transformaci veličin pod Lorentzovými transformacemi podobnou transformaci souřadnic časoprostoru;

${displaystyle {egin {aligned} A '& = gamma left (A- {frac {vmathbf {n} cdot mathbf {Z}} {c}} ight) ,, mathbf {Z}' & = mathbf {Z} + (gamma -1) (mathbf {Z} cdot mathbf {n}) mathbf {n} - {frac {gamma Avmathbf {n}} {c}} ,. end {aligned}}}$

Rozklad Z (a Z′) na komponenty kolmé a rovnoběžné s proti je přesně stejný jako pro poziční vektor, stejně jako proces získávání inverzních transformací (výměna (A, Z) a (A′, Z′) přepínat pozorované veličiny a záměnou měnit směr relativního pohybu n ↦ −n).

Množství (A, Z) společně tvoří a čtyři-vektor, kde A je "časově podobná součást" a Z „vesmírná složka“. Příklady A a Z jsou následující:

Čtyři vektor	A	Z
Pozice čtyři-vektor	Čas (vynásobeno C), ct	Vektor pozice, r
Čtyři hybnosti	Energie (děleno C), E/C	Hybnost, p
Čtyřvlnový vektor	úhlová frekvence (děleno C), ω/C	vlnový vektor, k
Čtyři otáčky	(Beze jména), st	Roztočit, s
Čtyři aktuální	Hustota náboje (vynásobeno C), ρc	Hustota proudu, j
Elektromagnetický čtyři potenciál	Elektrický potenciál (děleno C), φ/C	Potenciál magnetického vektoru, A

Pro daný objekt (např. Částice, kapalina, pole, materiál), pokud A nebo Z odpovídají vlastnostem specifickým pro objekt, jako je jeho hustota náboje, hustota hmoty, roztočit atd., jeho vlastnosti lze zafixovat v klidovém rámci daného objektu. Pak Lorentzovy transformace dávají odpovídající vlastnosti v rámci pohybujícím se vzhledem k objektu konstantní rychlostí. To porušuje některé pojmy považované v nerelativistické fyzice za samozřejmost. Například energie E objektu je skalární v nerelativistické mechanice, ale ne v relativistické mechanice, protože energie se mění při Lorentzových transformacích; jeho hodnota je u různých setrvačných rámců odlišná. V klidovém rámci objektu má a klidová energie a nulová hybnost. V posíleném rámci je jeho energie jiná a zdá se, že má hybnost. Podobně v nerelativistické kvantové mechanice je rotace částice konstantní vektor, ale v relativistická kvantová mechanika roztočit s závisí na relativním pohybu. V klidovém rámci částice může být spinový pseudovektor fixován jako jeho obyčejný nerelativistický spin s nulovým časově podobným množstvím s_t, avšak posílený pozorovatel bude vnímat nenulovou časově podobnou složku a změněnou rotaci.^[16]

Ne všechna množství jsou neměnná ve formě, jak je uvedeno výše, například orbitální moment hybnosti L nemá časově podobné množství a také nemá elektrické pole E ani magnetické pole B. Definice momentu hybnosti je L = r × pa v posíleném rámci je změněná momentová hybnost L′ = r′ × p′. Uplatnění této definice pomocí transformací souřadnic a hybnosti vede k transformaci momentu hybnosti. Ukázalo se L transformuje s jinou vektorovou veličinou N = (E/C²)r − tp související s boosty, viz relativistická moment hybnosti pro detaily. Pro případ E a B pole nelze transformace získat přímo pomocí vektorové algebry. The Lorentzova síla je definice těchto polí a v F to je F = q(E + proti × B) zatímco v F′ to je F′ = q(E′ + proti′ × B′). Způsob odvození transformací EM pole efektivním způsobem, který také ilustruje jednotku elektromagnetického pole, používá tenzorovou algebru, uvedeny níže.

Matematická formulace

V celém textu jsou velká písmena, která nejsou tučně, matice 4 × 4, zatímco tučná písmena, která nejsou kurzívou, jsou matice 3 × 3.

Homogenní skupina Lorentz

Zápis souřadnic do vektorů sloupců a Minkowského metrika η jako čtvercová matice

${displaystyle X '= {egin {bmatrix} c, t' x ' y' z'end {bmatrix}} ,, quad eta = {egin {bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1end {bmatrix}} ,, quad X = {egin {bmatrix} c, t x y zend {bmatrix}}}$

interval časoprostoru má podobu (T označuje přemístit )

${displaystyle Xcdot X = X ^ {mathrm {T}} eta X = {X '} ^ {mathrm {T}} eta {X'}}$

a je neměnný pod Lorentzovou transformací

${displaystyle X '= Lambda X}$

kde Λ je čtvercová matice, která může záviset na parametrech.

The soubor všech Lorentzových transformací Λ v tomto článku je označena ${displaystyle {mathcal {L}}}$. Tato množina spolu s násobením matic tvoří a skupina, v této souvislosti známé jako Skupina Lorentz. Také výše uvedený výraz X · X je kvadratická forma podpisu (3,1) na časoprostoru a skupina transformací, která ponechává tuto kvadratickou formu neměnnou, je neurčitá ortogonální skupina O (3,1), a Lež skupina. Jinými slovy, Lorentzova skupina je O (3,1). Jak je uvedeno v tomto článku, všechny uvedené skupiny Lie jsou matice Lieových skupin. V této souvislosti operace složení činí násobení matic.

Z invariance časoprostorového intervalu vyplývá

${displaystyle eta = Lambda ^ {mathrm {T}} eta Lambda}$

a tato maticová rovnice obsahuje obecné podmínky Lorentzovy transformace k zajištění invariance časoprostorového intervalu. Užívání určující rovnice pomocí pravidla součinu^{[pozn. 4]} dává okamžitě

${displaystyle [det (Lambda)] ^ {2} = 1quad Rightarrow quad det (Lambda) = pm 1}$

Psaní Minkowského metriky jako blokové matice a Lorentzova transformace v nejobecnější formě,

${displaystyle eta = {egin {bmatrix} -1 & 0 0 & mathbf {I} end {bmatrix}} ,, quad Lambda = {egin {bmatrix} Gamma & -mathbf {a} ^ {mathrm {T}} - mathbf {b } & mathbf {M} konec {bmatrix}} ,,}$

provádění násobení blokové matice získá obecné podmínky na Γ, A, b, M k zajištění relativistické invariance. Ze všech podmínek nelze přímo extrahovat mnoho informací, nicméně jeden z výsledků

${displaystyle Gamma ^ {2} = 1 + mathbf {b} ^ {mathrm {T}} mathbf {b}}$

je užitečné; b^Tb ≥ 0 vždy tak z toho vyplývá

${displaystyle Gamma ^ {2} geq 1quad Rightarrow quad Gamma leq -1,, quad Gamma geq 1}$

Negativní nerovnost může být neočekávaná, protože Γ vynásobí časovou souřadnici a to má vliv na časová symetrie. Pokud platí pozitivní rovnost, pak Γ je Lorentzův faktor.

Determinant a nerovnost poskytují čtyři způsoby klasifikace Lorentz Transformace (zde LTs pro stručnost). Jakýkoli konkrétní LT má pouze jeden určující znak a pouze jedna nerovnost. Existují čtyři sady, které zahrnují všechny možné páry dané křižovatky ("N" ve tvaru symbolu znamená "a") těchto třídících sad.

where "+" and "−" indicate the determinant sign, while "↑" for ≥ and "↓" for ≤ denote the inequalities.

The full Lorentz group splits into the svaz ("u"-shaped symbol meaning "or") of four disjunktní sady

${displaystyle {mathcal {L}}={mathcal {L}}_{+}^{uparrow }cup {mathcal {L}}_{-}^{uparrow }cup {mathcal {L}}_{+}^{downarrow }cup {mathcal {L}}_{-}^{downarrow }}$

A podskupina of a group must be Zavřeno under the same operation of the group (here matrix multiplication). In other words, for two Lorentz transformations Λ a L from a particular set, the composite Lorentz transformations ΛL a LΛ must be in the same set as Λ a L. This is not always the case: the composition of two antichronous Lorentz transformations is orthochronous, and the composition of two improper Lorentz transformations is proper. In other words, while the sets ${displaystyle {mathcal {L}}_{+}^{uparrow }}$, ${displaystyle {mathcal {L}}_{+}}$, ${displaystyle {mathcal {L}}^{uparrow }}$, a ${displaystyle {mathcal {L}}_{0}={mathcal {L}}_{+}^{uparrow }cup {mathcal {L}}_{-}^{downarrow }}$ all form subgroups, the sets containing improper and/or antichronous transformations without enough proper orthochronous transformations (e.g. ${displaystyle {mathcal {L}}_{+}^{downarrow }}$, ${displaystyle {mathcal {L}}_{-}^{downarrow }}$, ${displaystyle {mathcal {L}}_{-}^{uparrow }}$) do not form subgroups.

Proper transformations

If a Lorentz covariant 4-vector is measured in one inertial frame with result ${displaystyle X}$, and the same measurement made in another inertial frame (with the same orientation and origin) gives result ${displaystyle X'}$, the two results will be related by

${displaystyle X'=B(mathbf {v} )X}$

where the boost matrix ${displaystyle B(mathbf {v} )}$ represents the Lorentz transformation between the unprimed and primed frames and ${displaystyle mathbf {v}}$ is the velocity of the primed frame as seen from the unprimed frame. The matrix is given by^[17]

${displaystyle B(mathbf {v} )={ egin{bmatrix}gamma &-gamma v_{x}/c&-gamma v_{y}/c&-gamma v_{z}/c-gamma v_{x}/c&1+(gamma -1){dfrac {v_{x}^{2}}{v^{2}}}&(gamma -1){dfrac {v_{x}v_{y}}{v^{2}}}&(gamma -1){dfrac {v_{x}v_{z}}{v^{2}}}-gamma v_{y}/c&(gamma -1){dfrac {v_{y}v_{x}}{v^{2}}}&1+(gamma -1){dfrac {v_{y}^{2}}{v^{2}}}&(gamma -1){dfrac {v_{y}v_{z}}{v^{2}}}-gamma v_{z}/c&(gamma -1){dfrac {v_{z}v_{x}}{v^{2}}}&(gamma -1){dfrac {v_{z}v_{y}}{v^{2}}}&1+(gamma -1){dfrac {v_{z}^{2}}{v^{2}}}end{bmatrix}},}$

kde ${displaystyle v={sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$ is the magnitude of the velocity and ${displaystyle gamma = {frac {1} {sqrt {1- {frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}$ is the Lorentz factor. This formula represents a passive transformation, as it describes how the coordinates of the measured quantity changes from the unprimed frame to the primed frame. The active transformation is given by ${displaystyle B(-mathbf {v} )}$.

If a frame F′ is boosted with velocity u relative to frame F, and another frame F′′ is boosted with velocity proti ve vztahu k F′, the separate boosts are

${displaystyle X''=B(mathbf {v} )X',,quad X'=B(mathbf {u} )X}$

and the composition of the two boosts connects the coordinates in F′′ a F,

${displaystyle X''=B(mathbf {v} )B(mathbf {u} )X,.}$

Successive transformations act on the left. Li u a proti jsou kolineární (parallel or antiparallel along the same line of relative motion), the boost matrices dojíždět: B(proti)B(u) = B(u)B(proti). This composite transformation happens to be another boost, B(w), kde w is collinear with u a proti.

Li u a proti are not collinear but in different directions, the situation is considerably more complicated. Lorentz boosts along different directions do not commute: B(proti)B(u) a B(u)B(proti) nejsou si rovni. Also, each of these compositions is ne a single boost, but they are still Lorentz transformations they each preserve the spacetime interval. It turns out the composition of any two Lorentz boosts is equivalent to a boost followed or preceded by a rotation on the spatial coordinates, in the form of R(ρ)B(w) nebo B(w)R(ρ). The w a w jsou composite velocities, zatímco ρ a ρ are rotation parameters (e.g. axis-angle variables, Euler angles, atd.). The rotation in block matrix form is simply

${displaystyle quad R({ oldsymbol {ho }})={ egin{bmatrix}1&0�&mathbf {R} ({ oldsymbol {ho }})end{bmatrix}},,}$

kde R(ρ) is a 3d rotation matrix, which rotates any 3d vector in one sense (active transformation), or equivalently the coordinate frame in the opposite sense (passive transformation). to je ne simple to connect w a ρ (nebo w a ρ) to the original boost parameters u a proti. In a composition of boosts, the R matrix is named the Wigner rotation, and gives rise to the Thomasova precese. These articles give the explicit formulae for the composite transformation matrices, including expressions for w, ρ, w, ρ.

In this article the axis-angle representation se používá pro ρ. The rotation is about an axis in the direction of a jednotkový vektor E, through angle θ (positive anticlockwise, negative clockwise, according to the pravidlo pravé ruky ). The "axis-angle vector"

${displaystyle { oldsymbol { heta }}= heta mathbf {e} }$

will serve as a useful abbreviation.

Spatial rotations alone are also Lorentz transformations they leave the spacetime interval invariant. Like boosts, successive rotations about different axes do not commute. Unlike boosts, the composition of any two rotations is equivalent to a single rotation. Some other similarities and differences between the boost and rotation matrices include:

• inverze: B(proti)⁻¹ = B(−proti) (relative motion in the opposite direction), and R(θ)⁻¹ = R(−θ) (rotation in the opposite sense about the same axis)
• identity transformation for no relative motion/rotation: B(0) = R(0) = Já
• jednotka určující: det(B) = det(R) = +1. This property makes them proper transformations.
• matrix symmetry: B is symmetric (equals přemístit ), zatímco R is nonsymmetric but ortogonální (transpose equals inverzní, R^T = R⁻¹).

The most general proper Lorentz transformation Λ (proti, θ) includes a boost and rotation together, and is a nonsymmetric matrix. As special cases, Λ (0, θ) = R(θ) a Λ (proti, 0) = B(proti). An explicit form of the general Lorentz transformation is cumbersome to write down and will not be given here. Nevertheless, closed form expressions for the transformation matrices will be given below using group theoretical arguments. It will be easier to use the rapidity parametrization for boosts, in which case one writes Λ (ζ, θ) a B(ζ).

The Lie group SO⁺(3,1)

The set of transformations

${displaystyle {B({ oldsymbol {zeta }}),R({ oldsymbol { heta }}),Lambda ({ oldsymbol {zeta }},{ oldsymbol { heta }})}}$

with matrix multiplication as the operation of composition forms a group, called the "restricted Lorentz group", and is the special indefinite orthogonal group TAK⁺(3,1). (The plus sign indicates that it preserves the orientation of the temporal dimension).

For simplicity, look at the infinitesimal Lorentz boost in the x direction (examining a boost in any other direction, or rotation about any axis, follows an identical procedure). The infinitesimal boost is a small boost away from the identity, obtained by the Taylorova expanze of the boost matrix to first order about ζ = 0,

${displaystyle B_{x}=I+zeta left.{frac {partial B_{x}}{partial zeta }}ight|_{zeta =0}+cdots }$

where the higher order terms not shown are negligible because ζ is small, and B_X is simply the boost matrix in the X směr. The derivative of the matrix is the matrix of derivatives (of the entries, with respect to the same variable), and it is understood the derivatives are found first then evaluated at ζ = 0,

${displaystyle left.{frac {partial B_{x}}{partial zeta }}ight|_{zeta =0}=-K_{x},.}$

For now, K._X is defined by this result (its significance will be explained shortly). In the limit of an infinite number of infinitely small steps, the finite boost transformation in the form of a exponenciální matice is obtained

${displaystyle B_{x}=lim _{Nightarrow infty }left(I-{frac {zeta }{N}}K_{x}ight)^{N}=e^{-zeta K_{x}}}$

Kde limit definition of the exponential has been used (see also characterizations of the exponential function ). More generally^{[pozn. 5]}

${displaystyle B({ oldsymbol {zeta }})=e^{-{ oldsymbol {zeta }}cdot mathbf {K} },,quad R({ oldsymbol { heta }})=e^{{ oldsymbol { heta }}cdot mathbf {J} },.}$

The axis-angle vector θ and rapidity vector ζ are altogether six continuous variables which make up the group parameters (in this particular representation), and the generators of the group are K. = (K._X, K._y, K._z) a J = (J_X, J._y, J._z), each vectors of matrices with the explicit forms^{[pozn. 6]}

${displaystyle K_{x}={ egin{bmatrix}0&1&0&01&0&0&0�&0&0&0�&0&0&0end{bmatrix}},,quad K_{y}={ egin{bmatrix}0&0&1&0�&0&0&01&0&0&0�&0&0&0end{bmatrix}},,quad K_{z}={ egin{bmatrix}0&0&0&1�&0&0&0�&0&0&01&0&0&0end{bmatrix}}}$

${displaystyle J_{x}={ egin{bmatrix}0&0&0&0�&0&0&0�&0&0&-1�&0&1&0end{bmatrix}},,quad J_{y}={ egin{bmatrix}0&0&0&0�&0&0&1�&0&0&0�&-1&0&0end{bmatrix}},,quad J_{z}={ egin{bmatrix}0&0&0&0�&0&-1&0�&1&0&0�&0&0&0end{bmatrix}}}$

These are all defined in an analogous way to K._X above, although the minus signs in the boost generators are conventional. Physically, the generators of the Lorentz group correspond to important symmetries in spacetime: J jsou rotation generators which correspond to moment hybnosti, a K. jsou boost generators which correspond to the motion of the system in spacetime. The derivative of any smooth curve C(t) s C(0) = Já in the group depending on some group parameter t with respect to that group parameter, evaluated at t = 0, serves as a definition of a corresponding group generator G, and this reflects an infinitesimal transformation away from the identity. The smooth curve can always be taken as an exponential as the exponential will always map G smoothly back into the group via t → exp(tG) pro všechny t; this curve will yield G again when differentiated at t = 0.

Expanding the exponentials in their Taylor series obtains

${displaystyle B({ oldsymbol {zeta }})=I-sinh zeta (mathbf {n} cdot mathbf {K} )+(cosh zeta -1)(mathbf {n} cdot mathbf {K} )^{2}}$

${displaystyle R({ oldsymbol { heta }})=I+sin heta (mathbf {e} cdot mathbf {J} )+(1-cos heta )(mathbf {e} cdot mathbf {J} )^{2},.}$

which compactly reproduce the boost and rotation matrices as given in the previous section.

It has been stated that the general proper Lorentz transformation is a product of a boost and rotation. Na infinitezimální level the product

${displaystyle { egin{aligned}Lambda &=(I-{ oldsymbol {zeta }}cdot mathbf {K} +cdots )(I+{ oldsymbol { heta }}cdot mathbf {J} +cdots )&=(I+{ oldsymbol { heta }}cdot mathbf {J} +cdots )(I-{ oldsymbol {zeta }}cdot mathbf {K} +cdots )&=I-{ oldsymbol {zeta }}cdot mathbf {K} +{ oldsymbol { heta }}cdot mathbf {J} +cdots end{aligned}}}$

is commutative because only linear terms are required (products like (θ·J)(ζ·K.) a (ζ·K.)(θ·J) count as higher order terms and are negligible). Taking the limit as before leads to the finite transformation in the form of an exponential

${displaystyle Lambda ({ oldsymbol {zeta }},{ oldsymbol { heta }})=e^{-{ oldsymbol {zeta }}cdot mathbf {K} +{ oldsymbol { heta }}cdot mathbf {J} }.}$

The converse is also true, but the decomposition of a finite general Lorentz transformation into such factors is nontrivial. Zejména,

${displaystyle e^{-{ oldsymbol {zeta }}cdot mathbf {K} +{ oldsymbol { heta }}cdot mathbf {J} }eq e^{-{ oldsymbol {zeta }}cdot mathbf {K} }e^{{ oldsymbol { heta }}cdot mathbf {J} },}$

because the generators do not commute. For a description of how to find the factors of a general Lorentz transformation in terms of a boost and a rotation in principle (this usually does not yield an intelligible expression in terms of generators J a K.), viz Wigner rotation. If, on the other hand, the decomposition is given in terms of the generators, and one wants to find the product in terms of the generators, then the Baker – Campbell – Hausdorffův vzorec applies.

The Lie algebra so(3,1)

Lorentz generators can be added together, or multiplied by real numbers, to obtain more Lorentz generators. Jinými slovy soubor of all Lorentz generators

${displaystyle V={{ oldsymbol {zeta }}cdot mathbf {K} +{ oldsymbol { heta }}cdot mathbf {J} }}$

together with the operations of ordinary přidání matice a multiplication of a matrix by a number, tvoří a vektorový prostor přes reálná čísla.^{[pozn. 7]} Generátory J_X, J._y, J._z, K._X, K._y, K._z formulář a základ množina PROTI, and the components of the axis-angle and rapidity vectors, θ_X, θ_y, θ_z, ζ_X, ζ_y, ζ_z, jsou souřadnice of a Lorentz generator with respect to this basis.^{[pozn. 8]}

Tři z commutation relations of the Lorentz generators are

${displaystyle [J_{x},J_{y}]=J_{z},,quad [K_{x},K_{y}]=-J_{z},,quad [J_{x},K_{y}]=K_{z},,}$

where the bracket [A, B] = AB − BA je známý jako komutátor, and the other relations can be found by taking cyclic permutations of x, y, z components (i.e. change x to y, y to z, and z to x, repeat).

These commutation relations, and the vector space of generators, fulfill the definition of the Lež algebra ${displaystyle {mathfrak {so}}(3,1)}$. In summary, a Lie algebra is defined as a vektorový prostor PROTI přes pole of numbers, and with a binární operace [ , ] (called a Lež držák in this context) on the elements of the vector space, satisfying the axioms of bilinearita, alternatization a Jacobi identita. Here the operation [ , ] is the commutator which satisfies all of these axioms, the vector space is the set of Lorentz generators PROTI as given previously, and the field is the set of real numbers.

Linking terminology used in mathematics and physics: A group generator is any element of the Lie algebra. A group parameter is a component of a coordinate vector representing an arbitrary element of the Lie algebra with respect to some basis. A basis, then, is a set of generators being a basis of the Lie algebra in the usual vector space sense.

The exponenciální mapa from the Lie algebra to the Lie group,

${displaystyle mathrm {exp} ,:,{mathfrak {so}}(3,1)ightarrow mathrm {SO} (3,1),}$

provides a one-to-one correspondence between small enough neighborhoods of the origin of the Lie algebra and neighborhoods of the identity element of the Lie group. It the case of the Lorentz group, the exponential map is just the exponenciální matice. Globally, the exponential map is not one-to-one, but in the case of the Lorentz group, it is surjektivní (onto). Hence any group element in the connected component of the identity can be expressed as an exponential of an element of the Lie algebra.

Improper transformations

Lorentz transformations also include parity inversion

${displaystyle P={ egin{bmatrix}1&0�&-mathbf {I} end{bmatrix}}}$

which negates all the spatial coordinates only, and obrácení času

${displaystyle T={ egin{bmatrix}-1&0�&mathbf {I} end{bmatrix}}}$

which negates the time coordinate only, because these transformations leave the spacetime interval invariant. Tady Já is the 3d matice identity. These are both symmetric, they are their own inverses (see involution (mathematics) ), and each have determinant −1. This latter property makes them improper transformations.

Li Λ is a proper orthochronous Lorentz transformation, then TΛ is improper antichronous, PΛ is improper orthochronous, and TPΛ = PTΛ is proper antichronous.

Inhomogeneous Lorentz group

Two other spacetime symmetries have not been accounted for. For the spacetime interval to be invariant, it can be shown^[18] that it is necessary and sufficient for the coordinate transformation to be of the form

${displaystyle X'=Lambda X+C}$

kde C is a constant column containing translations in time and space. Li C ≠ 0, this is an inhomogeneous Lorentz transformation nebo Poincaréova transformace.^[19][20] Li C = 0, this is a homogeneous Lorentz transformation. Poincaré transformations are not dealt further in this article.

Tensor formulation

Contravariant vectors

Writing the general matrix transformation of coordinates as the matrix equation

${displaystyle { egin{bmatrix}{x'}^{0}{x'}^{1}{x'}^{2}{x'}^{3}end{bmatrix}}={ egin{bmatrix}{Lambda ^{0}}_{0}&{Lambda ^{0}}_{1}&{Lambda ^{0}}_{2}&{Lambda ^{0}}_{3}{Lambda ^{1}}_{0}&{Lambda ^{1}}_{1}&{Lambda ^{1}}_{2}&{Lambda ^{1}}_{3}{Lambda ^{2}}_{0}&{Lambda ^{2}}_{1}&{Lambda ^{2}}_{2}&{Lambda ^{2}}_{3}{Lambda ^{3}}_{0}&{Lambda ^{3}}_{1}&{Lambda ^{3}}_{2}&{Lambda ^{3}}_{3}end{bmatrix}}{ egin{bmatrix}x^{0}x^{1}x^{2}x^{3}end{bmatrix}}}$

umožňuje transformaci dalších fyzikálních veličin, které nelze vyjádřit jako čtyři vektory; např., tenzory nebo rotory libovolného řádu v 4d časoprostoru, bude definováno. V odpovídajícím notace tenzorového indexu, výše uvedený výraz matice je

${displaystyle {x ^ {prime}} ^ {u} = {Lambda ^ {u}} _ {mu} x ^ {mu},}$

kde štítek dolního a horního indexu kovariantní a kontrariantní komponenty respektive^[21] a konvence součtu je použito. Používá se standardní konvence řecký indexy, které mají hodnotu 0 pro časové komponenty a 1, 2, 3 pro vesmírné komponenty, zatímco latinský indexy jednoduše mají pro prostorové komponenty hodnoty 1, 2, 3. Všimněte si, že první index (čtení zleva doprava) odpovídá v maticové notaci a index řádků. Druhý index odpovídá indexu sloupce.

Transformační matice je univerzální pro všechny čtyři vektory, nejen 4-rozměrné časoprostorové souřadnice. Li A je libovolný čtyři vektor, pak v notace tenzorového indexu

${displaystyle {A ^ {prime}} ^ {u} = {Lambda ^ {u}} _ {mu} A ^ {mu} ,.}$

Alternativně jeden píše

${displaystyle A ^ {u '} = {Lambda ^ {u'}} _ {mu} A ^ {mu} ,.}$

ve kterém primované indexy označují indexy A v aktivovaném rámci. Tento zápis snižuje riziko vyčerpání řecké abecedy zhruba na polovinu.

Pro generála n-komponentní objekt, který lze zapisovat

${displaystyle {X '} ^ {alpha} = {Pi (Lambda) ^ {alpha}} _ {eta} X ^ {eta} ,,}$

kde Π je vhodné zastoupení skupiny Lorentz, an n×n matice pro každého Λ. V tomto případě by indexy měly ne být myšlenka jako časoprostorové indexy (někdy nazývané Lorentzovy indexy) a vycházejí z 1 na n. Např. Pokud X je bispinor, pak se indexy nazývají Dirac indexy.

Kovovariantní vektory

Existují také vektorové veličiny s kovariantními indexy. Obecně se získávají z jejich odpovídajících objektů s kontrariantními indexy operací snížení indexu; např.,

${displaystyle x_ {u} = eta _ {mu u} x ^ {mu},}$

kde η je metrický tenzor. (Propojený článek také poskytuje více informací o tom, jaká je matematicky operace zvyšování a snižování indexů.) Inverzní inverze této transformace je dána vztahem

${displaystyle x ^ {mu} = eta ^ {mu u} x_ {u},}$

kde, při pohledu na matice, η^μν je inverzní k η_μν. Jak se to stane, η^μν = η_μν. Toto se označuje jako zvýšení indexu. Transformovat kovariantní vektor A_μ, nejprve zvedněte jeho index a poté jej transformujte podle stejného pravidla jako pro kontravariant 4-vektory, pak konečně snížit index;

${displaystyle {A '} _ {u} = eta _ {ho u} {Lambda ^ {ho}} _ {sigma} eta ^ {mu sigma} A_ {mu}.}$

Ale

${displaystyle eta _ {ho u} {Lambda ^ {ho}} _ {sigma} eta ^ {mu sigma} = {left (Lambda ^ {- 1} ight) ^ {mu}} _ {u},}$

To je (μ, ν)- součást inverzní Lorentzova transformace. Jeden definuje (jako záležitost notace),

${displaystyle {Lambda _ {u}} ^ {mu} equiv {left (Lambda ^ {- 1} ight) ^ {mu}} _ {u},}$

a může v tomto zápisu psát

${displaystyle {A '} _ {u} = {Lambda _ {u}} ^ {mu} A_ {mu}.}$

Nyní pro jemnost. Implikovaný součet na pravé straně

${displaystyle {A '} _ {u} = {Lambda _ {u}} ^ {mu} A_ {mu} = {left (Lambda ^ {- 1} ight) ^ {mu}} _ {u} A_ {mu }}$

běží index řádků matice představující Λ⁻¹. Z hlediska matic by tedy tato transformace měla být považována za inverzní transpozice z Λ působící na vektor sloupce A_μ. To znamená v čisté maticové notaci,

${displaystyle A '= left (Lambda ^ {- 1} ight) ^ {mathrm {T}} A.}$

To znamená přesně to, že kovariační vektory (považované za sloupcové matice) se transformují podle dvojí zastoupení standardního zastoupení skupiny Lorentz. Tento pojem se zobecňuje na obecná vyjádření, jednoduše nahradit Λ s Π (Λ).

Tenzory

Li A a B jsou lineární operátory vektorových prostorů U a PROTI, pak lineární operátor A ⊗ B mohou být definovány na tenzorový produkt z U a PROTI, označeno U ⊗ PROTI podle^[22]

Z toho je okamžitě jasné, že pokud u a proti jsou čtyři vektory v PROTI, pak u ⊗ proti ∈ T₂PROTI ≡ PROTI ⊗ PROTI transformuje jako

Druhý krok využívá bilinearitu tenzorového produktu a poslední krok definuje 2-tenzor v podobě komponenty, nebo spíše jen přejmenuje tenzor u ⊗ proti.

Tato pozorování zevšeobecňují zjevným způsobem na více faktorů as využitím skutečnosti, že obecný tenzor ve vektorovém prostoru PROTI lze zapsat jako součet koeficientu (složky!) krát tenzorových součinů bazických vektorů a bazických vektorů, dospějeme k zákonu transformace pro libovolný tenzor Množství T. Je to dáno^[23]

kde Λ_{χ ′}^ψ je definováno výše. Tuto formu lze obecně zredukovat na formu obecně n-komponentní objekty uvedené výše s jedinou maticí (Π (Λ)) pracující na vektorech sloupců. Tato druhá forma je někdy výhodná; např. pro tenzor elektromagnetického pole.

Transformace elektromagnetického pole

Lorentzovo zvýšení elektrického náboje, náboj je v klidu v jednom nebo druhém snímku.

Lorentzovy transformace lze také použít k ilustraci, že magnetické pole B a elektrické pole E jsou prostě různé aspekty stejné síly - elektromagnetická síla, jako důsledek relativního pohybu mezi elektrické náboje a pozorovatelé.^[24] Skutečnost, že elektromagnetické pole vykazuje relativistické účinky, je zřejmá provedením jednoduchého myšlenkového experimentu.^[25]

• Pozorovatel měří náboj v klidu v rámci F. Pozorovatel detekuje statické elektrické pole. Vzhledem k tomu, že náboj je v tomto rámci nehybný, není zde elektrický proud, takže pozorovatel nepozoruje žádné magnetické pole.
• Druhý pozorovatel v rámci F 'se pohybuje rychlostí proti vzhledem k F a náboji. Tento pozorovatel vidí jiné elektrické pole, protože náboj se pohybuje rychlostí −proti v odpočinkovém rámu. Pohyb náboje odpovídá elektrický proud, a tedy pozorovatel v rámci F 'vidí také magnetické pole.

Elektrické a magnetické pole se transformuje odlišně od prostoru a času, ale přesně stejným způsobem jako relativistická momentová hybnost a vektor podpory.

Tenzor intenzity elektromagnetického pole je dán vztahem

${displaystyle F ^ {mu u} = {egin {bmatrix} 0 & - {frac {1} {c}} E_ {x} & - {frac {1} {c}} E_ {y} & - {frac {1 } {c}} E_ {z} {frac {1} {c}} E_ {x} & 0 & -B_ {z} & B_ {y} {frac {1} {c}} E_ {y} & B_ {z } & 0 & -B_ {x} {frac {1} {c}} E_ {z} & - B_ {y} & B_ {x} & 0end {bmatrix}} {ext {(jednotky SI, podpis}} (+, - , -, -) {ext {)}}.}$

v SI jednotky. V relativitě je Gaussova soustava jednotek je často upřednostňován před jednotkami SI, a to i v textech, jejichž hlavní volbou jednotek jsou jednotky SI, protože v něm je elektrické pole E a magnetická indukce B mají stejné jednotky, které vypadají jako tenzor elektromagnetického pole přirozenější.^[26] Zvažte podporu Lorentz v X-směr. Je to dáno^[27]

${displaystyle {Lambda ^ {mu}} _ {u} = {egin {bmatrix} gamma & -gamma eta & 0 & 0 -gamma eta & gamma & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}, qquad F ^ {mu u} = {egin {bmatrix} 0 & E_ {x} & E_ {y} & E_ {z} - E_ {x} & 0 & B_ {z} & - B_ {y} - E_ {y} & - B_ {z} & 0 & B_ {x} -E_ {z} & B_ {y} & - B_ {x} & 0end {bmatrix}} {ext {(gaussovské jednotky, podpis}} (-, +, +, +) {ext {)}},}$

kde je zobrazen tenzor pole vedle sebe pro nejjednodušší možnou referenci v níže uvedených manipulacích.

Obecný zákon transformace (T3) se stává

${displaystyle F ^ {mu 'u'} = {Lambda ^ {mu '}} _ {mu} {Lambda ^ {u'}} _ {u} F ^ {mu u}.}$

Pro magnetické pole se získá

${displaystyle {egin {aligned} B_ {x '} & = F ^ {2'3'} = {Lambda ^ {2}} _ {mu} {Lambda ^ {3}} _ {u} F ^ {mu u } = {Lambda ^ {2}} _ {2} {Lambda ^ {3}} _ {3} F ^ {23} = 1 obrázek 1 obrázek B_ {x} & = B_ {x}, B_ {y '} & = F ^ {3'1'} = {Lambda ^ {3}} _ {mu} {Lambda ^ {1}} _ {u} F ^ {mu u} = {Lambda ^ {3}} _ {3} {Lambda ^ {1}} _ {u} F ^ {3u} = {Lambda ^ {3}} _ {3} {Lambda ^ {1}} _ {0} F ^ {30} + {Lambda ^ {3}} _ {3} {Lambda ^ {1}} _ {1} F ^ {31} & = 1 imes (- eta gamma) (- E_ {z}) + 1 imes gamma B_ {y} = gamma B_ {y} + eta gamma E_ {z} & = gamma left (mathbf {B} - {oldsymbol {eta}} imes mathbf {E} ight) _ {y} B_ {z '} & = F ^ {1'2 '} = {Lambda ^ {1}} _ {mu} {Lambda ^ {2}} _ {u} F ^ {mu u} = {Lambda ^ {1}} _ {mu} {Lambda ^ {2}} _ {2} F ^ {mu 2} = {Lambda ^ {1}} _ {0} {Lambda ^ {2}} _ {2} F ^ {02} + {Lambda ^ {1} } _ {1} {Lambda ^ {2}} _ {2} F ^ {12} & = (- gamma eta) jsou 1 imes E_ {y} + gamma imes 1 imes B_ {z} = gamma B_ {z } - eta gamma E_ {y} & = zbývající gamma (mathbf {B} - {oldsymbol {eta}} imes mathbf {E} ight) _ {z} konec {zarovnáno}}}$