Neurčitá ortogonální skupina - Indefinite orthogonal group
v matematika, neurčitá ortogonální skupina, Ó(p, q) je Lež skupina ze všech lineární transformace z n-dimenzionální nemovitý vektorový prostor které ponechávají invariantní a nedegenerovat, symetrická bilineární forma z podpis (p, q), kde n = p + q. Rozměr skupiny je n(n − 1)/2.
The neurčitá speciální ortogonální skupina, TAK(p, q) je podskupina z Ó(p, q) skládající se ze všech prvků s určující 1. Na rozdíl od definitivního případu TAK(p, q) není připojen - má 2 komponenty - a existují dvě další podskupiny konečných indexů, a to připojené TAK+(p, q) a Ó+(p, q), který má 2 komponenty - viz § Topologie pro definici a diskusi.
Podpis formuláře určuje skupinu až izomorfismus; zaměňovat p s q znamená nahrazení metriky jejím záporem, a tedy dává stejnou skupinu. Pokud ano p nebo q se rovná nule, pak je skupina isomorfní vůči obyčejné ortogonální skupina Ó(n). Z toho, co následuje, předpokládáme, že oba p a q jsou pozitivní.
Skupina Ó(p, q) je definován pro vektorové prostory nad realita. Pro komplex mezery, všechny skupiny Ó(p, q; C) jsou izomorfní jako obvykle ortogonální skupina Ó(p + q; C), protože transformace změní podpis formuláře. To by nemělo být zaměňováno s neurčitá unitární skupina U (p, q) který zachovává a sesquilineární forma podpisu (p, q).
V sudé dimenzi n = 2p, Ó(p, p) je známý jako rozdělit ortogonální skupinu.
Příklady

Základním příkladem je zmáčkněte mapování, což je skupina TAK+(1, 1) lineární transformace (složka identity) zachovávající jednotka hyperbola. Konkrétně se jedná o matice a lze je interpretovat jako hyperbolické rotace, stejně jako skupinu SO (2) lze interpretovat jako kruhové rotace.
Ve fyzice je Skupina Lorentz O (1,3) má zásadní význam, je prostředím pro elektromagnetismus a speciální relativita. (Některé texty používají O (3,1) pro skupinu Lorentz; nicméně, O (1,3) převládá v kvantová teorie pole protože geometrické vlastnosti Diracova rovnice jsou přirozenější O (1,3).)
Definice matice
Lze definovat Ó(p, q) jako skupina matice, stejně jako u klasiky ortogonální skupina Ó(n). Zvažte diagonální matice dána
Pak můžeme definovat a symetrická bilineární forma na podle vzorce
- ,
kde je standard vnitřní produkt na .
Poté definujeme být skupinou matice, které zachovávají tuto bilineární formu:[1]
- .
Přesněji řečeno, sestává z matic takhle[2]
- ,
kde je transpozice .
Jeden získá izomorfní skupinu (ve skutečnosti konjugovanou podskupinu GL (p + q)) nahrazením G s jakýmkoli symetrická matice s p kladná vlastní čísla a q negativní. Diagonalizace této matice dává konjugaci této skupiny se standardní skupinou Ó(p, q).
Topologie
Za předpokladu obou p a q nejsou pozitivní, ani jedna ze skupin Ó(p, q) ani TAK(p, q) jsou připojeno se čtyřmi a dvěma složkami.π0(Ó(p, q)) ≅ C.2 × C.2 je Kleinova čtyřčlenná skupina, přičemž každý faktor je, zda prvek zachovává nebo obrací příslušnou orientaci na p a q dimenzionální podprostory, na nichž je forma definitivní; Všimněte si, že obrácení orientace pouze v jednom z těchto podprostorů obrátí orientaci v celém prostoru. Speciální ortogonální skupina má komponenty π0(TAK(p, q)) = {(1, 1), (−1, −1)}, z nichž každá zachovává obě orientace nebo obrací obě orientace, v obou případech zachovává celkovou orientaci.[je zapotřebí objasnění ]
The složka identity z Ó(p, q) je často označován TAK+(p, q) a lze jej identifikovat se sadou prvků v TAK(p, q) které zachovávají obě orientace. Tato notace souvisí s notací Ó+(1, 3) pro ortochronní Lorentzova skupina, kde + odkazuje na zachování orientace v první (časové) dimenzi.
Skupina Ó(p, q) také není kompaktní, ale obsahuje kompaktní podskupiny O (p) a O (q) působící na podprostory, ve kterých je forma definitivní. Ve skutečnosti, Ó(p) × O (q) je maximální kompaktní podskupina z Ó(p, q), zatímco TAK(p) × O (q)) je maximální kompaktní podskupina TAK(p, q).Rovněž, TAK(p) × SO (q) je maximální kompaktní podskupina TAK+(p, q)Mezery jsou tedy homotopy ekvivalentní produktům (zvláštních) ortogonálních skupin, ze kterých lze vypočítat algebro-topologické invarianty. (Vidět https://en.wikipedia.org/wiki/Maximal_compact_subgroup#Topology.)
Zejména základní skupina z TAK+(p, q) je produktem základních skupin komponent, π1(TAK+(p, q)) = π1(TAK(p)) × π1(TAK(q)), a je dán vztahem:
π1(TAK+(p, q)) p = 1 p = 2 p ≥ 3 q = 1 C1 Z C2 q = 2 Z Z × Z Z × C.2 q ≥ 3 C2 C2 × Z. C2 × C.2
Rozdělte ortogonální skupinu
V sudých rozměrech střední skupina Ó(n, n) je známý jako rozdělit ortogonální skupinu, a je zvláště zajímavý, protože se vyskytuje jako skupina T-dualita transformace v teorii strun, například. To je rozdělit Lieovu skupinu odpovídající komplexu Lež algebra tak2n (Lieova skupina rozdělit skutečnou podobu Lieovy algebry); přesněji je složkou identity rozdělená Lieova skupina, protože jiné než identické komponenty nelze rekonstruovat z Lieovy algebry. V tomto smyslu je opačný k určité ortogonální skupině Ó(n): = O (n, 0) = O (0, n), který je kompaktní skutečná podoba komplexu Lie algebra.
Pouzdro (1, 1) odpovídá multiplikativní skupina z rozdělit-komplexní čísla.
Z hlediska bytí a skupina typu Lie - tj. Konstrukce algebraické skupiny z Lieovy algebry - rozdělené ortogonální skupiny jsou Skupiny Chevalley, zatímco nerozdělené ortogonální skupiny vyžadují trochu složitější konstrukci a jsou Steinbergovy skupiny.
Rozdělené ortogonální skupiny se používají ke konstrukci generalizovaná odrůda vlajky přes nealgebraicky uzavřená pole.
![]() | Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Březen 2011) |
Viz také
Reference
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Reprezentations: An Elementary Introduction, Postgraduální texty z matematiky, 222 (2. vyd.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Anthony Knapp, Skupiny lži nad rámec úvodu, Druhé vydání, Progress in Mathematics, roč. 140, Birkhäuser, Boston, 2002. ISBN 0-8176-4259-5 - viz neurčitá ortogonální skupina na straně 372
- V. L. Popov (2001) [1994], „Ortogonální skupina“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Joseph A. Wolf, Prostory konstantního zakřivení, (1967) strana. 335.