Gyrovektorový prostor - Gyrovector space

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet produkt věnce jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

A gyrovektorový prostor je matematický koncept navržený Abrahamem A. Ungarem pro studium hyperbolická geometrie analogickým způsobem vektorové prostory jsou používány v Euklidovská geometrie.^[1] Ungar představil koncept gyrovektorů, které mají sčítání založené na gyroskupinách místo vektorů, které mají sčítání založené na skupiny. Ungar vyvinul svůj koncept jako nástroj pro formulaci speciální relativita jako alternativa k použití Lorentzovy transformace reprezentovat skladby rychlostí (nazývané také zvyšuje - "boosty" jsou aspekty relativní rychlosti, a nemělo by být zaměňováno s „překlady "). Toho je dosaženo zavedením" operátorů gyroskopu "; dva 3d vektory rychlosti se používají ke konstrukci operátoru, který působí na jinou 3d rychlost.

název

Gyroskupiny jsou slabě asociativní skupinové struktury. Ungar navrhl termín gyroskupina pro to, co nazval gyrocommutative-gyrogroup, přičemž termín gyrogroup byl vyhrazen pro případ non-gyrocommutative, analogicky k skupinám vs. abelian skupin. Gyroskupiny jsou typem Bol smyčka. Gyrocommutative gyroskupiny jsou ekvivalentní k K-smyčky^[2] i když jsou definovány odlišně. Podmínky Bruckova smyčka^[3] a dyadic symset^[4] jsou také používány.

Matematika gyrovektorových prostorů

Gyroskupiny

Axiomy

A magma (G, ${displaystyle oplus}$) je gyroskupina Pokud je to binární operace splňuje následující axiomy:

1. v G existuje alespoň jeden prvek 0, který se nazývá levá identita s 0${displaystyle oplus}$A = A pro všechny A ∈ G.
2. Pro každého A ∈ G existuje prvek ${displaystyle ominus}$A v G nazývá se levá inverzní funkce s ${displaystyle ominus}$A${displaystyle oplus}$A = 0.
3. Pro všechny A, b, C v G existuje jedinečný prvek gyr [A, b]C v G tak, že binární operace se řídí levým gyroasociativním zákonem: A${displaystyle oplus}$(b${displaystyle oplus}$C) = (A${displaystyle oplus}$b)${displaystyle oplus}$gyr [A, b]C
4. The map gyr [A, b]:G → G dána C → gyr [A, b]C je automorfismus magmatu (G, ${displaystyle oplus}$). To je gyr [A, b] je členem Aut (G, ${displaystyle oplus}$) a automorfismusA, b] z G se nazývá gyroautomorfismus z G generováno uživatelem A, b v G. Operace gyr:G × G → Aut (G, ${displaystyle oplus}$) se nazývá gyrator G.
5. Gyroautomorfismus gyr [A, b] má levou stranu smyčka majetek gyr [A, b] = gyr [A${displaystyle oplus}$b, b]

První pár axiomů je jako skupina axiomy. Poslední pár představuje axiómy gyrátoru a prostřední axiom spojuje tyto dva páry.

Vzhledem k tomu, že gyroskupina má inverze a identitu, kvalifikuje se jako kvazigroup a a smyčka.

Gyroskupiny jsou zobecněním skupiny. Každá skupina je příkladem gyroskupiny s gyry definovanými jako mapa identity.

Příklad konečné gyroskupiny je uveden v.^[5]

Totožnosti

Některé identity, které platí v jakékoli gyroskupině (G,${displaystyle oplus}$):

1. ${displaystyle mathrm {gyr} [mathbf {u}, mathbf {v}] mathbf {w} = ominus (mathbf {u} oplus mathbf {v}) oplus (mathbf {u} oplus (mathbf {v} oplus mathbf {w }))}$ (kroužení)
2. ${displaystyle mathbf {u} oplus (mathbf {v} oplus mathbf {w}) = (mathbf {u} oplus mathbf {v}) oplus mathrm {gyr} [mathbf {u}, mathbf {v}] mathbf {w} }$ (asociativita vlevo)
3. ${displaystyle (mathbf {u} oplus mathbf {v}) oplus mathbf {w} = mathbf {u} oplus (mathbf {v} oplus mathrm {gyr} [mathbf {v}, mathbf {u}] mathbf {w}) }$ (pravá asociativita)

Více identit je uvedeno na straně 50.^[6]

Gyrospolečnost

Gyroskupina (G,${displaystyle oplus}$) je gyrocommutative, pokud se jeho binární operace řídí gyrocommutativním zákonem: a ${displaystyle oplus}$ b = gyr [a, b] (nar ${displaystyle oplus}$ A). Pro přidání relativistické rychlosti byl tento vzorec ukazující roli rotace týkající se a + b a b + a publikován v roce 1914 Ludwik Silberstein^[7][8]

Soužití

V každé gyroskupině lze definovat druhou operaci nazvanou soužití: a${displaystyle oxplus}$ b = a${displaystyle oplus}$ gyr [a,${displaystyle ominus}$b] b pro všechna a, b ∈ G. Koadice je komutativní, pokud je přidání gyroskupiny gyrocommutativní.

Model kotouče / koule Beltrami – Klein a doplněk Einstein

Relativistické rychlosti lze považovat za body v Model Beltrami – Klein hyperbolické geometrie a tak přidání vektoru v modelu Beltrami – Klein může být dáno pomocí přidání rychlosti vzorec. Aby vzorec zobecnil na sčítání vektorů v hyperbolickém prostoru dimenzí větších než 3, musí být vzorec napsán ve formě, která se vyhne použití křížový produkt ve prospěch Tečkovaný produkt.

Obecně platí, že Einstein přidání rychlosti dvou rychlostí ${displaystyle mathbf {u}}$ a ${displaystyle mathbf {v}}$ je uveden ve formě nezávislé na souřadnicích jako:

${displaystyle mathbf {u} oplus _ {E} mathbf {v} = {frac {1} {1+ {frac {mathbf {u} cdot mathbf {v}} {c ^ {2}}}}} vlevo {mathbf {u} + {frac {1} {gamma _ {mathbf {u}}}} mathbf {v} + {frac {1} {c ^ {2}}} {frac {gamma _ {mathbf {u}}} {1 + gamma _ {mathbf {u}}}} (mathbf {u} cdot mathbf {v}) mathbf {u} ight}}$

kde ${displaystyle gamma _ {mathbf {u}}}$ je faktor gama daný rovnicí ${displaystyle gamma _ {mathbf {u}} = {frac {1} {sqrt {1- {frac {| mathbf {u} | ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}$.

Pomocí souřadnic se stane:

${displaystyle {egin {pmatrix} w_ {1} w_ {2} w_ {3} end {pmatrix}} = {frac {1} {1+ {frac {u_ {1} v_ {1} + u_ { 2} v_ {2} + u_ {3} v_ {3}} {c ^ {2}}}}} vlevo {vlevo [1+ {frac {1} {c ^ {2}}} {frac {gamma _ {mathbf {u}}} {1 + gamma _ {mathbf {u}}}} (u_ {1} v_ {1} + u_ {2} v_ {2} + u_ {3} v_ {3}) ight] {egin {pmatrix} u_ {1} u_ {2} u_ {3} end {pmatrix}} + {frac {1} {gamma _ {mathbf {u}}}} {egin {pmatrix} v_ {1 } v_ {2} v_ {3} end {pmatrix}} vpravo}}$

kde ${displaystyle gamma _ {mathbf {u}} = {frac {1} {sqrt {1- {frac {u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2} + u_ {3} ^ {2} } {c ^ {2}}}}}}}$.

Přidání rychlosti Einstein je komutativní a asociativní pouze když ${displaystyle mathbf {u}}$ a ${displaystyle mathbf {v}}$ jsou paralelní. Ve skutečnosti

${displaystyle mathbf {u} oplus mathbf {v} = mathrm {gyr} [mathbf {u}, mathbf {v}] (mathbf {v} oplus mathbf {u})}$

a

${displaystyle mathbf {u} oplus (mathbf {v} oplus mathbf {w}) = (mathbf {u} oplus mathbf {v}) oplus mathrm {gyr} [mathbf {u}, mathbf {v}] mathbf {w} }$

kde „gyr“ je matematická abstrakce Thomasova precese do operátora zvaného Thomas gyration a zadaného

${displaystyle mathrm {gyr} [mathbf {u}, mathbf {v}] mathbf {w} = ominus (mathbf {u} oplus mathbf {v}) oplus (mathbf {u} oplus (mathbf {v} oplus mathbf {w }))}$

pro všechny w. Thomasova precese má v hyperbolické geometrii interpretaci jako negativní hyperbolický trojúhelník přeběhnout.

Lorentzovo transformační složení

Pokud je maticový tvar 3 × 3 rotace aplikovaný na 3 souřadnice uveden pomocí gyr [u,proti], potom je rotace matice 4 × 4 aplikovaná na 4 souřadnice dána vztahem:

${displaystyle mathrm {Gyr} [mathbf {u}, mathbf {v}] = {egin {pmatrix} 1 & 0 0 & mathrm {gyr} [mathbf {u}, mathbf {v}] konec {pmatrix}}}$.^[9]

Složení dvou Lorentz posiluje B (u) a B (proti) rychlostí u a proti darováno:^[9][10]

${displaystyle B (mathbf {u}) B (mathbf {v}) = B (mathbf {u} oplus mathbf {v}) mathrm {Gyr} [mathbf {u}, mathbf {v}] = mathrm {Gyr} [ mathbf {u}, mathbf {v}] B (mathbf {v} oplus mathbf {u})}$

Tato skutečnost, že buď B (u${displaystyle oplus}$proti) nebo B (proti${displaystyle oplus}$u) lze použít v závislosti na tom, zda rotaci zapíšete před nebo po vysvětlení paradox složení rychlosti.

Složení dvou Lorentzových transformací L (u, U) a L (proti, V), které zahrnují rotace U a V, je dáno vztahem:^[11]

${displaystyle L (mathbf {u}, U) L (mathbf {v}, V) = L (mathbf {u} oplus Umathbf {v}, mathrm {gyr} [mathbf {u}, Umathbf {v}] UV) }$

Ve výše uvedeném lze podporu představovat jako matici 4 × 4. Posilovací matice B (proti) znamená podporu B, která využívá komponenty proti, tj. proti₁, proti₂, proti₃ v položkách matice, nebo spíše jejích složek proti/C v reprezentaci použité v sekci Lorentzova transformace # Maticové formy. Položky matice závisí na složkách 3-rychlosti proti, a to je to, co notace B (proti) znamená. Dalo by se tvrdit, že položky závisí na složkách rychlosti 4, protože 3 položky rychlosti 4 jsou stejné jako položky rychlosti 3, ale užitečnost parametrizace posílení rychlostí 3 je že výsledný boost, který získáte ze složení dvou boostů, využívá komponenty 3-rychlostní kompozice u${displaystyle oplus}$proti v matici 4 × 4 B (u${displaystyle oplus}$proti). Ale výsledná podpora musí být také vynásobena rotační maticí, protože složení podpory (tj. Násobení dvou matic 4 × 4) nemá za následek čistou podporu, ale podporu a rotaci, tj. Matici 4 × 4, která odpovídá rotace Gyr [u,proti] dostat B (u) B (proti) = B (u${displaystyle oplus}$proti) Gyr [u,proti] = Gyr [u,proti] B (proti${displaystyle oplus}$u).

Einsteinovy ​​gyrovektorové prostory

Nechť s je libovolná kladná konstanta, ať (V, + ,.) bude jakákoli skutečná vnitřní produktový prostor a nechte V_s={proti ∈ V: |proti| PROTI_s, ${displaystyle oplus}$, ${zobrazovací doba}$) je Einsteinova gyroskupina (PROTI_s, ${displaystyle oplus}$) se skalárním násobením daným r${zobrazovací doba}$proti = s tanh (r tanh⁻¹(|proti|/s))proti/|proti| kde r je jakékoli skutečné číslo, proti  ∈ PROTI_s, proti ≠ 0 a r ${zobrazovací doba}$ 0 = 0 s notací proti ${zobrazovací doba}$ r = r ${zobrazovací doba}$ proti.

Einsteinovo skalární násobení se nerozšíří po Einsteinově sčítání kromě případů, kdy jsou gyrovektory kolineární (monodistributivita), ale má další vlastnosti vektorových prostorů: Pro jakékoli kladné celé číslo n a pro všechna reálná čísla r,r₁,r₂ a proti  ∈ PROTI_{s '}:

n ${zobrazovací doba}$ proti = proti ${displaystyle oplus}$ ... ${displaystyle oplus}$ proti	n podmínky
(r1 + r2) ${zobrazovací doba}$ proti = r1 ${zobrazovací doba}$ proti ${displaystyle oplus}$ r2 ${zobrazovací doba}$ proti	Skalární distributivní zákon
(r1r2) ${zobrazovací doba}$ proti = r1 ${zobrazovací doba}$ (r2 ${zobrazovací doba}$ proti)	Skalární asociativní zákon
r ${zobrazovací doba}$(r1 ${zobrazovací doba}$ A ${displaystyle oplus}$ r2 ${zobrazovací doba}$ A) = r ${zobrazovací doba}$(r1 ${zobrazovací doba}$ A) ${displaystyle oplus}$ r ${zobrazovací doba}$(r2 ${zobrazovací doba}$ A)	Monodistribuční právo

Poincaré model kotouče a koule a přídavek Möbius

The Möbiova transformace otevřeného disku jednotky v složité letadlo je dána polárním rozkladem

${displaystyle z o {e ^ {i heta}} {frac {a + z} {1 + a {ar {z}}}}}$ které lze zapsat jako ${displaystyle e ^ {i heta} {(aoplus _ {M} {z})}}$ který definuje Möbiovu sčítání ${displaystyle {aoplus _ {M} {z}} = {frac {a + z} {1 + a {ar {z}}}}}$.

Abychom to zobecnili na vyšší dimenze, komplexní čísla se považují za vektory v rovině ${displaystyle mathbf {mathrm {R}} ^ {2}}$a Möbiovy sčítání je přepsáno ve vektorové podobě jako:

${displaystyle mathbf {u} oplus _ {M} mathbf {v} = {frac {(1+ {frac {2} {s ^ {2}}} mathbf {u} cdot mathbf {v} + {frac {1} {s ^ {2}}} | mathbf {v} | ^ {2}) mathbf {u} + (1- {frac {1} {s ^ {2}}} | mathbf {u} | ^ {2} ) mathbf {v}} {1+ {frac {2} {s ^ {2}}} mathbf {u} cdot mathbf {v} + {frac {1} {s ^ {4}}} | mathbf {u} | ^ {2} | mathbf {v} | ^ {2}}}}$

To dává vektorovému sčítání bodů v Poincarého míč model hyperbolické geometrie, kde s = 1 pro disk komplexní jednotky se nyní stává libovolným s> 0.

Möbiovy gyrovektorové prostory

Nechť s je libovolná kladná konstanta, ať (V, + ,.) bude jakákoli skutečná vnitřní produktový prostor a nechte V_s={proti ∈ V: |proti| PROTI_s, ${displaystyle oplus}$, ${zobrazovací doba}$) je Möbiova gyroskupina (PROTI_s, ${displaystyle oplus}$) se skalárním násobením daným r ${zobrazovací doba}$proti = s tanh (r tanh⁻¹(|proti|/s))proti/|proti| kde r je jakékoli skutečné číslo, proti  ∈ PROTI_s, proti ≠ 0 a r ${zobrazovací doba}$ 0 = 0 s notací proti ${zobrazovací doba}$ r = r ${zobrazovací doba}$ proti.

Möbiova skalární multiplikace se shoduje s Einsteinovým skalárním množením (viz část výše), a to pramení z Möbiovy adice a Einsteinovy ​​adice shodné pro vektory, které jsou paralelní.

Správný rychlostní prostorový model a správné přidání rychlosti

Správný rychlostní prostorový model hyperbolické geometrie je dán vztahem správné rychlosti s přidáním vektoru daným správným vzorcem přidání rychlosti:^[6][12][13]

${displaystyle mathbf {u} oplus _ {U} mathbf {v} = mathbf {u} + mathbf {v} + left {{frac {eta _ {mathbf {u}}} {1+ eta _ {mathbf {u} }}} {frac {mathbf {u} cdot mathbf {v}} {c ^ {2}}} + {frac {1- eta _ {mathbf {v}}} {eta _ {mathbf {v}}}} ight} mathbf {u}}$

kde ${displaystyle eta _ {mathbf {w}}}$ je beta faktor daný ${displaystyle eta _ {mathbf {w}} = {frac {1} {sqrt {1+ {frac {| mathbf {w} | ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}$.

Tento vzorec poskytuje model, který využívá celý prostor ve srovnání s jinými modely hyperbolické geometrie, které používají disky nebo poloroviny.

Správný rychlostní prostor gyrovektorů je skutečný vnitřní produktový prostor V se správným přidáním rychlosti gyroskupiny ${displaystyle oplus _ {U}}$ a se skalárním násobením definovaným r ${zobrazovací doba}$proti = s sinh (r sinh⁻¹(|proti|/s))proti/|proti| kde r je jakékoli skutečné číslo, proti  ∈ PROTI, proti ≠ 0 a r ${zobrazovací doba}$ 0 = 0 s notací proti ${zobrazovací doba}$ r = r ${zobrazovací doba}$ proti.

Izomorfismy

Gyrovektorový prostor izomorfismus zachovává sčítání gyroskupin a skalární množení a vnitřní součin.

Tři gyrovektorové prostory Möbius, Einstein a Správná rychlost jsou izomorfní.

Pokud jsou M, E a U Möbiovy, Einsteinovy ​​a Správné rychlosti gyrovektorové prostory s prvky proti_m, proti_E a proti_u pak jsou izomorfismy dány vztahem:

E${displaystyle ightarrow}$U podle ${displaystyle gamma _ {mathbf {v} _ {e}} mathbf {v} _ {e}}$

U${displaystyle ightarrow}$E by ${displaystyle eta _ {mathbf {v} _ {u}} mathbf {v} _ {u}}$

E${displaystyle ightarrow}$M od ${displaystyle {frac {1} {2}} další _ {E} mathbf {v} _ {e}}$

M${displaystyle ightarrow}$E by ${displaystyle 2otimes _ {M} mathbf {v} _ {m}}$

M${displaystyle ightarrow}$U podle ${displaystyle 2 {{{gamma} ^ {2}} _ {mathbf {v} _ {m}}} mathbf {v} _ {m}}$

U${displaystyle ightarrow}$M od ${displaystyle {frac {eta _ {mathbf {v} _ {u}}} {1+ eta _ {mathbf {v} _ {u}}}} mathbf {v} _ {u}}$

Z této tabulky je vztah mezi ${displaystyle oplus _ {E}}$ a ${displaystyle oplus _ {M}}$ je dáno rovnicemi:

${displaystyle mathbf {u} oplus _ {E} mathbf {v} = zbývá 2krát ({{frac {1} {2}} otimes mathbf {u} oplus _ {M} {frac {1} {2}} otimes mathbf {v}} hned)}$

${displaystyle mathbf {u} oplus _ {M} mathbf {v} = {frac {1} {2}} několikrát zbývá ({2otimes mathbf {u} oplus _ {E} 2krát mathbf {v}} ight)}$

To souvisí s spojení mezi Möbiovymi transformacemi a Lorentzovými transformacemi.

Gyrotrigonometrie

Gyrotrigonometrie je použití gyrokonceptů ke studiu hyperbolické trojúhelníky.

Hyperbolická trigonometrie, jak se obvykle studuje, používá hyperbolické funkce cosh, sinh atd., a to kontrastuje s sférická trigonometrie který používá euklidovské trigonometrické funkce cos, sin, ale s sférické trojúhelník identity místo obyčejného letadla identity trojúhelníku. Gyrotrigonometrie využívá přístup k používání běžných trigonometrických funkcí, ale ve spojení s identitami gyrotriangle.

Středy trojúhelníků

Studium středy trojúhelníků tradičně se zabývá euklidovskou geometrií, ale středy trojúhelníků lze studovat také v hyperbolické geometrii. Pomocí gyrotrigonometrie lze vypočítat výrazy pro trigonometrické barycentrické souřadnice, které mají stejný tvar pro euklidovskou i hyperbolickou geometrii. Aby se výrazy shodovaly, musí výrazy existovat ne zapouzdřuje specifikaci úhlového úhlu o 180 stupňů.^[14][15][16]

Přidání gyroparalelogramu

Pomocí gyrotrigonometrie lze nalézt přídavek gyrovektoru, který pracuje podle zákona o gyroparalelogramu. To je soužití do provozu gyroskupiny. Přidání gyroparalelogramu je komutativní.

The zákon gyroparalelogram je podobný paralelogramový zákon v tom, že gyroparallelogram je hyperbolický čtyřúhelník, jehož dva gyrodiagonály se protínají v jejich gyromidpointech, stejně jako rovnoběžník je euklidovský čtyřúhelník, jehož dvě úhlopříčky se protínají v jejich středech.^[17]

Bloch vektory

Bloch vektory které patří k otevřené jednotkové kouli euklidovského 3-prostoru, lze studovat s Einsteinovým přídavkem^[18] nebo Möbiovy sčítání.^[6]

Recenze knih

Recenze jedné z dřívějších knih o gyrovektorech^[19] říká následující:

„V průběhu let došlo k několika pokusům propagovat neeuklidovský styl pro použití při řešení problémů v oblasti relativity a elektrodynamiky, jejichž neúspěch přilákat podstatný následek, spojený s absencí pozitivních výsledků, musí dát pauzu komukoli, kdo uvažuje o podobném podniku. Až donedávna nebyl nikdo schopen nabídnout vylepšení nástrojů dostupných od roku 1912. Ungar ve své nové knize poskytuje zásadní chybějící prvek z řady neeuklidovského stylu: elegantní neasociální algebraický formalismus, který plně využívá strukturu Einsteinova zákona o složení rychlosti. “^[20]

Poznámky a odkazy

• Domenico Giulini, Algebraické a geometrické struktury speciální relativity Kapitola v „Zvláštní relativitě: Přežije to dalších 100 let?“, Editoval Claus Lämmerzahl, Jürgen Ehlers, Springer, 2006.

Další čtení

externí odkazy

• Einsteinova speciální relativita: Hyperbolický geometrický pohled
• „Hyperbolická trigonometrie a její aplikace v Poincaré Ball modelu hyperbolické geometrie“. CiteSeerX  10.1.1.17.6107. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)