Relativistická kvantová mechanika - Relativistic quantum mechanics

Část a série na
Kvantová mechanika
${displaystyle ihbar {frac {částečné} {částečné t}} | psi (t) úhel = {hat {H}} | psi (t) úhel}$ Schrödingerova rovnice
Úvod Glosář Dějiny Učebnice
Pozadí Klasická mechanika Stará kvantová teorie Braketová notace Hamiltonian Rušení
Základy Soudržnost Decoherence Doplňkovost Úroveň energie Zapletení Hamiltonian Princip nejistoty Základní stav Rušení Měření Nelokálnost Pozorovatelný Operátor Kvantové Kvantová fluktuace Kvantové číslo Kvantový šum Kvantová říše Kvantový stav Kvantový systém Kvantová teleportace Qubit Roztočit Superpozice Symetrie (Spontánní) narušení symetrie Stav vakua Šíření vln Vlnová funkce Sbalení vlnové funkce Dualita vln-částic Vlna hmoty
Účinky Zeemanův efekt Stark efekt Aharonov – Bohmův efekt Landau kvantování Kvantový Hallův efekt Kvantový zeno efekt Kvantové tunelování Fotoelektrický efekt Kazimírův efekt
Experimenty Bellova nerovnost Davisson – Germer Double-slit Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Nerovnost Leggett – Garg Mach – Zehnder Popper Kvantová guma  (zpožděná volba ) Schrödingerova kočka Stern – Gerlach Wheelerova zpožděná volba
Formulace Přehled Heisenberg Interakce Matice Fázový prostor Schrödinger Sum-over-histories (cesta-integrál)
Rovnice Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger
Výklady Přehled Bayesian Konzistentní historie Kodaň de Broglie – Bohm Soubor Skrytá proměnná Mnoho světů Objektivní kolaps Kvantová logika Relační Stochastický Transakční
Pokročilá témata Kvantové žíhání Kvantový chaos Kvantové výpočty Kvantová geometrie Matice hustoty Teorie kvantového pole Frakční kvantová mechanika Kvantová gravitace Kvantová informační věda Kvantové strojové učení Poruchová teorie (kvantová mechanika) Relativistická kvantová mechanika Teorie rozptylu Spontánní parametrická down-konverze Kvantová statistická mechanika
Vědci Aharonov Zvonek Blackett Bloch Bohm Bohr narozený Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramers Pauli jehněčí Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Vídeň Vůdce Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
Kategorie ► Kvantová mechanika

v fyzika, relativistická kvantová mechanika (RQM) je jakýkoli Poincarého kovariant formulace kvantová mechanika (QM). Tato teorie je použitelná pro masivní částice šíří vůbec rychlosti až na ty srovnatelné s rychlost světla  C, a může ubytovat nehmotné částice. Tato teorie má uplatnění v fyzika vysokých energií,^[1] částicová fyzika a fyzika akcelerátoru,^[2] stejně jako atomová fyzika, chemie^[3] a fyzika kondenzovaných látek.^[4][5] Nerelativistická kvantová mechanika Odkazuje na matematická formulace kvantové mechaniky aplikováno v kontextu Galileova relativita, konkrétněji kvantování rovnic klasická mechanika nahrazením dynamických proměnných znakem operátory. Relativistická kvantová mechanika (RQM) je kvantová mechanika aplikovaná s speciální relativita. Ačkoli dřívější formulace, jako Schrödingerův obrázek a Heisenbergův obrázek byly původně formulovány v nerelativistickém pozadí, několik z nich (např. Dirac nebo formální formalizace cesty) také pracuje se speciální relativitou.

Mezi klíčové vlastnosti společné pro všechny RQM patří: predikce antihmota, točit magnetické momenty z základní roztočit1/2 fermiony, jemná struktura a kvantová dynamika nabité částice v elektromagnetické pole.^[6] Klíčovým výsledkem je Diracova rovnice, ze kterého tyto předpovědi vycházejí automaticky. Naproti tomu v nerelativistické kvantové mechanice je třeba termíny zavádět uměle Hamiltonovský operátor dosáhnout dohody s experimentálními pozorováními.

Nejúspěšnější (a nejpoužívanější) RQM je relativistické kvantová teorie pole (QFT), ve kterém jsou elementární částice interpretovány jako polní kvanta. Jedinečným důsledkem QFT, který byl testován proti jiným RQM, je selhání zachování počtu částic, například v tvorba hmoty a zničení.^[7]

V tomto článku jsou rovnice psány ve známém 3D vektorový počet zápis a použití klobouků pro operátory (ne nutně v literatuře) a kde lze shromáždit prostorové a časové komponenty, notace tenzorového indexu je zobrazen také (často používaný v literatuře), navíc Konvence Einsteinova součtu se používá. SI jednotky jsou zde použity; Gaussovy jednotky a přirozené jednotky jsou běžné alternativy. Všechny rovnice jsou v polohové reprezentaci; pro reprezentaci hybnosti musí být rovnice Fourier se transformoval - viz poloha a prostor hybnosti.

Kombinace speciální relativity a kvantové mechaniky

Jedním z přístupů je úprava Schrödingerův obrázek být v souladu se speciální relativitou.^[2]

A postulát kvantové mechaniky je to vývoj času jakéhokoli kvantového systému je dáno Schrödingerova rovnice:

${displaystyle ihbar {frac {částečné} {částečné t}} psi = {hat {H}} psi}$

pomocí vhodného Hamiltonovský operátor Ĥ odpovídající systému. Řešením je a komplex -hodnota vlnová funkce ψ(r, t), a funkce z 3D vektor polohy r částice v čase t, popisující chování systému.

Každá částice má nezáporný točit kvantové číslo s. Číslo 2s je celé číslo, liché pro fermiony a dokonce i pro bosony. Každý s má 2s + 1 z-projekční kvantová čísla; σ = s, s − 1, ... , −s + 1, −s.^[A] Toto je další diskrétní proměnná, kterou vyžaduje vlnová funkce; ψ(r, t, σ).

Historicky, na počátku 20. let Pauli, Kronig, Uhlenbeck a Goudsmit jako první navrhli koncept rotace. Zahrnutí rotace do vlnové funkce zahrnuje Pauliho princip vyloučení (1925) a obecnější věta o spinových statistikách (1939) kvůli Fierz, rederived Pauli o rok později. Toto je vysvětlení pro pestrou škálu subatomární částice chování a jevy: z elektronické konfigurace atomů, jader (a tedy všech elementy na periodická tabulka a jejich chemie ), na konfigurace kvarků a barevný náboj (odtud vlastnosti baryony a mezony ).

Základní predikcí speciální relativity je relativistická vztah energie a hybnosti; pro částice odpočinková hmota m, a zejména referenční rámec s energie E a 3-hybnost p s velikost z hlediska Tečkovaný produkt ${displaystyle p = {sqrt {mathbf {p} cdot mathbf {p}}}}$, to je:^[8]

${displaystyle E ^ {2} = c ^ {2} mathbf {p} cdot mathbf {p} + (mc ^ {2}) ^ {2} ,.}$

Tyto rovnice se používají společně s energie a hybnost operátory, kterými jsou:

${displaystyle {hat {E}} = ihbar {frac {částečný} {částečný t}} ,, quad {hat {mathbf {p}}} = - ihbar abla ,,}$

postavit a relativistická vlnová rovnice (RWE): a parciální diferenciální rovnice v souladu se vztahem energie a hybnosti a je řešen pro ψ předpovědět kvantovou dynamiku částice. Aby byl prostor a čas postaven na stejnou úroveň, jako v relativitě, řády prostoru a času částečné derivace by měly být stejné a v ideálním případě co nejnižší, aby nebylo nutné specifikovat počáteční hodnoty derivátů. To je důležité pro interpretace pravděpodobnosti, jejichž příklady jsou uvedeny níže. Nejnižší možný řád jakékoli diferenciální rovnice je první (derivace nultého řádu by netvořily diferenciální rovnici).

The Heisenbergův obrázek je další formulace QM, v takovém případě je vlnová funkce ψ je nezávislý na časea operátory A(t) obsahují časovou závislost, která se řídí pohybovou rovnicí:

${displaystyle {frac {d} {dt}} A = {frac {1} {ihbar}} [A, {hat {H}}] + {frac {částečný} {částečný t}} A ,,}$

Tato rovnice platí také v RQM, za předpokladu, že operátoři Heisenberg jsou upraveni tak, aby odpovídali SR.^[9][10]

Historicky kolem roku 1926 Schrödinger a Heisenberg ukázat, že vlnová mechanika a maticová mechanika jsou ekvivalentní, později podporovány Diracem pomocí teorie transformace.

Modernější přístup k RWE, který byl poprvé představen v době, kdy se RWE vyvíjely pro částice jakékoli rotace, je použít reprezentace skupiny Lorentz.

Prostor a čas

v klasická mechanika a nerelativistické QM, čas je absolutní veličina, na které se všichni pozorovatelé a částice mohou vždy shodnout, „tikají“ na pozadí nezávisle na vesmíru. V nerelativistickém QM tedy platí pro a mnoho částicového systému ψ(r₁, r₂, r₃, ..., t, σ₁, σ₂, σ₃...).

v relativistická mechanika, prostorové souřadnice a souřadnicový čas jsou ne absolutní; libovolní dva pozorovatelé pohybující se vzájemně vůči sobě mohou měřit různá místa a časy Události. Souřadnice polohy a času se přirozeně kombinují do a čtyřrozměrná poloha časoprostoru X = (ct, r) odpovídá událostem a energie a 3-hybnost se přirozeně spojí do čtyři hybnosti P = (E/C, p) dynamické částice, měřeno v nějaký referenční rámec, změna podle a Lorentzova transformace protože jeden měří v jiném rámci posílený a / nebo otočený vzhledem k původnímu uvažovanému rámu. Derivační operátory, a tedy i energetické a 3-hybné operátory, jsou také ne invariantní a mění se při Lorentzových transformacích.

Pod řádným ortochronní Lorentzova transformace (r, t) → Λ (r, t) v Minkowského prostor, všechny kvantové stavy jedné částice ψ_σ místně transformovat pod některými zastoupení D z Skupina Lorentz:^[11][12]

${displaystyle psi _ {sigma} (mathbf {r}, t) ightarrow D (Lambda) psi _ {sigma} (Lambda ^ {- 1} (mathbf {r}, t))}$

kde D(Λ) je konečně-dimenzionální reprezentace, jinými slovy a (2s + 1)×(2s + 1) čtvercová matice . Znovu, ψ je myšlenka jako vektor sloupce obsahující komponenty s (2s + 1) povolené hodnoty σ. The kvantová čísla s a σ stejně jako ostatní štítky, spojité nebo diskrétní, představující další kvantová čísla, jsou potlačeny. Jedna hodnota σ může nastat více než jednou v závislosti na vyobrazení.

Nerelativistické a relativistické hamiltoniány

The klasický hamiltonián pro částice v a potenciál je Kinetická energie p·p/2m plus potenciální energie PROTI(r, t), s odpovídajícím kvantovým operátorem v Schrödingerův obrázek:

${displaystyle {hat {H}} = {frac {{hat {mathbf {p}}} cdot {hat {mathbf {p}}}} {2m}} + V (mathbf {r}, t)}$

a jeho dosazením do výše uvedené Schrödingerovy rovnice získá nerelativistická QM rovnice pro vlnovou funkci: postup je přímou záměnou jednoduchého výrazu. Naproti tomu to v RQM není tak snadné; rovnice energie-hybnost je v energii kvadratická a hybná síla vedoucí k obtížím. Naivně nastavení:

${displaystyle {hat {H}} = {hat {E}} = {sqrt {c ^ {2} {hat {mathbf {p}}} cdot {hat {mathbf {p}}} + (mc ^ {2} ) ^ {2}}} quad Rightarrow quad ihbar {frac {částečný} {částečný t}} psi = {sqrt {c ^ {2} {hat {mathbf {p}}} cdot {hat {mathbf {p}}} + (mc ^ {2}) ^ {2}}}, psi}$

není užitečné z několika důvodů. Druhá odmocnina operátorů nelze použít tak, jak je; to by muselo být rozšířeno v výkonová řada než mohl operátor hybnosti, zvednutý na sílu v každém termínu, jednat ψ. V důsledku energetické série, prostoru a času deriváty jsou zcela asymetrické: nekonečný řád v prostorových derivacích, ale pouze první řád v časové derivaci, což je nedovolené a nepraktické. Opět existuje problém neinvariance energetického operátora, který se rovná druhé odmocnině, která také není neměnná. Dalším, méně zřejmým a závažnějším problémem je to, že se dá prokázat nelokální a může dokonce porušit kauzalita: pokud je částice původně lokalizována v bodě r₀ aby ψ(r₀, t = 0) je konečná a jinde nulová, pak kdykoli později rovnice předpovídá delokalizaci ψ(r, t) ≠ 0 všude, dokonce i pro |r| > ct což znamená, že částice mohla dorazit do bodu dříve, než mohl puls světla. To by muselo být napraveno dodatečným omezením ψ(|r| > ct, t) = 0.^[13]

Existuje také problém začlenit spin do hamiltoniánu, což není předpověď nerelativistické Schrödingerovy teorie. Částice se spinem mají odpovídající spinový magnetický moment kvantovaný v jednotkách μ_B, Bohr magneton:^[14][15]

${displaystyle {hat {oldsymbol {mu}}} _ {S} = - {frac {gmu _ {B}} {hbar}} {hat {mathbf {S}}} ,, čtyřkolka vlevo | {oldsymbol {mu}} _ {S} ight | = -gmu _ {B} sigma ,,}$

kde G je (rotace) g-faktor pro částice a S the operátor odstřeďování, takže s nimi interagují elektromagnetické pole. Pro částice v externě aplikované magnetické pole B, termín interakce^[16]

${displaystyle {hat {H}} _ {B} = - mathbf {B} cdot {hat {oldsymbol {mu}}} _ {S}}$

je třeba přidat k výše uvedenému nerelativistickému hamiltoniánu. Naopak; relativistický Hamiltonian zavádí spin automaticky jako požadavek prosazování relativistického vztahu energie a hybnosti.^[17]

Relativistické Hamiltonians jsou analogické s těmi non-relativistické QM v následujícím ohledu; existují pojmy včetně odpočinková hmota a termíny interakce s externě aplikovanými poli, podobné klasickému potenciálnímu energetickému termínu, stejně jako termíny hybnosti jako klasický kinetický energetický termín. Klíčovým rozdílem je, že relativistické hamiltoniány obsahují operátory rotace v podobě matice, ve kterém násobení matic běží nad indexem otáčení σ, tedy obecně relativistický hamiltonián:

${displaystyle {hat {H}} = {hat {H}} (mathbf {r}, t, {hat {mathbf {p}}}, {hat {mathbf {S}}})}$

je funkce prostoru, času a operátorů hybnosti a rotace.

Klein – Gordonova a Diracova rovnice pro volné částice

Nahrazení operátorů energie a hybnosti přímo do vztahu energie a hybnosti se na první pohled může zdát lákavé, získat Klein-Gordonova rovnice:^[18]

${displaystyle {hat {E}} ^ {2} psi = c ^ {2} {hat {mathbf {p}}} cdot {hat {mathbf {p}}} psi + (mc ^ {2}) ^ {2 } psi ,,}$

a bylo objeveno mnoha lidmi kvůli přímému způsobu jeho získání, zejména Schrödingerem v roce 1925, než našel nerelativistickou rovnici pojmenovanou po něm, a Kleinem a Gordonem v roce 1927, kteří do rovnice zahrnuli elektromagnetické interakce. Tento je relativisticky neměnný, přesto tato rovnice sama o sobě není dostatečným základem pro RQM z několika důvodů; jeden je, že negativní energetické stavy jsou řešení,^[2][19] další je hustota (uvedená níže) a tato rovnice ve svém současném stavu je použitelná pouze pro částice bez spinů. Tuto rovnici lze zapracovat do formy:^[20][21]

${displaystyle left ({hat {E}} - c {oldsymbol {alpha}} cdot {hat {mathbf {p}}} - eta mc ^ {2} ight) left ({hat {E}} + c {oldsymbol { alpha}} cdot {hat {mathbf {p}}} + eta mc ^ {2} ight) psi = 0 ,,}$

kde α = (α₁, α₂, α₃) a β nejsou jen čísla nebo vektory, ale 4 × 4 Hermitovské matice které jsou povinny anticommute pro i ≠ j:

${displaystyle alpha _ {i} eta = - eta alpha _ {i}, quad alpha _ {i} alpha _ {j} = - alpha _ {j} alpha _ {i} ,,}$

a náměstí do matice identity:

${displaystyle alpha _ {i} ^ {2} = eta ^ {2} = já ,,}$

takže termíny se smíšenými deriváty druhého řádu se ruší, zatímco deriváty druhého řádu čistě v prostoru a čase zůstávají. První faktor:

${displaystyle left ({hat {E}} - c {oldsymbol {alpha}} cdot {hat {mathbf {p}}} - eta mc ^ {2} ight) psi = 0quad Leftrightarrow quad {hat {H}} = c {oldsymbol {alpha}} cdot {hat {mathbf {p}}} + eta mc ^ {2}}$

je Diracova rovnice. Druhým faktorem je také Diracova rovnice, ale pro částici záporná hmotnost.^[20] Každý faktor je relativisticky neměnný. Úvaha může být provedena obráceně: navrhněte Hamiltonian ve výše uvedené formě, jako to udělal Dirac v roce 1928, poté přednásobte rovnici dalším faktorem operátorů E + Cα · p + βmc²a srovnání s KG rovnicí určuje omezení α a β. Rovnici kladné hmotnosti lze i nadále používat bez ztráty kontinuity. Násobení matic ψ naznačují, že nejde o skalární vlnovou funkci povolenou v KG rovnici, ale musí být místo toho čtyřsložkovou entitou. Diracova rovnice stále předpovídá řešení negativní energie,^[6][22] tak Dirac předpokládal, že negativní energetické stavy jsou vždy obsazené, protože podle Pauliho princip, elektronické přechody z pozitivní na negativní energetickou hladinu v roce 2006 atomy by bylo zakázáno. Vidět Diracké moře pro detaily.

Hustoty a proudy

V nerelativistické kvantové mechanice je čtvercový modul modulu vlnová funkce ψ dává funkce hustoty pravděpodobnosti ρ = |ψ|². To je Kodaňská interpretace, kolem roku 1927. V RQM, zatímco ψ(r, t) je vlnová funkce, interpretace pravděpodobnosti není stejná jako v nerelativistickém QM. Některé RWE nepředpovídají hustotu pravděpodobnosti ρ nebo pravděpodobnostní proud j (opravdu to znamená hustota pravděpodobného proudu) protože oni jsou ne pozitivní určité funkce prostoru a času. The Diracova rovnice dělá:^[23]

${displaystyle ho = psi ^ {dagger} psi, quad mathbf {j} = psi ^ {dagger} gamma ^ {0} {oldsymbol {gamma}} psi quad ightleftharpoons quad J ^ {mu} = psi ^ {dagger} gamma ^ {0} gamma ^ {mu} psi}$

kde dýka označuje Hermitian adjoint (autoři obvykle píší ψ = ψ^†y⁰ pro Dirac adjoint ) a J^μ je pravděpodobnost čtyřproud, zatímco Klein-Gordonova rovnice není:^[24]

${displaystyle ho = {frac {ihbar} {2mc ^ {2}}} vlevo (psi ^ {*} {frac {částečný psi} {částečný t}} - psi {frac {částečný psi ^ {*}} {částečný t }} ight) ,, quad mathbf {j} = - {frac {ihbar} {2m}} vlevo (psi ^ {*} abla psi -psi abla psi ^ {*} ight) quad ightleftharpoons quad J ^ {mu} = {frac {ihbar} {2m}} (psi ^ {*} částečné ^ {mu} psi -psi částečné ^ {mu} psi ^ {*})}$

kde ∂^μ je čtyři přechody. Vzhledem k tomu, počáteční hodnoty obou ψ a ∂ψ/∂t lze libovolně zvolit, hustota může být záporná.

Místo toho to, co se na první pohled jeví, musí být „hustota pravděpodobnosti“ a „proud pravděpodobnosti“ interpretovány jako hustota náboje a proudová hustota po vynásobení elektrický náboj. Pak vlnová funkce ψ není vlnová funkce vůbec, ale interpretována jako a pole.^[13] Hustota a proud elektrického náboje vždy uspokojí a rovnice spojitosti:

${displaystyle {frac {částečné ho} {částečné t}} + abla cdot mathbf {J} = 0quad ightleftharpoons quad částečné _ {mu} J ^ {mu} = 0 ,,}$

protože poplatek je konzervované množství. Hustota pravděpodobnosti a proud také uspokojují rovnici kontinuity, protože pravděpodobnost je zachována, je to však možné pouze při absenci interakcí.

Točte a elektromagneticky interagující částice

Zahrnutí interakcí do RWE je obecně obtížné. Minimální spojka je jednoduchý způsob, jak zahrnout elektromagnetickou interakci. Pro jednu nabitou částici o elektrický náboj q v elektromagnetickém poli daném potenciál magnetického vektoru A(r, t) definované magnetickým polem B = ∇ × A, a elektrický skalární potenciál ϕ(r, t), tohle je:^[25]

${displaystyle {hat {E}} ightarrow {hat {E}} - qphi ,, quad {hat {mathbf {p}}} ightarrow {hat {mathbf {p}}} - qmathbf {A} quad ightleftharpoons quad {hat { P}} _ {mu} ightarrow {hat {P}} _ {mu} -qA_ {mu}}$

kde P_μ je čtyři momenty který má odpovídající 4-momentový operátor, a A_μ the čtyři potenciály. V následujícím textu se nerelativistický limit týká omezujících případů:

${displaystyle E-ephi cca mc ^ {2} ,, quad mathbf {p} cca mmathbf {v} ,,}$

to znamená, že celková energie částice je přibližně zbytková energie pro malé elektrické potenciály a hybnost je přibližně klasická hybnost.

Točit 0

V RQM rovnice KG připouští minimální předpis vazby;

${displaystyle {({hat {E}} - qphi)} ^ {2} psi = c ^ {2} {({hat {mathbf {p}}} - qmathbf {A})} ^ {2} psi + ( mc ^ {2}) ^ {2} psi quad ightleftharpoons quad left [{({hat {P}} _ {mu} -qA_ {mu})}} {({hat {P}} ^ {mu} -qA ^ {mu})} - {(mc)} ^ {2} ight] psi = 0.}$

V případě, že je náboj nulový, rovnice se triviálně redukuje na rovnici volného KG, takže se nenulový náboj předpokládá níže. Toto je skalární rovnice, která je neměnná pod neredukovatelné jednorozměrný skalární (0,0) zastoupení skupiny Lorentz. To znamená, že všechna jeho řešení budou patřit do přímého součtu (0,0) reprezentace. Řešení, která nepatří k neredukovatelným (0,0) zastoupení bude mít dva nebo více nezávislý komponenty. Taková řešení nemohou obecně popsat částice s nenulovou rotací, protože komponenty rotace nejsou nezávislé. K tomu bude nutné uvalit další omezení, např. Diracova rovnice pro spin1/2, viz. níže. Pokud tedy systém splňuje KG rovnici pouze, lze jej interpretovat pouze jako systém s nulovým spinem.

Elektromagnetické pole je zpracováno klasicky podle Maxwellovy rovnice a částice je popsána vlnovou funkcí, řešením KG rovnice. Rovnice není ve stávající podobě vždy velmi užitečná, protože masivní bezvřetenové částice, jako například π-mesony, zažijte kromě elektromagnetické interakce i mnohem silnější interakci. Správně však popisuje nabité spinless bosony bez dalších interakcí.

Rovnice KG je použitelná pro spinless nabité bosony ve vnějším elektromagnetickém potenciálu.^[2] Rovnici tedy nelze použít na popis atomů, protože elektron je rotace1/2 částice. V nerelativistickém limitu se rovnice redukuje na Schrödingerovu rovnici pro bezpáteřní nabité částice v elektromagnetickém poli:^[16]

${displaystyle left (ihbar {frac {částečný} {částečný t}} - qphi ight) psi = {frac {1} {2m}} {({hat {mathbf {p}}} - qmathbf {A})} ^ { 2} psi quad Leftrightarrow quad {hat {H}} = {frac {1} {2m}} {({hat {mathbf {p}}} - qmathbf {A})} ^ {2} + qphi.}$

Roztočit 1/2

Nerelativisticky to byla rotace fenomenologicky představen v Pauliho rovnice podle Pauli v roce 1927 pro částice v elektromagnetické pole:

${displaystyle left (ihbar {frac {částečný} {částečný t}} - qphi ight) psi = left [{frac {1} {2m}} {({oldsymbol {sigma}} cdot (mathbf {p} -qmathbf {A }))} ^ {2} ight] psi quad Leftrightarrow quad {hat {H}} = {frac {1} {2m}} {({oldsymbol {sigma}} cdot (mathbf {p} -qmathbf {A}) )} ^ {2} + qphi}$

pomocí 2 × 2 Pauliho matice, a ψ není jen skalární vlnová funkce jako v nerelativistické Schrödingerově rovnici, ale dvousložková spinorové pole:

${displaystyle psi = {egin {pmatrix} psi _ {uparrow} psi _ {downarrow} konec {pmatrix}}}$

kde dolní indexy ↑ a ↓ odkazují na „roztočení“ (σ = +1/2) a „roztočit dolů“ (σ = −1/2) uvádí.^[b]

V RQM může Diracova rovnice také zahrnovat minimální vazbu, přepsanou shora;

${displaystyle left (ihbar {frac {partial} {partial t}} - qphi ight) psi = gamma ^ {0} left [c {oldsymbol {gamma}} cdot {({hat {mathbf {p}}} - qmathbf { A})} - mc ^ {2} ight] psi quad ightleftharpoons quad left [gamma ^ {mu} ({hat {P}} _ {mu} -qA_ {mu}) - mc ^ {2} ight] psi = 0}$

a byla první rovnicí přesně předpovědět rotace, důsledek 4 × 4 gama matice y⁰ = β, y = (y₁, y₂, y₃) = βα = (βα₁, βα₂, βα₃). K dispozici je 4 × 4 matice identity předběžné znásobení energetického operátora (včetně termínu potenciální energie), běžně nepsaného pro jednoduchost a jasnost (tj. považováno za číslo 1). Tady ψ je čtyřkomponentní pole spinorů, které je obvykle rozděleno na dva dvousložkové spinory ve formě:^[C]

${displaystyle psi = {egin {pmatrix} psi _ {+} psi _ {-} konec {pmatrix}} = {egin {pmatrix} psi _ {+ uparrow} psi _ {+ downarrow} psi _ {- uparrow } psi _ {- downarrow} konec {pmatrix}}}$

2-spinor ψ₊ odpovídá částice se 4-hybností (E, p) a účtovat q a dva stavy rotace (σ = ±1/2, jako dříve). Druhý 2-spinor ψ₋ odpovídá podobné částice se stejnou hmotností a stavem otáčení, ale záporný 4-hybnost −(E, p) a záporný nabít −q, tj. negativní energetické stavy, časově obráceno hybnost a negovaný náboj. Toto byla první interpretace a předpověď částice a odpovídající antičástice. Vidět Dirac spinor a bispinor pro další popis těchto spinorů. V nerelativistickém limitu se Diracova rovnice redukuje na Pauliho rovnici (viz Diracova rovnice jak). Když se aplikuje atom nebo iont s jedním elektronem, nastavení A = 0 a ϕ k příslušnému elektrostatickému potenciálu, další relativistické termíny zahrnují interakce spin-orbita, elektron gyromagnetický poměr, a Darwinův termín. V běžném QM musí být tyto termíny vloženy ručně a ošetřeny pomocí teorie poruch. Pozitivní energie přesně odpovídají jemné struktuře.

V rámci RQM se u nehmotných částic Diracova rovnice redukuje na:

${displaystyle left ({frac {hat {E}} {c}} + {oldsymbol {sigma}} cdot {hat {mathbf {p}}} ight) psi _ {+} = 0,, quad left ({frac { klobouk {E}} {c}} - {oldsymbol {sigma}} cdot {hat {mathbf {p}}} ight) psi _ {-} = 0quad ightleftharpoons quad sigma ^ {mu} {hat {P}} _ { mu} psi _ {+} = 0,, quad sigma _ {mu} {hat {P}} ^ {mu} psi _ {-} = 0 ,,}$

první z nich je Weylova rovnice, značné zjednodušení použitelné pro massless neutrina.^[26] Tentokrát je 2 × 2 matice identity předběžné znásobení energetického operátora obvykle není napsáno. V RQM je užitečné to brát jako nulovou Pauliho matici σ₀ který se spojí s energetickým operátorem (časová derivace), stejně jako další tři matice se spojí s hybným operátorem (prostorové derivace).

Pauliho a gama matice zde byly představeny, spíše než v teoretické fyzice čistá matematika sám. Mají aplikace čtveřice a do SO (2) a SO (3) Lež skupiny, protože uspokojují důležité komutátor [ , ] a antikomutátor [ , ]₊ respektive vztahy:

${displaystyle left [sigma _ {a}, sigma _ {b} ight] = 2ivarepsilon _ {abc} sigma _ {c} ,, quad left [sigma _ {a}, sigma _ {b} ight] _ {+} = 2delta _ {ab} sigma _ {0}}$

kde ε_abc je trojrozměrný Symbol Levi-Civita. Gama matice se tvoří základny v Cliffordova algebra, a mít připojení ke komponentám plochého časoprostoru Minkowského metrika η^αβ v antikomutačním vztahu:

${displaystyle left [gamma ^ {alpha}, gamma ^ {eta} ight] _ {+} = gamma ^ {alpha} gamma ^ {eta} + gamma ^ {eta} gamma ^ {alpha} = 2eta ^ {alpha eta} ,,}$

(To lze rozšířit na zakřivený časoprostor zavedením vierbeins, ale není předmětem speciální relativity).

V roce 1929 Breitova rovnice Bylo zjištěno, že popisuje dvě nebo více elektromagneticky interagujících masivních rotací1/2 fermiony k relativistickým opravám prvního řádu; jeden z prvních pokusů popsat takové relativistické kvantum mnohočásticový systém. Toto je však stále jen přibližná hodnota a hamiltonián zahrnuje řadu dlouhých a komplikovaných součtů.

Helicita a chirality

The operátor helicity je definováno;

${displaystyle {hat {h}} = {hat {mathbf {S}}} cdot {frac {hat {mathbf {p}}} {| mathbf {p} |}} = {hat {mathbf {S}}} cdot {frac {c {hat {mathbf {p}}}} {sqrt {E ^ {2} - (m_ {0} c ^ {2}) ^ {2}}}}}$

kde p je provozovatel hybnosti, S operátor rotace částice rotace s, E je celková energie částice a m₀ jeho klidová hmotnost. Helicita označuje orientaci vektorů spinu a translační hybnosti.^[27] Helicita je závislá na rámci kvůli 3-hybnosti v definici a je kvantována kvůli kvantizaci rotace, která má diskrétní kladné hodnoty pro paralelní zarovnání a záporné hodnoty pro antiparalelní zarovnání.

Automatickým výskytem v Diracově rovnici (a Weylově rovnici) je projekce rotace1/2 operátor na 3-hybnost (časy C), σ · C p, což je helicita (pro rotaci1/2 případ) časy ${displaystyle {sqrt {E ^ {2} - (m_ {0} c ^ {2}) ^ {2}}}}$.

U nehmotných částic se helicita zjednodušuje na:

${displaystyle {hat {h}} = {hat {mathbf {S}}} cdot {frac {c {hat {mathbf {p}}}} {E}}}$

Vyšší otáčky

Diracova rovnice může popsat pouze částice rotace1/2. Kromě rovnice Dirac byly použity RWE volné částice různých točení. V roce 1936 rozšířil Dirac svou rovnici na všechny fermiony, o tři roky později Fierz a Pauli zopakoval stejnou rovnici.^[28] The Bargmann – Wignerovy rovnice byly nalezeny v roce 1948 pomocí Lorentzovy teorie grup, použitelné pro všechny volné částice s jakýmkoli spinem.^[29][30] Vezmeme-li v úvahu faktorizaci výše uvedené KG rovnice a přesněji Skupina Lorentz teorie je zřejmé zavést spin ve formě matic.

Vlnové funkce jsou vícesložkové spinorová pole, které lze reprezentovat jako vektory sloupců z funkce prostoru a času:

${displaystyle psi (mathbf {r}, t) = {egin {bmatrix} psi _ {sigma = s} (mathbf {r}, t) psi _ {sigma = s-1} (mathbf {r}, t) vdots psi _ {sigma = -s + 1} (mathbf {r}, t) psi _ {sigma = -s} (mathbf {r}, t) konec {bmatrix}} quad ightleftharpoons quad {psi (mathbf {r}, t)} ^ {dagger} = {egin {bmatrix} {psi _ {sigma = s} (mathbf {r}, t)} ^ {star} & {psi _ {sigma = s-1} ( mathbf {r}, t)} ^ {star} & cdots & {psi _ {sigma = -s + 1} (mathbf {r}, t)} ^ {star} & {psi _ {sigma = -s} (mathbf {r}, t)} ^ {star} end {bmatrix}}}$

kde výraz vpravo je Hermitianský konjugát. Pro masivní částice otáčení s, existují 2s + 1 komponenty pro částici a další 2s + 1 pro odpovídající antičástice (existují 2s + 1 možný σ hodnoty v každém případě), dohromady tvoří a 2(2s + 1)-komponentní spinorové pole:

${displaystyle psi (mathbf {r}, t) = {egin {bmatrix} psi _ {+ ,, sigma = s} (mathbf {r}, t) psi _ {+ ,, sigma = s-1} (mathbf {r}, t) vdots psi _ {+ ,, sigma = -s + 1} (mathbf {r}, t) psi _ {+ ,, sigma = -s} (mathbf {r}, t) psi _ {- ,, sigma = s} (mathbf {r}, t) psi _ {- ,, sigma = s-1} (mathbf {r}, t) vdots psi _ {- ,, sigma = -s + 1} (mathbf {r}, t) psi _ {- ,, sigma = -s} (mathbf {r}, t) end {bmatrix}} quad ightleftharpoons quad {psi (mathbf {r}, t)} ^ {dagger} {egin {bmatrix} {psi _ {+ ,, sigma = s} (mathbf {r}, t)} ^ {star} & {psi _ {+ ,, sigma = s-1} (mathbf {r}, t)} ^ {star} & cdots & {psi _ {- ,, sigma = -s} (mathbf {r}, t)} ^ {star} end {bmatrix}}}$

s + dolním indexem označujícím částice a - dolním indexem antičástice. Nicméně pro bezhmotný částice otáčení s, vždy existují pouze dvousložková spinorová pole; jeden je pro částici v jednom stavu helicity odpovídající +s a druhý pro antičástice v opačném stavu helicity odpovídající -s:

${displaystyle psi (mathbf {r}, t) = {egin {pmatrix} psi _ {+} (mathbf {r}, t) psi _ {-} (mathbf {r}, t) konec {pmatrix}}}$

Podle vztahu relativistické energie a hybnosti se všechny nehmotné částice pohybují rychlostí světla, takže částice pohybující se rychlostí světla jsou také popsány dvousložkovými rotory. Historicky, Élie Cartan našel nejobecnější formu rotory v roce 1913, před spinory odhalenými v RWE po roce 1927.

U rovnic popisujících částice s vyšším spinem není zahrnutí interakcí zdaleka tak jednoduché jako minimální vazba, vedou k nesprávným předpovědím a nekonzistencím.^[31] Pro rotaci větší než ħ/2„RWE není fixována hmotou, spinem a elektrickým nábojem částice; elektromagnetické momenty (elektrické dipólové momenty a magnetické dipólové momenty ) povoleno točit kvantové číslo jsou libovolné. (Teoreticky, magnetický náboj přispěje také). Například rotace1/2 pouzdro umožňuje pouze magnetický dipól, ale pro spin 1 částice jsou také možné magnetické kvadrupóly a elektrické dipóly.^[26] Další informace o tomto tématu najdete v tématu vícepólová expanze a (například) Cédric Lorcé (2009).^[32][33]

Provozovatel rychlosti

Schrödingerův / Pauliho operátor rychlosti lze definovat pro masivní částice pomocí klasické definice p = m protia dosazením kvantových operátorů obvyklým způsobem:^[34]

${displaystyle {hat {mathbf {v}}} = {frac {1} {m}} {hat {mathbf {p}}}}$

který má vlastní čísla, která berou žádný hodnota. V RQM, Diracova teorie, je to:

${displaystyle {hat {mathbf {v}}} = {frac {i} {hbar}} vlevo [{hat {H}}, {hat {mathbf {r}}} ight]}$

které musí mít vlastní hodnoty mezi ±C. Vidět Foldy – Wouthuysenova transformace pro více teoretických základů.

Relativistické kvantové Lagrangians

Hamiltonovské operátory na Schrödingerově obrázku jsou jedním z přístupů k vytváření diferenciálních rovnic pro ψ. Ekvivalentní alternativou je stanovení a Lagrangian (opravdu to znamená Lagrangeova hustota ), poté vygenerujte diferenciální rovnici pomocí polní teoretická Eulerova-Lagrangeova rovnice:

${displaystyle částečný _ {mu} vlevo ({frac {částečný {mathcal {L}}} {částečný (částečný _ {mu} psi)}} vpravo) - {frac {částečný {mathcal {L}}} {částečný psi} } = 0,}$

U některých RWE lze lagrangickou najít inspekcí. Například Dirac Lagrangian je:^[35]

${displaystyle {mathcal {L}} = {overline {psi}} (gamma ^ {mu} P_ {mu} -mc) psi}$

a Klein – Gordon Lagrangian je:

${displaystyle {mathcal {L}} = - {frac {hbar ^ {2}} {m}} eta ^ {mu u} částečný _ {mu} psi ^ {*} částečný _ {u} psi -mc ^ {2 } psi ^ {*} psi,.}$

To není možné u všech RWE; a je jedním z důvodů, proč je teoretický přístup Lorentzovy skupiny důležitý a přitažlivý: k odvození RWE lze použít základní invariance a symetrie v prostoru a čase pomocí vhodných reprezentací skupin. Lagrangeův přístup s polní interpretací ψ je předmětem QFT spíše než RQM: Feynmanova cesta integrální formulace používá invariantní Lagrangians spíše než Hamiltonian operátory, protože tyto mohou být extrémně komplikované, viz (například) Weinberg (1995).^[36]

Relativistická kvantová momentová hybnost

V nerelativistickém QM je operátor momentu hybnosti je tvořen z klasického pseudovektor definice L = r × p. V RQM jsou operátory polohy a hybnosti vloženy přímo tam, kde se objevují na oběžné dráze relativistický moment hybnosti tenzor definovaný z čtyřrozměrné polohy a hybnosti částice, ekvivalentně a bivektor v vnější algebra formalismus:^[37][d]

${displaystyle M ^ {alpha eta} = X ^ {alpha} P ^ {eta} -X ^ {eta} P ^ {alpha} = 2X ^ {[alfa} P ^ {eta]} quad ightleftharpoons quad mathbf {M} = mathbf {X} klín mathbf {P} ,,}$

což je celkem šest složek: tři jsou nerelativistický 3-orbitální úhlový moment; M¹² = L³, M²³ = L¹, M³¹ = L²a další tři M⁰¹, M⁰², M⁰³ jsou posílení těžiště rotujícího objektu. Pro částice se spinem je třeba přidat další relativisticko-kvantový člen. Pro částici klidové hmoty m, celkový tenzor momentu hybnosti je:

${displaystyle J ^ {alpha eta} = 2X ^ {[alpha} P ^ {eta]} + {frac {1} {m ^ {2}}} varepsilon ^ {alfa eta gamma delta} W_ {gamma} p_ {delta } quad ightleftharpoons quad mathbf {J} = mathbf {X} klín mathbf {P} + {frac {1} {m ^ {2}}} hvězda (mathbf {W} klín mathbf {P})}}$

kde hvězda označuje Hodge dual, a

${displaystyle W_ {alpha} = {frac {1} {2}} varepsilon _ {alpha eta gamma delta} M ^ {eta gamma} p ^ {delta} quad ightleftharpoons quad mathbf {W} = hvězda (mathbf {M} klín mathbf {P})}$

je Pauli – Lubanski pseudovektor.^[38] Více o relativistické rotaci viz (například) Troshin & Tyurin (1994).^[39]

Thomasova precese a spin-orbitální interakce

V roce 1926 Thomasova precese je objeveno: relativistické korekce rotace elementárních částic s aplikací v interakce spin-orbita atomů a rotace makroskopických objektů.^[40][41] V roce 1939 Wigner odvodil Thomasovu precesi.

v klasický elektromagnetismus a speciální relativita, elektron pohybující se rychlostí proti přes elektrické pole E ale ne magnetické pole B, bude ve svém rámci referenčních zkušeností a Lorentzova transformace magnetické pole B ':

${displaystyle mathbf {B} '= {frac {mathbf {E} imes mathbf {v}} {c ^ {2} {sqrt {1-left (v / cight) ^ {2}}}}} ,.}$

V nerelativistickém limitu proti << C:

${displaystyle mathbf {B} '= {frac {mathbf {E} imes mathbf {v}} {c ^ {2}}} ,,}$

takže nerelativistická spinová interakce Hamiltonian se stává:^[42]

${displaystyle {hat {H}} = - mathbf {B} 'cdot {hat {oldsymbol {mu}}} _ {S} = - left (mathbf {B} + {frac {mathbf {E} imes mathbf {v} } {c ^ {2}}} ight) cdot {hat {oldsymbol {mu}}} _ {S} ,,}$

kde první člen je již nerelativistická interakce magnetického momentu a druhý člen relativistická korekce řádu (v / c)², ale to nesouhlasí s experimentálními atomovými spektry o faktor¹⁄₂. Poukázal na to L. Thomas, že existuje druhý relativistický efekt: Složka elektrického pole kolmá na rychlost elektronů způsobí další zrychlení elektronu kolmo na jeho okamžitou rychlost, takže elektron se pohybuje zakřivenou cestou. Elektron se pohybuje v a otočný referenční rámec a tato další precese elektronu se nazývá Thomasova precese. Může se to ukázat^[43] že čistým výsledkem tohoto jevu je, že interakce spin-orbita je snížena na polovinu, jako by magnetické pole, které zažívá elektron, mělo pouze poloviční hodnotu, a relativistická korekce v hamiltoniánu je:

${displaystyle {hat {H}} = - mathbf {B} 'cdot {hat {oldsymbol {mu}}} _ {S} = - left (mathbf {B} + {frac {mathbf {E} imes mathbf {v} } {2c ^ {2}}} ight) cdot {hat {oldsymbol {mu}}} _ {S} ,.}$

V případě RQM činitel¹⁄₂ se předpovídá Diracovou rovnicí.^[42]

Dějiny

Události, které vedly k založení RQM, a pokračování dále do kvantová elektrodynamika (QED), jsou shrnuty níže [viz například R. Resnick a R. Eisberg (1985),^[44] a P.W. Atkins (1974)^[45]]. Více než půlstoletí experimentálního a teoretického výzkumu od 90. let do 50. let 20. století v nové a záhadné kvantové teorii, jak se objevovala, odhalilo, že řadu jevů nelze vysvětlit samotným QM. SR, nalezená na přelomu 20. století, byla shledána jako a nutné komponenta, vedoucí k unifikaci: RQM. Teoretické předpovědi a experimenty se zaměřovaly hlavně na nově nalezené atomová fyzika, nukleární fyzika, a částicová fyzika; zvážením spektroskopie, difrakce a rozptyl částic a elektronů a jader v atomech a molekulách. Četné výsledky jsou přičítány účinkům rotace.

Relativistický popis částic v kvantových jevech

Albert Einstein v roce 1905 vysvětlil fotoelektrický efekt; popis částice světla jako fotony. V roce 1916 Sommerfeld vysvětluje jemná struktura; rozdělení spektrální čáry z atomy kvůli relativistickým opravám prvního řádu. The Comptonův efekt z roku 1923 poskytl více důkazů o tom, že platí speciální teorie relativity; v tomto případě k popisu částic rozptylu foton – elektron. de Broglie rozšiřuje dualita vln-částic na hmota: de Broglieho vztahy, které jsou v souladu se speciální relativitou a kvantovou mechanikou. Do roku 1927, Davisson a Germer a samostatně G. Thomson úspěšně difrakční elektrony, poskytující experimentální důkazy o dualitě vlnových částic.

Experimenty

• 1897 J. J. Thomson objeví elektron a měří jeho poměr hmotnosti k náboji. Objev Zeemanův efekt: rozdělení spektrální čára za přítomnosti statického magnetického pole.
• 1908 Millikan measures the charge on the electron and finds experimental evidence of its quantization, in the experiment s kapkami oleje.
• 1911 Alfa částice scattering in the Geiger – Marsdenův experiment, vedené Rutherford, showed that atoms possess an internal structure: the atomové jádro.^[46]
• 1913 The Stark efekt is discovered: splitting of spectral lines due to a static elektrické pole (compare with the Zeeman effect).
• 1922 Stern – Gerlachův experiment: experimental evidence of spin and its quantization.
• 1924 Stoner studies splitting of energetické hladiny v magnetické pole.
• 1932 Experimental discovery of the neutron podle Chadwick, a pozitrony podle Anderson, confirming the theoretical prediction of positrons.
• 1958 Discovery of the Mössbauerův efekt: resonant and recoil-free emission and absorption of gama záření by atomic nuclei bound in a solid, useful for accurate measurements of gravitační rudý posuv a dilatace času, and in the analysis of nuclear electromagnetic moments in hyperfine interactions.^[47]

Quantum non-locality and relativistic locality

In 1935; Einstein, Rosen, Podolský published a paper^[48] Pokud jde o Kvantové zapletení of particles, questioning kvantová nelokalita and the apparent violation of causality upheld in SR: particles can appear to interact instantaneously at arbitrary distances. This was a misconception since information is not and cannot be transferred in the entangled states; rather the information transmission is in the process of measurement by two observers (one observer has to send a signal to the other, which cannot exceed C). QM does ne violate SR.^[49][50] V roce 1959 Bohm a Aharonov publish a paper^[51] na Aharonov – Bohmův efekt, questioning the status of electromagnetic potentials in QM. The EM field tensor a EM 4-potential formulations are both applicable in SR, but in QM the potentials enter the Hamiltonian (see above) and influence the motion of charged particles even in regions where the fields are zero. V roce 1964 Bellova věta was published in a paper on the EPR paradox,^[52] showing that QM cannot be derived from local hidden variable theories if locality is to be maintained.

The Lamb shift

In 1947 the Lamb shift was discovered: a small difference in the ²S_​¹⁄2 a ²P_​¹⁄2 levels of hydrogen, due to the interaction between the electron and vacuum. jehněčí a Retherford experimentally measure stimulated radio-frequency transitions the ²S_​¹⁄2 a ²P_​¹⁄2 hydrogen levels by mikrovlnná trouba záření.^[53] An explanation of the Lamb shift is presented by Být. Papers on the effect were published in the early 1950s.^[54]

Development of quantum electrodynamics

• 1943 Tomonaga začíná pracovat na renormalizace, influential in QED.
• 1947 Schwinger vypočítá anomalous magnetic moment of the electron. Kusch measures of the anomalous magnetic electron moment, confirming one of QED's great predictions.

Viz také

Poznámky pod čarou

Reference

Vybrané knihy

• Dirac, P.A.M. (1981). Principy kvantové mechaniky (4. vydání). Clarendon Press. ISBN  978-0-19-852011-5.
• Dirac, P.A.M. (1964). Přednášky o kvantové mechanice. Publikace Courier Dover. ISBN  978-0-486-41713-4.
• Thaller, B. (2010). The Dirac Equation. Springer. ISBN  978-3-642-08134-7.
• Pauli, W. (1980). General Principles of Quantum Mechanics. Springer. ISBN  978-3-540-09842-3.
• Merzbacher, E. (1998). Kvantová mechanika (3. vyd.). ISBN  978-0-471-88702-7.
• Messiah, A. (1961). Kvantová mechanika. 1. John Wiley & Sons. ISBN  978-0-471-59766-7.
• Bjorken, J.D.; Drell, S.D. (1964). Relativistic Quantum Mechanics (Pure & Applied Physics). McGraw-Hill. ISBN  978-0-07-005493-6.
• Feynman, R.P .; Leighton, R.B.; Sands, M. (1965). Feynman přednášky z fyziky. 3. Addison-Wesley. ISBN  978-0-201-02118-9.
• Schiff, L.I. (1968). Kvantová mechanika (3. vyd.). McGraw-Hill.
• Dyson, F. (2011). Advanced Quantum Mechanics (2. vyd.). World Scientific. ISBN  978-981-4383-40-0.
• Clifton, R.K. (2011). Perspectives on Quantum Reality: Non-Relativistic, Relativistic, and Field-Theoretic. Springer. ISBN  978-90-481-4643-7.
• Tannoudji, C.; Diu, B.; Laloë, F. (1977). Kvantová mechanika. 1. Wiley VCH. ISBN  978-0-471-16433-3.
• Tannoudji, C.; Diu, B.; Laloë, F. (1977). Kvantová mechanika. 2. Wiley VCH. ISBN  978-0-471-16435-7.
• Rae, A.I.M. (2008). Kvantová mechanika. 2 (5. vydání). Taylor & Francis. ISBN  978-1-58488-970-0.
• Pilkuhn, H. (2005). Relativistic Quantum Mechanics. Texts and Monographs in Physics Series (2nd ed.). Springer. ISBN  978-3-540-28522-9.
• Parthasarathy, R. (2010). Relativistická kvantová mechanika. Alpha Science International. ISBN  978-1-84265-573-3.
• Kaldor, U .; Wilson, S. (2003). Theoretical Chemistry and Physics of Heavy and Superheavy Elements. Springer. ISBN  978-1-4020-1371-3.
• Thaller, B. (2005). Advanced visual quantum mechanics. Springer. Bibcode:2005avqm.book.....T. ISBN  978-0-387-27127-9.
• Breuer, H.P.; Petruccione, F. (2000). Relativistic Quantum Measurement and Decoherence. Springer. ISBN  978-3-540-41061-4. Relativistic quantum mechanics.
• Shepherd, P.J. (2013). A Course in Theoretical Physics. John Wiley & Sons. ISBN  978-1-118-51692-8.
• Bethe, H.A.; Jackiw, R.W. (1997). Intermediate Quantum Mechanics. Addison-Wesley. ISBN  978-0-201-32831-8.
• Heitler, W. (1954). The Quantum Theory of Radiation (3. vyd.). Publikace Courier Dover. ISBN  978-0-486-64558-2.
• Gottfried, K.; Yan, T. (2003). Quantum Mechanics: Fundamentals (2. vyd.). Springer. p. 245. ISBN  978-0-387-95576-6.
• Schwabl, F. (2010). Kvantová mechanika. Springer. p. 220. ISBN  978-3-540-71933-5.
• Sachs, R.G. (1987). The Physics of Time Reversal (2. vyd.). University of Chicago Press. p.280. ISBN  978-0-226-73331-9. hyperfine structure in relativistic quantum mechanics.

Group theory in quantum physics

• Weyl, H. (1950). The theory of groups and quantum mechanics. Publikace Courier Dover. p.203. ISBN  9780486602691. magnetic moments in relativistic quantum mechanics.
• Tung, W.K. (1985). Group Theory in Physics. World Scientific. ISBN  978-9971-966-56-0.
• Heine, V. (1993). Group Theory in Quantum Mechanics: An Introduction to Its Present Usage. Publikace Courier Dover. ISBN  978-0-486-67585-5.

Vybrané příspěvky

• Dirac, P.A.M. (1932). "Relativistic Quantum Mechanics". Sborník královské společnosti A. 136 (829): 453–464. Bibcode:1932RSPSA.136..453D. doi:10.1098/rspa.1932.0094.
• Pauli, W. (1945). "Exclusion principle and quantum mechanics" (PDF).
• Antoine, J.P. (2004). "Relativistic Quantum Mechanics". J. Phys. A. 37 (4): 1465. Bibcode:2004JPhA...37.1463P. CiteSeerX  10.1.1.499.2793. doi:10.1088/0305-4470/37/4/B01.
• Henneaux, M.; Teitelboim, C. (1982). "Relativistic quantum mechanics of supersymmetric particles". 143.
• Fanchi, J.R. (1986). "Parametrizing relativistic quantum mechanics". Phys. Rev.A. 34 (3): 1677–1681. Bibcode:1986PhRvA..34.1677F. doi:10.1103/PhysRevA.34.1677. PMID  9897446.
• Ord, G.N. (1983). "Fractal space-time: a geometric analogue of relativistic quantum mechanics". J. Phys. A. 16 (9): 1869–1884. Bibcode:1983JPhA...16.1869O. doi:10.1088/0305-4470/16/9/012.
• Coester, F.; Polyzou, W.N. (1982). "Relativistic quantum mechanics of particles with direct interactions". Phys. Rev. D. 26 (6): 1348–1367. Bibcode:1982PhRvD..26.1348C. doi:10.1103/PhysRevD.26.1348.
• Mann, R.B.; Ralph, T.C. (2012). "Relativistic quantum information" (PDF). Třída. Kvantová gravitace. 29 (22): 220301. Bibcode:2012CQGra..29v0301M. doi:10.1088/0264-9381/29/22/220301. S2CID  123341332.
• Low, S.G. (1997). "Canonically Relativistic Quantum Mechanics: Representations of the Unitary Semidirect Heisenberg Group, U(1,3) *s H(1,3)". J. Math. Phys. 38 (22): 2197–2209. arXiv:physics/9703008. Bibcode:2012CQGra..29v0301M. doi:10.1088/0264-9381/29/22/220301.
• Fronsdal, C.; Lundberg, L.E. (1997). "Relativistic Quantum Mechanics of Two Interacting Particles". Phys. Rev. D. 1 (12): 3247–3258. arXiv:physics/9703008. Bibcode:1970PhRvD...1.3247F. doi:10.1103/PhysRevD.1.3247.
• Bordovitsyn, V.A.; Myagkii, A.N. (2004). "Spin-orbital motion and Thomas precession in the classical and quantum theories" (PDF). American Journal of Physics. 72: 51–52. arXiv:fyzika / 0310016. Bibcode:2004AmJPh..72 ... 51K. doi:10.1119/1.1615526. S2CID  119533324.
• Rȩbilas, K. (2013). "Comment on 'Elementary analysis of the special relativistic combination of velocities, Wigner rotation and Thomas precession'". Eur. J. Phys. 34 (3): L55 – L61. Bibcode:2013EJPh ... 34L..55R. doi:10.1088 / 0143-0807 / 34/3 / L55.
• Corben, H.C. (1993). "Factors of 2 in magnetic moments, spin–orbit coupling, and Thomas precession". Dopoledne. J. Phys. 61 (6): 551. Bibcode:1993AmJPh..61..551C. doi:10.1119/1.17207.

Další čtení

Relativistic quantum mechanics and field theory

• Ohlsson, T. (2011). Relativistic Quantum Physics: From Advanced Quantum Mechanics to Introductory Quantum Field Theory. Cambridge University Press. p. 10. ISBN  978-1-139-50432-4.
• Aitchison, I.J.R.; Hey, A.J.G. (2002). Gauge Theories in Particle Physics: From Relativistic Quantum Mechanics to QED. 1 (3. vyd.). CRC Press. ISBN  978-0-8493-8775-3.
• Griffiths, D. (2008). Úvod do elementárních částic. John Wiley & Sons. ISBN  978-3-527-61847-7.
• Capri, Anton Z. (2002). Relativistická kvantová mechanika a úvod do teorie kvantového pole. World Scientific. Bibcode:2002rqmi.book.....C. ISBN  978-981-238-137-8.
• Wu, Ta-you; Hwang, W.Y. Pauchy (1991). Relativistic quantum mechanics and quantum fields. World Scientific. ISBN  978-981-02-0608-6.
• Nagashima, Y. (2010). Elementary particle physics, Quantum Field Theory. 1. ISBN  978-3-527-40962-4.
• Bjorken, J.D.; Drell, S.D. (1965). Relativistic Quantum Fields (Pure & Applied Physics). McGraw-Hill. ISBN  978-0-07-005494-3.
• Weinberg, S. (1996). Kvantová teorie polí. 2. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-55002-4.
• Weinberg, S. (2000). Kvantová teorie polí. 3. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-66000-6.
• Gross, F. (2008). Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory. John Wiley & Sons. ISBN  978-3-527-61734-0.
• Nazarov, Y.V.; Danon, J. (2013). Advanced Quantum Mechanics: A Practical Guide. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-76150-5.
• Bogolubov, N.N. (1989). General Principles of Quantum Field Theory (2. vyd.). Springer. p. 272. ISBN  978-0-7923-0540-8.
• Mandl, F.; Shaw, G. (2010). Teorie kvantového pole (2. vyd.). John Wiley & Sons. ISBN  978-0-471-49683-0.
• Lindgren, I. (2011). Relativistic Many-body Theory: A New Field-theoretical Approach. Springer series on atomic, optical, and plasma physics. 63. Springer. ISBN  978-1-4419-8309-1.
• Grant, I.P. (2007). Relativistic Quantum theory of atoms and molecules. Atomic, optical, and plasma physics. Springer. ISBN  978-0-387-34671-7.

Quantum theory and applications in general

• Aruldhas, G.; Rajagopal, P. (2005). Moderní fyzika. PHI Learning Pvt. Ltd. str. 395. ISBN  978-81-203-2597-5.
• Hummel, R.E. (2011). Electronic properties of materials. Springer. p. 395. ISBN  978-1-4419-8164-6.
• Pavia, D.L. (2005). Introduction to Spectroscopy (4. vydání). Cengage Learning. p. 105. ISBN  978-0-495-11478-9.
• Mizutani, U. (2001). Úvod do elektronové teorie kovů. Cambridge University Press. p. 387. ISBN  978-0-521-58709-9.
• Choppin, G.R. (2002). Radiochemistry and nuclear chemistry (3. vyd.). Butterworth-Heinemann. p. 308. ISBN  978-0-7506-7463-8.
• Sitenko, A.G. (1990). Theory of nuclear reactions. World Scientific. p. 443. ISBN  978-9971-5-0482-3.
• Nolting, W.; Ramakanth, A. (2008). Quantum theory of magnetism. Springer. ISBN  978-3-540-85416-6.
• Luth, H. (2013). Quantum Physics in the Nanoworld. Graduate texts in physics. Springer. p. 149. ISBN  978-3-642-31238-0.
• Sattler, K.D. (2010). Handbook of Nanophysics: Functional Nanomaterials. CRC Press. 40–43. ISBN  978-1-4200-7553-3.
• Kuzmany, H. (2009). Solid-State Spectroscopy. Springer. p. 256. ISBN  978-3-642-01480-2.
• Reid, J. M. (1984). Atomové jádro (2. vyd.). Manchester University Press. ISBN  978-0-7190-0978-5.
• Schwerdtfeger, P. (2002). Teorie relativistické elektronické struktury - základy. Teoretická a výpočetní chemie. 11. Elsevier. p. 208. ISBN  978-0-08-054046-7.
• Piela, L. (2006). Myšlenky kvantové chemie. Elsevier. p. 676. ISBN  978-0-08-046676-7.
• Kumar, M. (2009). Quantum (kniha). ISBN  978-1-84831-035-3.

externí odkazy

• Pfeifer, W. (2008) [2004]. Relativistická kvantová mechanika, úvod.
• Lukačević, Igor (2013). „Relativistická kvantová mechanika (poznámky k přednášce)“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 26. 8. 2014.
• de Sanctis, M. (2011). „Úvod do relativistické kvantové mechaniky. I. Od relativity k Diracova rovnice“. arXiv:0708.0052 [fyzika.gen-ph ].
• „Relativistická kvantová mechanika“ (PDF). Cavendishova laboratoř. Univerzita v Cambridge.
• Miller, David J. (2008). „Relativistická kvantová mechanika“ (PDF). University of Glasgow.
• Swanson, D.G. (2007). „Základy a aplikace kvantové mechaniky“. Alabama, USA: Taylor & Francis. p.160.
• Calvert, J. B. (2003). „Částicový elektron a Thomasova precese“.
• Arteha, S.N. „Precese Spin a Thomas“.