Duální zastoupení - Dual representation
v matematika, pokud G je skupina a ρ je lineární reprezentace toho na vektorový prostor PROTI, pak dvojí zastoupení ρ * je definována přes duální vektorový prostor PROTI* jak následuje:[1][2]
- ρ * (G) je přemístit z ρ (G−1), to znamená, ρ * (G) = ρ (G−1)T pro všechny G ∈ G.
Dvojí zastoupení je také známé jako zastoupení přísad.
Li G je Lež algebra a π je jeho reprezentace ve vektorovém prostoru PROTI, pak dvojí zastoupení π * je definován v duálním vektorovém prostoru PROTI* jak následuje:[3]
- π * (X) = −π (X)T pro všechny X ∈ G.
Motivací pro tuto definici je, že reprezentace Lieovy algebry spojená s duální reprezentací Lieovy skupiny je vypočítána výše uvedeným vzorcem. Definice duálu reprezentace Lieovy algebry má ale smysl, i když nepochází z reprezentace Lieovy skupiny.
V obou případech je duální reprezentace reprezentací v obvyklém smyslu.
Vlastnosti
Neredukovatelnost a druhá dvojí
Pokud je (konečně-dimenzionální) reprezentace neredukovatelná, pak je dvojí reprezentace také neredukovatelná[4]—Ale nemusí být nutně izomorfní s původní reprezentací. Na druhou stranu duál duálu jakéhokoli zobrazení je izomorfní s původním zobrazením.
Jednotná reprezentace
Zvažte a unitární zastoupení skupiny , a pojďme pracovat na ortonormální bázi. Tím pádem, mapy do skupiny unitárních matic. Potom může být abstraktní transpozice v definici dvojí reprezentace identifikována s obyčejnou maticovou transpozicí. Vzhledem k tomu, adjoint matice je komplexní konjugát transpozice, transpose je konjugát adjoint. Tím pádem, je komplexní konjugát adjunktu inverzní k . Ale od se předpokládá, že je jednotný, adjoint inverzní k je jen .
Výsledkem této diskuse je, že při práci s jednotnými reprezentacemi na ortonormálním základě je jen komplexní konjugát .
Případy SU (2) a SU (3)
V teorii reprezentace SU (2) se duál každé neredukovatelné reprezentace ukazuje jako izomorfní vůči reprezentaci. Ale pro reprezentace SU (3), duál neredukovatelné reprezentace se štítkem je neredukovatelné vyjádření štítkem .[5] Zejména standardní trojrozměrné znázornění SU (3) (s nejvyšší hmotností ) není izomorfní s jeho dvojí. V teorie kvarků ve fyzikální literatuře se standardní reprezentace a její duální nazývá „" a "."

Obecně polojednoduché Lieovy algebry
Obecněji v teorie reprezentace polojednodušých Lieových algeber (nebo úzce související teorie reprezentace kompaktních Lieových skupin ), váhy dvojí reprezentace jsou negativy váh původního vyobrazení.[6] (Viz obrázek.) Nyní, pro danou Lieovu algebru, pokud by se měl stát tento operátor je prvkem Weylova skupina, potom jsou váhy každé reprezentace pod mapou automaticky neměnné . Pro takové Lie algebry, každý neredukovatelné zastoupení bude izomorfní s jeho dvojím. (To je situace pro SU (2), kde je skupina Weyl .) Lieovy algebry s touto vlastností zahrnují liché ortogonální Lieovy algebry (typ ) a symplektické Lieovy algebry (typ ).
Pokud pro danou Lieovu algebru je ne ve Weylově skupině potom duál neredukovatelné reprezentace obecně nebude izomorfní s původní reprezentací. Abychom pochopili, jak to funguje, poznamenáváme, že vždy existuje jedinečný prvek skupiny Weyl mapování negativu základní Weylovy komory na základní Weylovu komoru. Pak pokud máme neredukovatelné zastoupení s nejvyšší váhou , Nejnižší váha dvojího zastoupení bude . Z toho pak vyplývá, že nejvyšší váha dvojího zastoupení bude .[7] Protože předpokládáme není ve skupině Weyl, nemůže být , což znamená, že mapa není identita. Samozřejmě se stále může stát, že pro některé speciální volby , mohli bychom mít . Například adjunktní reprezentace je vždy izomorfní s duální.
V případě SU (3) (nebo jeho složité Lieovy algebry, ), můžeme zvolit základnu skládající se ze dvou kořenů pod úhlem 120 stupňů, takže třetí kladný kořen je . V tomto případě prvek je odraz kolem přímky kolmé na . Pak mapa je odraz o linii přes .[8] Self-dual reprezentace jsou pak ty, které leží podél linie skrz . Toto jsou reprezentace s popisky formuláře , což jsou reprezentace, jejichž váhové diagramy jsou pravidelný šestiúhelníky.
Motivace
V teorii reprezentace jsou oba vektory v PROTI a lineární funkcionály v PROTI* jsou považovány za vektory sloupců aby reprezentace mohla jednat (pomocí maticového násobení) z vlevo, odjet. Daný základ pro PROTI a dvojí základ pro PROTI*, působení lineárního funkcionálu φ na proti, φ (v) lze vyjádřit násobením matice,
- ,
kde horní index T je maticová transpozice. Důslednost vyžaduje
S uvedenou definicí,
Pro reprezentaci Lie algebry se zvolí konzistence s možnou skupinovou reprezentací. Obecně, pokud Π je tedy reprezentace Lieovy skupiny π dána
je reprezentací jeho Lieovy algebry. Li Π * je dvojí Π, pak jeho odpovídající reprezentace Lie algebry π * je dána
Příklad
Zvažte skupinu komplexních čísel absolutní hodnoty 1. Neredukovatelné reprezentace jsou všechny jednorozměrné, jako důsledek Schurovo lemma. Neredukovatelné reprezentace jsou parametrizovány celými čísly a uvedeno výslovně jako
Dvojí zastoupení pro je pak inverzní k transpozici této matice jeden po druhém, tj.
To znamená, dvojí zastoupení je .
Zobecnění
Obecný prsten modul nepřipouští dvojí zastoupení. Moduly Hopfovy algebry ano.
Viz také
Reference
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Reprezentations: An Elementary Introduction, Postgraduální texty z matematiky, 222 (2. vyd.), Springer, ISBN 978-3319134666.
- ^ Přednáška 1 z Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teorie reprezentace. První kurz. Postgraduální texty z matematiky, Čtení z matematiky. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. PAN 1153249. OCLC 246650103.
- ^ Hall 2015 Oddíl 4.3.3
- ^ Přednáška 8 z Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teorie reprezentace. První kurz. Postgraduální texty z matematiky, Čtení z matematiky. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. PAN 1153249. OCLC 246650103.
- ^ Hall 2015 Cvičení 6 kapitoly 4
- ^ Hall 2015 Cvičení 3 v kapitole 6
- ^ Hall 2015 Cvičení 10 v kapitole 10
- ^ Hall 2015 Cvičení 10 v kapitole 10
- ^ Hall 2015 Cvičení 3 v kapitole 6
- ^ Přednáška 1, strana 4 z Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teorie reprezentace. První kurz. Postgraduální texty z matematiky, Čtení z matematiky. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. PAN 1153249. OCLC 246650103.
- ^ Přednáška 8, strana 111 z Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teorie reprezentace. První kurz. Postgraduální texty z matematiky, Čtení z matematiky. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. PAN 1153249. OCLC 246650103.