Bispinor - Bispinor

v fyzika a konkrétně v kvantová teorie pole, a bispinor, také známý jako a Dirac spinor, je matematická konstrukce, která se používá k popisu některých z základní částice z Příroda, počítaje v to kvarky a elektrony. Jedná se o konkrétní provedení a spinor, speciálně konstruované tak, aby bylo v souladu s požadavky speciální relativita. Bispinory se transformují určitým „kuželkovým“ způsobem pod akcí Skupina Lorentz, který popisuje symetrie Minkowského časoprostor. Vyskytují se v relativistickém spin-½ vlnová funkce řešení Diracova rovnice.

Bispinory se nazývají proto, že jsou konstruovány ze dvou jednodušších komponentních spinorů, z Weyl spinors. Každý ze dvou komponentních spinorů se transformuje odlišně pod dvěma odlišnými komplexně-konjugovanými spin-1/2 reprezentace skupiny Lorentz. Toto párování má zásadní význam, protože umožňuje reprezentované částice mít a Hmotnost, nést a nabít, a představují tok náboje jako a proud, a co je nejdůležitější, nosit moment hybnosti. Přesněji řečeno, hmotnost je a Kazimír neměnný skupiny Lorentz (vlastní stav energie), zatímco vektorová kombinace nese hybnost a proud, přičemž kovariantní v rámci akce skupiny Lorentz. Moment hybnosti přenáší Poyntingův vektor, vhodně konstruované pro rotační pole.^[1]

Bispinor je totéž jako Dirac spinor; tento článek představuje bispinor jako konkrétní zastoupení skupiny Lorentz, zatímco článek o Diracových spinorech se zaměřuje na algebraickou formu, kterou mají, když se vyskytnou v rovinná vlna řešení Diracova rovnice.

Definice

Bispinory jsou prvky 4-dimenzionálního komplex vektorový prostor (½,0)⊕(0,½) zastoupení z Skupina Lorentz.^[2]

V Weylský základ, bispinor

${displaystyle psi = left ({egin {array} {c} psi _ {m {L}} psi _ {m {R}} konec {pole}} vpravo)}$

sestává ze dvou (dvousložkových) Weyl spinorů ${displaystyle psi _ {m {L}}}$ a ${displaystyle psi _ {m {R}}}$ které transformují odpovídajícím způsobem pod (½, 0) a (0, ½) reprezentace ${displaystyle mathbf {SO} (1,3)}$ skupina (skupina Lorentz bez paritní transformace ). Při paritní transformaci se Weylovy rotory transformují do sebe.

Diracův bispinor je spojen s Weylským bispinorem jednotnou transformací na Dirac základ,

${displaystyle psi ightarrow {1 nad {sqrt {2}}} vlevo [{egin {pole} {cc} 1 & 1 -1 a 1end {pole}} ight] psi = {1 nad {sqrt {2}}} vlevo ({egin {array} {c} psi _ {m {R}} + psi _ {m {L}} psi _ {m {R}} - psi _ {m {L}} konec {pole}} hned).}$

Diracův základ je v literatuře nejpoužívanější.

Výrazy pro Lorentzovy transformace bispinorů

Bispinorové pole ${displaystyle psi (x)}$ transformuje podle pravidla

${displaystyle psi ^ {a} (x) o {psi ^ {prime}} ^ {a} (x ^ {prime}) = S [Lambda] _ {b} ^ {a} psi ^ {b} (Lambda ^ {-1} x ^ {prime}) = S [Lambda] _ {b} ^ {a} psi ^ {b} (x)}$

kde ${displaystyle Lambda}$ je Lorentzova transformace. Zde se souřadnice fyzických bodů transformují podle ${displaystyle x ^ {prime} = Lambda x}$, zatímco ${displaystyle S}$, matice, je prvek reprezentace spinoru (pro spin 1/2) skupiny Lorentz.

Ve Weylově základně platí pro podporu explicitní matice transformace ${displaystyle Lambda _ {m {boost}}}$ a pro rotaci ${displaystyle Lambda _ {m {rot}}}$ jsou následující:^[3]

${displaystyle S [Lambda _ {m {boost}}] = left ({egin {array} {cc} e ^ {+ chi cdot sigma / 2} & 0 0 & e ^ {- chi cdot sigma / 2} end {array} } hned)}$

${displaystyle S [Lambda _ {m {rot}}] = left ({egin {array} {cc} e ^ {+ iphi cdot sigma / 2} & 0 0 & e ^ {+ iphi cdot sigma / 2} end {array} } hned)}$

Tady ${displaystyle chi}$ je parametr podpory a ${displaystyle phi ^ {i}}$ představuje rotaci kolem ${displaystyle x ^ {i}}$ osa. ${displaystyle sigma _ {i}}$ jsou Pauliho matice. Exponenciální je exponenciální mapa, v tomto případě exponenciální matice definováno vložením matice do obvyklé výkonové řady pro exponenciální funkci.

Vlastnosti

A bilineární forma bispinorů lze snížit na pět neredukovatelných (ve skupině Lorentz) objektů:

1. skalární, ${displaystyle {ar {psi}} psi}$ ;
2. pseudo-skalární, ${displaystyle {ar {psi}} gamma ^ {5} psi}$ ;
3. vektor, ${displaystyle {ar {psi}} gamma ^ {mu} psi}$ ;
4. pseudo-vektor, ${displaystyle {ar {psi}} gamma ^ {mu} gamma ^ {5} psi}$ ;
5. antisymetrický tenzor, ${displaystyle {ar {psi}} (gamma ^ {mu} gamma ^ {u} -gamma ^ {u} gamma ^ {mu}) psi}$ ,

kde ${displaystyle {ar {psi}} ekv. psi ^ {dagger} gama ^ {0}}$ a ${displaystyle {gamma ^ {mu}, gamma ^ {5}}}$ jsou gama matice. Těchto pět veličin je vzájemně propojeno Fierzovy identity. Jejich hodnoty jsou použity v Klasifikace spinorového pole Lounesto z různých typů spinorů, z nichž je bispinor jen jeden; ostatní jsou stožár (z toho Majoranský spinor je zvláštní případ), vlajkový dipól a Weyl spinor. Flagpole, flag-dipole a Weyl spinors mají nulovou hmotnost a pseudoskalární pole; stožár má navíc nulové pseudovektorové pole, zatímco Weylovy spinory mají nulový antisymetrický tenzor (nulové „pole momentu hybnosti“).

Z nich lze postavit vhodného Lagrangeova pro relativistické pole spin-½ a je uveden jako

${displaystyle {mathcal {L}} = {i přes 2} vlevo ({ar {psi}} gamma ^ {mu} částečné _ {mu} psi -částečné _ {mu} {ar {psi}} gamma ^ {mu} psi ight) -m {ar {psi}} psi;.}$

The Diracova rovnice lze odvodit z tohoto Lagrangian pomocí Euler-Lagrangeova rovnice.

Odvození reprezentace bispinoru

Úvod

Tento obrys popisuje jeden typ bispinorů jako prvky konkrétního reprezentační prostor z (½, 0) ⊕ (0, ½) zastoupení skupiny Lorentz. Tento reprezentační prostor souvisí, ale není totožný s (½, 0) ½ (0, ½) reprezentačním prostorem obsaženým v Cliffordova algebra přes Minkowského časoprostor jak je popsáno v článku Spinors. Jazyk a terminologie se používají jako v Teorie reprezentace skupiny Lorentz. Jedinou vlastností Cliffordových algeber, která je pro prezentaci nezbytná, je definující vlastnost uvedená v D1 níže. The základní prvky tak(3;1) jsou označeny M^μν.

Reprezentace Lieovy algebry tak(3;1) skupiny Lorentz Ó(3;1) se objeví mezi maticemi, které budou vybrány jako základ (jako vektorový prostor) komplexní Cliffordovy algebry v průběhu časoprostoru. Tyto 4×4 matice jsou poté umocněny, čímž se získá reprezentace TAK(3;1)⁺. Toto znázornění se ukázalo být a (1/2,0)⊕(0,1/2) reprezentace, bude působit na libovolný 4-dimenzionální komplexní vektorový prostor, který bude jednoduše brán jako C⁴a jeho prvky budou bispinory.

Pro srovnání, komutační vztahy tak(3;1) jsou

${displaystyle [M ^ {mu u}, M ^ {ho sigma}] = i (eta ^ {sigma mu} M ^ {ho u} + eta ^ {u sigma} M ^ {mu ho} -eta ^ {ho mu} M ^ {sigma u} -eta ^ {u ho} M ^ {mu sigma})}$

(M1)

s časoprostorovou metrikou η = diag (−1,1,1,1).

Gama matice

Nechť γ^μ označit sadu čtyř 4-dimenzionálních gama matic, zde nazývaných Diracovy matice. Matice Dirac uspokojí

${displaystyle {gamma ^ {mu}, gamma ^ {u}} = 2eta ^ {mu u} I_ {4},}$[4]

(D1)

kde {, } je antikomutátor, Já₄ je 4×4 jednotková matice a η^μν je metrika časoprostoru s podpisem (+, -, -, -). Toto je definující podmínka pro generující množinu a Cliffordova algebra. Další základní prvky σ^μν Cliffordovy algebry jsou dány

${displaystyle sigma ^ {mu u} = - {frac {i} {4}} [gamma ^ {mu} gamma ^ {u} -gamma ^ {u} gamma ^ {mu}].}$[5]

(C1)

Pouze šest matic σ^μν jsou lineárně nezávislé. To vyplývá přímo z jejich definice od té doby σ^μν = Σ^νμ. Působí na podprostor PROTI_y the y^μ rozpětí v pasivní smysl, podle

${displaystyle [sigma ^ {mu u}, gamma ^ {ho}] = - igamma ^ {mu} eta ^ {u ho} + igamma ^ {u} eta ^ {mu ho}.}$[6]

(C2)

v (C2), druhá rovnost vyplývá z vlastnosti (D1) Cliffordovy algebry.

Vložení algebry lži tak (3; 1) do Cℓ₄(C)

Nyní definujte akci tak(3;1) na σ^μνa lineární podprostor PROTI_σ ⊂ Cℓ₄(C) ony rozpětí Cℓ₄(C) ≈ Mⁿ_C, dána

${displaystyle pi (M ^ {mu u}) (sigma ^ {ho sigma}) = [sigma ^ {mu u}, sigma ^ {ho sigma}] = i (eta ^ {sigma mu} sigma ^ {ho u} + eta ^ {sigma u} sigma ^ {ho mu} -eta ^ {mu ho} sigma ^ {u sigma} -eta ^ {u ho} sigma ^ {mu sigma}),}$.

(C4)

Poslední rovnost v (C4), který vyplývá z (C2) a majetek (D1) gama matic ukazuje, že σ^μν představují zastoupení tak(3;1) od komutační vztahy v (C4) jsou přesně ty z tak(3;1). Akce π (M^μν) lze považovat za šestrozměrné matice Σ^μν vynásobení základních vektorů σ^μν, protože prostor v M_n(C) překlenutý σ^μν je šestrozměrný, nebo o něm lze uvažovat jako o akci komutací na σ^ρσ. V následujícím, π (M^μν) = σ^μν

The y^μ a σ^μν jsou obě (disjunktní) podmnožiny základních prvků Cℓ₄(C), generované čtyřrozměrnými Diracovými maticemi y^μ ve čtyřech časoprostorových rozměrech. Lieova algebra tak(3;1) je tedy vložen do Cℓ₄(C) od π jako nemovitý podprostor Cℓ₄(C) překlenul σ^μν. Úplný popis zbývajících základních prvků jiných než y^μ a σ^μν Cliffordovy algebry naleznete v článku Diracova algebra.

Bispinory představeny

Nyní představte žádný 4-dimenzionální komplexní vektorový prostor U kde γ^μ jednat podle násobení matic. Tady U = C⁴ udělá to pěkně. Nechat Λ = e^ω_μνMμν být Lorentzovou transformací a definovat akce skupiny Lorentz na U být

${displaystyle uightarrow S (Lambda) u = e ^ {ipi (omega _ {mu u} M ^ {mu u})} u; quad u ^ {alpha} ightarrow [e ^ {omega _ {mu u} sigma ^ { mu u}}] ^ {alpha} {} _ {eta} u ^ {eta}.}$

Protože σ^μν podle (C4) představují zastoupení tak(3;1), indukovaná mapa

${displaystyle S: SO (3; 1) ^ {+} ightarrow mathrm {GL} (U); quad Lambda ightarrow e ^ {ipi (X)}; quad e ^ {iX} = Lambda, quad X = omega _ { mu u} M ^ {mu u} v {mathfrak {so}} (3; 1)}$

(C5)

podle obecná teorie buď je reprezentace, nebo projektivní reprezentace z SO (3; 1)⁺. Ukáže se to jako projektivní reprezentace. Prvky U, když je obdařen transformačním pravidlem daným S, jsou nazývány bispinory nebo jednoduše rotory.

Výběr matic Dirac

Zbývá vybrat sadu matic Dirac y^μ za účelem získání reprezentace rotace S. Jedna taková volba, vhodná pro ultrarelativistický limit, je

${displaystyle {egin {aligned} gamma ^ {0} & = - i {iggl (} {egin {matrix} 0 & I I & 0 end {matrix}} {iggr)}, gamma ^ {i} & = - i { iggl (} {egin {matrix} 0 & sigma _ {i} - sigma _ {i} & 0 end {matrix}} {iggr)}, quad i = 1,2,3 end {zarovnáno}}.}$[7]

(E1)

Kde σ_i jsou Pauliho matice. V této reprezentaci generátorů alifry Clifford, σ^μν stát se

${displaystyle {egin {aligned} sigma ^ {i0} & = {frac {i} {2}} {iggl (} {egin {matrix} sigma _ {i} & 0 0 & -sigma _ {i} end {matrix }} {iggr)}, sigma ^ {ij} & = {frac {1} {2}} epsilon _ {ijk} {iggl (} {egin {matrix} sigma _ {k} & 0 0 & sigma _ {k} end {matrix}} {iggr)} end {zarovnáno}}.}$[8]

(E23)

Toto znázornění je zjevně ne ireducibilní, protože matice jsou všechny úhlopříčka bloku. Ale díky neredukovatelnosti Pauliho matice nelze reprezentaci dále omezit. Jelikož je to 4-dimenzionální, jedinou možností je, že je (1/2,0)⊕(0,1/2) reprezentace, tj. bispinorská reprezentace. Nyní pomocí receptu umocnění reprezentace Lieovy algebry získáte reprezentaci SO (3; 1)⁺,

${displaystyle {egin {aligned} S (Lambda _ {B}) & = e ^ {ipi (phi cdot mathbf {J})} = {iggl (} {egin {matrix} e ^ {- {frac {1} { 2}} chi cdot sigma} & 0 0 & e ^ {{frac {1} {2}} chi cdot sigma} end {matrix}} {iggr)}, S (Lambda _ {R}) & = e ^ { ipi (chi cdot mathbf {K})} = {iggl (} {egin {matrix} e ^ {{frac {i} {2}} phi cdot sigma} & 0 0 & e ^ {{frac {i} {2}} phi cdot sigma} end {matrix}} {iggr)} end {zarovnáno}},}$

(E3)

získá se projektivní dvouhodnotové zastoupení. Tady φ je vektor parametrů rotace s 0 ≤ φⁱ ≤2π, a χ je vektorem boost parametry. S konvencemi zde použitými lze psát

${displaystyle psi = {egin {pmatrix} psi _ {R} psi _ {L} konec {pmatrix}},}$

(E4)

pro bispinorové pole. Zde odpovídá horní složka a že jo Weyl spinor. Zahrnout inverze vesmírné parity v tomto formalismu se nastavuje

${displaystyle eta = igamma ^ {0} = {iggl (} {egin {matrix} 0 & I I & 0 end {matrix}} {iggr)},}$[9]

(E5)

jako zástupce pro P = diag (1, −1, −1, −1). Je vidět, že reprezentace je neredukovatelná, když je zahrnuta inverze prostorové parity.

Příklad

Nechat X = 2πM¹² aby X generuje rotaci kolem osy z o úhel 2π. Pak Λ = e^iX = I ∈ SO (3; 1)⁺ ale E^{iπ (X)} = -I ∈ GL (U). Tady, Já označuje prvek identity. Li X = 0 je vybrán místo toho, pak stále Λ = e^iX = I ∈ SO (3; 1)⁺, ale teď E^{iπ (X)} = I ∈ GL (U).

To ilustruje dvojitou hodnotu reprezentace rotace. Identita v SO (3; 1)⁺ se mapuje do obou -I ∈ GL (U) nebo I ∈ GL (U) v závislosti na volbě prvku Lieovy algebry, který jej má reprezentovat. V prvním případě lze spekulovat, že rotace úhlu 2π promění bispinor v mínus sám, a že to vyžaduje a 4π rotací otočíte bispinor zpět do sebe. Skutečně se stane, že identita v SO (3; 1)⁺ je mapováno na -Já v GL (U) s nešťastnou volbou X.

Je nemožné neustále si vybrat X pro všechny g ∈ SO (3; 1)⁺ aby S je spojitá reprezentace. Předpokládejme, že jeden definuje S podél smyčky SO (3; 1) takhle X (t) = 2πtM¹², 0 ≤ t ≤ 1. Toto je uzavřená smyčka SO (3; 1), tj. rotace v rozmezí od 0 do 2π kolem osy z pod exponenciálním mapováním, ale je to jen "napůl" "smyčka GL (U)končící v -Já. Kromě toho hodnota I ∈ SO (3; 1) je dvojznačný, protože t = 0 a t = 2π dává různé hodnoty pro I ∈ SO (3; 1).

Diracova algebra

Zastoupení S na bispinorech vyvolá zastoupení SO (3; 1)⁺ na Konec(U), sada lineárních operátorů na U. Tento prostor odpovídá samotné Cliffordově algebře, takže jsou zapnuty všechny lineární operátory U jsou prvky toho druhého. Tato reprezentace a to, jak se rozkládá jako přímý součet neredukovatelných SO (3; 1)⁺ reprezentace, je popsán v článku o Diracova algebra. Jedním z důsledků je rozklad bilineárních forem na U×U. Tento rozklad naznačuje, jak spojit jakékoli pole bispinoru s jinými poli v lagrangiánu Lorentzovy skaláry.

Viz také

• Dirac spinor
• Točení (3,1), dvojitý kryt z SO (3,1) podle a spinová skupina
• Rarita – Schwingerova rovnice

Poznámky

Reference

• Caban, Paweł; Rembieliński, Jakub (5. července 2005). „Lorentzova kovariantní matice se sníženou hustotou rotace a korelace Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm“. Fyzický přehled A. Americká fyzická společnost (APS). 72 (1): 012103. arXiv:quant-ph / 0507056v1. doi:10.1103 / physreva.72.012103.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Weinberg, S (2002), Kvantová teorie polí, svazek I, ISBN  0-521-55001-7.