Lorentzův faktor - Lorentz factor
The Lorentzův faktor nebo Lorentzův termín je faktor, podle kterého čas, délka a relativistická hmotnost změna objektu, když se objekt pohybuje. Výraz se objeví v několika rovnicích v speciální relativita, a vzniká v derivacích Lorentzovy transformace. Název pochází z jeho dřívějšího vzhledu v Lorentzianova elektrodynamika - pojmenoval podle holandský fyzik Hendrik Lorentz.[1]
Obecně se označuje y (řecké malé písmeno gama ). Někdy (zejména v diskusi o superluminální pohyb ) faktor je zapsán jako Γ (Řecká velká písmena gama) spíše než y.
Definice
Lorentzův faktor y je definován jako[2]
- ,
kde:
- proti je relativní rychlost mezi setrvačnými referenčními snímky,
- C je rychlost světla ve vakuu,
- β je poměr proti na C,
- t je souřadnicový čas,
- τ je správný čas pro pozorovatele (měření časových intervalů ve vlastním rámci pozorovatele).
Toto je v praxi nejčastěji používaná forma, i když ne jediná (alternativní formy viz níže).
Pro doplnění definice někteří autoři definují vzájemnost[3]
vidět vzorec přidání rychlosti.
Výskyt
Následuje seznam vzorců ze speciální relativity, které se používají y jako zkratka:[2][4]
- The Lorentzova transformace: Nejjednodušším případem je podpora v X-direction (obecnější formy včetně libovolných směrů a rotací, které zde nejsou uvedeny), který popisuje, jak se souřadnice časoprostoru mění z jednoho setrvačného rámce pomocí souřadnic (X, y, z, t) jinému (X′, y′, z′, t′) s relativní rychlostí proti:
Výsledkem jsou důsledky výše uvedených transformací:
- Dilatace času: Čas (∆t′) mezi dvěma tiky, měřeno v rámci, ve kterém se hodiny pohybují, je delší než čas (∆t) mezi těmito klíšťaty, měřeno v klidovém rámci hodin:
- Délka kontrakce: Délka (∆X′) předmětu měřeného v rámci, ve kterém se pohybuje, je kratší než jeho délka (∆X) ve svém vlastním rámu odpočinku:
Přihlašování zachování z hybnost a energie vede k těmto výsledkům:
- Relativistická masa: The Hmotnost m objektu v pohybu závisí na a odpočinková hmota m0:
- Relativistická hybnost: Relativistické hybnost relace má stejnou formu jako pro klasickou hybnost, ale za použití výše uvedené relativistické hmotnosti:
- Relativistická kinetická energie: Relativistická kinetika energie relace má mírně upravenou formu:
- Tak jako je funkce , dává nerelativistický limit , jak se očekávalo z newtonovských úvah.
Číselné hodnoty


V tabulce níže ukazuje levý sloupec rychlosti jako různé zlomky rychlosti světla (tj. V jednotkách C). Prostřední sloupec ukazuje odpovídající Lorentzův faktor, konečný je reciproční. Hodnoty uvedené tučně jsou přesné.
Rychlost (jednotky c) | Lorentzův faktor | Reciproční |
---|---|---|
0.000 | 1.000 | 1.000 |
0.050 | 1.001 | 0.999 |
0.100 | 1.005 | 0.995 |
0.150 | 1.011 | 0.989 |
0.200 | 1.021 | 0.980 |
0.250 | 1.033 | 0.968 |
0.300 | 1.048 | 0.954 |
0.400 | 1.091 | 0.917 |
0.500 | 1.155 | 0.866 |
0.600 | 1.250 | 0.800 |
0.700 | 1.400 | 0.714 |
0.750 | 1.512 | 0.661 |
0.800 | 1.667 | 0.600 |
0.866 | 2.000 | 0.500 |
0.900 | 2.294 | 0.436 |
0.990 | 7.089 | 0.141 |
0.999 | 22.366 | 0.045 |
0.99995 | 100.00 | 0.010 |
Alternativní reprezentace
Existují i jiné způsoby, jak faktor zapsat. Nahoře, rychlost proti byl použit, ale související proměnné jako hybnost a rychlost může být také výhodné.
Hybnost
Řešení předchozí rovnice relativistické hybnosti pro y vede k
- .
Tento formulář se používá zřídka, i když se objeví v Distribuce Maxwell – Jüttner.[5]
Rychlost
Použití definice rychlost jako hyperbolický úhel :[6]
také vede k y (pomocí hyperbolické identity ):
Pomocí vlastnosti Lorentzova transformace, lze ukázat, že rychlost je aditivní, užitečná vlastnost, kterou rychlost nemá. Parametr rychlosti tedy tvoří a skupina s jedním parametrem, základ pro fyzické modely.
Sériová expanze (rychlost)
Lorentzův faktor má Řada Maclaurin:
což je speciální případ a binomická řada.
Aproximace y ≈ 1 + 1/2 β2 lze použít k výpočtu relativistických účinků při nízkých rychlostech. Drží se do 1% chyby pro proti <0,4 c (proti <120 000 km / s) a do 0,1% chyby pro proti < 0.22 C (proti <66 000 km / s).
Zkrácené verze této série také umožňují fyzici dokázat to speciální relativita snižuje na Newtonovská mechanika při nízkých rychlostech. Například ve speciální relativitě platí následující dvě rovnice:
Pro y ≈ 1 a y ≈ 1 + 1/2 β2, respektive, se redukují na jejich newtonovské ekvivalenty:
Rovnici Lorentzova faktoru lze také převrátit, aby poskytla výtěžek
To má asymptotickou formu
- .
První dva výrazy se občas používají k rychlému výpočtu rychlostí z velkých y hodnoty. Aproximace β ≈ 1 − 1/2 y−2 platí do 1% tolerance pro y > 2 a s tolerancí 0,1% pro y > 3.5.
Aplikace v astronomii
Standardní model dlouhotrvajících gama záblesků (GRB) tvrdí, že tyto výbuchy jsou ultra-relativistické (počáteční větší než přibližně 100), který je vyvolán k vysvětlení takzvaného problému „kompaktnosti“: bez této ultra-relativistické expanze by byl ejecta opticky silný, aby spojil produkci při typických špičkových spektrálních energiích několika 100 keV, zatímco výzva emise jsou netermické.[7]
Volaly subatomární částice miony, mají relativně vysoký Lorentzův faktor, a proto zažívají extrém dilatace času. Jako příklad mají miony obecně průměrnou životnost přibližně 2,2 μs což znamená, že miony generované srážkami kosmických paprsků ve výšce asi 10 km v atmosféře by na zemi neměly být detekovatelné kvůli jejich rychlosti rozpadu. Bylo však zjištěno, že ~ 10% mionů je stále detekováno na povrchu, což dokazuje, že aby byly detekovatelné, jejich rychlosti rozpadu se zpomalily vzhledem k našemu inerciálnímu referenčnímu rámci.[8]
Viz také
Reference
- ^ Jeden vesmír tím, že Neil deGrasse Tyson, Charles Tsun-Chu Liu a Robert Irion.
- ^ A b Forshaw, Jeffrey; Smith, Gavin (2014). Dynamika a relativita. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-93329-9.
- ^ Yaakov Friedman, Fyzikální aplikace homogenních koulíPokrok v matematické fyzice 40 Birkhäuser, Boston, 2004, strany 1-21.
- ^ Mladá; Freedman (2008). Searsova a Zemanského univerzitní fyzika (12. vydání). Pearson Ed. & Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-50130-1.
- ^ Synge, J. L. (1957). Relativistický plyn. Seriál z fyziky. Severní Holandsko. LCCN 57-003567
- ^ Kinematika Archivováno 2014-11-21 na Wayback Machine tím, že J.D.Jackson, Definice rychlosti viz strana 7.
- ^ Cenko, S. B. a kol., iPTF14yb: První objev dosvitu gama záblesku nezávislý na vysokoenergetickém spouštěči, Astrophysical Journal Letters 803, 2015, L24 (6 stran).
- ^ „Muonův experiment v relativitě“. hyperfyzika.phy-astr.gsu.edu. Citováno 2017-02-24.
externí odkazy
- Merrifield, Michael. „γ - Lorentzův faktor (a dilatace času)“. Šedesát symbolů. Brady Haran pro University of Nottingham.
- Merrifield, Michael. „γ2 - Gamma Reloaded“. Šedesát symbolů. Brady Haran pro University of Nottingham.