Rotační formalizmy ve třech rozměrech - Rotation formalisms in three dimensions

v geometrie, rozličný formalizmy existují k vyjádření a otáčení ve třech rozměry jako matematický proměna. Ve fyzice je tento koncept aplikován na klasická mechanika kde rotační (nebo úhlové) kinematika je věda o kvantitativní popis čistě rotačního pohyb. The orientace objektu v daném okamžiku je popsán stejnými nástroji, protože je definován jako imaginární rotace z referenčního umístění v prostoru, spíše než skutečně pozorovaná rotace z předchozího umístění v prostoru.

Podle Eulerova věta o rotaci rotace a tuhé tělo (nebo trojrozměrný souřadnicový systém s pevným původ ) je popsán jedinou rotací kolem některé osy. Takovou rotaci lze jednoznačně popsat minimálně třemi nemovitý parametry. Z různých důvodů však existuje několik způsobů, jak to vyjádřit. Mnoho z těchto reprezentací používá více než nezbytné minimum tří parametrů, i když každý z nich má stále jen tři stupně svobody.

Příklad, kde se používá rotační reprezentace, je v počítačové vidění, kde Automatizovaný pozorovatel musí sledovat cíl. Zvažte tuhé tělo se třemi ortogonální jednotkové vektory připevněn k jeho tělu (představující tři osy lokálního objektu souřadnicový systém ). Základním problémem je určit orientaci těchto tří jednotkové vektory, a tedy tuhé těleso, s ohledem na souřadný systém pozorovatele, považované za referenční umístění v prostoru.

Rotace a pohyby

Rotační formalizmy jsou zaměřeny na správné (zachování orientace ) pohyby Euklidovský prostor s jeden pevný bod, že a otáčení odkazuje na. Ačkoli fyzické pohyby s pevným bodem jsou důležitým případem (například pohyby popsané v rám těžiště nebo pohyby a kloub ), tento přístup vytváří znalosti o všech pohybech. Jakýkoli správný pohyb euklidovského prostoru se rozloží na rotaci kolem počátku a překlad. Bez ohledu na jejich pořadí složení bude, „čistá“ rotační složka se nezmění, jednoznačně určená úplným pohybem.

Lze také chápat „čisté“ rotace jako lineární mapy v vektorový prostor vybavené euklidovskou strukturou, nikoli jako mapy bodů odpovídající afinní prostor. Jinými slovy, rotační formalismus zachycuje pouze rotační část pohybu, která obsahuje tři stupně volnosti, a ignoruje translační část, která obsahuje další tři.

Při reprezentaci rotace jako čísla v počítači někteří lidé dávají přednost zobrazení čtveřice nebo zobrazení osa + úhel, protože se vyhýbají kardanový zámek které mohou nastat při Eulerových rotacích.^[1]

Alternativy formalismu

Rotační matice

Výše uvedená triáda jednotkové vektory se také nazývá a základ. Upřesnění souřadnice (komponenty) vektorů tohoto základu v jeho aktuální (otočené) poloze, pokud jde o referenční (neotočené) souřadnicové osy, bude zcela popisovat rotaci. Tři jednotkové vektory, ${displaystyle {hat {mathbf {u}}}}$, ${displaystyle {hat {mathbf {v}}}}$ a ${displaystyle {hat {mathbf {w}}}}$, které tvoří rotovanou základnu, každá se skládá ze 3 souřadnic, čímž se získá celkem 9 parametrů.

Tyto parametry lze zapsat jako prvky a 3 × 3 matice A, nazvaný a rotační matice. Souřadnice každého z těchto vektorů jsou obvykle uspořádány podél sloupce matice (mějte však na paměti, že existuje alternativní definice rotační matice a je široce používána, přičemž výše definované souřadnice vektorů jsou uspořádány řádky^[2])

${displaystyle mathbf {A} = left [{egin {array} {ccc} {hat {mathbf {u}}} _ {x} & {hat {mathbf {v}}} _ {x} & {hat {mathbf { w}}} _ {x} {hat {mathbf {u}}} _ {y} & {hat {mathbf {v}}} _ {y} & {hat {mathbf {w}}} _ {y} {hat {mathbf {u}}} _ {z} & {hat {mathbf {v}}} _ {z} & {hat {mathbf {w}}} _ {z} end {array}} ight] }$

Prvky rotační matice nejsou všechny nezávislé - jak určuje Eulerova věta o rotaci, rotační matice má pouze tři stupně volnosti.

Rotační matice má následující vlastnosti:

• A je skutečný, ortogonální matice, proto každý z jeho řádků nebo sloupců představuje a jednotkový vektor.
• The vlastní čísla z A jsou

${displaystyle left {1, e ^ {pm i heta} ight} = {1, cos heta + isin heta, cos heta -isin heta}}$

kde i je standard imaginární jednotka s majetkem i² = −1

• The určující z A je +1, což odpovídá součinu jeho vlastních čísel.
• The stopa z A je 1 + 2 cos θ, což odpovídá součtu jeho vlastních čísel.

Úhel θ který se objeví ve výrazu vlastních čísel, odpovídá úhlu Eulerovy osy a zobrazení úhlu. The vlastní vektor odpovídající vlastní hodnotě 1 je doprovodná Eulerova osa, protože osa je jediný (nenulový) vektor, který zůstává nezměněn tím, že jej vynásobíme (rotujeme) doleva s rotační maticí.

Výše uvedené vlastnosti jsou ekvivalentní:

${displaystyle {egin {aligned} | {hat {mathbf {u}}} | = | {hat {mathbf {v}}} | = | {hat {mathbf {w}}} | & = 1 {hat {mathbf {u}}} cdot {hat {mathbf {v}}} & = 0 {hat {mathbf {u}}} imes {hat {mathbf {v}}} & = {hat {mathbf {w}}}, , konec {zarovnáno}}}$

což je další způsob, jak to uvést ${displaystyle ({hat {mathbf {u}}}, {hat {mathbf {v}}}, {hat {mathbf {w}}})}$ tvoří 3D ortonormální základ. Tyto příkazy obsahují celkem 6 podmínek (křížový produkt obsahuje 3), přičemž rotační matice podle potřeby ponechává pouze 3 stupně volnosti.

Dvě po sobě jdoucí rotace představované maticemi A₁ a A₂ jsou snadno kombinovatelné jako prvky skupiny,

${displaystyle mathbf {A} _ {ext {total}} = mathbf {A} _ {2} mathbf {A} _ {1}}$

(Všimněte si pořadí, protože vektor, který se otáčí, je vynásoben zprava).

Snadnost, s jakou lze vektory otáčet pomocí rotační matice, a také snadnost kombinování po sobě jdoucích rotací, činí rotační matici užitečným a populárním způsobem reprezentace rotací, i když je méně stručná než jiná znázornění.

Eulerova osa a úhel (vektor rotace)

Vizualizace rotace představovaná Eulerovou osou a úhlem.

Z Eulerova věta o rotaci víme, že jakoukoli rotaci lze vyjádřit jako jednu rotaci kolem nějaké osy. Osa je jednotkový vektor (jedinečný kromě znaménka), který zůstává nezměněn rotací. Velikost úhlu je také jedinečná, přičemž jeho znaménko je určeno znaménkem osy otáčení.

Osu lze reprezentovat jako trojrozměrný jednotkový vektor

${displaystyle {hat {mathbf {e}}} = {egin {bmatrix} e_ {x} e_ {y} e_ {z} end {bmatrix}}}$

a úhel skalárem θ.

Protože osa je normalizovaná, má pouze dvě stupně svobody. Úhel přidává tomuto stupni rotace třetí stupeň volnosti.

Jeden může chtít vyjádřit rotaci jako a vektor rotacenebo Eulerův vektor, nenormalizovaný trojrozměrný vektor, jehož směr určuje osu a jehož délka je θ,

${displaystyle mathbf {r} = heta {hat {mathbf {e}}} ,.}$

Vektor rotace je v některých kontextech užitečný, protože představuje trojrozměrnou rotaci pouze se třemi skalární hodnoty (jeho komponenty), představující tři stupně volnosti. To platí také pro reprezentace založené na sekvencích tří Eulerových úhlů (viz níže).

Pokud je úhel otočení θ je nula, osa není jednoznačně definována. Kombinace dvou po sobě jdoucích rotací, z nichž každá představuje Eulerovu osu a úhel, není přímá a ve skutečnosti nesplňuje zákon sčítání vektorů, který ukazuje, že konečné rotace nejsou vůbec vektory. Nejlepší je použít notaci rotační matice nebo čtveřice, vypočítat produkt a poté převést zpět na Eulerovu osu a úhel.

Eulerovy rotace

Eulerovy rotace Země. Vnitřní (zelený), precese (modrá) a nutace (Červené)

Myšlenkou Eulerových rotací je rozdělit kompletní rotaci souřadnicového systému na tři jednodušší konstitutivní rotace, tzv. precese, nutace, a vnitřní rotace, přičemž každý z nich je přírůstkem na jednom z Eulerovy úhly. Všimněte si, že vnější matice bude představovat rotaci kolem jedné z os referenčního rámce a vnitřní matice představuje rotaci kolem jedné z pohyblivých os rámu. Střední matice představuje rotaci kolem tzv. Mezilehlé osy řada uzlů.

Definice Eulerových úhlů však není jedinečná a v literatuře se používá mnoho různých konvencí. Tyto konvence závisí na osách, kolem kterých se rotace provádějí, a na jejich posloupnosti (protože rotace nejsou komutativní ).

Konvence, která se používá, je obvykle indikována určením os, kolem kterých dochází k následným rotacím (před složením), s odkazem na ně indexem (1, 2, 3) nebo dopis (X, Y, Z). Inženýrské a robotické komunity obvykle používají Eulerovy úhly 3-1-3. Všimněte si, že po složení nezávislých rotací se již neotáčejí kolem své osy. Nejvzdálenější matice otáčí další dva, přičemž druhou rotační matici ponechává přes linii uzlů a třetí v rámci komutí s tělem. Existují 3 × 3 × 3 = 27 možné kombinace tří základních rotací, ale pouze 3 × 2 × 2 = 12 z nich lze použít k reprezentaci libovolných 3D rotací jako Eulerovy úhly. Těchto 12 kombinací se vyhne následným rotacím kolem stejné osy (například XXY), což by snížilo stupně volnosti, které lze reprezentovat.

Eulerovy úhly proto nikdy nejsou vyjádřeny v podmínkách vnějšího rámu nebo v podmínkách společně se pohybujícího otočeného rámu těla, ale ve směsi. Další konvence (např. rotační matice nebo čtveřice ) slouží k zabránění tomuto problému.

v letectví orientace letadla je obvykle vyjádřena jako vnitřní Úhly Tait-Bryan v návaznosti na z-y′-X″ konvence, které se nazývají nadpis, nadmořská výška, a banka (nebo synonymně, zatočit, hřiště, a válec).

Čtveřice

Čtveřice, které tvoří čtyřrozměrný vektorový prostor, se ukázaly jako velmi užitečné při reprezentaci rotací kvůli několika výhodám oproti ostatním reprezentacím uvedeným v tomto článku.

Čtvercová reprezentace rotace je zapsána jako a versor (normalizovaný čtveřice)

${displaystyle {hat {mathbf {q}}} = q_ {i} mathbf {i} + q_ {j} mathbf {j} + q_ {k} mathbf {k} + q_ {r} = {egin {bmatrix} q_ {i} q_ {j} q_ {k} q_ {r} konec {bmatrix}}}$

Výše uvedená definice ukládá čtveřice jako pole podle konvence použité v (Wertz 1980) a (Markley 2003). Alternativní definice použitá například v (Coutsias 1999) a (Schmidt 2001) definuje „skalární“ termín jako první čtveřičný prvek, přičemž ostatní prvky jsou posunuty o jednu pozici dolů.

Pokud jde o osu Euler

${displaystyle {hat {mathbf {e}}} = {egin {bmatrix} e_ {x} e_ {y} e_ {z} end {bmatrix}}}$

a úhel θ komponenty tohoto versora jsou vyjádřeny takto:

${displaystyle {egin {aligned} q_ {i} & = e_ {x} sin {frac {heta} {2}} q_ {j} & = e_ {y} sin {frac {heta} {2}} q_ {k} & = e_ {z} sin {frac {heta} {2}} q_ {r} & = cos {frac {heta} {2}} konec {zarovnáno}}}$

Inspekce ukazuje, že se parametrizace čtveřice řídí následujícími omezeními:

${displaystyle q_ {i} ^ {2} + q_ {j} ^ {2} + q_ {k} ^ {2} + q_ {r} ^ {2} = 1}$

Poslední člen (v naší definici) se často nazývá skalární člen, který má svůj původ v čtveřicích, když je chápán jako matematické rozšíření komplexních čísel, psaných jako

${displaystyle a + bi + cj + dkqquad {ext {with}} a, b, c, din mathbb {R}}$

a kde {i, j, k} jsou hyperkomplexní čísla uspokojující

${displaystyle {egin {array} {ccccccc} i ^ {2} & = & j ^ {2} & = & k ^ {2} & = & - 1 ij & = & - ji & = & k && jk & = & - kj & = & i && ki & = & - ik & = & j && konec {pole}}}$

Násobení čtveřic, které se používá k určení a kompozitní rotace se provádí stejným způsobem jako násobení komplexní čísla, kromě toho, že je třeba vzít v úvahu pořadí prvků, protože násobení není komutativní. V maticové notaci můžeme zapsat násobení čtveřice jako

${displaystyle {ilde {mathbf {q}}} často mathbf {q} = {egin {bmatrix} ;;, q_ {r} & ;;, q_ {k} & - q_ {j} & ;;, q_ {i } - q_ {k} & ;;, q_ {r} & ;;, q_ {i} & ;;, q_ {j} ;;, q_ {j} & - q_ {i} & ;;, q_ {r} & ;;, q_ {k} - q_ {i} & - q_ {j} & - q_ {k} & ;;, q_ {r} konec {bmatrix}} {egin {bmatrix} {ilde { q}} _ {i} {ilde {q}} _ {j} {ilde {q}} _ {k} {ilde {q}} _ {r} konec {bmatrix}} = {egin {bmatrix } ;;, {ilde {q}} _ {r} & - {ilde {q}} _ {k} & ;;, {ilde {q}} _ {j} & ;;, {ilde {q}} _ {i} ;;, {ilde {q}} _ {k} & ;;, {ilde {q}} _ {r} & - {ilde {q}} _ {i} & ;;, {ilde {q}} _ {j} - {ilde {q}} _ {j} & ;;, {ilde {q}} _ {i} & ;;, {ilde {q}} _ {r} &; ;, {ilde {q}} _ {k} - {ilde {q}} _ {i} & - {ilde {q}} _ {j} & - {ilde {q}} _ {k} &; ;, {ilde {q}} _ {r} end {bmatrix}} {egin {bmatrix} q_ {i} q_ {j} q_ {k} q_ {r} end {bmatrix}}}$

Kombinace dvou po sobě jdoucích rotací čtveřice je proto stejně jednoduchá jako použití rotační matice. Stejně jako dvě po sobě jdoucí rotační matice, A₁ následován A₂, jsou kombinovány jako

${displaystyle mathbf {A} _ {3} = mathbf {A} _ {2} mathbf {A} _ {1}}$,

můžeme to reprezentovat parametry quaternion podobně stručně:

${displaystyle mathbf {q} _ {3} = mathbf {q} _ {2} častěji mathbf {q} _ {1}}$

Quaternions jsou velmi populární parametrizace díky následujícím vlastnostem:

• Kompaktnější než maticová reprezentace a méně náchylné k chyby zaokrouhlování
• Prvky čtveřice se průběžně mění v jednotkové kouli dovnitř ℝ⁴, (označeno S³) při změně orientace se vyhýbejte diskontinuální skoky (inherentní trojrozměrné parametrizaci)
• Vyjádření rotační matice z hlediska parametrů čtveřice zahrnuje č trigonometrické funkce
• Je snadné kombinovat dvě jednotlivé rotace reprezentované jako čtveřice pomocí produktu čtveřice

Stejně jako matice rotace musí být čtveřice někdy kvůli chybám zaokrouhlování renormalizována, aby se zajistilo, že odpovídají platným rotacím. Výpočtové náklady na renormalizaci čtveřice jsou však mnohem nižší než u normalizace a 3 × 3 matice.

Quaternions také zachycují rotační charakter rotací ve třech rozměrech. U trojrozměrného objektu připojeného k jeho (pevnému) okolí uvolněnými řetězci nebo pásy lze řetězce nebo pásy rozmotat po dva úplné otočení kolem určité pevné osy z počátečního rozmotaného stavu. Algebraicky se čtveřice popisující takovou rotaci změní ze skalárního +1 (zpočátku), přes (skalární + pseudovektorový) hodnoty na skalární -1 (při jednom úplném otočení), přes (skalární + pseudovektorový) hodnoty zpět na skalární +1 (na dvě plné otáčky). Tento cyklus se opakuje každé 2 otáčky. Po 2n otáčky (celé číslo n > 0), bez mezilehlých pokusů o rozmotání, lze řetězce / pásma částečně rozmotat zpět na 2(n − 1) stav zatáček s každou aplikací stejného postupu použitého při rozmotání ze 2 zatáček na 0 zatáček. Stejný postup n časy budou trvat a 2n-tangled objekt zpět do stavu unangled nebo 0 turn. Proces rozmotání také odstraní jakékoli kroucení generované rotací kolem samotných řetězců / pásem. K prokázání těchto skutečností lze použít jednoduché 3D mechanické modely.

Rodrigues vektor

The Rodrigues vektor (někdy nazývaný Gibbsův vektor, s volanými souřadnicemi Rodriguesovy parametry)^[3][4] lze vyjádřit z hlediska osy a úhlu rotace následujícím způsobem,

${displaystyle mathbf {g} = {hat {mathbf {e}}} a {frac {heta} {2}}}$

Toto znázornění je analogií vyšší dimenze gnomonická projekce, mapující čtveřice jednotek z 3-sféry na 3-dimenzionální čistě-vektorovou nadrovinu.

Má diskontinuitu při 180 ° (π radiány): jako každý rotační vektor r má sklon k úhlu π radiány, jeho tečna má sklon k nekonečnu.

Rotace G následuje rotace F v reprezentaci Rodrigues má jednoduchou rotační kompoziční formu

Dnes je nejpřímější způsob, jak tento vzorec dokázat, v (věrném) reprezentace dubletu, kde G = n̂ opálení A, atd.

Kombinatorické vlastnosti právě zmíněné derivace Pauliho matice jsou rovněž totožné s ekvivalentem čtveřice odvození níže. Vytvořte čtveřici spojenou s prostorovou rotací R jako,

${displaystyle S = cos {frac {phi} {2}} + sin {frac {phi} {2}} mathbf {S}.}$

Pak složení rotace R_B s R._A je rotace R_C= R._BR_A, s osou otáčení a úhlem definovaným součinem čtveřic,

${displaystyle A = cos {frac {alpha} {2}} + sin {frac {alpha} {2}} mathbf {A} quad {ext {and}} quad B = cos {frac {eta} {2}} + sin {frac {eta} {2}} mathbf {B},}$

to je

${displaystyle C = cos {frac {gamma} {2}} + sin {frac {gamma} {2}} mathbf {C} = {Big (} cos {frac {eta} {2}} + sin {frac {eta } {2}} mathbf {B} {Big)} {Big (} cos {frac {alpha} {2}} + sin {frac {alpha} {2}} mathbf {A} {Big)}.}$

Rozbalte tento produkt čtveřice na

${displaystyle cos {frac {gamma} {2}} + sin {frac {gamma} {2}} mathbf {C} = {Big (} cos {frac {eta} {2}} cos {frac {alpha} {2 }} - sin {frac {eta} {2}} sin {frac {alpha} {2}} mathbf {B} cdot mathbf {A} {Big)}}$${displaystyle + {Big (} sin {frac {eta} {2}} cos {frac {alpha} {2}} mathbf {B} + sin {frac {alpha} {2}} cos {frac {eta} {2 }} mathbf {A} + sin {frac {eta} {2}} sin {frac {alpha} {2}} mathbf {B} imes mathbf {A} {Big)}.}$

Vydělte obě strany této rovnice identitou vyplývající z předchozí,

${displaystyle cos {frac {gamma} {2}} = cos {frac {eta} {2}} cos {frac {alpha} {2}} - sin {frac {eta} {2}} sin {frac {alpha} {2}} mathbf {B} cdot mathbf {A},}$

a vyhodnotit

Toto je Rodriguesův vzorec pro osu složené rotace definovanou z hlediska os obou rotací. Tento vzorec odvodil v roce 1840 (viz strana 408).^[5]

Tři osy otáčení A, B, a C tvoří sférický trojúhelník a vzepětí mezi rovinami tvořenými stranami tohoto trojúhelníku jsou definovány úhly rotace.

Modifikované parametry Rodrigues (MRP) lze vyjádřit pomocí Eulerovy osy a úhlu

${displaystyle mathbf {p} = {hat {mathbf {e}}} an {frac {heta} {4}} ,.}$

Upravený Rodriguesův vektor je a stereografická projekce mapování čtveřic jednotek z 3-sféry na 3-dimenzionální čistě-vektorovou nadrovinu.

Cayley – Kleinovy ​​parametry

Viz definice na Wolfram Mathworld.

Vyšší dimenzionální analogy

Zákon vektorové transformace

Aktivní rotace 3D vektoru p v euklidovském prostoru kolem osy n nad úhlem η lze snadno psát, pokud jde o tečkované a křížové produkty, následovně:

${displaystyle {extbf {p}} '= p_ {parallel} {extbf {n}} + cos {eta}, {extbf {p}} _ {perp} + sin {eta}, {extbf {p}} klín { extbf {n}}}$

kde

${displaystyle p_ {parallel} = {extbf {p}} cdot {extbf {n}}}$

je podélná složka p podél n, dané Tečkovaný produkt,

${displaystyle {extbf {p}} _ {perp} = {extbf {p}} - ({extbf {p}} cdot {extbf {n}}) {extbf {n}}}$

je příčná složka p s ohledem na n, a

${displaystyle {extbf {p}} klín {extbf {n}}}$

je křížový produkt, z p s n.

Výše uvedený vzorec ukazuje, že podélná složka p zůstává nezměněn, zatímco příčná část p se otáčí v rovině kolmé na n. Tato rovina je překlenuta příčnou částí p sám a směr kolmý na oba p a n. Rotace je v rovnici přímo identifikovatelná jako 2D rotace o úhel η.

Pasivní rotace lze popsat stejným vzorcem, ale s inverzním znaménkem buď η nebo n.

Konverzní vzorce mezi formalizmy

Rotační matice ↔ Eulerovy úhly

Eulerovy úhly (φ, θ, ψ) lze extrahovat z rotační matice ${displaystyle scriptstyle mathbf {A}}$ kontrolou rotační matice v analytické formě.

Rotační matice → Eulerovy úhly (z-X-z vnější)

Za použití X-konvence, 3-1-3 vnější Eulerovy úhly φ, θ a ψ (okolo z-osa, X- osa a znovu ${displaystyle scriptstyle Z}$-axis) lze získat následovně:

${displaystyle {egin {aligned} phi & = operatorname {atan2} left (A_ {31}, A_ {32} ight) heta & = arccos left (A_ {33} ight) psi & = - operatorname {atan2} left (A_ {13}, A_ {23} ight) konec {zarovnáno}}}$

Všimněte si, že atan2 (A, b) je ekvivalentní k arktan A/b kde také zohledňuje kvadrant ten bod (b, A) je v; vidět atan2.

Při implementaci převodu je třeba vzít v úvahu několik situací:^[6]

• V intervalu jsou obecně dvě řešení [−π, π]³. Výše uvedený vzorec funguje pouze tehdy, když θ je v intervalu [0, π].
• Pro zvláštní případ A₃₃ = 0, φ a ψ bude odvozeno od A₁₁ a A₁₂.
• Mimo interval je nekonečně mnoho, ale spočetně mnoho řešení [−π, π]³.
• To, zda pro danou aplikaci platí všechna matematická řešení, závisí na situaci.

Eulerovy úhly (z-y′-X″ vnitřní) → rotační matice

Rotační matice A je generován z 3-2-1 vnitřní Eulerovy úhly vynásobením tří matic generovaných rotacemi kolem os.

${displaystyle mathbf {A} = mathbf {A} _ {3} mathbf {A} _ {2} mathbf {A} _ {1} = mathbf {A} _ {Z} mathbf {A} _ {Y} mathbf { A} _ {X}}$

Osy rotace závisí na použité konkrétní konvenci. Pro X-konvence, že rotace jsou o X-, y- a z-axy s úhly ϕ, θ a ψ, jednotlivé matice jsou následující:

${displaystyle {egin {aligned} mathbf {A} _ {X} & = {egin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & cos phi & -sin phi 0 & sin phi & cos phi end {bmatrix}} [5px] mathbf {A} _ { Y} & = {egin {bmatrix} cos heta & 0 & sin heta 0 & 1 & 0 -sin heta & 0 & cos heta end {bmatrix}} [5px] mathbf {A} _ {Z} & = {egin {bmatrix} cos psi & -sin psi & 0 sin psi & cos psi & 0 0 a 0 a 1 konec {bmatrix}} konec {zarovnáno}}}$

To přináší

${displaystyle mathbf {A} = {egin {bmatrix} cos heta cos psi & -cos phi sin psi + sin phi sin heta cos psi & sin phi sin psi + cos phi sin heta cos psi cos heta sin psi & cos phi cos psi + sin phi sin heta sin psi & -sin phi cos psi + cos phi sin heta sin psi -sin heta & sin phi cos heta & cos phi cos heta end {bmatrix}}}$

Poznámka: Toto platí pro a pravá ruka systém, což je konvence používaná téměř ve všech inženýrských a fyzikálních oborech.

Interpretace těchto pravostranných rotačních matic spočívá v tom, že vyjadřují transformace souřadnic (pasivní ) na rozdíl od bodových transformací (aktivní ). Protože A vyjadřuje rotaci z místního rámce 1 do globálního rámce 0 (tj., A kóduje osy rámu 1 w.r.t rám 0), základní rotační matice jsou složeny tak, jak je uvedeno výše. Protože inverzní rotace je pouze rotace transponovaná, pokud bychom chtěli globální rotaci z rámce 0 zarámovat 1, napsali bychom ${displaystyle mathbf {A} ^ {op} = (mathbf {A} _ {Z} mathbf {A} _ {Y} mathbf {A} _ {X}) ^ {op} = mathbf {A} _ {X} ^ {op} mathbf {A} _ {Y} ^ {op} mathbf {A} _ {Z} ^ {op}}$.

Rotační matice ↔ Eulerova osa / úhel

Pokud je Eulerův úhel θ není násobkem πosa Euler E a úhel θ lze vypočítat z prvků rotační matice A jak následuje:

${displaystyle {egin {aligned} heta & = arccos {frac {A_ {11} + A_ {22} + A_ {33} -1} {2}} e_ {1} & = {frac {A_ {32} - A_ {23}} {2sin heta}} e_ {2} & = {frac {A_ {13} -A_ {31}} {2sin heta}} e_ {3} & = {frac {A_ {21} - A_ {12}} {2sin heta}} konec {zarovnáno}}}$

Alternativně lze použít následující metodu:

Vlastní složení rotační matice poskytuje vlastní hodnoty 1 a cos θ ± i hřích θ. Osa Euler je vlastní vektor, který odpovídá vlastní hodnotě 1 a θ lze vypočítat ze zbývajících vlastních čísel.

Osu Euler lze také najít pomocí rozkladu singulární hodnoty, protože se jedná o normalizovaný vektor překlenující nulový prostor matice Já − A.

Jiným způsobem převést rotační matici odpovídající Eulerově ose E a úhel θ lze vypočítat podle Rodriguesův rotační vzorec (s příslušnou úpravou) takto:

${displaystyle mathbf {A} = mathbf {I} _ {3} cos heta + (1-cos heta) {hat {mathbf {e}}} {hat {mathbf {e}}} ^ {mathsf {T}} + left [{hat {mathbf {e}}} ight] _ {imes} sin heta}$

s Já₃ the 3 × 3 matice identity, a

${displaystyle left [{hat {mathbf {e}}} ight] _ {imes} = {egin {bmatrix} 0 & -e_ {3} & e_ {2} e_ {3} & 0 & -e_ {1} - e_ { 2} & e_ {1} & 0end {bmatrix}}}$

je matice křížových produktů.

Tím se rozšíří na:

${displaystyle {egin {aligned} A_ {11} & = (1-cos heta) e_ {1} ^ {2} + cos heta A_ {12} & = (1-cos heta) e_ {1} e_ {2 } -e_ {3} sin heta A_ {13} & = (1-cos heta) e_ {1} e_ {3} + e_ {2} sin heta A_ {21} & = (1-cos heta) e_ {2} e_ {1} + e_ {3} sin heta A_ {22} & = (1-cos heta) e_ {2} ^ {2} + cos heta A_ {23} & = (1-cos heta ) e_ {2} e_ {3} -e_ {1} sin heta A_ {31} & = (1-cos heta) e_ {3} e_ {1} -e_ {2} sin heta A_ {32} & = (1-cos heta) e_ {3} e_ {2} + e_ {1} sin heta A_ {33} & = (1-cos heta) e_ {3} ^ {2} + cos heta konec {zarovnáno} }}$

Rotační matice ↔ čtveřice

Při výpočtu čtveřice z rotační matice existuje znaménkoznačnost, protože q a −q představují stejnou rotaci.

Jeden způsob výpočtu čtveřice

${displaystyle mathbf {q} = {egin {bmatrix} q_ {i} q_ {j} q_ {k} q_ {r} konec {bmatrix}} = q_ {i} mathbf {i} + q_ {j} mathbf {j} + q_ {k} mathbf {k} + q_ {r}}$

z rotační matice A je následující:

${displaystyle {egin {aligned} q_ {r} & = {frac {1} {2}} {sqrt {1 + A_ {11} + A_ {22} + A_ {33}}} q_ {i} & = {frac {1} {4q_ {r}}} vlevo (A_ {32} -A_ {23} ight) q_ {j} & = {frac {1} {4q_ {r}}} vlevo (A_ {13} -A_ {31} ight) q_ {k} & = {frac {1} {4q_ {r}}} vlevo (A_ {21} -A_ {12} ight) konec {zarovnán}}}$

Existují tři další matematicky ekvivalentní způsoby výpočtu q. Numerickou nepřesnost lze snížit vyloučením situací, kdy je jmenovatel blízko nule. Jedna z dalších tří metod vypadá následovně:^[7]

${displaystyle {egin {aligned} q_ {i} & = {frac {1} {2}} {sqrt {1 + A_ {11} -A_ {22} -A_ {33}}} q_ {j} & = {frac {1} {4q_ {i}}} vlevo (A_ {12} + A_ {21} ight) q_ {k} & = {frac {1} {4q_ {i}}} vlevo (A_ {13} + A_ {31} ight) q_ {r} & = {frac {1} {4q_ {i}}} vlevo (A_ {32} -A_ {23} ight) konec {zarovnán}}}$

Matice rotace odpovídající čtveřici q lze vypočítat takto:

${displaystyle mathbf {A} = left (q_ {r} ^ {2} - {check {mathbf {q}}} ^ {mathsf {T}} {check {mathbf {q}}} ight) mathbf {I} _ {3} +2 {check {mathbf {q}}} {check {mathbf {q}}} ^ {mathrm {T}} + 2q_ {r} mathbf {mathcal {Q}}}$

kde

${displaystyle {check {mathbf {q}}} = {egin {bmatrix} q_ {i} q_ {j} q_ {k} end {bmatrix}} ,, quad mathbf {mathcal {Q}} = {egin { bmatrix} 0 & -q_ {k} & q_ {j} q_ {k} & 0 & -q_ {i} - q_ {j} & q_ {i} & 0end {bmatrix}}}$

který dává

${displaystyle mathbf {A} = {egin {bmatrix} 1-2q_ {j} ^ {2} -2q_ {k} ^ {2} & 2left (q_ {i} q_ {j} -q_ {k} q_ {r} ight) & 2left (q_ {i} q_ {k} + q_ {j} q_ {r} ight) 2left (q_ {i} q_ {j} + q_ {k} q_ {r} ight) & 1-2q_ {i } ^ {2} -2q_ {k} ^ {2} & 2left (q_ {j} q_ {k} -q_ {i} q_ {r} ight) 2left (q_ {i} q_ {k} -q_ {j } q_ {r} ight) & 2left (q_ {i} q_ {r} + q_ {j} q_ {k} ight) & 1-2q_ {i} ^ {2} -2q_ {j} ^ {2} end {bmatrix }}}$

nebo ekvivalentně

${displaystyle mathbf {A} = {egin {bmatrix} -1 + 2q_ {i} ^ {2} + 2q_ {r} ^ {2} & 2left (q_ {i} q_ {j} -q_ {k} q_ {r } ight) & 2left (q_ {i} q_ {k} + q_ {j} q_ {r} ight) 2left (q_ {i} q_ {j} + q_ {k} q_ {r} ight) & - 1+ 2q_ {j} ^ {2} + 2q_ {r} ^ {2} & 2left (q_ {j} q_ {k} -q_ {i} q_ {r} ight) 2left (q_ {i} q_ {k} - q_ {j} q_ {r} ight) & 2left (q_ {i} q_ {r} + q_ {j} q_ {k} ight) & - 1 + 2q_ {k} ^ {2} + 2q_ {r} ^ { 2} konec {bmatrix}}}$

Eulerovy úhly ↔ čtveřice

Eulerovy úhly (z-X-z vnější) → čtveřice

Budeme uvažovat o X-konvence 3-1-3 vnější Eulerovy úhly pro následující algoritmus. Podmínky algoritmu závisí na použité konvenci.

Můžeme vypočítat čtveřici

${displaystyle mathbf {q} = {egin {bmatrix} q_ {i} q_ {j} q_ {k} q_ {r} konec {bmatrix}} = q_ {i} mathbf {i} + q_ {j} mathbf {j} + q_ {k} mathbf {k} + q_ {r}}$

z Eulerových úhlů (φ, θ, ψ) jak následuje:

${displaystyle {egin {aligned} q_ {i} & = cos {frac {phi -psi} {2}} sin {frac {heta} {2}} q_ {j} & = sin {frac {phi -psi} {2}} sin {frac {heta} {2}} q_ {k} & = sin {frac {phi + psi} {2}} cos {frac {heta} {2}} q_ {r} & = cos {frac {phi + psi} {2}} cos {frac {heta} {2}} konec {zarovnáno}}}$

Eulerovy úhly (z-y′-X″ vnitřní) → čtveřice

Čtvrtek ekvivalentní zatočit (ψ), hřiště (θ) a rolovat (φ) úhly. nebo vnitřní Tait – Bryan úhly v návaznosti na z-y′-X″ konvence, lze vypočítat pomocí

${displaystyle {egin {aligned} q_ {i} & = sin {frac {phi} {2}} cos {frac {heta} {2}} cos {frac {psi} {2}} - cos {frac {phi} {2}} sin {frac {heta} {2}} sin {frac {psi} {2}} q_ {j} & = cos {frac {phi} {2}} sin {frac {heta} {2} } cos {frac {psi} {2}} + sin {frac {phi} {2}} cos {frac {heta} {2}} sin {frac {psi} {2}} q_ {k} & = cos {frac {phi} {2}} cos {frac {heta} {2}} sin {frac {psi} {2}} - sin {frac {phi} {2}} sin {frac {heta} {2}} cos {frac {psi} {2}} q_ {r} & = cos {frac {phi} {2}} cos {frac {heta} {2}} cos {frac {psi} {2}} + sin { frac {phi} {2}} sin {frac {heta} {2}} sin {frac {psi} {2}} konec {zarovnáno}}}$

Quaternion → Eulerovy úhly (z-X-z vnější)

Vzhledem k rotačnímu čtveřici

${displaystyle mathbf {q} = {egin {bmatrix} q_ {i} q_ {j} q_ {k} q_ {r} konec {bmatrix}} = q_ {i} mathbf {i} + q_ {j} mathbf {j} + q_ {k} mathbf {k} + q_ {r} ,,}$

the X-konvence 3-1-3 vnější Eulerovy úhly (φ, θ, ψ) lze vypočítat pomocí

${displaystyle {egin {aligned} phi & = operatorname {atan2} left (left (q_ {i} q_ {k} + q_ {j} q_ {r} ight), - left (q_ {j} q_ {k} - q_ {i} q_ {r} ight) ight) heta & = arccos left (-q_ {i} ^ {2} -q_ {j} ^ {2} + q_ {k} ^ {2} + q_ {r } ^ {2} ight) psi & = operatorname {atan2} vlevo (vlevo (q_ {i} q_ {k} -q_ {j} q_ {r} ight), vlevo (q_ {j} q_ {k} + q_ {i} q_ {r} ight) ight) end {zarovnáno}}}$

Quaternion → Eulerovy úhly (z-y′-X″ vnitřní)

Vzhledem k rotačnímu čtveřici

${displaystyle mathbf {q} = {egin {bmatrix} q_ {i} q_ {j} q_ {k} q_ {r} konec {bmatrix}} = q_ {i} mathbf {i} + q_ {j} mathbf {j} + q_ {k} mathbf {k} + q_ {r} ,,}$

zatočit, hřiště a úhly natočení, nebo vnitřní Tait – Bryan úhly v návaznosti na z-y′-X″ konvence, lze vypočítat pomocí

${displaystyle {egin {aligned} {ext {roll}} & = operatorname {atan2} left (2left (q_ {r} q_ {i} + q_ {j} q_ {k} ight), 1-2left (q_ {i } ^ {2} + q_ {j} ^ {2} ight) ight) {ext {pitch}} & = arcsin left (2left (q_ {r} q_ {j} -q_ {k} q_ {i} ight ) ight) {ext {yaw}} & = operatorname {atan2} vlevo (2left (q_ {r} q_ {k} + q_ {i} q_ {j} ight), 1-2left (q_ {j} ^ { 2} + q_ {k} ^ {2} ight) ight) end {zarovnáno}}}$

Eulerova osa - úhel ↔ čtveřice

Vzhledem k Eulerově ose E a úhel θčtveřice

${displaystyle mathbf {q} = {egin {bmatrix} q_ {i} q_ {j} q_ {k} q_ {r} konec {bmatrix}} = q_ {i} mathbf {i} + q_ {j} mathbf {j} + q_ {k} mathbf {k} + q_ {r} ,,}$

lze vypočítat pomocí

${displaystyle {egin {aligned} q_ {i} & = {hat {e}} _ {1} sin {frac {heta} {2}} q_ {j} & = {hat {e}} _ {2} sin {frac {heta} {2}} q_ {k} & = {hat {e}} _ {3} sin {frac {heta} {2}} q_ {r} & = cos {frac {heta} {2}} konec {zarovnáno}}}$

Vzhledem k rotačnímu čtveřici q, definovat

${displaystyle {check {mathbf {q}}} = {egin {bmatrix} q_ {i} q_ {j} q_ {k} end {bmatrix}} ,.}$

Potom osa Euler E a úhel θ lze vypočítat pomocí

${displaystyle {egin {aligned} {hat {mathbf {e}}} & = {frac {check {mathbf {q}}} {left | {check {mathbf {q}}} ight |}} heta & = 2arccos q_ {r} konec {zarovnáno}}}$

Převodní vzorce pro deriváty

Rotační matice ↔ úhlové rychlosti

Vektor úhlové rychlosti

${displaystyle {oldsymbol {omega}} = {egin {bmatrix} omega _ {x} omega _ {y} omega _ {z} konec {bmatrix}}}$

lze extrahovat z časová derivace rotační matice dA/dt následujícím vztahem:

${displaystyle [{oldsymbol {omega}}] _ {imes} = {egin {bmatrix} 0 & -omega _ {z} & omega _ {y} omega _ {z} & 0 & -omega _ {x} - omega _ { y} & omega _ {x} & 0end {bmatrix}} = {frac {mathrm {d} mathbf {A}} {mathrm {d} t}} mathbf {A} ^ {mathsf {T}}}$

Odvození je převzato z Ioffe^[8] jak následuje:

Pro jakýkoli vektor r₀, zvážit r(t)=A(t)r₀ a rozlišit to:

${displaystyle {frac {mathrm {d} mathbf {r}} {mathrm {d} t}} = {frac {mathrm {d} mathbf {A}} {mathrm {d} t}} mathbf {r} _ {0 } = {frac {mathrm {d} mathbf {A}} {mathrm {d} t}} mathbf {A} ^ {mathsf {T}} (t) mathrm {r} (t)}$

Derivátem vektoru je lineární rychlost jeho špičky. Od té doby A je rotační matice, podle definice délka r(t) se vždy rovná délce r₀, a proto se to časem nemění. Takže kdy r(t) otáčí se, jeho hrot se pohybuje po kružnici a lineární rychlost jeho hrotu je tangenciální ke kružnici; tj. vždy kolmo na r(t). V tomto konkrétním případě je vztah mezi vektorem lineární rychlosti a vektorem úhlové rychlosti

${displaystyle {frac {mathrm {d} mathbf {r}} {mathrm {d} t}} = {oldsymbol {omega}} (t) imes mathbf {r} (t) = [{oldsymbol {omega}}] _ {imes} mathbf {r} (t)}$

(vidět kruhový pohyb a křížový produkt ).

Podle tranzitivita z výše uvedených rovnic,

${displaystyle {frac {mathrm {d} mathbf {A}} {mathrm {d} t}} mathbf {A} ^ {mathsf {T}} (t) mathbf {r} (t) = [{oldsymbol {omega} }] _ {imes} mathbf {r} (t)}$

z čehož vyplývá

${displaystyle {frac {mathrm {d} mathbf {A}} {mathrm {d} t}} mathbf {A} ^ {mathsf {T}} (t) = [{oldsymbol {omega}}] _ {imes}}$

Quaternion ↔ úhlové rychlosti

Vektor úhlové rychlosti

${displaystyle {oldsymbol {omega}} = {egin {bmatrix} omega _ {x} omega _ {y} omega _ {z} konec {bmatrix}}}$

lze získat z derivátu čtveřice dq/dt jak následuje:^[9]

${displaystyle {egin {bmatrix} 0 omega _ {x} omega _ {y} omega _ {z} konec {bmatrix}} = 2 {frac {mathrm {d} mathbf {q}} {mathrm {d} t}} {ilde {mathbf {q}}}}$

kde ${extstyle {ilde {mathbf {q}}}}$ je konjugát (inverzní) z ${extstyle mathbf {q}}$.

Naopak derivace čtveřice je

${displaystyle {frac {mathrm {d} mathbf {q}} {mathrm {d} t}} = {frac {1} {2}} {egin {bmatrix} 0 omega _ {x} omega _ {y} omega _ {z} end {bmatrix}} mathbf {q},.}$

Rotory v geometrické algebře

Formalismus geometrická algebra (GA) poskytuje rozšíření a interpretaci čtveřice metody. Centrem GA je geometrický produkt vektorů, rozšíření tradičního vnitřní a křížové výrobky, dána

${displaystyle mathbf {ab} = mathbf {a} cdot mathbf {b} + mathbf {a} klín mathbf {b}}$

kde symbol ∧ označuje vnější výrobek nebo klínový výrobek. Tento produkt vektorů A, a b produces two terms: a scalar part from the inner product and a bivektor part from the wedge product. This bivector describes the plane perpendicular to what the cross product of the vectors would return.

Bivectors in GA have some unusual properties compared to vectors. Under the geometric product, bivectors have a negative square: the bivector x̂ŷ popisuje xy-letadlo. Its square is (x̂ŷ)² = x̂ŷx̂ŷ. Because the unit basis vectors are orthogonal to each other, the geometric product reduces to the antisymmetric outer product – X a ŷ can be swapped freely at the cost of a factor of −1. The square reduces to −x̂x̂ŷŷ = −1 since the basis vectors themselves square to +1.

This result holds generally for all bivectors, and as a result the bivector plays a role similar to the imaginární jednotka. Geometric algebra uses bivectors in its analogue to the quaternion, the rotor, dána

${displaystyle mathbf {R} =exp left({frac {-{hat {mathbf {B} }} heta }{2}}ight)=cos {frac { heta }{2}}-{hat {mathbf {B} }}sin {frac { heta }{2}},,}$

kde B̂ is a unit bivector that describes the plane of rotation. Protože B̂ squares to −1, the výkonová řada expanze R generates the trigonometrické funkce. The rotation formula that maps a vector A to a rotated vector b je tedy

${displaystyle mathbf {b} =mathbf {RaR} ^{dagger }}$

kde

${displaystyle mathbf {R} ^{dagger }=exp left({frac {1}{2}}{hat {mathbf {B} }} heta ight)=cos {frac { heta }{2}}+{hat {mathbf {B} }}sin {frac { heta }{2}}}$

je zvrátit z ${displaystyle scriptstyle R}$ (reversing the order of the vectors in ${displaystyle scriptstyle B}$ is equivalent to changing its sign).

Příklad. A rotation about the axis

${displaystyle {hat {mathbf {v} }}={frac {1}{sqrt {3}}}left({hat {mathbf {x} }}+{hat {mathbf {y} }}+{hat {mathbf {z} }}ight)}$

can be accomplished by converting v̂ to its dual bivector,

${displaystyle {hat {mathbf {B} }}={hat {mathbf {x} }}{hat {mathbf {y} }}{hat {mathbf {z} }}{hat {mathbf {v} }}=mathbf {i} {hat {mathbf {v} }},,}$

kde i = x̂ŷẑ is the unit volume element, the only trivector (pseudoscalar) in three-dimensional space. Výsledek je

${displaystyle {hat {mathbf {B} }}={frac {1}{sqrt {3}}}left({hat {mathbf {y} }}{hat {mathbf {z} }}+{hat {mathbf {z} }}{hat {mathbf {x} }}+{hat {mathbf {x} }}{hat {mathbf {y} }}ight),.}$

In three-dimensional space, however, it is often simpler to leave the expression for B̂ = iv̂, using the fact that i commutes with all objects in 3D and also squares to −1. A rotation of the X vector in this plane by an angle θ je tedy

${displaystyle {hat {mathbf {x} }}'=mathbf {R} {hat {mathbf {x} }}mathbf {R} ^{dagger }=e^{-mathbf {i} {hat {mathbf {v} }}{frac { heta }{2}}}{hat {mathbf {x} }}e^{i{hat {mathbf {v} }}{frac { heta }{2}}}={hat {mathbf {x} }}cos ^{2}{frac { heta }{2}}+mathbf {i} left({hat {mathbf {x} }}{hat {mathbf {v} }}-{hat {mathbf {v} }}{hat {mathbf {x} }}ight)cos {frac { heta }{2}}sin {frac { heta }{2}}+{hat {mathbf {v} }}{hat {mathbf {x} }}{hat {mathbf {v} }}sin ^{2}{frac { heta }{2}}}$

Uznáváme to

${displaystyle mathbf {i} ({hat {mathbf {x} }}{hat {mathbf {v} }}-{hat {mathbf {v} }}{hat {mathbf {x} }})=2mathbf {i} ({hat {mathbf {x} }}wedge {hat {mathbf {v} }})}$

a to −v̂x̂v̂ is the reflection of X about the plane perpendicular to v̂ gives a geometric interpretation to the rotation operation: the rotation preserves the components that are parallel to v̂ and changes only those that are perpendicular. The terms are then computed:

${displaystyle { egin{aligned}{hat {mathbf {v} }}{hat {mathbf {x} }}{hat {mathbf {v} }}&={frac {1}{3}}left(-{hat {mathbf {x} }}+2{hat {mathbf {y} }}+2{hat {mathbf {z} }}ight)2mathbf {i} {hat {mathbf {x} }}wedge {hat {mathbf {v} }}&=2mathbf {i} {frac {1}{sqrt {3}}}left({hat {mathbf {x} }}{hat {mathbf {y} }}+{hat {mathbf {x} }}{hat {mathbf {z} }}ight)={frac {2}{sqrt {3}}}left({hat {mathbf {y} }}-{hat {mathbf {z} }}ight)end{aligned}}}$

The result of the rotation is then

${displaystyle {hat {mathbf {x} }}'={hat {mathbf {x} }}left(cos ^{2}{frac { heta }{2}}-{frac {1}{3}}sin ^{2}{frac { heta }{2}}ight)+{frac {2}{3}}{hat {mathbf {y} }}sin {frac { heta }{2}}left(sin {frac { heta }{2}}+{sqrt {3}}cos {frac { heta }{2}}ight)+{frac {2}{3}}{hat {mathbf {z} }}sin {frac { heta }{2}}left(sin {frac { heta }{2}}-{sqrt {3}}cos {frac { heta }{2}}ight)}$

A simple check on this result is the angle θ = 2/3π. Such a rotation should map X na ŷ. Indeed, the rotation reduces to

${displaystyle { egin{aligned}{hat {mathbf {x} }}'&={hat {mathbf {x} }}left({frac {1}{4}}-{frac {1}{3}}{frac {3}{4}}ight)+{frac {2}{3}}{hat {mathbf {y} }}{frac {sqrt {3}}{2}}left({frac {sqrt {3}}{2}}+{sqrt {3}}{frac {1}{2}}ight)+{frac {2}{3}}{hat {mathbf {z} }}{frac {sqrt {3}}{2}}left({frac {sqrt {3}}{2}}-{sqrt {3}}{frac {1}{2}}ight)&=0{hat {mathbf {x} }}+{hat {mathbf {y} }}+0{hat {mathbf {z} }}={hat {mathbf {y} }}end{aligned}}}$

exactly as expected. This rotation formula is valid not only for vectors but for any multivector. In addition, when Euler angles are used, the complexity of the operation is much reduced. Compounded rotations come from multiplying the rotors, so the total rotor from Euler angles is

${displaystyle mathbf {R} =mathbf {R} _{gamma '}mathbf {R} _{ eta '}mathbf {R} _{alpha }=exp left({frac {-mathbf {i} {hat {mathbf {z} }}'gamma }{2}}ight)exp left({frac {-mathbf {i} {hat {mathbf {x} }}' eta }{2}}ight)exp left({frac {-mathbf {i} {hat {mathbf {z} }}alpha }{2}}ight)}$

ale

${displaystyle { egin{aligned}{hat {mathbf {x} }}'&=mathbf {R} _{alpha }{hat {mathbf {x} }}mathbf {R} _{alpha }^{dagger }quad { ext{and}}{hat {mathbf {z} }}'&=mathbf {R} _{ eta '}{hat {mathbf {z} }}mathbf {R} _{ eta '}^{dagger },.end{aligned}}}$

These rotors come back out of the exponentials like so:

${displaystyle mathbf {R} _{ eta '}=cos {frac { eta }{2}}-mathbf {i} mathbf {R} _{alpha }{hat {mathbf {x} }}mathbf {R} _{alpha }^{dagger }sin {frac { eta }{2}}=mathbf {R} _{alpha }mathbf {R} _{ eta }mathbf {R} _{alpha }^{dagger }}$

kde R_β refers to rotation in the original coordinates. Podobně pro y rotation,

${displaystyle mathbf {R} _{gamma '}=mathbf {R} _{ eta '}mathbf {R} _{gamma }mathbf {R} _{ eta '}^{dagger }=mathbf {R} _{alpha }mathbf {R} _{ eta }mathbf {R} _{alpha }^{dagger }mathbf {R} _{gamma }mathbf {R} _{alpha }mathbf {R} _{ eta }^{dagger }mathbf {R} _{alpha }^{dagger },.}$

Všímat si toho R_y a R_α commute (rotations in the same plane must commute), and the total rotor becomes

${displaystyle mathbf {R} =mathbf {R} _{alpha }mathbf {R} _{ eta }mathbf {R} _{gamma }}$

Thus, the compounded rotations of Euler angles become a series of equivalent rotations in the original fixed frame.

While rotors in geometric algebra work almost identically to quaternions in three dimensions, the power of this formalism is its generality: this method is appropriate and valid in spaces with any number of dimensions. In 3D, rotations have three degrees of freedom, a degree for each linearly independent plane (bivector) the rotation can take place in. It has been known that pairs of quaternions can be used to generate rotations in 4D, yielding six degrees of freedom, and the geometric algebra approach verifies this result: in 4D, there are six linearly independent bivectors that can be used as the generators of rotations.

Angle-Angle-Angle

Rotations can be modeled as an axis and an angle; as illustrated with a gyroskop which has an axis through the rotor, and the amount of spin around that axis demonstrated by the rotation of the rotor; this rotation can be expressed as ${displaystyle angle*(axis)}$ where axis is a unit vector specifying the direction of the rotor axis. From the origin, in any direction, is the same rotation axis, with the scale of the angle equivalent to the distance from the origin. From any other point in space, similarly the same direction vector applied relative to the orientation represented by the starting point rather than the origin applies the same change around the same axes that the unit vector specifies. The ${displaystyle angle*axis}$ scaling each point gives a unique coordinate in Angle-Angle-Angle notation. The difference between two coordinates immediately yields the single axis of rotation and angle between the two orientations.

The natural log of a quaternion represents curving space by 3 angles around 3 axles of rotation, and is expressed in arc-length; similar to Euler angles, but order independent^[10]. Tady je Lež vzorec produktu definition of the addition of rotations, which is that they are sum of infinitesimal steps of each rotation applied in series; this would imply that rotations are the result of all rotationsin the same instant are applied, rather than a series of rotations applied subsequently.

The axes of rotation are aligned to the standard cartesian ${displaystyle X,Y,Z}$ sekery. These rotations may be simply added and subtracted, especially when the frames being rotated are fixed to each other as in IK chains. Differences between two objects that are in the same reference frame are found by simply subtracting their orientations. Rotations that are applied from external sources, or are from sources relative to the current rotation still require multiplications, application of the Rodriguez Formula is provided.

The rotation from each axle coordinate represent rotating the plane perpendicular to the specified axis simultaneously with all other axles. Although the measures can be considered in angles, the representation is actually the arc-length of the curve; an angle implies a rotation around a point, where a curvature is a delta applied to the current point in an inertial direction.

Just an observational note: log quaternions have rings, or octaves of rotations; that is for rotations greater than 4${displaystyle pi}$ have related curves. Curvatures of things that approach this boundary appear to chaotically jump orbits.

For 'human readable' angles the 1-norm can be used to rescale the angles to look more 'appropriate'; much like Celsius might be considered more correct than Fahrenheit.

${displaystyle {Q}={ egin{bmatrix}XYend{bmatrix}}}$

Other related values are immediately derivable:

${displaystyle { egin{matrix}||V||or||V||_{2}={sqrt {XX+YY+ZZ}}||V||_{1}=|X|+|Y|+|Z|end{matrix}}}$

The total angle of rotation....

${displaystyle heta =||V||}$

The axis of rotation...

${displaystyle Axis(lnQ)={ egin{bmatrix}{frac {X}{ heta }}{frac {Y}{ heta }}{frac {Z}{ heta }}end{bmatrix}}}$

1-norm conversion

(Illustration required/suggested) The rotation of '90 degrees around one axis and 90 degrees around another axis' might be said to be '180 degrees'; such a rotation would appear as a complete flip of the plane, and it is, but in 2-norm vector values this example would be ${displaystyle {sqrt {2}}}$ vypnuto.

${displaystyle Q_{h}=Q*||Q||/||Q||_{1}}$

Mathematically the 1-norm value is never used; and rotation vectors are exactly like velocity vectors in 3 dimension that can be represented as ${displaystyle {speed}cdot {directionunitvector}}$, jako ${displaystyle {angle}cdot {axisofrotation}}$.

Quaternion Representation

${displaystyle Q={ egin{bmatrix}cos {frac { heta }{2}}sin {frac { heta }{2}}{{frac {X}{|}}|Q||}sin {frac { heta }{2}}{{frac {Y}{|}}|Q||}sin {frac { heta }{2}}{{frac {Z}{|}}|Q||}end{bmatrix}}}$

Basis Matrix Computation

This was built from rotating the vectors (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), and reducing constants.

Given an input ${displaystyle {Q}=[{X}{Y}{Z}]}$

${displaystyle { egin{matrix}q_{r}=cos heta q_{i}=sin heta cdot {frac {X}{||Q||}}q_{j}=sin heta cdot {frac {Y}{||Q||}}q_{k}=sin heta cdot {frac {Z}{||Q||}}end{matrix}}}$