Reprezentace úhlu osy - Axis–angle representation

Úhel θ vektor osové jednotky E definovat rotaci, stručně vyjádřenou vektorem rotace θE.

v matematika, osově-úhlová reprezentace rotace parametrizuje a otáčení v trojrozměrný Euklidovský prostor o dvě veličiny: a jednotkový vektor E udávající směr osy otáčení a úhel θ popisující velikost rotace kolem osy. K určení směru jednotkového vektoru jsou zapotřebí pouze dvě čísla, nikoli tři E kořeny v původu, protože velikost E je omezen. Například výšky a azimutové úhly E stačí jej lokalizovat v konkrétním kartézském souřadnicovém rámci.

Podle Rodriguesův rotační vzorec, úhel a osa určují transformaci, která rotuje trojrozměrné vektory. Rotace probíhá ve smyslu předepsaném pravidlo pravé ruky. Osa rotace se někdy nazývá Eulerova osa.

Je to jeden z mnoha rotační formalizmy ve třech rozměrech. Reprezentace osového úhlu je založena na Eulerova věta o rotaci, který určuje, že jakákoli rotace nebo sekvence rotací tuhého tělesa v trojrozměrném prostoru je ekvivalentní čisté rotaci kolem jedné pevné osy.

Vektor rotace

Reprezentace osového úhlu je ekvivalentní stručnějšímu vektor rotace, také nazývaný Eulerův vektor. V tomto případě jsou jak osa otáčení, tak úhel reprezentovány vektorem ve směru osy otáčení, jehož délka je úhel otáčení θ,

${displaystyle {oldsymbol {heta}} = heta mathbf {e},.}$

Používá se pro exponenciální a logaritmus mapy zahrnující toto znázornění.

Mnoho vektorů rotace odpovídá stejné rotaci. Zejména rotační vektor délky θ + 2πM, pro jakékoli celé číslo M, kóduje přesně stejnou rotaci jako vektor rotace délky θ. Existuje tedy alespoň spočetné nekonečno vektorů rotace odpovídající jakékoli rotaci. Dále všechny rotace o 2πM jsou stejné jako žádná rotace, tedy pro dané celé číslo M, všechny rotační vektory délky 2πM, ve všech směrech, tvoří dvojparametrový nespočet nekonečna vektorů rotace kódujících stejnou rotaci jako nulový vektor. Tyto skutečnosti je třeba vzít v úvahu při převrácení exponenciální mapy, tj. Při hledání rotačního vektoru, který odpovídá dané rotační matici. Exponenciální mapa je na ale ne jedna ku jedné.

Příklad

Řekněme, že stojíte na zemi a vy zvolíte směr gravitace jako záporný z směr. Pokud se pak otočíte doleva, budete otáčet π/2 radiány (nebo 90° ) o z osa. Zobrazení reprezentace úhlu osy jako objednaný pár, to by bylo

${displaystyle (mathrm {axis}, mathrm {angle}) = left ({egin {bmatrix} e_ {x} e_ {y} e_ {z} end {bmatrix}}, heta ight) = left ({egin { bmatrix} 0 0 1end {bmatrix}}, {frac {pi} {2}} ight).}$

Výše uvedený příklad lze reprezentovat jako vektor rotace o velikosti π/2 směřující do z směr,

${displaystyle {egin {bmatrix} 0 0 {frac {pi} {2}} konec {bmatrix}}.}$

Použití

Při práci je vhodné znázornit osový úhel tuhá dynamika těla. Je užitečné oba charakterizovat rotace, a také pro převod mezi různými reprezentacemi tuhého těla pohyb, jako jsou homogenní transformace^{[je zapotřebí objasnění ]} a zvraty.

Když tuhé tělo otáčí se kolem pevné osy, jeho údaje o úhlu osy jsou a konstantní osa otáčení a úhel otáčení průběžně závislé na čas.

Zapojení tří vlastních čísel 1 a E^±iθ a jejich přidružené tři ortogonální osy v kartézském zobrazení do Mercerova věta je vhodná konstrukce karteziánské reprezentace rotační matice ve třech rozměrech.

Otočení vektoru

Rodriguesův rotační vzorec, pojmenoval podle Olinde Rodrigues, je účinný algoritmus pro otáčení euklidovského vektoru, daný osou otáčení a úhlem otáčení. Jinými slovy, Rodriguesův vzorec poskytuje algoritmus pro výpočet exponenciální mapy ${displaystyle {mathfrak {so}}}$(3) na SO (3) bez výpočtu exponenciálu plné matice.

Li proti je vektor v ℝ³ a E je jednotkový vektor zakořeněné v počátku popisující osu otáčení, kolem které proti je otočen o úhel θ, Rodriguesův rotační vzorec pro získání rotovaného vektoru je

${displaystyle mathbf {v} _ {mathrm {rot}} = (cos heta) mathbf {v} + (sin heta) (mathbf {e} imes mathbf {v}) + (1-cos heta) (mathbf {e} cdot mathbf {v}) mathbf {e},.}$

Pro rotaci jediného vektoru to může být efektivnější než převod E a θ do rotační matice pro otočení vektoru.

Vztah k jiným zastoupením

Existuje několik způsobů, jak reprezentovat rotaci. Je užitečné pochopit, jak různé reprezentace spolu souvisejí a jak mezi nimi převádět. Zde je označen jednotkový vektor ω namísto E.

Exponenciální mapa z ${displaystyle {mathfrak {so}}}$(3) na SO (3)

The exponenciální mapa způsobí transformaci z osového úhlového zobrazení rotací na rotační matice,

${displaystyle exp colon {mathfrak {so}} (3) o mathrm {SO} (3),}}$

V zásadě pomocí a Taylorova expanze jeden odvodí uzavřený vztah mezi těmito dvěma reprezentacemi. Vzhledem k jednotkovému vektoru ω ∈ ${displaystyle {mathfrak {so}}}$(3) = ℝ³ představující osu otáčení jednotky a úhel, θ ∈ ℝ, ekvivalentní rotační matice R je uveden následovně, kde K. je křížová matice produktu z ω, to znamená, Kv = ω × proti pro všechny vektory proti ∈ ℝ³,

${displaystyle R = exp (heta mathbf {K}) = součet _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(heta mathbf {K}) ^ {k}} {k!}} = I + heta mathbf {K } + {frac {1} {2!}} (heta mathbf {K}) ^ {2} + {frac {1} {3!}} (heta mathbf {K}) ^ {3} + cdots}$

Protože K. je šikmo symetrický a součet čtverců jeho nad diagonálních položek je 1, charakteristický polynom P(t) z K. je P(t) = det (K. − tJá) = −(t³ + t). Vzhledem k tomu, že Cayley-Hamiltonova věta, P(K.) = 0, to znamená

${displaystyle mathbf {K} ^ {3} = - mathbf {K},.}$

Jako výsledek, K.⁴ = –K.², K.⁵ = K., K.⁶ = K.², K.⁷ = –K..

Tento cyklický vzorec pokračuje neurčitě, a tedy všechny vyšší síly K. lze vyjádřit pomocí K. a K.². Z výše uvedené rovnice tedy vyplývá, že

${displaystyle R = I + left (heta - {frac {heta ^ {3}} {3!}} + {frac {heta ^ {5}} {5!}} - cdots ight) mathbf {K} + left ( {frac {heta ^ {2}} {2!}} - {frac {heta ^ {4}} {4!}} + {frac {heta ^ {6}} {6!}} - cdots ight) mathbf { K} ^ {2} ,,}$

to je

${displaystyle R = I + (sin heta) mathbf {K} + (1-cos heta) mathbf {K} ^ {2},}$

podle Taylorův vzorec pro trigonometrické funkce.

Toto je lži-algebraická derivace, na rozdíl od geometrické v článku Rodriguesův rotační vzorec.^[1]

Vzhledem k existenci výše zmíněné exponenciální mapy je jednotkový vektor ω představující osu otáčení a úhel θ se někdy nazývají exponenciální souřadnice rotační matice R.

Protokolovat mapu z SO (3) do ${displaystyle {mathfrak {so}}}$(3)

Nechat K. pokračujte v označování matice 3 × 3, která ovlivňuje křížový produkt s osou otáčení ω: K.(proti) = ω × proti pro všechny vektory proti v tom, co následuje.

Chcete-li načíst reprezentaci osového úhlu a rotační matice, vypočítat úhel otáčení z stopa rotační matice

${displaystyle heta = arccos left ({frac {operatorname {Tr} (R) -1} {2}} ight)}$

a pak to použijte k nalezení normalizované osy,

${displaystyle {oldsymbol {omega}} = {frac {1} {2sin heta}} {egin {bmatrix} R_ {32} -R_ {23} R_ {13} -R_ {31} R_ {21} -R_ {12} end {bmatrix}} ~,}$

kde ${displaystyle R_ {ij}}$ je složka rotační matice, ${displaystyle R}$, v ${displaystyle i}$-tá řada a ${displaystyle j}$-tý sloupec.

Všimněte si, že reprezentace osového úhlu není jedinečná, protože rotace ${displaystyle - heta}$ o ${displaystyle - {oldsymbol {omega}}}$ je stejné jako rotace ${displaystyle heta}$ o ${displaystyle {oldsymbol {omega}}}$.

The Maticový logaritmus rotační matice R je

${displaystyle log R = {egin {cases} 0 & {ext {if}} heta = 0 {dfrac {heta} {2sin heta}} left (RR ^ {mathsf {T}} ight) & {ext {if}} heta eq 0 {ext {and}} heta in (-pi, pi) end {cases}}}$

Výjimka nastane, když R má vlastní čísla rovná −1. V tomto případě není protokol jedinečný. Nicméně, i v případě, kdy θ = π the Frobeniova norma protokolu je

${displaystyle | log (R) | _ {mathrm {F}} = {sqrt {2}} | heta | ,.}$

Vzhledem k rotační matice A a B,

${displaystyle d_ {g} (A, B): = left | log left (A ^ {mathsf {T}} Bight) ight | _ {mathrm {F}}}$

je geodetická vzdálenost na 3D potrubí rotačních matic.

U malých rotací výše uvedený výpočet θ může být numericky nepřesné, protože derivace arccos jde do nekonečna jako θ → 0. V takovém případě podmínky mimo osu skutečně poskytnou lepší informace o θ protože pro malé úhly R ≈ Já + θK.. (Je to proto, že se jedná o první dva termíny Taylorovy řady pro exp (θK.).)

Tato formulace má také numerické problémy na θ = π, kde podmínky mimo osu neposkytují informace o ose otáčení (která je stále definována až po dvojznačnost znaménka). V takovém případě musíme výše uvedený vzorec přehodnotit.

${displaystyle R = I + mathbf {K} sin heta + mathbf {K} ^ {2} (1-cos heta)}$

Na θ = π, my máme

${displaystyle R = I + 2mathbf {K} ^ {2} = I + 2 ({oldsymbol {omega}} otimes {oldsymbol {omega}} - I) = 2 {oldsymbol {omega}} ot {oldsymbol {omega}} -I}$

a tak nechte

${displaystyle B: = {oldsymbol {omega}} krát {oldsymbol {omega}} = {frac {1} {2}} (R + I) ,,}$

takže úhlopříčné podmínky B jsou čtverce prvků prvku ω a znaménka (nejednoznačnost znaménka) lze určit ze znaků mimosových pojmůB.

Jednotkové čtveřice

následující výraz převádí souřadnice osového úhlu na versors (jednotka čtveřice ):

${displaystyle Q = left (cos {frac {heta} {2}}, {oldsymbol {omega}} sin {frac {heta} {2}} ight)}$

Vzhledem k tomu, versor q = s + X představoval s jeho skalární s a vektor X, souřadnice osového úhlu lze extrahovat pomocí následujícího:

${displaystyle {egin {aligned} heta & = 2arccos s [8px] {oldsymbol {omega}} & = {egin {cases} {dfrac {mathbf {x}} {sin {frac {heta} {2}}}} , & {ext {if}} heta eq 0 0, & {ext {jinak}}. end {cases}} end {aligned}}}$

Číselněji stabilnější vyjádření úhlu otočení používá atan2 funkce:

${displaystyle heta = 2operatorname {atan2} (| mathbf {x} |, s) ,,}$

kde |X| je Euklidovská norma 3-vektoru X.

Viz také

• Homogenní souřadnice
• Teorie šroubů, znázornění tuhých pohybů těla a rychlostí pomocí konceptů zkroucení, šroubů a klíčů
• Pseudovektor

Reference