v matematika , základní hypergeometrická řada nebo q -hypergeometrická řada , jsou q -analog zobecnění zobecněná hypergeometrická řada , a jsou zase generalizovány eliptická hypergeometrická řada . Série X n se nazývá hypergeometrický, pokud je poměr po sobě jdoucích podmínek X n +1 /X n je racionální funkce z n . Pokud je poměr po sobě jdoucích členů racionální funkcí q n , pak se řada nazývá základní hypergeometrická řada. Číslo q se nazývá základna.
Základní hypergeometrická řada 2 φ1 (q α ,q β ;q y ;q ,X ) byl poprvé zvažován Eduard Heine (1846 ). Stává se hypergeometrickou řadou F (a, p; y;X ) v limitu, když základna q je 1.
Definice Existují dvě formy základních hypergeometrických řad, jednostranná základní hypergeometrická řada φ a obecnější bilaterální základní hypergeometrická řada ψ jednostranná základní hypergeometrická řada je definován jako
j ϕ k [ A 1 A 2 … A j b 1 b 2 … b k ; q , z ] = ∑ n = 0 ∞ ( A 1 , A 2 , … , A j ; q ) n ( b 1 , b 2 , … , b k , q ; q ) n ( ( − 1 ) n q ( n 2 ) ) 1 + k − j z n { displaystyle ; _ {j} phi _ {k} vlevo [{ begin {matrix} a_ {1} & a_ {2} & ldots & a_ {j} b_ {1} & b_ {2} & ldots & b_ {k} end {matrix}}; q, z right] = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(a_ {1}, a_ {2}, ldots , a_ {j}; q) _ {n}} {(b_ {1}, b_ {2}, ldots, b_ {k}, q; q) _ {n}}} left ((- 1) ^ {n} q ^ {n vyberte 2} vpravo) ^ {1 + kj} z ^ {n}} kde
( A 1 , A 2 , … , A m ; q ) n = ( A 1 ; q ) n ( A 2 ; q ) n … ( A m ; q ) n { displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {m}; q) _ {n} = (a_ {1}; q) _ {n} (a_ {2}; q) _ {n} ldots (a_ {m}; q) _ {n}} a
( A ; q ) n = ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − A q k ) = ( 1 − A ) ( 1 − A q ) ( 1 − A q 2 ) ⋯ ( 1 − A q n − 1 ) { displaystyle (a; q) _ {n} = prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1-aq ^ {k}) = (1-a) (1-aq) (1- aq ^ {2}) cdots (1-aq ^ {n-1})} je q - posunutý faktoriál Nejdůležitějším zvláštním případem je, kdy j = k + 1, když se stane
k + 1 ϕ k [ A 1 A 2 … A k A k + 1 b 1 b 2 … b k ; q , z ] = ∑ n = 0 ∞ ( A 1 , A 2 , … , A k + 1 ; q ) n ( b 1 , b 2 , … , b k , q ; q ) n z n . { displaystyle ; _ {k + 1} phi _ {k} left [{ begin {matrix} a_ {1} & a_ {2} & ldots & a_ {k} & a_ {k + 1} b_ {1} & b_ {2} & ldots & b_ {k} end {matrix}}; q, z right] = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(a_ {1} , a_ {2}, ldots, a_ {k + 1}; q) _ {n}} {(b_ {1}, b_ {2}, ldots, b_ {k}, q; q) _ {n }}} z ^ {n}.} Tato řada se nazývá vyrovnaný -li A 1 ... A k + 1 = b 1 ...b k q .Tato řada se nazývá dobře připravený -li A 1 q = A 2 b 1 = ... = A k + 1b k , a velmi dobře připravený pokud navíc A 2 = −A 3 = qa 1 1/2 . Jednostranná základní hypergeometrická řada je od té doby analogií q hypergeometrické řady
lim q → 1 j ϕ k [ q A 1 q A 2 … q A j q b 1 q b 2 … q b k ; q , ( q − 1 ) 1 + k − j z ] = j F k [ A 1 A 2 … A j b 1 b 2 … b k ; z ] { displaystyle lim _ {q až 1} ; _ {j} phi _ {k} vlevo [{ begin {matrix} q ^ {a_ {1}} & q ^ {a_ {2}} & ldots & q ^ {a_ {j}} q ^ {b_ {1}} & q ^ {b_ {2}} & ldots & q ^ {b_ {k}} end {matrix}}; q, (q -1) ^ {1 + kj} z right] = ; _ {j} F_ {k} left [{ begin {matrix} a_ {1} & a_ {2} & ldots & a_ {j} b_ {1} & b_ {2} & ldots & b_ {k} end {matrix}}; z right]} drží (Koekoek & Swarttouw (1996) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFKoekoekSwarttouw1996 (Pomoc) ). The bilaterální základní hypergeometrická řada , což odpovídá dvoustranná hypergeometrická řada , je definován jako
j ψ k [ A 1 A 2 … A j b 1 b 2 … b k ; q , z ] = ∑ n = − ∞ ∞ ( A 1 , A 2 , … , A j ; q ) n ( b 1 , b 2 , … , b k ; q ) n ( ( − 1 ) n q ( n 2 ) ) k − j z n . { displaystyle ; _ {j} psi _ {k} vlevo [{ begin {matrix} a_ {1} & a_ {2} & ldots & a_ {j} b_ {1} & b_ {2} & ldots & b_ {k} end {matrix}}; q, z right] = sum _ {n = - infty} ^ { infty} { frac {(a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {j}; q) _ {n}} {(b_ {1}, b_ {2}, ldots, b_ {k}; q) _ {n}}} left ((- 1) ^ {n} q ^ {n vyberte 2} vpravo) ^ {kj} z ^ {n}.} Nejdůležitějším zvláštním případem je, kdy j = k , když se to stane
k ψ k [ A 1 A 2 … A k b 1 b 2 … b k ; q , z ] = ∑ n = − ∞ ∞ ( A 1 , A 2 , … , A k ; q ) n ( b 1 , b 2 , … , b k ; q ) n z n . { displaystyle ; _ {k} psi _ {k} vlevo [{ begin {matrix} a_ {1} & a_ {2} & ldots & a_ {k} b_ {1} & b_ {2} & ldots & b_ {k} end {matrix}}; q, z right] = sum _ {n = - infty} ^ { infty} { frac {(a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {k}; q) _ {n}} {(b_ {1}, b_ {2}, ldots, b_ {k}; q) _ {n}}} z ^ {n}.} Jednostrannou řadu lze získat jako speciální případ dvoustranné nastavením jedné z b proměnné rovné q , alespoň když žádný z A proměnných je mocninou q , stejně jako všechny podmínky s n <0 pak zmizí.
Jednoduchá série Některé jednoduché výrazy řady zahrnují
z 1 − q 2 ϕ 1 [ q q q 2 ; q , z ] = z 1 − q + z 2 1 − q 2 + z 3 1 − q 3 + … { displaystyle { frac {z} {1-q}} ; _ {2} phi _ {1} left [{ begin {matrix} q ; q q ^ {2} end { matice}} ;; q, z doprava] = { frac {z} {1-q}} + { frac {z ^ {2}} {1-q ^ {2}}} + { frac {z ^ {3}} {1-q ^ {3}}} + ldots} a
z 1 − q 1 / 2 2 ϕ 1 [ q q 1 / 2 q 3 / 2 ; q , z ] = z 1 − q 1 / 2 + z 2 1 − q 3 / 2 + z 3 1 − q 5 / 2 + … { displaystyle { frac {z} {1-q ^ {1/2}}} ; _ {2} phi _ {1} left [{ begin {matrix} q ; q ^ {1 / 2} q ^ {3/2} end {matrix}} ;; q, z right] = { frac {z} {1-q ^ {1/2}}} + { frac { z ^ {2}} {1-q ^ {3/2}}} + { frac {z ^ {3}} {1-q ^ {5/2}}} + ldots} a
2 ϕ 1 [ q − 1 − q ; q , z ] = 1 + 2 z 1 + q + 2 z 2 1 + q 2 + 2 z 3 1 + q 3 + … . { displaystyle ; _ {2} phi _ {1} left [{ begin {matrix} q ; - 1 - q end {matrix}} ;; q, z right] = 1 + { frac {2z} {1 + q}} + { frac {2z ^ {2}} {1 + q ^ {2}}} + { frac {2z ^ {3}} {1 + q ^ {3}}} + ldots.} The q -binomiální věta The q -binomiální věta (poprvé publikována v roce 1811 autorem Heinrich August Rothe )[1] [2] tvrdí, že
1 ϕ 0 ( A ; q , z ) = ( A z ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ = ∏ n = 0 ∞ 1 − A q n z 1 − q n z { displaystyle ; _ {1} phi _ {0} (a; q, z) = { frac {(az; q) _ { infty}} {(z; q) _ { infty}} } = prod _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1-aq ^ {n} z} {1-q ^ {n} z}}} který následuje opakovaným použitím identity
1 ϕ 0 ( A ; q , z ) = 1 − A z 1 − z 1 ϕ 0 ( A ; q , q z ) . { displaystyle ; _ {1} phi _ {0} (a; q, z) = { frac {1-az} {1-z}} ; _ {1} phi _ {0} ( a; q, qz).} Zvláštní případ A = 0 úzce souvisí s q-exponenciální .
Cauchyova binomická věta Cauchyova binomická věta je speciální případ q-binomické věty.[3]
∑ n = 0 N y n q n ( n + 1 ) / 2 [ N n ] q = ∏ k = 1 N ( 1 + y q k ) ( | q | < 1 ) { displaystyle sum _ {n = 0} ^ {N} y ^ {n} q ^ {n (n + 1) / 2} { begin {bmatrix} N n end {bmatrix}} _ { q} = prod _ {k = 1} ^ {N} vlevo (1 + yq ^ {k} vpravo) qquad (| q | <1)} Ramanujanova identita Srinivasa Ramanujan dal identitu
1 ψ 1 [ A b ; q , z ] = ∑ n = − ∞ ∞ ( A ; q ) n ( b ; q ) n z n = ( b / A , q , q / A z , A z ; q ) ∞ ( b , b / A z , q / A , z ; q ) ∞ { displaystyle ; _ {1} psi _ {1} left [{ begin {matrix} a b end {matrix}}; q, z right] = sum _ {n = - infty} ^ { infty} { frac {(a; q) _ {n}} {(b; q) _ {n}}} z ^ {n} = { frac {(b / a, q, q / az, az; q) _ { infty}} {(b, b / az, q / a, z; q) _ { infty}}}} platí pro |q | <1 a |b /A | < |z | <1. Podobné identity pro 6 ψ 6 { displaystyle ; _ {6} psi _ {6}} byly dány Bailey. Takové identity lze chápat jako zevšeobecnění Trojitý produkt Jacobi věta, kterou lze zapsat pomocí řady q jako
∑ n = − ∞ ∞ q n ( n + 1 ) / 2 z n = ( q ; q ) ∞ ( − 1 / z ; q ) ∞ ( − z q ; q ) ∞ . { displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} q ^ {n (n + 1) / 2} z ^ {n} = (q; q) _ { infty} ; (- 1 / z; q) _ { infty} ; (- zq; q) _ { infty}.} Ken Ono dává související formální mocenské řady [4]
A ( z ; q ) = d E F 1 1 + z ∑ n = 0 ∞ ( z ; q ) n ( − z q ; q ) n z n = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z 2 n q n 2 . { displaystyle A (z; q) { stackrel { rm {def}} {=}} { frac {1} {1 + z}} součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(z; q) _ {n}} {(- zq; q) _ {n}}} z ^ {n} = sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ { n} z ^ {2n} q ^ {n ^ {2}}.} Watsonův obrysový integrál Jako analog Barnesův integrál pro hypergeometrickou řadu, Watson to ukázal
2 ϕ 1 ( A , b ; C ; q , z ) = − 1 2 π i ( A , b ; q ) ∞ ( q , C ; q ) ∞ ∫ − i ∞ i ∞ ( q q s , C q s ; q ) ∞ ( A q s , b q s ; q ) ∞ π ( − z ) s hřích π s d s { displaystyle {} _ {2} phi _ {1} (a, b; c; q, z) = { frac {-1} {2 pi i}} { frac {(a, b; q) _ { infty}} {(q, c; q) _ { infty}}} int _ {- i infty} ^ {i infty} { frac {(qq ^ {s}, cq ^ {s}; q) _ { infty}} {(aq ^ {s}, bq ^ {s}; q) _ { infty}}} { frac { pi (-z) ^ {s} } { sin pi s}} ds} kde póly ( A q s , b q s ; q ) ∞ { displaystyle (aq ^ {s}, bq ^ {s}; q) _ { infty}} leží vlevo od obrysu a zbývající póly leží vpravo. Existuje podobný obrysový integrál pro r +1 φr . Tento obrysový integrál poskytuje analytické pokračování základní hypergeometrické funkce v z .
Maticová verze Základní funkci hypergeometrické matice lze definovat takto:
2 ϕ 1 ( A , B ; C ; q , z ) := ∑ n = 0 ∞ ( A ; q ) n ( B ; q ) n ( C ; q ) n ( q ; q ) n z n , ( A ; q ) 0 := 1 , ( A ; q ) n := ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − A q k ) . { displaystyle {} _ {2} phi _ {1} (A, B; C; q, z): = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(A; q) _ {n} (B; q) _ {n}} {(C; q) _ {n} (q; q) _ {n}}} z ^ {n}, quad (A; q) _ { 0}: = 1, quad (A; q) _ {n}: = prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1-Aq ^ {k}).} Test poměru ukazuje, že tato maticová funkce je absolutně konvergentní.[5]
Viz také Poznámky ^ Bressoud, D. M. (1981), „Některé identity pro ukončení q -série", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 89 (2): 211–223, Bibcode :1981MPCPS..89..211B , doi :10.1017 / S0305004100058114 , PAN 0600238 .^ Benaoum, H. B., "h -analog Newtonova binomického vzorce ", Journal of Physics A: Mathematical and General , 31 (46): L751 – L754, arXiv :math-ph / 9812011 , Bibcode :1998JPhA ... 31L.751B , doi :10.1088/0305-4470/31/46/001 .^ Wolfram Mathworld: Cauchyova binomická věta ^ Gwynneth H. Coogan a Ken Ono , Identita řady q a aritmetika funkcí Hurwitz Zeta (2003) Sborník Americká matematická společnost 131 , str. 719–724 ^ Ahmed Salem (2014) Základní funkce Gaussovy hypergeometrické matice a její rovnice q-rozdílu matice, Linear and Multilinear Algebra, 62: 3, 347-361, DOI: 10.1080 / 03081087.2013.777437 externí odkazy Reference Andrews, G. E. (2010), „q-hypergeometrická a související funkce“ , v Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , PAN 2723248 W.N. Bailey, Zobecněná hypergeometrická řada , (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge. William Y. C. Chen a Amy Fu, Semi-konečné formy bilaterální základní hypergeometrické řady (2004) Exton , H. (1983), q-Hypergeometrické funkce a aplikace , New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538Sylvie Corteel a Jeremy Lovejoy, Frobenius Partitions a Combinatorics of Ramanujan's 1 ψ 1 { displaystyle , _ {1} psi _ {1}} Shrnutí Fajn, Nathan J. (1988), Základní hypergeometrické řady a aplikace Matematické průzkumy a monografie 27 „Providence, R.I .: Americká matematická společnost , ISBN 978-0-8218-1524-3 , PAN 0956465 Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Základní hypergeometrická řada Encyklopedie matematiky a její aplikace, 96 (2. vyd.), Cambridge University Press , doi :10.2277/0521833574 , ISBN 978-0-521-83357-8 , PAN 2128719 Heine, Eduard (1846), „Über die Reihe 1 + ( q α − 1 ) ( q β − 1 ) ( q − 1 ) ( q y − 1 ) X + ( q α − 1 ) ( q α + 1 − 1 ) ( q β − 1 ) ( q β + 1 − 1 ) ( q − 1 ) ( q 2 − 1 ) ( q y − 1 ) ( q y + 1 − 1 ) X 2 + ⋯ { displaystyle 1 + { frac {(q ^ { alpha} -1) (q ^ { beta} -1)} {(q-1) (q ^ { gamma} -1)}} x + { frac {(q ^ { alpha} -1) (q ^ { alpha +1} -1) (q ^ { beta} -1) (q ^ { beta +1} -1)} {( q-1) (q ^ {2} -1) (q ^ { gamma} -1) (q ^ { gamma +1} -1)}} x ^ {2} + cdots} " , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 32 : 210–212 Victor Kac Pokman Cheung, kvantový počet, Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8 Andrews, G. E., Askey, R. a Roy, R. (1999). Speciální funkce, Encyklopedie matematiky a její aplikace, svazek 71, Cambridge University Press . Eduard Heine , Theorie der Kugelfunctionen , (1878) 1 , str. 97–125.Eduard Heine, Handbuch die Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Berlín.