Barnesův integrál - Barnes integral

V matematice, a Barnesův integrál nebo Mellin –Barnesův integrál je konturový integrál zahrnující produkt gama funkce. Byli představeni Ernest William Barnes  (1908, 1910 ). Jsou úzce spjaty s zobecněná hypergeometrická řada.

Integrál se obvykle bere podél obrysu, což je deformace imaginární osy procházející napravo od všech pólů faktorů tvaru Γ (A + s) a nalevo od všech pólů faktorů tvaru Γ (A − s).

Hypergeometrická řada

The hypergeometrická funkce je uveden jako Barnesův integrál (Barnes 1908 ) od

${displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = {frac {Gamma (c)} {Gamma (a) Gamma (b)}} {frac {1} {2pi i} } int _ {- iinfty} ^ {iinfty} {frac {Gamma (a + s) Gamma (b + s) Gamma (-s)} {Gamma (c + s)}} (- z) ^ {s}, ds,}$

viz také (Andrews, Askey & Roy 1999, Věta 2.4.1). Této rovnosti lze dosáhnout posunutím obrysu doprava při zvedání zbytky v s = 0, 1, 2, .... pro ${displaystyle zll 1}$a analytickým pokračováním jinde. Za vhodných podmínek konvergence lze uvést obecnější Barnesovy integrály a zobecněné hypergeometrické funkce _pF_q podobným způsobem (Slater 1966 ).

Barnesova lemata

První Barnesovo lemma (Barnes 1908 ) uvádí

${displaystyle {frac {1} {2pi i}} int _ {- iinfty} ^ {iinfty} Gama (a + s) Gama (b + s) Gama (cs) Gama (ds) ds = {frac {Gama (a + c) Gamma (a + d) Gamma (b + c) Gamma (b + d)} {Gamma (a + b + c + d)}}.}$

Toto je analogie Gaussova ₂F₁ součtový vzorec, a také rozšíření Eulerův beta integrál. Integrál v něm se někdy nazývá Barnesův integrál beta.

Druhé Barnesovo lemma (Barnes 1910 ) uvádí

${displaystyle {frac {1} {2pi i}} int _ {- iinfty} ^ {iinfty} {frac {Gamma (a + s) Gamma (b + s) Gamma (c + s) Gamma (1-ds) Gamma (-s)} {Gamma (e + s)}} ds}$

${displaystyle = {frac {Gamma (a) Gamma (b) Gamma (c) Gamma (1-d + a) Gamma (1-d + b) Gamma (1-d + c)} {Gamma (ea) Gamma ( eb) Gamma (ec)}}}$

kde E = A + b + C − d + 1. Toto je analogie Saalschützův součtový vzorec.

q-Barnesovy integrály

Existují analogy Barnesových integrálů pro základní hypergeometrická řada, a mnoho dalších výsledků lze rozšířit i na tento případ (Gasper & Rahman 2004, kapitola 4).

Reference

• Andrews, G.E.; Askey, R.; Roy, R. (1999). Speciální funkce. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 71. Cambridge University Press. ISBN  0-521-62321-9. PAN  1688958.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Barnes, E.W. (1908). „Nový vývoj teorie hypergeometrických funkcí“ (PDF). Proc. London Math. Soc. s2-6: 141–177. doi:10.1112 / plms / s2-6.1.141. JFM  39.0506.01.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Barnes, E.W. (1910). "Transformace zobecněné hypergeometrické řady". Quarterly Journal of Mathematics. 41: 136–140. JFM  41.0503.01.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004). Základní hypergeometrická řada. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 96 (2. vyd.). Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-83357-8. PAN  2128719.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Slater, Lucy Joan (1966). Zobecněné hypergeometrické funkce. Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press. ISBN  0-521-06483-X. PAN  0201688. Zbl  0135.28101.CS1 maint: ref = harv (odkaz) (existuje brožovaná brožura z roku 2008 s ISBN  978-0-521-09061-2)