Konformní blok Virasoro - Virasoro conformal block

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Říjen 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie dvourozměrného konformního pole, Konformní bloky Virasoro jsou speciální funkce, které slouží jako stavební bloky korelační funkce. Na daný propíchnutý Riemannův povrch, Konformní bloky Virasoro tvoří zvláštní základ prostoru řešení konformní identita Ward. Bloky nulového bodu na torusu jsou postavy reprezentací Virasoro algebra; čtyřbodové bloky na kouli se zmenší na hypergeometrické funkce ve zvláštních případech, ale obecně jsou mnohem komplikovanější. Ve dvou dimenzích stejně jako v jiných dimenzích hrají konformní bloky zásadní roli v konformní bootstrap přístup k teorie konformního pole.

Definice

Definice z OPE

Použitím rozšíření produktů operátora (OPE), an ${ displaystyle N}$-bodovou funkci na kouli lze zapsat jako kombinaci tříbodových strukturních konstant a nazývaných univerzálních veličin ${ displaystyle N}$-bodové konformní bloky.^[1][2]

Vzhledem k ${ displaystyle N}$-bodová funkce, existuje několik typů konformních bloků, v závislosti na tom, které OPE jsou použity. V případě ${ displaystyle N = 4}$, existují tři typy konformních bloků, které odpovídají třem možným rozkladům stejné čtyřbodové funkce. Tyto dekompozice se schematicky čtou

${ displaystyle left langle V_ {1} V_ {2} V_ {3} V_ {4} right rangle = sum _ {s} C_ {12s} C_ {s34} { mathcal {F}} _ {s} ^ { text {(s-kanál)}} = součet _ {t} C_ {14t} C_ {t23} { mathcal {F}} _ {t} ^ { text {(t-kanál )}} = sum _ {u} C_ {13u} C_ {24u} { mathcal {F}} _ {u} ^ { text {(u-kanál)}} ,}$

kde ${ displaystyle C}$ jsou strukturní konstanty a ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ jsou konformní bloky. Součty jsou nad reprezentacemi konformní algebry, které se objevují ve spektru CFT. OPE zahrnují součty přes spektrum, tj. Nad reprezentacemi a nad stavy v reprezentacích, ale součty nad stavy jsou absorbovány v konformních blocích.

Ve dvou dimenzích se algebra symetrie rozdělí na dvě kopie Virasoroovy algebry, které se nazývají pohybující se doleva a doprava. Pokud jsou pole také faktorizovaná, pak faktorizují také konformní bloky a jsou volány faktory Konformní bloky Virasoro. Levostranné konformní bloky Virasoro jsou lokálně holomorfní funkcí pozic polí ${ displaystyle z_ {i}}$; pravoúhlé konformní bloky Virasoro jsou stejné funkce ${ displaystyle { bar {z}} _ {i}}$. Faktorizace konformního bloku do konformních bloků Virasoro je typu

${ displaystyle { mathcal {F}} _ {s_ {L} otimes s_ {R}} ^ { text {(s-kanál)}} ( {z_ {i} }) = { mathcal { F}} _ {s_ {L}} ^ { text {(s-kanál, Virasoro)}} ( {z_ {i} }) { mathcal {F}} _ {s_ {R}} ^ { text {(s-kanál, Virasoro)}} ( {{ bar {z}} _ {i} }) ,}$

kde ${ displaystyle s_ {L}, s_ {R}}$ jsou reprezentace levých a pravých algeber Virasoro.

Definice z identit Virasoro Ward

Conformal Ward identity jsou lineární rovnice, které korelační funkce poslouchají v důsledku konformní symetrie.

Ve dvou dimenzích se konformní identita Ward rozkládají na identitu Virasoro Ward pohybující se vlevo a vpravo. Konformní bloky Virasoro jsou řešení identit Virasoro Ward.^[3][4]

OPE definují konkrétní báze konformních bloků Virasoro, jako je základ s-kanálu v případě čtyřbodových bloků. Bloky, které jsou definovány z OPE, jsou speciální případy bloků, které jsou definovány z identit Ward.

Vlastnosti

Jakákoli lineární holomorfní rovnice, která se řídí korelační funkcí, musí také platit pro odpovídající konformní bloky. Kromě toho mají specifické báze konformních bloků další vlastnosti, které nejsou zděděny z korelační funkce.

Konformní bloky, které zahrnují pouze primární pole mají relativně jednoduché vlastnosti. Konformní bloky, které zahrnují pole potomků, lze poté odvodit pomocí local Totožnosti sboru. Čtyřbodový blok primárních polí s kanálem závisí na konformních rozměrech čtyř polí ${ displaystyle Delta _ {i},}$ na svých pozicích ${ displaystyle z_ {i},}$ a na konformní dimenzi s-kanálu ${ displaystyle Delta _ {s}}$. Může být napsán jako ${ displaystyle { mathcal {F}} _ { Delta _ {s}} ^ {(s)} ( Delta _ {i} | {z_ {i} }),}$ kde závislost na Virasoro algebra Centrální poplatek je udržován implicitní.

Lineární rovnice

Z odpovídající korelační funkce dědí konformní bloky lineární rovnice: globální a lokální Totožnosti sboru, a BPZ rovnice pokud je alespoň jedno pole zdegenerované.^[2]

Zejména v ${ displaystyle N}$-bodový blok na kouli, globální Ward identity snižují závislost na ${ displaystyle N}$ polní polohy v závislosti na ${ displaystyle N-3}$ křížové poměry. V případě ${ displaystyle N = 4,}$

${ displaystyle { mathcal {F}} _ { Delta _ {s}} ^ {(s)} ( { Delta _ {i} } | {z_ {i} }) = z_ {23 } ^ { Delta _ {1} - Delta _ {2} - Delta _ {3} + Delta _ {4}} z_ {13} ^ {- 2 Delta _ {1}} z_ {34} ^ { Delta _ {1} + Delta _ {2} - Delta _ {3} - Delta _ {4}} z_ {24} ^ {- Delta _ {1} - Delta _ {2} + Delta _ {3} - Delta _ {4}} { mathcal {F}} _ { Delta _ {s}} ^ {(s)} ( { Delta _ {i} } | z ),}$

kde ${ displaystyle z_ {ij} = z_ {i} -z_ {j},}$ a

${ displaystyle z = { frac {z_ {12} z_ {34}} {z_ {13} z_ {24}}}}$

je křížový poměr a zmenšený blok ${ displaystyle { mathcal {F}} _ { Delta _ {s}} ^ {(s)} ( { Delta _ {i} } | z)}$ se shoduje s původním blokem, kam jsou posílány tři pozice ${ displaystyle (0, infty, 1),}$

${ displaystyle { mathcal {F}} _ { Delta _ {s}} ^ {(s)} ( { Delta _ {i} } | z) = { mathcal {F}} _ { Delta _ {s}} ^ {(s)} ( { Delta _ {i} } | z, 0, infty, 1).}$

Singularity

Stejně jako korelační funkce jsou konformní bloky singulární, když se dvě pole shodují. Na rozdíl od korelačních funkcí mají konformní bloky při některých z těchto singularit velmi jednoduché chování. V důsledku své definice z OPE se čtyřbodové bloky s-kanálu podřizují

${ displaystyle { mathcal {F}} _ { Delta _ {s}} ^ {(s)} ( { Delta _ {i} } | z) { podmnožina {z až 0} {= }} z ^ { Delta _ {s} - Delta _ {1} - Delta _ {2}} vlevo (1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} c_ {n} z ^ {n} vpravo),}$

pro některé koeficienty ${ displaystyle c_ {n}.}$ Na druhou stranu bloky s-kanálu mají komplikované singulární chování na ${ displaystyle z = 1, infty}$: jsou to bloky t-kanálu, které jsou jednoduché ${ displaystyle z = 1}$a bloky u-kanálu, které jsou jednoduché ${ displaystyle z = infty.}$

Ve čtyřbodovém bloku, který se řídí a Diferenciální rovnice BPZ, ${ displaystyle z = 0,1, infty}$ jsou pravidelné singulární body diferenciální rovnice a ${ displaystyle Delta _ {s} - Delta _ {1} - Delta _ {2}}$ je charakteristický exponent diferenciální rovnice. Pro diferenciální rovnici řádu ${ displaystyle n}$, ${ displaystyle n}$ charakteristické exponenty odpovídají ${ displaystyle n}$ hodnoty ${ displaystyle Delta _ {s}}$ které jsou povoleny pravidly fúze.

Polní permutace

Permutace polí ${ displaystyle V_ {i} (z_ {i})}$ opustit korelační funkci

${ displaystyle left langle prod _ {i = 1} ^ {N} V_ {i} (z_ {i}) right rangle}$

invariantní, a proto se týkají různých základen konformních bloků navzájem. V případě čtyřbodových bloků jsou bloky t-kanálů vztaženy k blokům s-kanálů pomocí^[2]

${ displaystyle { mathcal {F}} _ { Delta} ^ {(t)} ( Delta _ {1}, Delta _ {2}, Delta _ {3}, Delta _ {4} | z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, z_ {4}) = { mathcal {F}} _ { Delta} ^ {(s)} ( Delta _ {1}, Delta _ {4}, Delta _ {3}, Delta _ {2} | z_ {1}, z_ {4}, z_ {3}, z_ {2}),}$

nebo ekvivalentně

${ displaystyle { mathcal {F}} _ { Delta} ^ {(t)} ( Delta _ {1}, Delta _ {2}, Delta _ {3}, Delta _ {4} | z) = { mathcal {F}} _ { Delta} ^ {(s)} ( Delta _ {1}, Delta _ {4}, Delta _ {3}, Delta _ {2} | 1-z).}$

Fixační matice

Změna základen ze čtyřbodových bloků s kanálem na kanál t je charakterizována fixační matice (nebo fúzní jádro) ${ displaystyle F}$, takový, že

${ displaystyle { mathcal {F}} _ { Delta _ {s}} ^ {(s)} ( { Delta _ {i} } | {z_ {i} }) = int _ {i mathbb {R}} dP_ {t} F _ { Delta _ {s}, Delta _ {t}} { begin {bmatrix} Delta _ {2} & Delta _ {3} Delta _ {1} & Delta _ {4} end {bmatrix}} { mathcal {F}} _ { Delta _ {t}} ^ {(t)} ( { Delta _ {i} } | {z_ {i} }).}$

Fixační matice je funkcí centrálního náboje a konformních rozměrů, ale nezávisí na polohách ${ displaystyle z_ {i}.}$ Hybnost ${ displaystyle P_ {t}}$ je definován z hlediska dimenze ${ displaystyle Delta _ {t}}$ podle

${ displaystyle Delta = { frac {c-1} {24}} - P ^ {2}.}$

Hodnoty ${ displaystyle P in i mathbb {R}}$ odpovídají spektru Liouvilleova teorie.

Musíme také zavést dva parametry ${ displaystyle Q, b}$ související s centrálním poplatkem ${ displaystyle c}$,

${ displaystyle c = 1 + 6Q ^ {2}, qquad Q = b + b ^ {- 1}.}$

Za předpokladu ${ displaystyle c notin (- infty, 1)}$ a ${ displaystyle P_ {i} in i mathbb {R}}$, je explicitní výraz fixační matice^[5]

${ displaystyle { begin {aligned} F _ { Delta _ {s}, Delta _ {t}} & { begin {bmatrix} Delta _ {2} & Delta _ {3} Delta _ {1} & Delta _ {4} end {bmatrix}} = & = left ( prod _ { pm} { frac { Gamma _ {b} (Q pm 2P_ {s}) } { Gamma _ {b} ( pm 2P_ {t})}} vpravo) { frac { Delta _ {+} (P_ {1}, P_ {4}, P_ {t}) Delta _ {+} (P_ {2}, P_ {3}, P_ {t})} { Delta _ {-} (P_ {1}, P_ {2}, P_ {s}) Delta _ {-} ( P_ {3}, P_ {4}, P_ {s})}} times & quad times int _ {{ frac {Q} {4}} + i mathbb {R}} du S_ {b} left (u-P_ {12s} right) S_ {b} left (u-P_ {s34} right) S_ {b} left (u-P_ {23t} right) S_ { b} left (u-P_ {t14} right) & qquad times S_ {b} left ({ tfrac {Q} {2}} - u + P_ {1234} right) S_ { b} left ({ tfrac {Q} {2}} - u + P_ {st13} right) S_ {b} left ({ tfrac {Q} {2}} - u + P_ {st24} vpravo) S_ {b} vlevo ({ tfrac {Q} {2}} - u vpravo) end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle Gamma _ {b}}$ je funkce dvojitého gama,

${ displaystyle { begin {sladěno} S_ {b} (x) & = { frac { Gamma _ {b} (x)} { Gamma _ {b} (Qx)}} [6pt] Delta _ { epsilon} (P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}) & = prod _ { underset { epsilon _ {1} epsilon _ {2} epsilon _ {3} = epsilon} { epsilon _ {1}, epsilon _ {2}, epsilon _ {3} = pm}} Gamma _ {b} left ({ tfrac {Q} {2}} + součet _ {i} epsilon _ {i} P_ {i} right) [6pt] P_ {ijk} & = P_ {i} + P_ {j} + P_ {k} end {zarovnáno}}}$

Ačkoli jeho výraz je jednodušší, pokud jde o ${ displaystyle P_ {i}}$ než ve smyslu ${ displaystyle Delta _ {i}}$, fixační matice je ve skutečnosti funkcí ${ displaystyle Delta _ {i}}$, tj. funkce ${ displaystyle P_ {i}}$ to je neměnné pod ${ displaystyle P_ {i} do -P_ {i}}$. Ve výrazu pro fixační matici je integrál a hyperbolický Barnesův integrál. Až do normalizace se fixační matice shoduje s Hypergeometrická funkce Ruijsenaarů, s argumenty ${ displaystyle P_ {s}, P_ {t}}$ a parametry ${ displaystyle b, b ^ {- 1}, P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, P_ {4}}$.^[6]

v ${ displaystyle N}$-bodové bloky na kouli, změnu základen mezi dvěma sadami bloků, které jsou definovány z různých sekvencí OPE, lze vždy zapsat z hlediska fixační matice a jednoduché matice, která popisuje permutaci prvních dvou polí v blok s-kanálu,^[3]

${ displaystyle { mathcal {F}} _ { Delta _ {s}} ^ {(s)} ( Delta _ {1}, Delta _ {2}, Delta _ {3}, Delta _ {4} | z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, z_ {4}) = e ^ {i pi ( Delta _ {s} - Delta _ {1} - Delta _ { 2})} { mathcal {F}} _ { Delta _ {s}} ^ {(s)} ( Delta _ {2}, Delta _ {1}, Delta _ {3}, Delta _ {4} | z_ {2}, z_ {1}, z_ {3}, z_ {4}).}$

Výpočet konformních bloků

Z definice

Definice z OPE vede k výrazu pro čtyřbodový konformní blok s-kanálu jako součet stavů v reprezentaci s-kanálu, typu^[7]

${ displaystyle { mathcal {F}} _ { Delta _ {s}} ^ { text {(s)}} ( { Delta _ {i} } | z) = z ^ { Delta _ {s} - Delta _ {1} - Delta _ {2}} sum _ {L, L '} z ^ {| L |} f_ {12s} ^ {L} Q_ {L, L'} ^ {s} f_ {43s} ^ {L '} .}$

Součty přesahují režimy vytváření ${ displaystyle L, L '}$ z Virasoro algebra, tj. kombinace typu ${ displaystyle L = prod _ {i} L _ {- n_ {i}}}$ generátorů Virasoro s ${ displaystyle 1 leq n_ {1} leq n_ {2} leq cdots}$, jehož úroveň je ${ displaystyle | L | = součet n_ {i}}$. Takové generátory odpovídají základním stavům v modulu Verma s konformní dimenzí ${ displaystyle Delta _ {s}}$. Koeficient ${ displaystyle f_ {12s} ^ {L}}$ je funkce ${ displaystyle Delta _ {1}, Delta _ {2}, Delta _ {s}, L}$, který je výslovně znám. Maticový prvek ${ displaystyle Q_ {L, L '} ^ {s}}$ je funkce ${ displaystyle c, Delta _ {s}, L, L '}$ který zmizí, pokud ${ displaystyle | L | neq | L '|}$a rozcházejí se ${ displaystyle | L | = N}$ pokud je na úrovni nulový vektor ${ displaystyle N}$.Až do ${ displaystyle | L | = 1}$, to zní

${ displaystyle { mathcal {F}} _ { Delta _ {s}} ^ { text {(s)}} ( { Delta _ {i} } | z) = z ^ { Delta _ {s} - Delta _ {1} - Delta _ {2}} { Bigg {} 1 + { frac {( Delta _ {s} + Delta _ {1} - Delta _ {2 }) ( Delta _ {s} + Delta _ {4} - Delta _ {3})} {2 Delta _ {s}}} z + O (z ^ {2}) { Bigg } } .}$

(Zejména, ${ displaystyle Q_ {L _ {- 1}, L _ {- 1}} ^ {s} = { frac {1} {2 Delta _ {s}}}}$ nezávisí na centrálním poplatku ${ displaystyle c}$.)

Zamolodchikovova rekurzivní reprezentace

v Alexej Zamolodchikov Rekurzivní znázornění čtyřbodových bloků na kouli, křížový poměr ${ displaystyle z}$ se objeví přes ne já

${ displaystyle q = exp - pi { frac {F ({ frac {1} {2}}, { frac {1} {2}}, 1,1-z)} {F ({ frac {1} {2}}, { frac {1} {2}}, 1, z)}} quad iff quad z = { frac { theta _ {2} (q) ^ {4 }} { theta _ {3} (q) ^ {4}}}}$

kde ${ displaystyle F}$ je hypergeometrická funkce a použili jsme Jacobiho theta funkce

${ displaystyle theta _ {2} (q) = 2q ^ { frac {1} {4}} součet _ {n = 0} ^ { infty} q ^ {n (n + 1)} quad , quad theta _ {3} (q) = sum _ {n in { mathbb {Z}}} q ^ {n ^ {2}}}$

Reprezentace je typu

${ displaystyle { mathcal {F}} _ { Delta} ^ {(s)} ( { Delta _ {i} } | z) = (16q) ^ { Delta - { frac {1} {4}} Q ^ {2}} z ^ {{ frac {1} {4}} Q ^ {2} - Delta _ {1} - Delta _ {2}} (1-z) ^ { { frac {1} {4}} Q ^ {2} - Delta _ {1} - Delta _ {4}} theta _ {3} (q) ^ {3Q ^ {2} -4 ( Delta _ {1} + Delta _ {2} + Delta _ {3} + Delta _ {4})} H _ { Delta} ( { Delta _ {i} } | q) .}$

Funkce ${ displaystyle H _ { Delta} ( { Delta _ {i} } | q)}$ je výkonová řada v ${ displaystyle q}$, který je rekurzivně definován

${ displaystyle H _ { Delta} ( { Delta _ {i} } | q) = 1 + součet _ {m, n = 1} ^ { infty} { frac {(16q) ^ {mn }} { Delta - Delta _ {(m, n)}}} R_ {m, n} H _ { Delta _ {(m, -n)}} ( { Delta _ {i} } | q) .}$

V tomto vzorci jsou pozice ${ displaystyle Delta _ {(m, n)}}$ pólů jsou dimenze zdegenerovaných reprezentací, které odpovídají hybnosti

${ displaystyle P _ {(m, n)} = { frac {1} {2}} vlevo (mb + nb ^ {- 1} vpravo) .}$

Zbytky ${ displaystyle R_ {m, n}}$ jsou dány

${ displaystyle R_ {m, n} = { frac {2P _ {(0,0)} P _ {(m, n)}} { prod _ {r = 1-m} ^ {m} prod _ { s = 1-n} ^ {n} 2P _ {(r, s)}}} prod _ {r { overset {2} {=}} 1-m} ^ {m-1} prod _ {s { overset {2} {=}} 1-n} ^ {n-1} prod _ { pm} (P_ {2} pm P_ {1} + P _ {(r, s)}) (P_ {3} pm P_ {4} + P _ {(r, s)}) ,}$

kde je horní index v ${ displaystyle { nadměrné {2} {=}}}$ označuje produkt, který běží po krocích ${ displaystyle 2}$. Rekurzivní vztah pro ${ displaystyle H _ { Delta} ( { Delta _ {i} } | q)}$ lze vyřešit, což dá vzniknout výslovnému (ale nepraktickému) vzorci.^[2][8]

Rekurzivní reprezentaci lze považovat za expanzi kolem ${ displaystyle Delta = infty}$. Někdy se tomu říká ${ displaystyle Delta}$- rekurze, aby se odlišil od ${ displaystyle c}$- rekurze: další rekurzivní reprezentace, také kvůli Alexej Zamolodchikov, která se rozšiřuje kolem ${ displaystyle c = infty}$Obě reprezentace lze zobecnit na ${ displaystyle N}$-bod Virasoro konformní bloky na libovolné Riemannovy povrchy.^[9]

Od vztahu k okamžitému počítání

Alday-Gaiotto-Tachikawa vztah mezi teorií dvourozměrného konformního pole a teorií supersymetrického měřidla, konkrétněji mezi konformními bloky Liouvilleovy teorie a Nekrasovovými dělícími funkcemi^[10] supersymetrických teorií měřidel ve čtyřech rozměrech, vede ke kombinatorickým výrazům pro konformní bloky jako součty nad Mladé diagramy. Každý diagram lze interpretovat jako stav v reprezentaci Virasoro algebry, krát abelian afinní Lieova algebra.^[11]

Speciální případy

Bloky nulového bodu na torusu

Blok nulového bodu nezávisí na polohách pole, ale záleží na moduly podkladového Riemannův povrch. V případě torusu

${ displaystyle { frac { mathbb {C}} { mathbb {Z} + tau mathbb {Z}}},}$

že závislost je lépe napsána ${ displaystyle q = e ^ {2 pi i tau}}$ a blok nulového bodu spojený s reprezentací ${ displaystyle { mathcal {R}}}$ z Virasoro algebra je

${ displaystyle chi _ { mathcal {R}} ( tau) = operatorname {Tr} _ { mathcal {R}} q ^ {L_ {0} - { frac {c} {24}}} ,}$

kde ${ displaystyle L_ {0}}$ je generátor Virasoro algebry. To se shoduje s charakter z ${ displaystyle { mathcal {R}}.}$ Znaky některých reprezentací s nejvyšší váhou jsou:^[1]

• Modul Verma s konformním rozměrem ${ displaystyle Delta = { tfrac {c-1} {24}} - P ^ {2}}$:

${ displaystyle chi _ {P} ( tau) = { frac {q ^ {- P ^ {2}}} { eta ( tau)}},}$

kde ${ displaystyle eta ( tau)}$ je Funkce Dedekind eta.

• Degenerativní zobrazení s hybností ${ displaystyle P _ {(r, s)}}$:

${ displaystyle chi _ {(r, s)} ( tau) = chi _ {P _ {(r, s)}} ( tau) - chi _ {P _ {(r, -s)}} ( tau).}$

• Plně zdegenerované zastoupení při racionálním ${ displaystyle b ^ {2} = - { tfrac {p} {q}}}$:

${ displaystyle chi _ {(r, s)} ( tau) = součet _ {k v mathbb {Z}} doleva ( chi _ {P _ {(r, s)} + ik { sqrt {pq}}} ( tau) - chi _ {P _ {(r, -s)} + ik { sqrt {pq}}} ( tau) right).}$

Znaky se transformují lineárně pod modulární transformace:

${ displaystyle tau to { frac {a tau + b} {c tau + d}}, qquad { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} v SL_ {2} ( mathbb {Z}).}$

Zejména jejich transformace pod ${ displaystyle tau to - { tfrac {1} { tau}}}$ je popsán v modulární S-matice. Pomocí S-matice lze omezení na spektru CFT odvodit z modulární invariance funkce rozdělení torusu, což vede zejména ke klasifikaci ADE minimální modely.^[12]

Hypergeometrické bloky

Pro čtyřbodovou funkci koule

${ displaystyle left langle V _ { langle 2,1 rangle} (x) prod _ {i = 1} ^ {3} V _ { Delta _ {i}} (z_ {i}) right zvonit}$

kde jedno pole má nulový vektor na úrovni dva, druhého řádu BPZ rovnice redukuje na hypergeometrickou rovnici. Základ řešení tvoří dva konformní bloky s kanálem, které jsou povoleny pravidly fúze, a tyto bloky lze zapsat z hlediska hypergeometrická funkce,

${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {F}} _ {P_ {1} + epsilon { frac {b} {2}}} ^ {(s)} (z) & = z ^ { { frac {1} {2}} + { frac {b ^ {2}} {2}} + b epsilon P_ {1}} (1-z) ^ {{ frac {1} {2} } + { frac {b ^ {2}} {2}} + bP_ {3}} & krát F left ({ tfrac {1} {2}} + b ( epsilon P_ {1} + P_ {2} + P_ {3}), { tfrac {1} {2}} + b ( epsilon P_ {1} -P_ {2} + P_ {3}), 1 + 2b epsilon P_ { 1}, z vpravo), end {zarovnáno}}}$

s ${ displaystyle epsilon in {+, - }.}$ Další základ tvoří dva konformní bloky t-kanálu,

${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {F}} _ {P_ {3} + epsilon { frac {b} {2}}} ^ {(t)} (z) & = z ^ { { frac {1} {2}} + { frac {b ^ {2}} {2}} + bP_ {1}} (1-z) ^ {{ frac {1} {2}} + { frac {b ^ {2}} {2}} + b epsilon P_ {3}} & krát F left ({ tfrac {1} {2}} + b (P_ {1} + P_ {2} + epsilon P_ {3}), { tfrac {1} {2}} + b (P_ {1} -P_ {2} + epsilon P_ {3}), 1 + 2b epsilon P_ { 3}, 1-z vpravo). End {zarovnáno}}}$

Fixační matice je matice velikosti dva taková

${ displaystyle { mathcal {F}} _ {P_ {1} + epsilon _ {1} { frac {b} {2}}} ^ {(s)} (x) = sum _ { epsilon _ {3} = pm} F _ { epsilon _ {1}, epsilon _ {3}} { mathcal {F}} _ {P_ {3} + epsilon _ {3} { frac {b} {2}}} ^ {(t)} (x),}$

jehož explicitní výraz je

${ displaystyle F _ { epsilon _ {1}, epsilon _ {3}} = { frac { Gamma (1-2b epsilon _ {1} P_ {1}) Gamma (2b epsilon _ {3 } P_ {3})} { prod _ { pm} Gamma ({ frac {1} {2}} + b (- epsilon _ {1} P_ {1} pm P_ {2} + epsilon _ {3} P_ {3}))}}.}$

Hypergeometrické konformní bloky hrají důležitou roli v přístupu analytického bootstrapu k dvourozměrnému CFT.^[13][14]

Jednobodové bloky na torusu ze čtyřbodových bloků na kouli

Libovolný jednobodový blok na torusu lze zapsat jako čtyřbodový blok na kouli při jiném centrálním náboji. Tento vztah mapuje modul torusu na křížový poměr poloh čtyř bodů a tři ze čtyř polí na kouli mají pevnou hybnost ${ displaystyle P _ {(0, { frac {1} {2}})} = { tfrac {1} {4b}}}$:^[15][16]

${ displaystyle H_ {P '_ {s}} ^ { text {torus}} (P' | q ^ {2}) = H_ {P_ {s}} left ( left. { tfrac {1} {4b}}, P, { tfrac {1} {4b}}, { tfrac {1} {4b}} vpravo | q vpravo) quad { text {with}} quad vlevo { { begin {array} {l} b = { frac {b '} { sqrt {2}}} P = { frac {P'} { sqrt {2}}} P_ {s } = { sqrt {2}} P '_ {s} end {array}} right.}$

kde

• ${ displaystyle H_ {P_ {s}} left ( left.P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, P_ {4} right | q right)}$ je netriviální faktor sférického čtyřbodového bloku v Zamolodchikovových rekurzivních reprezentacích, psaných z hlediska hybnosti ${ displaystyle P_ {i}}$ místo rozměrů ${ displaystyle Delta _ {i}}$.
• ${ displaystyle H_ {P_ {s}} ^ { text {torus}} (P | q)}$ je netriviální faktor jednobodového bloku torusu ${ displaystyle { mathcal {F}} _ { Delta _ {s}} ^ { text {torus}} ( Delta | q) = q ^ { Delta - { frac {c-1} {24 }}} eta (q) ^ {- 1} H _ { Delta _ {s}} ^ { text {torus}} ( Delta | q)}$, kde ${ displaystyle eta (q)}$ je Funkce Dedekind eta, modulární parametr ${ displaystyle tau}$ torusu je takový, že ${ displaystyle q = e ^ {2 pi i tau}}$a pole na torusu má rozměr ${ displaystyle Delta}$.

Řešení rovnice Painlevé VI

Li ${ displaystyle c = 1,}$ pak určité lineární kombinace konformních bloků s-kanálů jsou řešením Painlevé VI nelineární diferenciální rovnice.^[17] Příslušné lineární kombinace zahrnují součty přes sady hybností typu ${ displaystyle P_ {s} + i mathbb {Z}.}$ To umožňuje odvodit konformní bloky z řešení Painlevé VI rovnice a naopak. To také vede k relativně jednoduchému vzorci pro fixační matici v ${ displaystyle c = 1.}$^[18] Kupodivu ${ displaystyle c = infty}$ limit konformních bloků souvisí také s Painlevé VI rovnicí.^[19] Vztah mezi ${ displaystyle c = infty}$ a ${ displaystyle c = 1}$ Limity, které jsou na straně teorie konformních polí záhadné, jsou vysvětleny přirozeně v kontextu teorií čtyřrozměrného měřidla pomocí zvětšovacích rovnic.

Zobecnění

Další reprezentace Virasoro algebry

Konformní bloky Virasoro, které jsou popsány v tomto článku, jsou spojeny s určitým typem reprezentací Virasoro algebry: reprezentace s nejvyšší hmotností, jinými slovy moduly Verma a jejich kosety.^[2] Korelační funkce, které zahrnují jiné typy reprezentací, vedou k dalším typům konformních bloků. Například:

• Logaritmická teorie konformního pole zahrnuje reprezentace, kde je generátor Virasoro ${ displaystyle L_ {0}}$ není diagonalizovatelný, což vede k blokům, které logaritmicky závisí na polohách pole.
• Reprezentace lze sestavit ze států, na které některé režimy zničení Virasoroovy algebry působí diagonálně, spíše než mizí. Byly volány odpovídající konformní bloky nepravidelné konformní bloky.^[20]

Větší algebry symetrie

V teorii, jejíž symetrická algebra je větší než Virasoroova algebra, například a Model WZW nebo teorie s W-symetrie, korelační funkce lze v zásadě rozložit na konformní bloky Virasoro, ale tento rozklad obvykle zahrnuje příliš mnoho termínů, než aby byly užitečné. Místo toho je možné použít konformní bloky založené na větší algebře: například v modelu WZW konformní bloky založené na odpovídajících afinní Lieova algebra, kteří poslouchají Knizhnik – Zamolodchikov rovnice.

Reference