Schwarzsův seznam - Schwarzs list - Wikipedia
V matematické teorii speciální funkce, Schwarzův seznam nebo Schwartzův stůl je seznam 15 případů nalezených uživatelem Hermann Schwarz (1873, str. 323) kdy hypergeometrické funkce lze vyjádřit algebraicky. Přesněji řečeno, jedná se o seznam parametrů určujících případy, ve kterých hypergeometrická rovnice má konečnou monodromy skupina, nebo ekvivalentně má dvě nezávislá řešení, která jsou algebraické funkce. Uvádí seznam 15 případů rozdělených podle třídy izomorfismu skupiny monodromy (kromě případu a cyklická skupina ), a byl nejprve odvozen Schwarzem metodami komplexní analytické geometrie. Odpovídajícím způsobem tvrzení není přímo z hlediska parametrů specifikujících hypergeometrickou rovnici, ale z hlediska veličin použitých k popisu určitých sférické trojúhelníky.
Širší význam tabulky pro obecné diferenciální rovnice druhého řádu v komplexní rovině ukázal Felix Klein, který prokázal výsledek v tom smyslu, že případy konečné monodromy pro takové rovnice a pravidelné singularity lze připsat změnám proměnných (komplexní analytické mapování Riemannova koule k sobě), které redukují rovnici na hypergeometrickou formu. Ve skutečnosti platí víc: Schwarzův seznam je základem všech rovnic druhého řádu s pravidelnými singularitami na kompaktu Riemannovy povrchy mít konečnou monodromu, vytažením z hypergeometrické rovnice na Riemannově sféře komplexním analytickým mapováním, stupně vypočítatelného z dat rovnice.[1][2]
| Číslo | plocha/ | mnohostěn | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1/2 | 1/2 | p/n (≤ 1/2) | p/n | Vzepětí |
| 2 | 1/2 | 1/3 | 1/3 | 1/6 | Čtyřboká |
| 3 | 2/3 | 1/3 | 1/3 | 2/6 | Čtyřboká |
| 4 | 1/2 | 1/3 | 1/4 | 1/12 | Krychle / osmistěn |
| 5 | 2/3 | 1/4 | 1/4 | 2/12 | Krychle / osmistěn |
| 6 | 1/2 | 1/3 | 1/5 | 1/30 | Ikosahedron / dodekahedron |
| 7 | 2/5 | 1/3 | 1/3 | 2/30 | Ikosahedron / dodekahedron |
| 8 | 2/3 | 1/5 | 1/5 | 2/30 | Ikosahedron / dodekahedron |
| 9 | 1/2 | 2/5 | 1/5 | 3/30 | Ikosahedron / dodekahedron |
| 10 | 3/5 | 1/3 | 1/5 | 4/30 | Ikosahedron / dodekahedron |
| 11 | 2/5 | 2/5 | 2/5 | 6/30 | Ikosahedron / dodekahedron |
| 12 | 2/3 | 1/3 | 1/5 | 6/30 | Ikosahedron / dodekahedron |
| 13 | 4/5 | 1/5 | 1/5 | 6/30 | Ikosahedron / dodekahedron |
| 14 | 1/2 | 2/5 | 1/3 | 7/30 | Ikosahedron / dodekahedron |
| 15 | 3/5 | 2/5 | 1/3 | 10/30 | Ikosahedron / dodekahedron |
Čísla jsou (až do permutací, změn znaménka a přidání s i) rozdíly exponentů hypergeometrická diferenciální rovnice ve třech singulárních bodech . Jsou to racionální čísla právě tehdy a jsou bod, na kterém záleží spíše v aritmetických než geometrických přístupech k teorii.
Další práce
Rozšíření Schwarzových výsledků dal T. Kimura, který se zabýval případy, kdy složka identity z diferenciální Galoisova skupina hypergeometrické rovnice je a řešitelná skupina.[3][4] Obecný výsledek spojující diferenciální skupinu Galois G a skupina monodromy Γ to uvádí G je Zariski uzavření of Γ - tato věta je v knize Matsuda přisuzována Michio Kuga. Obecnou diferenciální Galoisovou teorií výsledná Kimura-Schwarzova tabulka klasifikuje případy integrability rovnice algebraickými funkcemi a kvadratury.
Další relevantní je seznam K. Takeuchiho, který klasifikoval (hyperbolický) trojúhelníkové skupiny to jsou aritmetické skupiny (85 příkladů).[5]
Émile Picard usiloval o rozšíření Schwarzovy práce ve složité geometrii pomocí a generalizovaná hypergeometrická funkce, konstruovat případy rovnic, kde monodromie byla a diskrétní skupina v projektivní unitární skupina PU(1, n). Pierre Deligne a George Mostow použil své myšlenky ke konstrukci mříže v projektivní jednotné skupině. Tato práce v klasickém případě obnovuje konečnost Takeuchiho seznamu a pomocí charakterizace mřížek, které vytvářejí, jsou aritmetické skupiny, poskytuje nové příklady nearitmetických mřížek v PU(1, n).[6]
Baldassari použil Kleinovu univerzálnost k diskusi o algebraických řešeních Lamé rovnice prostřednictvím Schwarzova seznamu.[7]
Další hypergeometrické funkce, které lze vyjádřit algebraicky, jako jsou ty na Schwarzově seznamu, vznikají v teoretické fyzice v kontextu deformace teorií dvourozměrného měřidla. [8]
Viz také
Poznámky
- ^ Moderní léčba je v F. Baldassarri, B. Dwork, Na lineární diferenciální rovnice druhého řádu s algebraickými řešeními, Amer. J. Math. 101 (1) (1979) 42–76.
- ^ http://archive.numdam.org/ARCHIVE/GAU/GAU_1986-1987__14_/GAU_1986-1987__14__A12_0/GAU_1986-1987__14__A12_0.pdf, str. 5-6.
- ^ http://fe.math.kobe-u.ac.jp/FE/Free/vol12/fe12-18.pdf
- ^ http://www.intlpress.com/MAA/p/2001/8_1/MAA-8-1-113-120.pdf ve společnosti p. 116 pro formulaci.
- ^ http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.jmsj/1240433796
- ^ http://archive.numdam.org/ARCHIVE/PMIHES/PMIHES_1986__63_/PMIHES_1986__63__5_0/PMIHES_1986__63__5_0.pdf
- ^ F. Baldassarri, Na algebraických řešeních Laméovy diferenciální rovnice, J. Diferenciální rovnice 41 (1) (1981) 44–58. Oprava v Algebraická řešení Laméovy rovnice, revidováno (PDF) autor: Robert S.Maier.
- ^ Brennan, T. Daniel; Ferko, Christian; Sethi, Savdeep (2019). „Neabelovský analog DBI z ". arXiv:1912.12389 [hep-th ].
Reference
- Matsuda, Michihiko (1985), Přednášky o algebraických řešeních hypergeometrických diferenciálních rovnic (PDF)Přednášky z matematiky, 15, Tokio: Kinokuniya Company Ltd., PAN1104881
- Schwarz, H. A. (1873), „Ueber diejenigen Fälle in welchen die Gaussische hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 75: 292–335, ISSN 0075-4102