V matematice Humbertova řada jsou sadou sedmi hypergeometrická řada Φ1 , Φ2 , Φ3 , Ψ1 , Ψ2 , Ξ1 , Ξ2 ze dvou proměnné že zobecnit Kummerova soutoková hypergeometrická řada 1 F 1 jedné proměnné a konfluentní hypergeometrická limitní funkce 0 F 1 jedné proměnné. První z těchto dvojitých sérií byl představen Pierre Humbert (1920 ).
Definice Série Humberta Φ1 je definován pro |X | <1 dvojitou sérií:
Φ 1 ( A , b , C ; X , y ) = F 1 ( A , b , − , C ; X , y ) = ∑ m , n = 0 ∞ ( A ) m + n ( b ) m ( C ) m + n m ! n ! X m y n , { displaystyle Phi _ {1} (a, b, c; x, y) = F_ {1} (a, b, -, c; x, y) = součet _ {m, n = 0} ^ { infty} { frac {(a) _ {m + n} (b) _ {m}} {(c) _ {m + n} , m! , n!}} , x ^ { m} y ^ {n} ~,} Kde Pochhammer symbol (q )n představuje rostoucí faktoriál:
( q ) n = q ( q + 1 ) ⋯ ( q + n − 1 ) = Γ ( q + n ) Γ ( q ) , { displaystyle (q) _ {n} = q , (q + 1) cdots (q + n-1) = { frac { gama (q + n)} { gama (q)}} ~ ,} kde druhá rovnost platí pro všechny složité q { displaystyle q} až na q = 0 , − 1 , − 2 , … { displaystyle q = 0, -1, -2, ldots} .
Pro ostatní hodnoty X funkce Φ1 lze definovat pomocí analytické pokračování .
Série Humberta Φ1 lze také napsat jako jednorozměrný Euler -typ integrální :
Φ 1 ( A , b , C ; X , y ) = Γ ( C ) Γ ( A ) Γ ( C − A ) ∫ 0 1 t A − 1 ( 1 − t ) C − A − 1 ( 1 − X t ) − b E y t d t , ℜ C > ℜ A > 0 . { displaystyle Phi _ {1} (a, b, c; x, y) = { frac { gama (c)} { gama (a) gama (ca)}} int _ {0} ^ {1} t ^ {a-1} (1-t) ^ {ca-1} (1-xt) ^ {- b} e ^ {yt} , mathrm {d} t, quad Re , c> Re , a> 0 ~.} Tuto reprezentaci lze ověřit pomocí Taylorova expanze integrand, následovaná integrací termwise.
Podobně funkce Φ2 je definován pro všechny X , y podle série:
Φ 2 ( b 1 , b 2 , C ; X , y ) = F 1 ( − , b 1 , b 2 , C ; X , y ) = ∑ m , n = 0 ∞ ( b 1 ) m ( b 2 ) n ( C ) m + n m ! n ! X m y n , { displaystyle Phi _ {2} (b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) = F_ {1} (-, b_ {1}, b_ {2}, c; x, y) = sum _ {m, n = 0} ^ { infty} { frac {(b_ {1}) _ {m} (b_ {2}) _ {n}} {(c) _ {m + n } , m! , n!}} , x ^ {m} y ^ {n} ~,} funkce Φ3 pro všechny X , y podle série:
Φ 3 ( b , C ; X , y ) = Φ 2 ( b , − , C ; X , y ) = F 1 ( − , b , − , C ; X , y ) = ∑ m , n = 0 ∞ ( b ) m ( C ) m + n m ! n ! X m y n , { displaystyle Phi _ {3} (b, c; x, y) = Phi _ {2} (b, -, c; x, y) = F_ {1} (-, b, -, c; x, y) = sum _ {m, n = 0} ^ { infty} { frac {(b) _ {m}} {(c) _ {m + n} , m! , n! }} , x ^ {m} y ^ {n} ~,} funkce Ψ1 pro |X | <1 podle série:
Ψ 1 ( A , b , C 1 , C 2 ; X , y ) = F 2 ( A , b , − , C 1 , C 2 ; X , y ) = ∑ m , n = 0 ∞ ( A ) m + n ( b ) m ( C 1 ) m ( C 2 ) n m ! n ! X m y n , { displaystyle Psi _ {1} (a, b, c_ {1}, c_ {2}; x, y) = F_ {2} (a, b, -, c_ {1}, c_ {2}; x, y) = suma _ {m, n = 0} ^ { infty} { frac {(a) _ {m + n} (b) _ {m}} {(c_ {1}) _ { m} (c_ {2}) _ {n} , m! , n!}} , x ^ {m} y ^ {n} ~,} funkce Ψ2 pro všechny X , y podle série:
Ψ 2 ( A , C 1 , C 2 ; X , y ) = Ψ 1 ( A , − , C 1 , C 2 ; X , y ) = F 2 ( A , − , − , C 1 , C 2 ; X , y ) = F 4 ( A , − , C 1 , C 2 ; X , y ) = ∑ m , n = 0 ∞ ( A ) m + n ( C 1 ) m ( C 2 ) n m ! n ! X m y n , { displaystyle Psi _ {2} (a, c_ {1}, c_ {2}; x, y) = Psi _ {1} (a, -, c_ {1}, c_ {2}; x, y) = F_ {2} (a, -, -, c_ {1}, c_ {2}; x, y) = F_ {4} (a, -, c_ {1}, c_ {2}; x, y) = součet _ {m, n = 0} ^ { infty} { frac {(a) _ {m + n}} {(c_ {1}) _ {m} (c_ {2}) _ {n} , m! , n!}} , x ^ {m} y ^ {n} ~,} funkce Ξ1 pro |X | <1 podle série:
Ξ 1 ( A 1 , A 2 , b , C ; X , y ) = F 3 ( A 1 , A 2 , b , − , C ; X , y ) = ∑ m , n = 0 ∞ ( A 1 ) m ( A 2 ) n ( b ) m ( C ) m + n m ! n ! X m y n , { displaystyle Xi _ {1} (a_ {1}, a_ {2}, b, c; x, y) = F_ {3} (a_ {1}, a_ {2}, b, -, c; x, y) = součet _ {m, n = 0} ^ { infty} { frac {(a_ {1}) _ {m} (a_ {2}) _ {n} (b) _ {m }} {(c) _ {m + n} , m! , n!}} , x ^ {m} y ^ {n} ~,} a funkce Ξ2 pro |X | <1 podle série:
Ξ 2 ( A , b , C ; X , y ) = Ξ 1 ( A , − , b , C ; X , y ) = F 3 ( A , − , b , − , C ; X , y ) = ∑ m , n = 0 ∞ ( A ) m ( b ) m ( C ) m + n m ! n ! X m y n . { displaystyle Xi _ {2} (a, b, c; x, y) = Xi _ {1} (a, -, b, c; x, y) = F_ {3} (a, -, b, -, c; x, y) = součet _ {m, n = 0} ^ { infty} { frac {(a) _ {m} (b) _ {m}} {(c) _ {m + n} , m! , n!}} , x ^ {m} y ^ {n} ~.} Související série Existují čtyři související řady dvou proměnných, F 1 , F 2 , F 3 , a F 4 , které zobecňují Gaussova hypergeometrická řada 2 F 1 jedné proměnné podobným způsobem a které byly zavedeny Paul Émile Appell v roce 1880. Reference Appell, Paul ; Kampé de Fériet, Joseph (1926). Fonty hypergéométriques et hypersphériques; Polynômes d'Hermite (francouzsky). Paříž: Gauthier – Villars. JFM 52.0361.13 .CS1 maint: ref = harv (odkaz) (viz str. 126)Bateman, H. ; Erdélyi, A. (1953). Vyšší transcendentní funkce, sv. Já (PDF) . New York: McGraw – Hill.CS1 maint: ref = harv (odkaz) (viz str. 225)Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Jurij Veniaminovič ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [říjen 2014]. „9.26.“. In Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Tabulka integrálů, sérií a produktů . Přeložil Scripta Technica, Inc. (8. vydání). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5 . LCCN 2014010276 .CS1 maint: ref = harv (odkaz) Humbert, Pierre (1920). "Sur les fonctions hypercylindriques". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (francouzsky). 171 : 490–492. JFM 47.0348.01 .CS1 maint: ref = harv (odkaz)