Riemannova koule - Riemann sphere

Riemannovu kouli lze vizualizovat jako komplexní číselnou rovinu omotanou kolem koule (nějakou formou stereografická projekce - podrobnosti jsou uvedeny níže).

v matematika, Riemannova koule, pojmenoval podle Bernhard Riemann,^[1] je Modelka z rozšířená komplexní rovina, složité letadlo plus a bod v nekonečnu. Tato rozšířená rovina představuje rozšířená komplexní čísla, toto je komplexní čísla plus hodnota ∞ pro nekonečno. U modelu Riemann se bod „∞“ blíží velmi velkým číslům, stejně jako bod „0“ se blíží velmi malým číslům.

Rozšířená komplexní čísla jsou užitečná v komplexní analýza protože umožňují dělení nulou za určitých okolností způsobem, který vytváří výrazy jako ${ displaystyle { tfrac {1} {0}} = infty}$ dobře vychovaný. Například jakýkoli racionální funkce na komplexní rovině lze rozšířit na a holomorfní funkce na Riemannově sféře s póly racionálního mapování funkcí do nekonečna. Obecněji libovolné meromorfní funkce lze považovat za holomorfní funkci, jejíž codomain je Riemannova sféra.

v geometrie, Riemannova koule je prototypickým příkladem a Riemannův povrch, a je jedním z nejjednodušších složité potrubí. v projektivní geometrie, sféru lze považovat za komplex projektivní linie P¹(C), projektivní prostor ze všech složité linie v C². Jako s každým kompaktní Riemannovu plochu, kouli lze také považovat za projektivní algebraická křivka, což z něj činí zásadní příklad v algebraická geometrie. Rovněž najde uplatnění v jiných oborech, které závisí na analýze a geometrii, jako je např Bloch koule z kvantová mechanika a v dalších odvětví fyziky.

Také se nazývá rozšířená komplexní rovina uzavřená komplexní rovina.

Rozšířená komplexní čísla

The rozšířená komplexní čísla skládají se z komplexních čísel C společně s ∞. Sada rozšířených komplexních čísel může být zapsána jako C ∪ {∞}, a je často označován přidáním nějaké dekorace do dopisu C, jako

${ displaystyle { hat { mathbb {C}}}, quad { overline { mathbb {C}}}, quad { text {nebo}} quad mathbb {C} _ { infty} .}$

Geometricky se množina rozšířených komplexních čísel označuje jako Riemannova koule (nebo rozšířená komplexní rovina).

Aritmetické operace

Přidání komplexních čísel lze rozšířit definováním pro z ∈ C,

${ displaystyle z + infty = infty}$

pro jakékoli komplexní číslo z, a násobení mohou být definovány

${ displaystyle z times infty = infty}$

pro všechna nenulová komplexní čísla z, s ∞ × ∞ = ∞. Všimněte si, že ∞ - ∞ a 0 × ∞ zůstávají nedefinované. Na rozdíl od komplexních čísel netvoří rozšířená komplexní čísla a pole, protože ∞ nemá multiplikativní inverzní. Je nicméně obvyklé definovat divize na C ∪ {∞} od

${ displaystyle { frac {z} {0}} = infty quad { text {a}} quad { frac {z} { infty}} = 0}$

pro všechna nenulová komplexní čísla z, s ∞/0 = ∞ a 0/∞ = 0. Kvocienty 0/0 a ∞/∞ zůstávají nedefinované.

Racionální funkce

Žádný racionální funkce F(z) = G(z)/h(z) (jinými slovy, F(z) je poměr polynomiálních funkcí G(z) a h(z) z z se složitými koeficienty, takovými G(z) a h(z) nemají společný faktor) lze rozšířit na a spojitá funkce na Riemannově sféře. Konkrétně pokud z₀ je komplexní číslo takové, že jmenovatel h(z₀) je nula, ale čitatel G(z₀) je tedy nenulová F(z₀) lze definovat jako ∞. Navíc, F(∞) lze definovat jako omezit z F(z) tak jako z → ∞, které mohou být konečné nebo nekonečné.

Sada komplexních racionálních funkcí - jejichž matematický symbol je C(z) - tvoří vše možné holomorfní funkce z Riemannovy sféry k sobě samému, když se na ni pohlíží jako na Riemannův povrch, s výjimkou konstantní funkce, která nabývá hodnoty ∞ všude. Funkce C(z) tvoří algebraické pole známé jako pole racionálních funkcí na sféře.

Například vzhledem k funkci

${ displaystyle f (z) = { frac {6z ^ {2} +1} {2z ^ {2} -50}}}$

můžeme definovat F(±5) = ∞, protože jmenovatel je nula v z = ±5, a F(∞) = 3 od té doby F(z) → 3 tak jako z → ∞. Pomocí těchto definic F se stává spojitou funkcí od Riemannovy sféry k sobě samému.

Jako komplexní potrubí

Jako jednorozměrný komplexní varietu lze Riemannovu sféru popsat dvěma grafy, oba s doménou rovnou rovině komplexního čísla C. Nechat ζ být komplexní číslo v jedné kopii Ca nechte ξ být komplexním číslem v jiné kopii souboru C. Určete každé nenulové komplexní číslo ζ první C s nenulovým komplexním číslem 1/ξ druhé C. Pak mapa

${ displaystyle f (z) = { frac {1} {z}}}$

se nazývá přechodová mapa mezi dvěma kopiemi C - takzvaný grafy - slepit je dohromady. Protože přechodové mapy jsou holomorfní, definují komplexní potrubí zvané Riemannova koule. Jako komplexní potrubí 1 komplexní dimenze (tj. 2 skutečné dimenze) se tomu také říká a Riemannův povrch.

Přechodové mapy intuitivně naznačují, jak spojit dvě roviny dohromady a vytvořit tak Riemannovu sféru. Roviny jsou lepeny způsobem „naruby“, takže se překrývají téměř všude, přičemž každá rovina přispívá pouze jedním bodem (původem), který chybí ve druhé rovině. Jinými slovy (téměř) každý bod v Riemannově sféře má jak a ζ hodnota a ξ hodnota a obě hodnoty jsou vztaženy k ζ = 1/ξ. Bod, kde ξ = 0 by pak měl mít ζ-hodnota "1/0"; v tomto smyslu původ ξ-chart hraje roli "∞" v ζ-schéma. Symetricky, původ ζ-chart hraje roli ∞ v ξ-schéma.

Topologicky, výsledný prostor je jednobodové zhutnění letadla do koule. Riemannova sféra však není pouze topologickou sférou. Je to sféra s dobře definovanou oblastí složitá struktura, takže kolem každého bodu koule je sousedství, které může být biholomorfně identifikován s C.

Na druhou stranu věta o uniformizaci, ústřední výsledek v klasifikaci Riemannův povrchů, uvádí, že každý jednoduše připojeno Riemannův povrch je biholomorfní vůči komplexní rovině hyperbolická rovina nebo Riemannova koule. Z nich je Riemannova koule jediná, která je uzavřený povrch (A kompaktní povrch bez hranice ). Proto dvourozměrná sféra připouští jedinečnou složitou strukturu, která ji proměňuje v jednorozměrný komplexní potrubí.

Jako komplexní projektivní linie

Riemannovu sféru lze také definovat jako komplexní projektivní linie. Body komplexní projektivní linie jsou tříd ekvivalence stanoveno následujícím vztahem k bodům z C² \ {(0,0)}:

Pokud pro nějaké λ ≠ 0, w = λu a z = λproti, pak ${ displaystyle (w, z) thicksim (u, v).}$

V tomto případě je zapsána třída ekvivalence [w, z] použitím projektivní souřadnice. Vzhledem k jakémukoli bodu [w, z] v komplexní projektivní linii, jeden z w a z musí být nenulová, řekněme w ≠ 0. Potom vztahem ekvivalence,

${ displaystyle [w, z] thicksim left [1, { tfrac {z} {w}} right]}$ který je v grafu pro Riemannovu sféru.^[2]

Toto zpracování Riemannovy koule se nejsnadněji spojuje s projektivní geometrií. Například libovolná čára (nebo hladký kuželovitý tvar) v složitá projektivní rovina je biholomorfní vůči komplexní projektivní linii. Je také vhodný pro studium sféry automorfismy, dále v tomto článku.

Jako koule

Stereografická projekce komplexního čísla A na bod α Riemannovy koule

Riemannovu sféru lze vizualizovat jako jednotkovou sféru X² + y² + z² = 1 v trojrozměrném reálném prostoru R³. Za tímto účelem zvažte stereografická projekce z jednotkové koule minus bod (0, 0, 1) na rovinu z = 0, kterou identifikujeme s komplexní rovinou ζ = X + iy. v Kartézské souřadnice (X, y, z) a sférické souřadnice (θ, φ) na kouli (s θ the zenit a φ the azimut ), projekce je

${ displaystyle zeta = { frac {x + iy} {1-z}} = cot left ({ frac {1} {2}} theta right) ; e ^ {i phi} .}$

Podobně stereografická projekce z (0, 0, −1) do letadla z = 0, identifikovaný jinou kopií komplexní roviny pomocí ξ = X − iy, je psáno

${ displaystyle xi = { frac {x-iy} {1 + z}} = tan vlevo ({ frac {1} {2}} theta vpravo) ; e ^ {- i phi }.}$

Aby bylo možné pokrýt jednotkovou sféru, je potřeba dvě stereografické projekce: první pokryje celou sféru kromě bodu (0, 0, 1) a druhý kromě bodu(0, 0, −1). Proto jeden potřebuje dvě složité roviny, jednu pro každou projekci, kterou lze intuitivně vidět jako slepenou zády k soběz = 0. Všimněte si, že dvě složité roviny jsou identifikovány odlišně od roviny z = 0. An orientace -změna je nutná k udržení konzistentní orientace na kouli a zejména komplexní konjugace způsobí, že přechodové mapy budou holomorfní.

Přechodové mapy mezi ζ- koordinátoři a ξ- souřadnice se získají složením jedné projekce s inverzní k druhé. Ukázalo se, že jsou ζ = 1/ξ a ξ = 1/ζ, jak je popsáno výše. Jednotková koule tedy je difeomorfní do Riemannovy sféry.

Pod tímto difeomorfismem je jednotkový kruh v ζ-chart, jednotkový kruh v ξ- graf a rovník sféry jednotek jsou identifikovány. Jednotkový disk |ζ| < 1 je identifikován s jižní polokoulí z < 0, zatímco jednotka disk |ξ| < 1 je identifikován se severní polokoulíz > 0.

Metrický

Riemannova plocha není vybavena žádnými zvláštnostmi Riemannova metrika. Konformní struktura Riemannova povrchu však určuje třídu metrik: všechny ty, jejichž podřízená konformní struktura je daná. Podrobněji: Složitá struktura Riemannova povrchu jednoznačně určuje metriku až konformní ekvivalence. (O dvou metrikách se říká, že jsou shodně ekvivalentní, pokud se liší vynásobením kladem plynulá funkce.) Naopak jakákoli metrika na orientovaný povrch jednoznačně určuje složitou strukturu, která závisí na metrice pouze do konformní ekvivalence. Složité struktury na orientovaném povrchu jsou tedy v korespondenci jedna ku jedné s konformními třídami metrik na tomto povrchu.

V rámci dané konformní třídy lze pomocí konformní symetrie najít reprezentativní metriku s výhodnými vlastnostmi. Zejména vždy existuje úplná metrika s konstantní zakřivení v jakékoli dané konformní třídě.

V případě Riemannovy sféry je Věta o Gauss-Bonnetovi znamená, že metrika konstantního zakřivení musí mít kladnou hodnotu zakřivení K.. Z toho vyplývá, že metrika musí být izometrické do sféry poloměru 1/√K. v R³ prostřednictvím stereografické projekce. V ζ- graf na Riemannově sféře, metrický s K. = 1 darováno

${ displaystyle ds ^ {2} = left ({ frac {2} {1+ | zeta | ^ {2}}} right) ^ {2} , | d zeta | ^ {2} = { frac {4} { vlevo (1+ zeta { bar { zeta}} vpravo) ^ {2}}} , d zeta , d { bar { zeta}}.}$

Ve skutečných souřadnicích ζ = u + iv, vzorec je

${ displaystyle ds ^ {2} = { frac {4} { vlevo (1 + u ^ {2} + v ^ {2} vpravo) ^ {2}}} vlevo (du ^ {2} + dv ^ {2} right).}$

Do konstantního faktoru tato metrika souhlasí se standardem Fubini - metrika studia na komplexním projektivním prostoru (jehož příkladem je Riemannova sféra).

Toto je až do měřítka pouze metrika koule, jejíž skupina orientačních izometrií je trojrozměrná (a žádná není větší než trojrozměrná); tato skupina se nazývá SO (3). V tomto smyslu jde o zdaleka nejsymetrickější metriku ve sféře. (Skupina všech izometrií, známá jako O (3), je také trojrozměrný, ale na rozdíl od SO (3) nejde o propojený prostor.)

Naopak, pojďme S označit kouli (jako abstrakt hladký nebo topologické potrubí ). Podle věty o uniformizaci existuje jedinečná komplexní struktura S, až do konformní ekvivalence. Z toho vyplývá, že každá metrika na S je shodně ekvivalentní s kulatá metrika. Všechny tyto metriky určují stejnou konformní geometrii. Kulatá metrika tedy není vlastní Riemannově sféře, protože „kulatost“ není invariantem konformní geometrie. Riemannova koule je pouze a konformní potrubí, ne a Riemannovo potrubí. Pokud však potřebujete udělat Riemannovu geometrii na Riemannově sféře, je kulatá metrika přirozenou volbou (s jakýmkoli pevným poloměrem, i když poloměr = 1 je nejjednodušší a nejběžnější volbou). Je to proto, že pouze kulatá metrika na Riemannově sféře má svou izometrickou skupinu jako trojrozměrná skupina. (Jmenovitě skupina známá jako SO (3), spojitá („lež“) skupina, která je topologicky trojrozměrná projektivní prostor P³.)

Automorfismy

A Möbiova transformace působící na kouli a na rovinu pomocí stereografická projekce

Studium jakéhokoli matematického objektu napomáhá porozumění jeho skupina automatorfismů, což znamená mapy od objektu k sobě samému, které zachovávají základní strukturu objektu. V případě Riemannovy koule je automorfismus invertibilní biholomorfní mapa od Riemannovy koule k sobě samému. Ukazuje se, že jediné takové mapy jsou Möbiovy transformace. Toto jsou funkce formuláře

${ displaystyle f ( zeta) = { frac {a zeta + b} {c zeta + d}},}$

kde A, b, C, a d jsou komplexní čísla taková, že inzerát − před naším letopočtem ≠ 0. Mezi příklady Möbiových transformací patří dilatace, rotace, překlady a komplexní inverze. Ve skutečnosti lze jakoukoli Möbiovu transformaci napsat jako jejich složení.

Möbiovy transformace jsou homografie na komplexní projektivní linii. v projektivní souřadnice, transformace F lze psát

${ displaystyle [ zeta, 1] { začátek {pmatrix} a & c b & d konec {pmatrix}} = [a zeta + b, c zeta + d] = doleva [{ tfrac {a zeta + b} {c zeta + d}}, 1 right] = [f ( zeta), 1].}$

Möbiovy transformace lze tedy popsat jako 2 × 2 komplexní matice s nenulovou hodnotou určující. Jelikož působí na projektivní souřadnice, dvě matice přinášejí stejnou Möbiovu transformaci tehdy a jen tehdy, pokud se liší nenulovým faktorem. The skupina Möbiových transformací je projektivní lineární skupina PGL (2, C).

Pokud někdo obdaruje Riemannovu sféru Fubini – metrika studia, pak ne všechny Möbiovy transformace jsou izometrie; například dilatace a překlady nejsou. Izometrie tvoří vlastní podskupinu PGL (2, C), jmenovitě PSU (2). Tato podskupina je isomorfní s rotační skupina SO (3), což je skupina symetrií jednotkové koule v R³ (které, jsou-li omezeny na kouli, se stávají izometrií koule).

Aplikace

Ve složité analýze je meromorfní funkce na komplexní rovině (nebo na jakémkoli Riemannově povrchu) poměr F/G dvou holomorfních funkcí F a G. Jako mapa komplexních čísel je kdekoli nedefinovaná G je nula. Indukuje však holomorfní mapu (F, G) na komplexní projektivní linii, která je dobře definovaná, i když G = 0. Tato konstrukce je užitečná při studiu holomorfních a meromorfních funkcí. Například na kompaktní Riemannově ploše neexistují žádné nekonstantní holomorfní mapy ke komplexním číslům, ale holomorfní mapy ke komplexní projektivní linii jsou hojné.

Riemannova sféra má ve fyzice mnoho využití. V kvantové mechanice jsou body na komplexní projektivní linii přirozenými hodnotami foton polarizace státy, roztočit státy masivní částice rotace 1/2a 2-stavové částice obecně (viz také Kvantový bit a Bloch koule ). Riemannova sféra byla navržena jako relativistické model pro nebeská sféra.^[3] v teorie strun, světové listy řetězců jsou Riemannovy povrchy a Riemannova koule, která je nejjednodušším Riemannovým povrchem, hraje významnou roli. Je také důležité v teorie twistorů.

Viz také

• Konformní geometrie
• Křížový poměr
• Dessin d'enfant
• Řízené nekonečno
• Hopfův svazek
• Möbiovy letadlo
• Projektivně prodloužená reálná linie

Reference

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Srpna 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Tento článek cituje jeho Zdroje ale neposkytuje odkazy na stránky. Můžeš pomozte to vylepšit zavedením přesnějších citací. (Září 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

• Brown, James & Churchill, Ruel (1989). Složité proměnné a aplikace. New York: McGraw-Hill. ISBN  0-07-010905-2.
• Griffiths, Phillip & Harris, Joseph (1978). Principy algebraické geometrie. John Wiley & Sons. ISBN  0-471-32792-1.
• Penrose, Rogere (2005). Cesta do reality. New York: Knopf. ISBN  0-679-45443-8.
• Rudin, Walter (1987). Skutečná a komplexní analýza. New York: McGraw – Hill. ISBN  0-07-100276-6.

externí odkazy

• "Riemannova koule", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Odhalení transformace Moebius tím, že Douglas N. Arnold a Jonathan Rogness (video dvou profesorů z University of Minnesota vysvětlujících a ilustrujících Möbiovy transformace pomocí stereografické projekce z koule)