Automorfní funkce - Automorphic function - Wikipedia

V matematice, an automatická funkce je funkce v prostoru, který je neměnný pod akce některých skupina, jinými slovy funkce na kvocientový prostor. Prostor je často komplexní potrubí a skupina je diskrétní skupina.

Faktor automatiky

v matematika, pojem faktor automorphy vzniká pro skupina herectví na komplexní analytické potrubí. Předpokládejme skupinu ${ displaystyle G}$ působí na komplexně-analytické potrubí ${ displaystyle X}$. Pak, ${ displaystyle G}$ působí také na prostor holomorfní funkce z ${ displaystyle X}$ na komplexní čísla. Funkce ${ displaystyle f}$ je označován jako automorfní forma pokud platí:

${ displaystyle f (g.x) = j_ {g} (x) f (x)}$

kde ${ displaystyle j_ {g} (x)}$ je všude nenulová holomorfní funkce. Ekvivalentně je automorfní forma funkcí, jejíž dělitel je invariantní při působení ${ displaystyle G}$.

The faktor automorphy pro automorfní formu ${ displaystyle f}$ je funkce ${ displaystyle j}$. An automatická funkce je automatická forma, pro kterou ${ displaystyle j}$ je identita.

Některá fakta o faktorech automatiky:

• Každý faktor automorphy je a cocycle za akci ${ displaystyle G}$ na multiplikativní skupině všude nenulových holomorfních funkcí.
• Faktorem automorphy je a hranice právě když to vychází ze všude nenulové automorfní formy.
• Pro daný faktor automatiky je prostor automorfních forem vektorový prostor.
• Bodový produkt dvou automorfních forem je automorfní forma odpovídající součinu odpovídajících faktorů automorphy.

Vztah mezi faktory automorphy a jinými pojmy:

• Nechat ${ displaystyle Gamma}$ být mřížkou v Lieově skupině ${ displaystyle G}$. Pak faktor automatizace pro ${ displaystyle Gamma}$ odpovídá a svazek řádků na kvocientové skupině ${ displaystyle G / Gamma}$. Dále automorfní formy pro daný faktor automorphy odpovídají částem odpovídajícího svazku řádků.

Specifický případ ${ displaystyle Gamma}$ podskupina SL(2, R), jednající o horní polorovina, je zpracován v článku o automorfní faktory.

Příklady

• Kleinianova skupina
• Eliptická modulární funkce
• Modulární funkce

Reference

• A.N. Parshin (2001) [1994], „Automorfní forma“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Andrianov, A.N .; Parshin, A.N. (2001) [1994], "Automorfní funkce", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Ford, Lester R. (1929), Automorfní funkce, New York, McGraw-Hill, ISBN  978-0-8218-3741-2, JFM  55.0810.04
• Fricke, Robert; Klein, Felix (1897), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Erster Band; Die gruppentheoretischen Grundlagen. (v němčině), Lipsko: B. G. Teubner, ISBN  978-1-4297-0551-6, JFM  28.0334.01
• Fricke, Robert; Klein, Felix (1912), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen. (v němčině), Lipsko: B. G. Teubner., ISBN  978-1-4297-0552-3, JFM  32.0430.01