Eliptická hypergeometrická řada - Elliptic hypergeometric series
V matematice, an eliptická hypergeometrická řada je série ΣC n C n C n −1eliptická funkce z n , analogicky k zobecněná hypergeometrická řada kde poměr je a racionální funkce z n , a základní hypergeometrická řada kde poměr je periodická funkce komplexního čísla n . Byly představeny Date-Jimbo-Kuniba-Miwa-Okado (1987) a Frenkel a Turaev (1997) při studiu eliptiky 6-j symboly .
Pro průzkum eliptické hypergeometrické řady viz Gasper & Rahman (2004) , Spiridonov (2008) nebo Rosengren (2016) .
Definice The q-Pochhammerův symbol je definováno
( A ; q ) n = ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − A q k ) = ( 1 − A ) ( 1 − A q ) ( 1 − A q 2 ) ⋯ ( 1 − A q n − 1 ) . {displaystyle displaystyle (a; q) _ {n} = prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1-aq ^ {k}) = (1-a) (1-aq) (1-aq ^ {2}) cdots (1-aq ^ {n-1}).} ( A 1 , A 2 , … , A m ; q ) n = ( A 1 ; q ) n ( A 2 ; q ) n … ( A m ; q ) n . {displaystyle displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {m}; q) _ {n} = (a_ {1}; q) _ {n} (a_ {2}; q) _ { n} ldots (a_ {m}; q) _ {n}.} Upravená funkce Jacobi theta s argumentem X a ne já str je definováno
θ ( X ; str ) = ( X , str / X ; str ) ∞ {displaystyle displaystyle heta (x; p) = (x, p / x; p) _ {infty}} θ ( X 1 , . . . , X m ; str ) = θ ( X 1 ; str ) . . . θ ( X m ; str ) {displaystyle displaystyle heta (x_ {1}, ..., x_ {m}; p) = heta (x_ {1}; p) ... heta (x_ {m}; p)} Eliptický posunutý faktoriál je definován
( A ; q , str ) n = θ ( A ; str ) θ ( A q ; str ) . . . θ ( A q n − 1 ; str ) {displaystyle displaystyle (a; q, p) _ {n} = heta (a; p) heta (aq; p) ... heta (aq ^ {n-1}; p)} ( A 1 , . . . , A m ; q , str ) n = ( A 1 ; q , str ) n ⋯ ( A m ; q , str ) n {displaystyle displaystyle (a_ {1}, ..., a_ {m}; q, p) _ {n} = (a_ {1}; q, p) _ {n} cdots (a_ {m}; q, p) _ {n}} Hypergeometrická řada theta r +1E r
r + 1 E r ( A 1 , . . . A r + 1 ; b 1 , . . . , b r ; q , str ; z ) = ∑ n = 0 ∞ ( A 1 , . . . , A r + 1 ; q ; str ) n ( q , b 1 , . . . , b r ; q , str ) n z n {displaystyle displaystyle {} _ {r + 1} E_ {r} (a_ {1}, ... a_ {r + 1}; b_ {1}, ..., b_ {r}; q, p; z ) = součet _ {n = 0} ^ {infty} {frac {(a_ {1}, ..., a_ {r + 1}; q; p) _ {n}} {(q, b_ {1} , ..., b_ {r}; q, p) _ {n}}} z ^ {n}} Velmi dobře připravená theta hypergeometrická řada r +1PROTI r
r + 1 PROTI r ( A 1 ; A 6 , A 7 , . . . A r + 1 ; q , str ; z ) = ∑ n = 0 ∞ θ ( A 1 q 2 n ; str ) θ ( A 1 ; str ) ( A 1 , A 6 , A 7 , . . . , A r + 1 ; q ; str ) n ( q , A 1 q / A 6 , A 1 q / A 7 , . . . , A 1 q / A r + 1 ; q , str ) n ( q z ) n {displaystyle displaystyle {} _ {r + 1} V_ {r} (a_ {1}; a_ {6}, a_ {7}, ... a_ {r + 1}; q, p; z) = součet _ {n = 0} ^ {infty} {frac {heta (a_ {1} q ^ {2n}; p)} {heta (a_ {1}; p)}} {frac {(a_ {1}, a_ { 6}, a_ {7}, ..., a_ {r + 1}; q; p) _ {n}} {(q, a_ {1} q / a_ {6}, a_ {1} q / a_ {7}, ..., a_ {1} q / a_ {r + 1}; q, p) _ {n}}} (qz) ^ {n}} Dvoustranná theta hypergeometrická řada r G r
r G r ( A 1 , . . . A r ; b 1 , . . . , b r ; q , str ; z ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( A 1 , . . . , A r ; q ; str ) n ( b 1 , . . . , b r ; q , str ) n z n {displaystyle displaystyle {} _ {r} G_ {r} (a_ {1}, ... a_ {r}; b_ {1}, ..., b_ {r}; q, p; z) = součet _ {n = -infty} ^ {infty} {frac {(a_ {1}, ..., a_ {r}; q; p) _ {n}} {(b_ {1}, ..., b_ { r}; q, p) _ {n}}} z ^ {n}} Definice aditivní eliptické hypergeometrické řady Eliptická čísla jsou definována
[ A ; σ , τ ] = θ 1 ( π σ A , E π i τ ) θ 1 ( π σ , E π i τ ) {displaystyle [a; sigma, au] = {frac {heta _ {1} (pi sigma a, e ^ {pi i au})} {heta _ {1} (pi sigma, e ^ {pi i au}) }}} Kde Funkce Jacobi theta je definováno
θ 1 ( X , q ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n q ( n + 1 / 2 ) 2 E ( 2 n + 1 ) i X {displaystyle heta _ {1} (x, q) = součet _ {n = -infty} ^ {infty} (- 1) ^ {n} q ^ {(n + 1/2) ^ {2}} e ^ {(2n + 1) ix}} Aditivní eliptické posunuté faktoriály jsou definovány pomocí
[ A ; σ , τ ] n = [ A ; σ , τ ] [ A + 1 ; σ , τ ] . . . [ A + n − 1 ; σ , τ ] {displaystyle [a; sigma, au] _ {n} = [a; sigma, au] [a + 1; sigma, au] ... [a + n-1; sigma, au]} [ A 1 , . . . , A m ; σ , τ ] = [ A 1 ; σ , τ ] . . . [ A m ; σ , τ ] {displaystyle [a_ {1}, ..., a_ {m}; sigma, au] = [a_ {1}; sigma, au] ... [a_ {m}; sigma, au]} Aditivní theta hypergeometrická řada r +1E r
r + 1 E r ( A 1 , . . . A r + 1 ; b 1 , . . . , b r ; σ , τ ; z ) = ∑ n = 0 ∞ [ A 1 , . . . , A r + 1 ; σ ; τ ] n [ 1 , b 1 , . . . , b r ; σ , τ ] n z n {displaystyle displaystyle {} _ {r + 1} e_ {r} (a_ {1}, ... a_ {r + 1}; b_ {1}, ..., b_ {r}; sigma, au; z ) = součet _ {n = 0} ^ {infty} {frac {[a_ {1}, ..., a_ {r + 1}; sigma; au] _ {n}} {[1, b_ {1}, ..., b_ {r}; sigma, au] _ {n}}} z ^ {n}} Přísada velmi dobře připravená theta hypergeometrická řada r +1proti r
r + 1 proti r ( A 1 ; A 6 , . . . A r + 1 ; σ , τ ; z ) = ∑ n = 0 ∞ [ A 1 + 2 n ; σ , τ ] [ A 1 ; σ , τ ] [ A 1 , A 6 , . . . , A r + 1 ; σ , τ ] n [ 1 , 1 + A 1 − A 6 , . . . , 1 + A 1 − A r + 1 ; σ , τ ] n z n {displaystyle displaystyle {} _ {r + 1} v_ {r} (a_ {1}; a_ {6}, ... a_ {r + 1}; sigma, au; z) = součet _ {n = 0} ^ {infty} {frac {[a_ {1} + 2n; sigma, au]} {[a_ {1}; sigma, au]}} {frac {[a_ {1}, a_ {6}, ... , a_ {r + 1}; sigma, au] _ {n}} {[1,1 + a_ {1} -a_ {6}, ..., 1 + a_ {1} -a_ {r + 1} ; sigma, au] _ {n}}} z ^ {n}} Další čtení Spiridonov, V. P. (2013). "Aspekty eliptických hypergeometrických funkcí". V Berndt, Bruce C. (ed.). Dědictví Srinivasy Ramanujana Sborník z mezinárodní konference k oslavě 125. výročí narození Ramanujana; University of Delhi, 17-22 December 2012 . Série přednášek k matematické společnosti Ramanujan. 20 . Ramanujan Mathematical Society. str. 347–361. arXiv :1307.2876 Bibcode :2013arXiv1307.2876S . ISBN 9789380416137 Rosengren, Hjalmar (2016). "Eliptické hypergeometrické funkce". arXiv :1608.06161 matematika ]. Reference Frenkel, Igor B .; Turaev, Vladimir G. (1997), „Eliptická řešení Yang-Baxterovy rovnice a modulární hypergeometrické funkce“, Matematické semináře Arnold-Gelfand ISBN 978-0-8176-3883-2 PAN 1429892 Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Základní hypergeometrická řada Encyklopedie matematiky a její aplikace, 96 (2. vyd.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8 PAN 2128719 Spiridonov, V. P. (2002), „Theta hypergeometric series“, Asymptotická kombinatorika s aplikací na matematickou fyziku (Petrohrad, 2001) , NATO Sci. Ser. II Matematika. Phys. Chem., 77 , Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., S. 307–327, arXiv :matematika / 0303204 Bibcode :2003math ...... 3204S , PAN 2000728 Spiridonov, V. P. (2003), „Theta hypergeometric integals“, Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Algebra i Analiz , 15 (6): 161–215, arXiv :matematika / 0303205 doi :10.1090 / S1061-0022-04-00839-8 , PAN 2044635 Spiridonov, V. P. (2008), „Eseje o teorii eliptických hypergeometrických funkcí“, Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk , 63 (3): 3–72, arXiv :0805.3135 Bibcode :2008RuMaS..63..405S , doi :10.1070 / RM2008v063n03ABEH004533 , PAN 2479997 Warnaar, S. Ole (2002), „Sčítací a transformační vzorce pro eliptické hypergeometrické řady“, Konstruktivní aproximace. mezinárodní deník pro přibližování a rozšiřování , 18 (4): 479–502, arXiv :matematika / 0001006 doi :10.1007 / s00365-002-0501-6 , PAN 1920282
![[a; sigma, au] = {frac {heta _ {1} (pi sigma a, e ^ {{pi i au}})} {heta _ {1} (pi sigma, e ^ {{pi i au} })}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94d8d0bb1b97924ff5cb8dcb7862b623aa311ce)
![[a; sigma, au] _ {n} = [a; sigma, au] [a + 1; sigma, au] ... [a + n-1; sigma, au]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2da38081b9cc727134b56777757ea212d8d0ca)
![[a_ {1}, ..., a_ {m}; sigma, au] = [a_ {1}; sigma, au] ... [a_ {m}; sigma, au]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b392b65337d21af3f4f57af588c903f192db9a35)
![displaystyle {} _ {{r + 1}} e_ {r} (a_ {1}, ... a _ {{r + 1}}; b_ {1}, ..., b_ {r}; sigma, au ; z) = součet _ {{n = 0}} ^ {infty} {frac {[a_ {1}, ..., a _ {{r + 1}}; sigma; au] _ {n}} {[1, b_ {1}, ..., b_ {r}; sigma, au] _ {n}}} z ^ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a58afdad63c4f0c8a067eb0dccafd04990a7f5a2)
![displaystyle {} _ {{r + 1}} v_ {r} (a_ {1}; a_ {6}, ... a _ {{r + 1}}; sigma, au; z) = součet _ {{n = 0}} ^ {infty} {frac {[a_ {1} + 2n; sigma, au]} {[a_ {1}; sigma, au]}} {frac {[a_ {1}, a_ {6} , ..., a _ {{r + 1}}; sigma, au] _ {n}} {[1,1 + a_ {1} -a_ {6}, ..., 1 + a_ {1} - a _ {{r + 1}}; sigma, au] _ {n}}} z ^ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63ad1ba53fcbf4c2e9c7ba290172f33b9e441216)
Kategorie